Estabilidad sistemas control

UNIVERSIDAD TECNICA
LATINOAMERICNA
FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA
ASIGNATURA DE CONTROL
AUTOMATICO
CATEDRATICO : ING. FIDENCIO CASTILLO
ALUMNO : CARLOS ENRIQUE RIVERA MORAN
CRITERIOS DE ESTABILIDAD EN LOS SISTEMAS DE
CONTROL AUTOMATICO
EJEMPLOS DE APLICACION

INDICE
 INTRODUCCION
 CRIETRIO DE ESTABILIDAD BIBO
 CRITERIO ROUTH-HURWITZ
 TEOREMA LYAPUNOV
 CRITERIO NYQUIST
 CRITERIO DE BODE DE POLOS Y CEROS
 CRITERIO JURY

Introducción
El concepto de estabilidad es muy importante cuando se estudian sistemas físicos,
gobernados por ecuaciones diferenciales ordinarias, ecuaciones en derivadas parciales,
etc. La idea general de que los objetos matemáticos de interés, las soluciones las
trayectorias, se comportan de una manera aceptable, permite a quien estudia el fenómeno
tener ciertas garantías y seguridades, cierta tranquilidad en el momento de tener que
tomar decisiones.
Por ejemplo, la idea de punto fijo estable según Liapunov en una ecuación diferencial
ordinaria asegura que si uno parte de una condición inicial suficientemente cercana a ´el,
entonces el sistema se mantendrá en las cercanías del punto fijo, es decir, cerca de un
modo de funcionamiento conocido. Si además hay estabilidad asintótica, luego de
transcurrido un cierto tiempo, el sistema se encontrará funcionando, en la práctica, en el
punto de equilibrio. Esto permite al experimentador ciertas libertades, como admitir la
existencia de cierta incertidumbre al momento de definir las condiciones iniciales, ya que
pequeñas variaciones en las mismas no alteraran cualitativamente el comportamiento del
sistema. En cambio, si estamos en las cercanías de un punto de equilibrio inestable, un
pequeño error en la precisión de las condiciones iniciales determinará que, más tarde o
más temprano, la trayectoria se alejará
Definición
El sistema es el que se representa en la figura 1.
En este caso, la idea de estabilidad que
r(t) = e(t) ⋆ h(t)
e(t)
Figura 1: Sistema lineal causal invariante en el tiempo.
En principio realizaremos una breve descripción de los distintos criterios de estabilidad
estudiados.
-BIBO (Bounded Input - Bounded Output):
Un sistema dinámico es BIBO estable si cualquier entrada acotada produce una salida
acotada. En otras palabras, si ante entradas de valor finito la respuesta (su valor absoluto)
no tiende a infinito. Si una función de transferencia tiene uno de sus polos en el semiplano
derecho, la respuesta natural tenderá a infinito, independientemente del valor de la
h(t)

entrada, y por tanto el sistema será inestable. En consecuencia, para asegurar que un
sistema dinámico lineal sea estable, todos los polos de su función de transferencia deben
estar en el semiplano izquierdo. Basta con que un polo esté en el semiplano derecho para
que el sistema sea inestable. Si existe un polo en el eje imaginario, es decir, en la frontera
entre los semiplanos derecho e izquierdo, se dice que el sistema es marginalmente
estable.
Criterio Routh-Hurwitz
La estabilidad de un sistema dinámico está determinada por la ubicación de los polos de su
función de transferencia, es decir por la ubicaciónde las raíces del denominador, entonces este
criterio establece:
“Si el denominador tiene coeficientes de signos diferentes, o coeficientes cero, entonces tiene al
menos una raíz en el semiplano derecho o en el eje imaginario, es decir que el sistema es
inestable.” Si el denominador tiene todos sus coeficientes del mismo signo, no podemos extraer
conclusiones a priori sobre la ubicación de sus raíces y, por consiguiente, sobre su estabilidad.
El criterio de Routh-Hurtwiz puede expresarse asi:
Criterio de Routh-Hurwitz
El número de raíces de (5.15) en el semiplano
derecho es igual al número de cambios de
signo que se suceden en la primera columna
del arreglo de Routh de dicho polinomio.
Retomando el ejemplo anterior, el polinomio (5.20) tiene dos raíces en el semiplano derecho, ya
que su arreglo de Routh (figura 5.6) tiene dos cambios de signo en la primera columna: uno al
pasar de a , y otro al pasar de a .
Miremos ahora el sistema realimentado de la figura 5.1. La función de transferencia, y por lo
tanto sus polos, dependen de la variable , como claramente se establece en (5.5). La
utilización del criterio de Routh-Hurwitz permite establecer condiciones en la varible para que
el sistema realimentado sea estable. Esto podemos verlo mediante los ejemplos 5.5,5.6 y 5.7:
Ejemplo 1 Supóngase que en el sistema de la figura 5.1 se tiene que
La función de transferencia del sistema realimentado es

El arreglo de Routh para el polinomio del denominador se muestra en la
figura 5.7.
Figura: Arreglo de Routh del ejemplo 5.5
Para que todas las raíces estén en el semiplano izquierdo, y por lo tanto el sistema sea estable,
se necesita que todos los signos de la primera columna sean iguales, y por lo tanto:
Podemos concluir que para cualquier valor de superior a el sistema será estable, y para
cualquier valor menor que será inestable. Justo cuando el sistema tendrá
estabilidad Marginal.
Ejemplo 2 Supóngase que en el sistema de la figura 5.1 se tiene que
(5.21)
El arreglo de Routh para el polinomio del denominador se muestra
en la figura
Figura: Arreglo de Routh del ejemplo 5.6

Para que todas las raíces estén en el semiplano izquierdo, y por lo tanto el sistema sea estable,
se necesita que todos los signos de la primera columna sean iguales, y por lo tanto:
y
Podemos concluir que para cualquier valor de en el intervalo el sistema será
estable, y para cualquier valor por fuera de ese intervalo será inestable. Justo
cuando o el sistema tendrá estabilidad Marginal.
Ejemplo 3 Supóngase que existe un sistema dinámico continuo cuya función de transferencia
tiene el siguiente denominador
El arreglo de Routh correspondiente se muestra en la figura 5.9.
Figura : Arreglo de Routh del ejemplo 5.7
Para que el sistema sea estable se necesita que todos los términos de la primera columna sean
del mismo signo, por lo tanto deben cumplirse las siguientes dos condiciones
La segunda condición podría darse si tanto numerador como denominador son del mismo signo,
sin embargo descartamos la opción de que ambos sean negativos, porque la primera condición
impone que el denominador sea positivo, es decir las dos condiciones son:
La segunda condición se cumple si o . De estas dos posibilidades
descartamos la primera, debido a que debe ser positivo. Por lo tanto, aseguramos que el
sistema sea estable si y sólo si

Teorema Lyapunov
Uno de lo avances mas importantes para la investigación de la estabilidad de los sistemas no
lineales es la teoría introducida por el matemático ruso Alexandr Mikhailovich Lyapunov. Aunque
su mayor trabajo fue primero publicado en 1892, este recibió poca atención fuera de Rusia hasta
después de mucho tiempo. En esta sección discutiremos una de las técnicas más poderosas de
Lyapunov para el análisis de estabilidad, llamado el método directo.
Considere el sistema autónomo (no dependiente explícitamente del tiempo, sin fuerzas):
(5.1)
El teorema de la estabilidad de Lyapunov puede ser aplicado de la forma siguiente.
Teorema:
Si una función definida y positiva V(a) puede ser encontrada tal que dV(a)/dt es negativa semi-
definida, entonces el origen (a = 0) es estable para el sistema de la Ecuación 5.1. Si una función
definida y positiva V(a) puede ser encontrada tal que dV(a)/dt es negativa definida, entonces el
origen (a = 0) es asintóticamente estable. En cada caso, V es llamada la función de Lyapunov
del sistema.
Usted podría pensar en V(a) como una función generalizada de energía. El concepto del teorema
es que si la energía de un sistema está continuamente decreciendo (dV(a)/dt negativa
definida), entonces eventualmente se estabilizará en un estado de energía mínima. El motivo de
Lyapunov era el de generalizar el concepto de energía, esto para que el teorema pudiera ser
aplicado a sistemas donde la energía sea difícil de expresar o no tenga significado.
Debemos notar que el teorema sólo plantea que si una función apropiada de Lyapunov V(a)
puede ser encontrada, el sistema es estable. No nos da información acerca de la estabilidad del
sistema en aquellas situaciones en donde no se puede encontrar esa función.
Ejemplo 1. El sistema descripto por
x˙1 = −x32,
x˙2 = x31,
tiene en el origen un punto de equilibrio no hiperb´olico. Sea
V (x) = x4/1 +x4/2
una funci´on candidato de Lyapunov. La derivada temporal a lo largo de las trayectorias del
sistema
es

V˙ (x)=4x3/1x˙1 + 4x3/2x˙2 = 0.
Por lo tanto V (x) califica como función de Lyapunov, y las trayectorias del sistema yacen sobre
las curvas cerradas
x4/1 +x4/2 = c
(c > 0) que rodean al origen. El origen es un equilibrio (uniformemente) estable de este sistema
(Teorema 5.3.1, p. 158), pero no es (uniformemente) asintóticamente estable (Teorema 5.3.25
p. 165)
porque−V˙ (x) no es localmente positiva definida. El resultado es interesante porque la
linealización
del sistema en el punto de equilibrio no permite determinar la estabilidad ya que la matriz
jacobiana
A =Df(0) tiene dos autovalores nulos.
Ejemplo 2. El sistema
x˙1 = −2x2 +x2x3,
x˙2 = x1 −x1x3,
x˙3 = x1x2,
tiene un punto de equilibrio en el origen. La matriz jacobiana en el punto de equilibrio es
Df(0) = 0 −2 0
1 0 0
0 0 0
y sus autovalores son λ1 = 0, λ2,3 = ±2i, por lo que el punto x = 0 es un punto de equilibrio
no hiperbólico. El tipo de estabilidad puede determinarse a partir del estudio de las propiedades
de una función de Lyapunov. Pero,¿cómo encontrar una función de Lyapunov apropiada?. En
general, una función de la forma
V (x) = c1x2
1 +c2x2
2 +c3x2

3
donde c1, c2 y c3 son constantes positivas es un buen punto de partida, al menos cuando las
ecuaciones diferenciales del sistema contienen algunos t´erminos lineales. Si se calcula V˙ (x) =
DV (x)f(x) se tiene que
1
2
V˙ (x)=(c1 −c2 +c3)x1x2x3 + (−2c1 +c2)x1x2.
Si se elige c2 = 2c1 y c3 = c1 > 0 resulta que V (x) > 0 para x 6= 0, y que V˙ (x) = 0 para
todo x ∈ R3. Por lo tanto, de acuerdo al Teorema 5.3.1 (p. 158), el origen x = 0 es estable. En
1particular, eligiendo c1 = c3 = 1, c2 = 2 se observa que las trayectorias del sistema
evolucionan
sobre elipsoides de la forma x2/1 + 2x2/2 +x2/3 = c, c > 0.
Criterio Nyquist
Considerando el sistema en lazo cerrado de la siguiente figura, la función de transferencia
en lazo cerrado es:
Para la estabilidad, todas las raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0 deben estar en el
semiplano izquierdo del plano s. Se debe señalar que, aunque los polos y ceros de la función de
transferencia en lazo abierto G(s)H(s) pueden estar en el semiplano derecho del plano s, el sistema
sólo es estable si todos los polos de la función de transferencia en lazo cerrado (es decir, las raíces
de la ecuación característica) están en el semiplano izquierdo del plano s.
El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta en frecuencia en lazo abierto G(jω)H(jω)
con el número de ceros y polos de 1 + G(s)H(s) que se encuentran en el semiplano derecho del
plano s.
En forma general, el cero de la ecuación característica se da en G(s)H(s) = -1. Esto indicaque la
respuesta del sistema a lazo abierto debe tener ganancia unitaria y desfasaje de -180°. A este
punto en particular se lo llama comúnmente como “punto de -1”.

Trayectoria de Nyquist
La trayectoria de Nyquist para un sistema continuo realimentado como el de la figura 5.1 es una
curva cerrada que abarca todo el semiplano derecho, y que no contiene ningún polo
de . La figura 5.26 muestra la trayectoria de nyquist para el caso general.
Nótese que la trayectoria de Nyquist recorre todo el eje emaginario y regresa por una
semicircunferencia de radio , abarcando todo el semiplano derecho.
Para el caso especial en que tiene polos en el eje imaginario es necesario modificar
la trayectoria, tal como se muestra en la figura 5.26, mediante pequeñas semicircunferencias de
radio arbitrariamente pequeño

Diagrama de Nyquist
Para un sistema continuo como el de la figura 5.1, el diagrama de Nyquist es la trayectoria
orientada que resulta de calcular a través de la trayectoria de Nyquist (ver
figura 5.28).
Criterio de Nyquist
Para el sistema continuo realimentado de la figura 5.1, con definamos la función
Si calculamos a lo largo de la trayectoria de Nyquist , el resultado es una curva . El
criterio de Nyquist se deriva de aplicar el principio del argumento a esta curva. Aplicando (5.40)
se tiene:
(5.41)
La ecuación (5.42) puede escribirse de otra forma, si se tiene en cuenta que:

 La curva encierra todo el semiplano derecho
 Los polos de son los mismos polos de , como se puede verificar en (5.41)
 Los ceros de son los mismos polos del sistema realimentado (con ) como puede
verse al comparar (5.41) con (5.5)
Con estas consideraciones la ecuación (5.42) se convierte en
(5.42)
es la curva que resulta de calcular a lo largo de la trayectoria de Nyquist , pero
como , es igual al diagrama de Nyquist de desplazado a
la derecha una unidad; de tal manera que evaluar cuántas veces encierra al origen es igual
que evaluar cuántas veces encierra el diagrama de Nyquist de el punto . Por esta razón
podemos convertir (5.43) en la forma conocida como el criterio de Nyquist:
Criterio de Nyquist
El número de polos en el semiplano derecho que tiene un sistema continuo realimentado
como el de la figura 5.1 , con puede determinarse a partir de la ecuación
(5
.4
3)
Para que el sistema realimentado sea estable debe tener cero polos en el semiplano derecho.
El criterio de Nyquist también permite determinar qué valores puede tener en la figura 5.1,
para que el sistema realimentado sea estable. Para ello debe notarse que el diagrama de Nyquist
de difiere del diagrama de Nyquist de sólo en la escala, es decir tienen
la misma forma, pero el primero está amplificado respecto al segundo veces. Observando el

diagrama de Nyquist puede determinarse qué tanto debe amplificarse para asegurar
que no haya polos en el semiplano derecho.
Para estudiar los valores negativos de que harían que el sistema fuera estable, podríamos
trazar el diagrama de Nyquist de ; sin embargo esto no es necesario, ya que ese
diagrama sólo puede diferir del de en una rotación de o, por lo tanto es
suficiente con averiguar qué tantas veces se encierra el punto .
Ejemplo 1 La figura 5.29 muestra el diagrama de Nyquist correspondiente a un sistema
realimentado con
(5.44)
En esa figura se han destacado los puntos en los que el Diagrama de Nyquist cruza el eje real (
y ). El número de polos que tiene en el semiplano derecho es cero, de
acuerdo con (5.45). De esta forma, el criterio de Nyquist, ecuación (5.44), establece que:

(5.45)
y por lo tanto el sistema realimentado es estable para . Además, en el diagrama de
Nyquist se observa que éste se puede amplificar hasta 60 veces sin que cambie el número de
veces que encierra al punto , lo que significa que para el sistema sigue
siendo estable. Si se amplifica por un valor superior a el punto resulta encerrado
dos veces por el diagrama, y por lo tanto el sistema realimentado tendrá dos polos en el
semiplano derecho, es decir, será inestable.
Evaluamos ahora la estabilidad para valores negativos de Remitiéndonos nuevamente a la
figura 5.29, observamos que podemos amplificar 6 veces el diagrama sin que cambie el número
de veces que encierra al punto , lo que significa que para el sistema sigue
siendo estable. Si se amplifica por un valor mayor a el punto resulta encerrado una vez
por el diagrama, y por lo tanto el sistema realimentado tendrá un polo en el semiplano derecho,
es decir, será inestable. En resumen, el sistema será estable para .
Criterio de bode de polos y ceros
Diagramas y criterio de Bode
El análisis del lugar geométrico de las raíces permite establecer la ubicación de los polos de un
sistema como el de la figura 5.1 conforme cambia el valor de . Si estamos interesados en
estudiar la estabilidad del sistema, debemos analizar los puntos en los cuales las ramas del root-
locus y el root locus complementario cruzan el eje imaginario, pues es en ese punto en donde
los polos pasan del semiplano izquierdo al derecho, o viceversa, y por lo tanto son los puntos en
donde puede cambiar la estabilidad del sistema realimentado.
Además, el root-locus es simétrico respecto al eje horizontal, por lo cual basta con estudiar en
qué momento las ramas atraviesan una de las dos mitades del eje imaginario, generalmente la
mitad positiva.
Este hecho sugiere otra posibilidad de estudiar la estabilidad de los sistemas realimentados: En
lugar de estudiar en dónde están ubicadas las ramas del root-locus en todo el plano complejo,
centrar nuestra atención únicamente en el eje imaginario positivo, y detectar cuándo es
atravesado por alguna rama del root-locus.

Recordemos que de acuerdo con (5.25) los puntos del plano complejo que forman parte del
root-locus son tales que al evaluar en ellos la función el ángulo del número complejo
resultante debe ser o o o.
De acuerdo con lo anterior, los puntos en donde puede cambiar la estabilidad del sistema
realimentado coincide con aquellos puntos del eje imaginario en donde
(5.31)
Para encontrar cuáles son los valores de que satisfacen (5.31) pueden trazarse los diagramas
de bode5.5
de y buscar gráficamente en el diagrama de fase cuáles son los puntos en
donde el ángulo de vale o o o, tal como se muestra en la figura 5.185.6
.
Para determinar los valores de en los cuales la rama del root-locus atraviesa el eje
imaginario, puede emplearse nuevamente
(5.25):
(5.32)
El valor de puede leerse (en decibeles) en el diagrama de bode de magnitud,
tal como se muestra en la figura 5.18. A partir de ese valor, y empleando (5.32) puede
determinarse los valores de para los cuales una rama del root-locus atraviesa el eje
imaginario ( en la figura 5.18).

Márgenes de estabilidad
Las ecuaciones (5.31) y (5.32) establecen dos condiciones que deben cumplir los puntos del
plano complejo para formar parte del root-locus o del root-locus complementario; una de las
condiciones hace referencia a la gananacia de y la otra a su fase. La idea de
los márgenes de estabilidad consiste en suponer que , y explorar qué margen se tiene
cuando se cumple una de esas condiciones:
Margen de ganancia:
El margen de ganancia consiste en el menor valor por el que se debe amplificar la
ganancia de cuando se satisface la condición (5.31), para que
simultáneamente se cumpla la condición (5.32).
Para el caso en que , el margen de ganancia puede leerse (en decibeles) en los
diagramas de bode como el valor negativo de la ganancia a la frecuencia en la que la
fase es de o.
Para el caso en que , el margen de ganancia puede leerse (en decibeles) en los
diagramas de bode como el valor negativo de la ganancia a la frecuencia en la que la
fase es de o.

Margen de fase:
El margen de fase consiste en el menor valor que se le debe sumar al ángulo
de cuando se satisface la condición (5.32), para que simultáneamente se
cumpla la condición (5.31)
Para el caso en que , el margen de fase puede leerse en los diagramas de bode
como o , donde es el ángulo a la frecuencia en la que la ganancia es de .
Para el caso en que , el margen de fase puede leerse en los diagramas de bode
como , donde es el ángulo a la frecuencia en la que la ganancia es de .
Ejemplo 1 Supóngase que en el sistema de la figura 5.1 los bloque y son:
(5.33)
La figura 5.19 muestra los Diagramas de Bode de . Según (5.31) los puntos en los
cuales puede cambiar la estabilidad del sistema realimentado son aquellos en los que el ángulo
de es o o es o.

Al observar la figura 5.19 notamos que el ángulo de es o para una
frecuencia de Hz, es decir para . En esa frecuencia el valor
de la magnitud de es de db, lo que significa que la magnitud de , en
decibeles, para la cual una rama del root-locus atraviesa el eje imaginario es tal que
, lo que equivale a:
como (hemos encontrado una rama del root locus) entonces .
También debemos buscar los puntos para los cuales el ángulo de es o. En la
figura 5.19 se observa que el diagrama de fase es asintótico a o, es decir, que para el
ángulo de es o. El diagrama de magnitud de es asintótico
a db, lo que significa que la magnitud de , en decibeles, para la cual una rama del
Root-Locus complementario atraviesa el eje imaginario es tal que , lo que
equivale a:

como (hemos encontrado una rama del root locus complementario) entonces .
Hemos encontrado los valores de para los cuales un polo cruza el eje imaginario, y han
resultado ser y . Esto significa que al variar desde hasta , la estabilidad del
sistema realimentado sólo puede cambiar en y . En consecuencia, podemos definir tres
intervalos para en los cuales la estabilidad es constante; para conocer la estabilidad de cada
intervalo basta con determinar la de uno de sus puntos:
 : Seleccionamos de tal manera que el denominador de (5.21) se
convierte en
Como el denominador tiene coeficientes de signos diferentes al menos tiene una raiz en el
semiplano derecho, y en consecuencia el sistema realimentado es inestable.
convierte en
Las raices del denominador son negativas ( , y ) , y en consecuencia el sistema
realimentado es estable.
convierte en
cuyas raices son y , es decir que tiene dos raices en el semiplano
derecho y en consecuencia el sistema realimentado es inestable.

Criterio Jury
El criterio de Jury 5.7
permite determinar cuántas raíces tiene un polinomio en el interior del
círculo unitario. Cumple, para el caso discreto, un papel análogo al que cumple el criterio de
Routh-Hurwitz en el caso continuo.
Construcción del arreglo de Jury
Dado un polinomio
(5.53)
en donde los coeficientes son reales y es positivo, es posible construir el Arreglo de
Jury de a partir de los coeficientes que aparecen en (5.54). Para ello, inicialmente se
construye el arreglo que se muestra en la figura 5.32: la primera línea contiene los coeficientes
de en orden, desde hasta , y en la segunda línea en orden inverso. En general,
cada línea par contiene los mismos coeficientes que la línea inmediatamente anterior pero en el
orden inverso.
Los elementos de las líneas impares se construyen asi:
(5.54)
Es decir, el primer elemento de una fila impar se calcula como el determinate de la matriz
construida tomando de las dos líneas inmediatamente anteriores la primera y la última columna;
el segundo elemento de forma similar pero con la primera y la penúltima columnas; el tercero
con la primera y la antepenúltima, y asi sucesivamente. Dado que el último elemento sería el
determinante de la matriz formada con dos columnas iguales (la primera dos veces), este valor
será siempre cero, y por tanto no se escribe en el arreglo (se ha eliminado).

Figura : Arreglo de Jury. Primeras dos líneas
Ejemplo 1 Considérese el polinomio
(5.55)
Las primeras dos líneas del arreglo de Jury para se muestran en la figura 5.33. Sólo es
necesario construir 5 líneas, porque y .
La tercera línea se construye asi:
El arreglo con las cuatro primeras líneas su muestra en la figura 5.34.La quinta línea se
construye asi:

Figura : Arreglo de Jury del ejemplo 5.15. Primeras dos líneas
Figura : Arreglo de Jury del ejemplo5.15. Primeras cuatro líneas
Figura : Arreglo de Jury del ejemplo5.15. Arreglo completo
Criterio de Jury
El Criterio de Jury puede expresarse asi:
Criterio de Jury
Las condiciones necesarias y suficientes para que en (5.54) tenga todas sus raíces en
el interior del círculo unitario del plano son:

condiciones
Nótese que este criterio se reduce a unas condiciones muy simples para el caso de polinomios de
segundo orden ( ):
Ejemplo 2 Supóngase el polinomio de la ecuación (5.56) en el Ejemplo 5.15, cuyo
arreglo de Jury se muestra en la figura 5.35. Las condiciones (5.57) se convierten en:
Por lo que tiene todas su raíces en el interior del círculo unitario. Efectivamente, las raíces
de son:
Ejemplo 3Supóngase ahora un sistema como el del ejemplo 5.14, es decir un sistema
realimentado como el de la figura 5.2 con

(5.59)
(5.60)
Para que el denominador de tenga todas sus raíces en el círculo unitario, y por tanto el
sistema realimentado sea estable, se deben satisfacer (5.57); como el denominador es de
segundo orden, estas condiciones se convierten en las que muestra (5.58), es decir:
Estas condiciones se convierten en
o lo que es equivalente:
(5.63)
que coincide con lo obtenido en (5.53)
Problemas en la construcción del arreglo de Jury
Es posible que algunos o todos los elementos de una fila en el arreglo de Jury sean cero, en cuyo
caso se considera que el arreglo ha terminado de forma prematura. La solución ha este
inconveniente se considera fuera del alcance del curso y por lo tanto se ha omitido en estas
notasfootnotevéase [#!RAO!#].
Lugar geométrico de las raíces

El root-locus y el root-locus complementario muestran cómo varía la ubicación de los polos de la
ecuación (5.5) al variar . Como la forma de (5.5) y la de (5.6) son idénticas, pueden
emplearse estos diagramas en forma análoga a como se emplean en el caso continuo para
determinar la estabilidad de un sistema discreto realimentado como el de la figura 5.2: deben
encontrarse las condiciones para que todas las ramas del root-locus y el root-locus
complementario estén en el interior del círculo unitario.
Ejemplo 4
Tomemos el mismo sistema analizado en los ejemplos 5.14 y 5.17. Se trata de un sistema
realimentado como el de la figura 5.2 con
(5.64)
El root-locus y el root-locus complementario de se muestra en la figura 5.36. Se ha
dibujado allí también el círculo unitario, para facilitar la determinación de la estabilidad.
El root-locus cruza el circulo unitario en , Estos puntos
corresponden a una ganancia positiva tal que
(5.65)
El root-locus complementario cruza el círculo unitario en y en .Estos puntos corresponden
a unas ganancias y negativa tales que
(5.66)
(5.67)
De las ecuaciones (5.66), (5.67) y (5.68) se desprenden las condiciones para que el root-locus y
el root locus complementario estén en el interior del círculo unitario: Para el root-locus se

necesita que y para el root-locus complementario que y .
Estas condiciones se pueden resumir en una sóla
(5.68)
que coincide con las encontradas en (5.53) y (5.64)

Estabilidad sistemas control

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Estabilidad sistemas control

Similar a Estabilidad sistemas control (20)

Último

Último (20)

Estabilidad sistemas control