Controladores no lineales ON-OFF - Controladores lineales P, PI, PD, PID - Proyecto por reubicación de polos - Compensadores con AO y Comparadores

 Universidad Nacional de Misiones
Ingeniería Electrónica
Control Clásico y Moderno
Informe de Trabajo Práctico N° 3
Controladores
Autores:
HOFF Romina A.
KRUJOSKI Matías G.
VIERA Juan R.
Grupo Nº 4
Profesores Responsables:
Dr. Ing. Fernando Botterón
Ing. Guillermo Fernández
Oberá, Misiones, 24/05/2014

Control Clásico y Moderno FI - UNaM TP N° 3
HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 3 de 44
Ejercicio 1)
En la Figura 1.1se muestra el diagrama de bloques de un control de posición de un
motor de CC. Este sistema tiene un coeficiente de amortiguamiento 𝜉 = 0,158 y una
frecuencia natural 𝜔 𝑛 = 3,16 𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔⁄ . Para aumentar el margen de estabilidad de este
sistema se introduce el lazo de realimentación de velocidad, como se muestra en la
Figura 1.2.
Figura 1.1: Diagrama de bloques del control de velocidad
Determinar el valor de la constante Kh del tacómetro para que el factor de
amortiguamiento relativo resulte 𝜉 = 0,75.
a) En un mismo gráfico, trazar las salidas 𝑦(𝑡) = θ(t) de los sistemas de la Figura
1.1y Figura 1.2 para una entrada de escalón y verificar sí se satisfacen las
especificaciones. Comentar los resultados.
b) Graficar la señal de velocidad θ̇(t) del sistema dado en la Figura 1.2, para una
entrada en escalón. Comentar los resultados.
Figura 1.2: Diagrama de bloques del control en Lazo Cerrado
Resolución
En primera instancia se computa la ecuación de transferencia del sistema a lazo
cerrado presentado en la Figura 1.2.
En la ecuación(1.1) se exhibe la función transferencia del sistema dado en laFigura 1.1.
𝐻(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝜃(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
10
𝑠(𝑠+1)
1 +
10
𝑠(𝑠+1)
=
10
𝑠 (𝑠 + 1) + 10
(1.1)
En la Figura 1.3 se presenta el sub-sistema formado por la planta más el lazo interno.

R 10
s+1
Kh
-
+
1 (s)
θ(s)E(s)
.
Figura 1.3: Sub-sistema de Lazo Interno
Para el sub-sistema aislado se puede escribir la ecuación transferencia presentadaen
la ecuación (1.2).
𝜃̇( 𝑠)
𝑅1(𝑠)
=
10
𝑠 + 1 + 𝐾ℎ ∙ 10
(1.2)
Contemplando el integrador incorporado que lleva la velocidad a posición angular, la
ecuación transferencia de (1.2) se convierte en la expresión presentada en (1.3).
𝐺(𝑠) =
θ(𝑠)
𝑅1(𝑠)
=
10
𝑠2 + 𝑠(1 + 𝐾ℎ ∙ 10)
(1.3)
Retomando el diagrama presentado en la Figura 1.2 se puede obtener la ecuación
transferencia a lazo cerrado del sistema como en la expresión (1.4).
𝐺𝑐𝑙(𝑠) =
θ(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐺(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)
=
10
𝑠2 + 𝑠(1 + 𝐾ℎ ∙ 10) + 10
(1.4)
En la expresión dada en (1.4) se evidencia que el sistema en lazo cerrado se comporta
como un sistema de segundo orden.
La ecuación transferencia estándar para un sistema de segundo orden en lazo cerrado
es la presentada en (1.5).
𝐺𝑝(𝑠) =
𝜔 𝑛
2
𝑠2 + 𝑠2𝜉𝜔 𝑛 + 𝜔 𝑛
2
(1.5)
En consecuencia, se igualan los términos en s de los denominadores de las
expresiones (1.4) y (1.5) para modelar el sistema según la forma estándar dada; dicha
igualación se exhibe en la ecuación (1.6).
2𝜉𝜔 𝑛 = 1 + 𝐾ℎ ∙ 10 (1.6)

Despejando la constante del tacómetro se obtiene lo consignado en la expresión (1.7).
𝐾ℎ =
2𝜉𝜔 𝑛 − 1
10
(1.7)
Evaluando la expresión (1.7) para llevar el sistema al amortiguamiento relativo
especificado𝜉 = 0,75, se obtiene el valor de la constante del tacómetro, como muestra
la ecuación (1.8).
𝐾ℎ = 0,374 (1.8)
a)
En la Figura 1.4: Respuesta al escalón se presenta la gráfica de las respuestas al
escalón para los sistemas en lazo cerrado sin compensar -función transferencia (1.4)-,
y para el sistema compensado con la constante Kh de la expresión (1.8).
Respuesta al Escalón
t [seg]
θ(t)
0 2 4 6 8 10 12 14
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Sistema: Compensado
Amplitud del pico: 1,03
Sobrepaso (%): 2,85
Ocurrencia Pico (seg): 1,51
Tiempo establecimiento (seg): 1,82
Glc
Sin Compensar
Glc
Compensado
Sistema: Sin Compensar
Amplitud del pico: 1,6
Sobrepaso (%): 60,4
Ocurrencia Pico (seg): 0,993
Tiempo establecimiento (seg): 7,31
Figura 1.4: Respuesta al escalón
En las respuestas al escalón presentadas puede apreciarse que la plantaposee en su
naturaleza un polo en el origen que lo hace reaccionar con un error de régimen
permanente nulo, inclusive cuando no está compensado.

Con la compensación proporcional de la velocidad incorporada, se reduce
considerablemente el tiempo de establecimiento; aunque el tiempo de subida se ve
incrementado.
b)
En la Figura 1.5se presenta la velocidad del sistema compensado, tomado de la
ecuación transferencia exhibida en (1.2).
Respuesta al Escalón
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Sistema: Velocidad Compensada
Amplitud del Pico: 1,39
Tiempo de Pico [seg]: 0,354
Velocidad Compensada
θ(t)
.
t [seg]
Figura 1.5: Respuesta al escalón para la velocidad compensada
Conclusiones:
El desarrollo del ejercicio presentado sirvió como introducción a la metodología de
proyecto de controladores mediante la técnica de reubicación de polos.
Resuelto por: Krujoski Matías G.
Ejercicio 2)
Sea la planta de primer orden dada por la función de transferencia (2.1). Se requiere
que la salida de la planta siga a una referencia constante 𝑟(𝑡) = 5 y que presente un
sobrepaso aproximado del 2% y un tiempo de asentamiento aproximado de 0,8seg.
Cuando se aplica la señal de referencia en escalón en t=0. Para tal fin, proyectar por la
técnica de reubicación de polos, un compensador proporcional-integral cuya función de
transferencia está dada por la expresión(2.2). Calcular el error de estado estacionario

de posición y justificar su valor. Calcular el error de estado estacionario de velocidad y
justificar su valor.
𝐺 𝑝 =
1
𝑠 + 5
(2.1)
𝐺𝑐 = 𝐾𝑝 +
𝐾𝑖
𝑠
(2.2)
a) Simular el sistema utilizando MATLAB®. En un mismo gráfico representar la
señal de referencia y las señales de salida del sistema sin compensar y
compensado. En otro gráfico, presentar las señales de error y acción de control:
uno para el sistema sin compensar y otro para el sistema compensado.
b) Diseñar el circuito electrónico utilizando amplificadores operacionales para poder
implementar el compensador en la práctica.
1) Estructura P+I, o sea, la señal de error es la entrada a cada bloque de
compensación, utilizando dos AMP-OP.
2) Estructura PI con un solo AMP-OP. Calcular los componentes electrónicos
pasivos en función de los parámetros del compensador antes proyectado. En
cada uno de los casos anteriores, implementar el detector de error y el
cambio de fase de la señal de la acción de control resultante para ser
aplicada a la planta, cuando el caso lo requiera.
c) Realizar la simulación del sistema resultante en cada caso, utilizando PSIM(o
Schmatics) y presentar en un gráfico la señal de salida y de referencia, en otro
gráfico las señales de error y acción de control total y en un gráfico diferente las
acciones individuales (caso b.1). Analizar y obtener conclusiones sobre el efecto
de tales acciones durante la etapa transitoria y la etapa de régimen estacionario.
Comentar las diferencias que existen en el desempeño entre los casos b.1 y b.2.
Nota: para realizar las simulaciones en cada caso, producir una variación de la
referencia en forma de escalón en la mitad del tiempo de simulación, del 50% al 100%
del valor. Para provocar este cambio de referencia, debe esperarse a que el sistema
haya llegado al valor de régimen, esto significa que la señal de error debe ser igual a
cero.
Resolución
El sistema indicado, con el controlador a aplicar se esquematiza en laFigura 2.1.

-
+
R(s)
E(s)
Gc (s) Gp (s)
Glc (s)
Y(s)
Figura 2.1: Diagrama de bloques de la planta más el compensador
La función de transferencia de lazo cerrado para la topología propuesta resulta de la
expresión (2.3).
𝐺𝑙𝑐(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐺𝑐 ∙ 𝐺 𝑝
1 + 𝐺𝑐 ∙ 𝐺 𝑝
=
𝑠𝐾𝑝 + 𝐾𝑖
𝑠2 + 𝑠(𝐾𝑝 + 5) + 𝐾𝑖
(2.3)
En la expresión (2.3) se observa que la función de transferencia a lazo cerrado de la
planta más compensador responde a la forma típica de un sistema de segundo orden;
por lo tanto como estrategia de cálculo para el compensador se igualan los polinomios
característicos de ésta con el modelo dado en la ecuación (2.4).
𝐺(𝑠) =
𝜔 𝑛
2
𝑠2 + 𝑠2𝜉𝜔 𝑛 + 𝜔 𝑛
2
(2.4)
Por simple inspección se pueden definir las ecuaciones (2.5) y (2.6) que permiten
calcular los parámetros del compensador en función de las especificaciones del diseño.
𝜔 𝑛
2
= 𝐾𝑖 (2.5)
(𝐾𝑝 + 5) = 2𝜉𝜔 𝑛 (2.6)
Recordando queel tiempo de establecimiento puede calcularse como lo indica la
expresión (2.7).
𝑡 𝑠 =
4
𝜎
(2.7)
Además, recordando la relación entre coeficiente de amortiguación, la posición del polo
sobre el eje real y la frecuencia natural del sistema; dada en la ecuación (2.8).

𝜔 𝑛 =
𝜎
𝜉
(2.8)
Por su parte, el coeficiente de amortiguación cuyas características de respuesta al
escalón se presentan en la Figura 2.2, se obtiene a través de la ecuación (2.9).
Figura 2.2: Respuesta típica de un sistema de segundo orden subamortiguado
𝜉 =
− ln(𝑀 𝑝)
√ln(𝑀 𝑝)
2
+ 𝜋2
(2.9)
Evaluando la expresión con los valores correspondientes a las especificaciones de
diseño, se calcula el valor del coeficiente de amortiguamiento necesario para el
compensador a proyectar en la expresión (2.10).
𝜉 =
− ln(0,02)
√ln(0,02)2 + 𝜋2
= 0,78 (2.10)
De este modo, la frecuencia natural del sistema –planta más compensador- puede
obtenerse operando las expresiones (2.7) y (2.8) con la especificación de tiempo de
establecimiento; como se exhibe en (2.11).
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
fy
pM
( )py t
sse
stptrt
t
Entrada en escalón, ( )u t
Respuesta del sistema, ( )y t

𝜔 𝑛 =
𝜎
𝜉
=
4
𝑡 𝑠 𝜉
= 6,41 𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔⁄ (2.11)
Finalmente, operando con las ecuaciones (2.5) y (2.6) se obtienen los coeficientes para
el compensador integrador y el proporcional, como se muestra en la expresión (2.12) y
(2.13) respectivamente.
𝐾𝑖 = 𝜔 𝑛
2
= 41,12 (2.12)
𝐾𝑝 = 2𝜉𝜔 𝑛 − 5 = 5 (2.13)
De esta forma, la ecuación transferencia a lazo cerrado del sistema compensado está
dada por la expresión(2.14).
𝐺𝑙𝑐(𝑠) =
5𝑠 + 41,12
𝑠2 + 10𝑠 + 41,12
(2.14)
En tanto que la función transferencia del compensador, resulta como en la expresión
(2.15).
𝐺𝑐 = 5 +
41,12
𝑠
(2.15)
En consecuencia, la señal de error según el esquema de la Figura 1.2 toma la forma
dada por la ecuación (2.16).
𝐸(𝑠) =
𝑅(𝑠)
1 + 𝐺 𝑝(𝑠) ∙ 𝐺𝑐(𝑠)
=
5
1 + (
1
𝑠+5
) ∙ (𝐾𝑝 +
𝐾 𝑖
𝑠
)
(2.16)
Así, el error en estado estacionario para la posición se puede determinar fácilmente
mediante la aplicación del teorema del valor final; como se observa en laecuación
(2.17).
𝑒𝑠𝑠𝑝 = lim
𝑠→0
𝑠𝑅(𝑠)
1 + 𝐺 𝑝(𝑠) ∙ 𝐺𝑐(𝑠)
= lim
𝑠→0
5𝑠
1 + (
1
𝑠+5
) ∙ (𝐾𝑝 +
𝐾 𝑖
𝑠
)
= 0 (2.17)
Al tratarse de un sistema de primer orden, el error de posición en estado estacionario
debe ser nulo; por lo que el resultado obtenido es satisfactorio.

Por su parte, el error en estado permanente de velocidad se obtiene como lo muestra la
expresión (2.18).
𝑒𝑠𝑠𝑣 =
1
lim
𝑠→0
𝑠𝐺𝑐(𝑠)𝐺 𝑝(𝑠)
=
1
lim
𝑠→0
𝑠 ∙ (
1
𝑠+5
) ∙ (𝐾𝑝 +
𝐾 𝑖
𝑠
)
= 1 (2.18)
Como Gp corresponde a un sistema de primer orden, es correcto que se obtenga un
error constante de velocidad en estado permanente.
a)
En la Figura 2.3 se presentan las gráficas de la referencia, y como responde la planta
sin compensar y el sistema –planta + compensador-.
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
1
2
3
4
5
6
Tiempo [seg]
Amplitud
Gp
G
lc
R
Figura 2.3: Respuesta al escalón para el sistema sin compensar y compensado
Del diagrama de la Figura 2.1 se desprende que el error para el sistema sin compensar
queda definido por la ecuación (2.19).
𝐸𝑙𝑐(𝑠) = 𝑅(𝑠) ∙
1
1 + 𝐺𝑐(𝑠) ∙ 𝐺 𝑝(𝑠)
(2.19)

En tanto que el error para la planta no compensada, resulta simplemente la diferencia
entre la referencia y la salida; como se muestra en la ecuación (2.20).
𝐸 𝑝(𝑠) = 𝑅(𝑠) ∙ (1 − 𝐺 𝑝(𝑠)) (2.20)
Por su parte la acción de control para la planta sin compensar, resulta simplemente la
referencia.
-
+
R(s)
E(s)
Gc (s)
Gp (s)
Alc (s)
Figura 2.4: Diagrama para la acción de control del sistema compensado
De la Figura 2.4 se puede deducir la ecuación (2.21) que presenta la expresión de la
acción de control para el sistema compensado.
𝐴𝑙𝑐(𝑠) =
𝑅(𝑠) ∙ 𝐺𝑐(𝑠)
1 + 𝐺𝑐(𝑠) ∙ 𝐺 𝑝(𝑠)
(2.21)
De esta forma se puede producir la comparación presentada en la Figura 2.5.

Tiempo [seg]
Amplitud
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-5
0
5
10
15
20
25
30
E (s) Sin Compensar
E (s) Compensado
A(s) Sin Compensar
A(s) Compensado
Figura 2.5: Comparación de Error y Acción de Control para sistema compensado y sin compensar
b)
Tomando como punto de partida el esquema de control propuesto en la Figura 2.1 y la
ecuación del compensador dada en la expresión (2.15), se puede diseñar con
componentes electrónicos el circuito que permitirá implementar en la práctica la
compensación para la planta dada. Así, se adoptan diversas estructuras para la
implementación, como se presenta en las secciones sucesivas.
1) Esquema P+I, dónde la entrada a cada bloque compensador es la señal de
error. Este esquema, en forma genérica se presenta en la Figura 2.6.
G
G
C:P
C:I
+
+
GP
E(s)
Figura 2.6: Esquema del Compensador P+I

El circuito eléctrico que permite implementar este compensador, esquematizado con el
simulador PSIM se da en la Figura 2.7.
Figura 2.7: Circuito del Compensador P+I
Los elementos que componen el circuito presentado, se dimensionan según las
relaciones dadas en las expresiones (2.22) y (2.23).
𝑅5
𝑅11
= 𝐾 𝑃 (2.22)
Apuntando a construir el circuito con elementos comerciales; además de buscar que la
impedancia de entrada en cada una de las etapas sea alta, se adoptaron los valores
presentados en el esquema. Dónde, R5 puede implementarse fácilmente con un resistor
de 33kΩ en serie con un resistor de 1kΩ.
𝐾𝑖 =
1
𝑅3 𝐶1
(2.23)
Por su parte, para la etapa integradora se estableció que el capacitor a utilizar sea de
1uF para garantizar que se puede implementar con un capacitor comercial –no
polarizado-; así el resistor que lo acompaña fue obtenido mediante la expresión (2.24);
resultando en un valor que puede aproximarse suficientemente bien mediante dos
resistores comerciales puestos en serie.
𝑅3 =
1
𝐾𝑖 𝐶1
(2.24)

Los resistores restantes del esquema propuesto en la Figura 2.7 sólo fueron adoptados
de modo que las etapas donde se incorporan cumplan con una determinada función
eléctrica sin aplicar ganancia a las señales implicadas.
2) Esquema PI, donde la estrategia de control se implementa en un único AO
cuyos elementos pasivos auxiliares están debidamente seleccionados para
lograr la acción que le corresponde.
En forma general, esta estrategia de control se rige por el esquema
presentado en laFigura 2.8.
GC:PI GP
E(s) Y(s)
Figura 2.8: Esquema del Compensador PI
El circuito propuesto para esta implementación es el presentado en la Figura 2.9,
esquematizado mediante el software PSIM.
Figura 2.9: Circuito del Compensador PI
Para el circuito propuesto, los resistores R5 y R6 se obtuvieron mediante la igualdad
dada en la ecuación (2.25).
𝑅6
𝑅5
+
1
𝑠𝑅6 𝐶1
= 𝐾 𝑃 +
𝐾𝑖
𝑠
(2.25)
Definiendo que el capacitor C1 tome el mismo valor que en el circuito previo por las
mismas razones; los resistores resultan de las expresiones (2.26) y (2.27).

𝑅6 =
1
𝐶1 𝐾𝑖
= 24,2 𝑘Ω (2.26)
𝑅5 = 𝐾𝑝 𝑅6 = 4,8 𝑘Ω (2.27)
De igual modo que en el esquema previo, los demás resistores incluidos en el circuito
como componentes auxiliares fueron escogidos con valores elevados para garantizar
que las respectivas etapas ofrezcan altas impedancias y no apliquen ganancia sobre
las señales que manejan.
c)
De la ejecución de la simulación en el PSIM para el esquema de la Figura 2.7 se
obtienen las gráficas presentadas en la Figura 2.10 y Figura 2.11 respectivamente.
Figura 2.10: Salida y Referencia del P+I
Figura 2.11: Error y Acción de Control del P+I
0 0.5 1 1.5 2
Time (s)
0
1
2
3
4
5
6
Vref Vy
0 0.5 1 1.5 2
Time (s)
0
-5
5
10
15
20
25
30
Vacc Verr

Además, para el esquema P+I se puede analizar por separado cómo evolucionan las
acciones de control independientes que internamente incorpora el circuito; como se
muestra en la Figura 2.12.
Figura 2.12: Acción Proporcional e Integral del caso b.1
En la salida del sistema compensado con el esquema P+I, gráfica presentada en la
Figura 2.10 se aprecia que éste alcanza a estabilizarse en el valor de consigna. Sin
embargo, durante la simulación se tuvo que modificar la alimentación de energía de los
AO implicados para llevarlo hasta una fuente de poder simétrica de ±30V; esto queda
evidenciado en la magnitud de la acción de control que el compensador debe aplicar,
como se exhibe en la Figura 2.11. Sí bien dicho comportamiento se condice con la
simulación matemática (teórica) mostrada en laFigura 2.5, es menester mencionar que
en la práctica será imposible de implementar el compensador para que actúe bajo las
condiciones observadas. Esto indica que deberá reducirse el nivel de exigencia de los
parámetros de diseño, para lograr un circuito robusto y construible.
Valiéndose del esquema eléctrico dado en la Figura 2.9se ejecuta la simulación para el
sistema más el compensador de la estructura PI propuesta y de ésta forma se obtienen
las gráficas presentadas en la Figura 2.13 y Figura 2.14.
0 0.5 1 1.5 2
Time (s)
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
5
Ai Ap

Figura 2.13: Salida y Referencia del PI
Figura 2.14: Error y Acción de control del PI
Durante la ejecución de simulación de éste esquema de compensador también fue
necesario modificar el nivel de alimentación simétrica aplicado a los AO; esto queda
evidenciado en la gráfica de la acción de control presentada en la Figura 2.14, dónde
es claramente visible que la salida del AO implicado se ve saturada hasta el nivel de
alimentación en el instante en que el compensador debe aplicar el máximo impulso
para llevar rápidamente el sistema al valor de consigna. Esto no es más que otra
evidencia de que las exigencias sobre el compensador son muy elevadas y lo llevan
más allá del límite físico realizable; sugiriendo claramente que deben replantearse los
parámetros de diseño dados.
0 0.5 1 1.5 2
Time (s)
0
1
2
3
4
5
6
R Y
0 0.5 1 1.5 2
Time (s)
0
-10
10
20
30
40
Ac E

Conclusiones
Con el desarrollo del ejercicio hasta aquí presentado se logró afianzar los conceptos
relacionados con el diseño, simulación y evaluación de desempeño para controladores
proyectados mediante la técnica de reubicación de polos.
Además, se comprobó mediante la simulación que los circuitos propuestos no lograrán
cumplir con las exigencias del diseño debido a restricciones de índole física.
Resuelto por: Krujoski Matías G.

Ejercicio 3)
Considere una planta cuya función de transferencia es:
2
( 1,5)( 8)
pG
s s

  .
Se debe proyectar un compensador PID de tal forma a disminuir el tiempo de subida de la
respuesta al escalón unitario y llevar a cero el error en régimen permanente. Las
especificaciones de desempeño transitorio son las siguientes:
1segpt  5%pM 
A – Proyectar el compensador PID por reubicación de polos;
B – Simular el sistema en lazo cerrado utilizando Matlab o PSIM. En un mismo gráfico
representar la señal de referencia y las señales de salida del sistema sin compensar y del
sistema compensado. En otro gráfico, presentar también las señales de error y acción de
control: uno para el sistema sin compensar y otro para el sistema compensado.
C – Diseñar el circuito electrónico utilizando amplificadores operacionales para poder
implementar el compensador en la práctica. C.1) Estructura P + I + D, o sea, la señal de error
es la entrada a cada bloque de compensación, utilizando 3 AMP-OP; C.2) Estructura PI + D,
tomando la señal de salida como entrada del bloque derivativo y C.3) Estructura P + I + D
utilizando un solo AMP-OP. En cada uno de los casos anteriores, implementar el detector de
error y el cambio de fase de la señal de la acción de control resultante para ser aplicada a la
planta. Diseñar los componentes electrónicos pasivos en función de los parámetros obtenidos
para el compensador en el punto A.
D – Realizar la simulación del sistema resultante utilizando PSIM (o Schematics) y presentar
en un gráfico, la señal de salida y la de referencia, en otro gráfico las señales de error y acción
de control total y en un gráfico diferente, presentar las acciones de control individuales (casos
C.1 y C.2) y efectuar un análisis del efecto de las mismas durante la etapa transitoria y en el
régimen estacionario.
Nota para realizar las simulaciones: Ídem ejercicio N°2.
Nota: Para el que utilice Pspice (Schematics) para simular los ejercicios 2 y 3 puedeutilizar un
amplificador operacional TL082 o TL084..
Resolución
a) En primer lugar vamos a representar el diagrama de bloques para ver donde se
intercala el compensador PID (figura 3.0)

Figura 3.0: Diagrama de bloques del compensador
La función de transferencia de lazo cerrado que representa al sistema compensado es:
𝐺 𝐿𝐶 =
𝐺 𝐿𝑎
1 + 𝐺 𝐿𝑎
(3.1)
Siendo
𝐺 𝐿𝑎 = 𝐺 𝐶(𝑠)𝐺 𝑃(𝑠)
(3.2)
Como 𝐺 𝐿𝑎es un coeficiente de polinomios podemos escribirla como tal y reemplazada en
𝐺 𝐿𝑐queda:
𝐺 𝐿𝐶(𝑠) =
𝑁(𝑠)
𝑁(𝑠) + 𝐷(𝑠) (3.3)
Podemos escribir la ecuación del PID como sigue:
𝐺 𝐿𝑎(𝑠) =
2(𝑠𝑘 𝑝 + 𝑘𝑖 + 𝑠2
𝑘 𝑑)
𝑠(𝑠 + 8)(𝑠 + 1,5) (3.4)
Reemplazando en 3.3 y trabajando algebraicamente podemos obtener:
𝐺 𝐿𝑐(𝑠) =
2(𝑠𝑘 𝑝 + 𝑘𝑖 + 𝑠2
𝑘 𝑑)
𝑠3 + (9,5 + 2𝑘 𝑑)𝑠2 + (2𝑘 𝑝 + 12)𝑠 + 2𝑘𝑖
(3.5)
Según 3.4 vamos a tener que calcular un polinomio característico de orden tres
Tomando las especificaciones del problema podemos calcular los parámetros necesarios.
Con un máximo sobreimpulso de 5% podemos asegurarnos y realizar los cálculos para
Mp=0,04.
Para hallar el factor de amortiguamiento 𝜉:

𝑀 𝑝 = 𝑒
−𝜋𝜉
√1−𝜉2
𝜉 = 0,715 (3.6)
Con estos datos al implementar el PID el polinomio característico deseado para el sistema
compensado de lazo cerrado será de la siguiente forma:
(𝑠 + 𝑝3)(𝑠2
+ 2𝜉𝜔 𝑛 𝑠 + 𝜔 𝑛
2
) (3.7)
Donde 𝑝3es un polo no dominante. Los polos dominantes son:
𝑝1 = 𝜎 + 𝑗𝜔 𝑑 = −𝜉𝜔 𝑛 + 𝑗𝜔 𝑛√1 + 𝜉2 = −3,2 + 𝑗3,136 (3.8)
𝑝2 = 𝜎 − 𝑗𝜔 𝑑 = −𝜉𝜔 𝑛 − 𝑗𝜔 𝑛√1 + 𝜉2 = −3,2 − 𝑗3,136 (3.9)
Plantemos al polo no dominante para que este a unas diez veces a la izquierda de los polos
dominantes.
𝜎𝑝3 = 10𝜎𝑝2 = 30 (3.10)
Reemplazando estos valores en la ecuación 3.7 y trabajando algebraicamente:
𝑠3
+ 36,42𝑠2
+ 212,9𝑠 + 605,6 (3.11)
Igualando el polinomio encontrado en la ecuación 3.11 con el de la ecuación 3.5 podemos
despejar los componentes del compensador.
9,5 + 2𝑘 𝑑 = 36,42𝑘 𝑑 = 13,46
12 + 2𝑘 𝑝 = 212,9𝑘 𝑝 = 100,45
2𝑘𝑖 = 605,6𝑘𝑖 = 302,8
(3.12)
La función transferencia del compensador queda:
𝐺𝑐 = 𝑘 𝑝 +
𝑘𝑖
𝑠
+ 𝑘 𝑑 𝑠 = 100 +
303
𝑠
+ 13,5𝑠 (3.13)
b) Mediante el software MATLAB se simula el sistema, y se obtienen un gráfico de las
respuestas y otro de la señal de error para los casos de sistema no compensado y
sistema compensado.
El código de MATLAB es el que se muestra en la tabla 3.1

Tabla 3.1: Código para la simulación con el programa matlab®
clear all
close all
clc
format long
%PARÁMETROS Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIAS:
s=tf('s');
t=0:0.001:3.5;
Gp=2/((s+1.5)*(s+8)); % FT planta a lazo abierto
Gplc=feedback(Gp,1); % FT lazo cerrado sin compensar
Kp=100; % Ganancia proporcional
Ki=303; % Ganancia integral
Kd=13.5; % Ganancia derivativa
Gc=(Kp*s + Kd*s^2 + Ki)/s; % Compensador PID
Gla=Gc*Gp; % FT lazo abierto compensado
Glc=feedback(Gla,1); % FT lazo cerrado compensada
%GRAFICO 1:Señales error, sist compensado, no compensado
plot(t,1)
hold on
step(Gplc,Glc)
legend ('salida no compensada','salida compensada','referencia')
%GRAFICO 2:Referencia,salida no compensada,salida compensada
figure
Y=step(Gplc,t); %valores de FTLC sin compensar
E=1-Y; % ERROR sin compensar (para un escalon unitario)
plot(t,E)
grid on
hold on
Y=step(Glc,t); %valores de FTLC compensado
E=1-Y; % ERROR compensado (para un escalon unitario)
plot(t,E,'r')
legend ('error del sistema sin compensado','error del sistema compensado')
a) Para implementar la ecuación 3.12, que corresponde al compensador, se implementa el
control PID por un compensador P, luego a esta salida se le suma la señal proveniente
de un compensador I y del compensador D, resultando así el compensado PID buscado
con tres amplificadores operacionales. El planteo de los parámetros es el siguiente:
Compensador P: Para un compensador P, las ecuaciones que rigen su ganancia son a partir
de 3.14

Figura 3.1 Respuestas del sistema: compensado (2), no compensado (1), y entrada de referencia (3).
Figura 3.2 Señal de error(r(t)-y(t)): sistema compensado y sistema no compensado
𝑘 𝑝 =
𝑅𝑓
𝑅1
(3.14)

Fijamos Rf=10kΩ, de la ecuación 3.14 despejamos el valor de R1
𝑘 𝑝 =
𝑅 𝑓
𝑅1
𝑅1 =
𝑅 𝑓
𝑘 𝑝
=
10000Ω
100
= 100Ω (3.15)
Compensador I: Para un compensador I, la ganancia esta dada por:
𝑘𝑖 =
1
𝑅1 𝐶𝑖
(3.16)
Luego fijando Ci=0,33uF, de la ecuación 3.18 teniendo el valor de Ki despejamos R1
𝑘𝑖 =
1
𝑅1 𝐶 𝑖
𝑅1 =
1
𝑘𝑖𝐶 𝑖
=
1
302 .0,33.10−6 = 10000 = 10𝑘 (3.17)
Compensador D: Para un compensador D, la ganancia esta dada por:
𝑘 𝑑 = 𝐶 𝑅1 (3.18)
Luego fijando R1=100k, de la ecuación 3.18 teniendo el valor de Kd despejamos C
𝑘 𝑑 = 𝐶 𝑅1 𝐶 =
13,46
100𝑘
= 130𝜇𝐹 (3.19)
Teniendo los parámetros calculados se simula el circuito utilizando el software PSIM, donde se
implementan los controles por medio de amplificadores operacionales, el circuito se puede ver
en la figura 3.3
En la figura 3.4 se muestra la respuesta del compensador PID con tres AO, se observa que se
cumplen los parámetros requeridos en la consigna, en la figura 3.5 se muestran las señales de
error y control en los puntos señalados del circuito.
Ahora se procederá a implementar el controlador PID con un solo AO, para ello procederemos
a trabajar con los datos de la ecuación 3.12, que corresponde al compensador

Figura 3.3 Circuito simulado en PSIM del sistema compensado por un compensador PID con tres amplificadores
operacionales.
Las gráficas obtenidas son:
Figura 3.4 Respuestas del sistema compensado (rojo) y entrada de referencia (azul).

Figura 3.5 Señal de control del sistema compensado figura superior y señal de error figura inferior
. El planteo de los parámetros para el compensador con un solo AO es el siguiente:
𝑘 𝑝 =
𝑅1 𝐶1 − 𝑅𝑓 𝐶𝑓
𝑅1
(3.20)
𝑘𝑖 =
1
𝑅𝑓 𝐶𝑓
(3.21)
𝑘 𝑑 = 𝑅𝑓 𝐶1 (3.22)
Tomando R1=100 Ω procedemos al calculo de los restantes elementos, los que resultan ser:
𝑅1 = 100 Ω (3.23)
𝑅𝑓 = 12162 Ω (3.24)
𝐶1 = 0,0011 𝐹 (3.25)
𝐶𝑓 = 0.000033 𝐹 (3.26)
El circuito a implementar es el que puede observarse en la figura 3.6

Figura 3.6 Circuito para la implementación del controlador PID con un solo amplificador operacional.
Los resultados de aplicar el escalón al sistema se ve en la siguiente figura:
Figura 3.7 Señal de entrada en escalón y la respuesta del sistema
Mientras que las señales de error y de acción de control son mostradas en la
figura3.8
El siguiente paso es implementar el PID tomando la salida como entrada del
compensador proporcional, el diagrama de bloques se muestra en la figura 3.9

Figura 3.8 Señales de control del sistema compensado y de error
Figura 3.8 Diagrama de bloques del compensador a implementar.
Para el compensador derivativo los valores de resistencia se calculan a continuación:
𝑘 𝑑 = 𝐶𝑅1 → 𝐶 = 130𝜇𝐹, 𝑅1 = 100𝑘Ω (3.27)
Los valores del PI se muestran en la fórmula 3.28, 3.29
𝑅1 = 100𝑘Ω (3.28)

𝑘𝑖 =
1
𝐶𝑅1
→ 𝐶 = 0,33𝜇𝐹, (3.29)
𝑘 𝑝 =
𝑅𝑓
𝑅1
→ 𝑅𝑓 = 1𝑀Ω (3.30)
El circuito a implementar es el de la figura 3.9
Figura 3.9 Circuito a implementar para un PID con el proporcional tomado de la salida.
Con este circuito se realizaron las simulaciones correspondientes y se obtuvieron los
resultados que se muestran en la figura 3.10
Puede observarse que se elimina el sobreimpulso quedando este compensador como el que
mejores resultados posee.

Figura 3.10 resultados de la simulación del PID con la entrada del P tomada de la salida.
Conclusiones
En este ejercicio podemos observar las diferentes configuraciones para conectar
amplificadores operacionales para un mismo compensador y los diferentes resultados que
pueden obtenerse.
Resuelto por: Viera Juan R.

Ejercicio 4)
La figura 4.1 muestra un convertidor CC-CC reductor de tensión. Se desea que la
tensión de salida Vo se mantenga regulada en 9V, considerando que la corriente de
carga puede variar entre 2 y 6 amperes. Para conseguir esto, es necesario que el
convertidor opere en lazo cerrado. Para esto se propone proyectar un controlador ON-
OFF utilizando un comparador de tensión con realimentación positiva. La máxima
ondulación de la tensión debe ser de 1% , esto significa que / 2%o oV V  . Para
garantizar la ondulación de tensión especificada, se elige la ventana de histéresis como
siendo el 50% de ∆Vo. La tensión de alimentación del comparador es Vcc = 15V y la
resistencia R1 = 270Ω.
Una vez proyectado el controlador, simular el convertidor con Pspice o PSIM
mostrando en una misma gráfica, las formas de ondas de la tensión de salida del
convertidor, de la tensión del punto A y de la tensión de referencia. En otro gráfico
presentar la tensión de salida del convertidor y la tensión de salida del comparador. En
un tercer gráfico mostrar el ciclo de histéresis (Vcomp respecto de Vo).
Obtener un gráfico de la salida, la referencia y la acción de control, cuando la carga
varía de 2 a 6 amperes.
Proyectar los parámetros del filtro de salida del convertidor teniendo en cuenta una
tensión de entrada Vi = 20V y la frecuencia de conmutación fs = 100kHz. Para los que
simulen el convertidor con Pspice (Schematics) el comparador que pueden usar es el
LM339. La llave de potencia S, es un transistor MOSFET de potencia IRF540 y el diodo
de potencia es un MBR1045.

Figura 4.1 Convertidor reductor te tensión de CC a CC
El valor del ripple máximo admitido es del ±1% entonces, decimos que:
2% 0,02.9 0,18o
o
o
V
V V
V

     (4.1)
Como la zona muerta es del 50%:
0,5. 0,5.0,18 0,09oH V     (4.2)
De la ecuación de la ventana de histéresis se tiene que:
1 1
15
1 1 270 1 44730 47
0,09
comp CC
f
V V V
R R R K
H H
    
                   
(4.3)
Para el caso en que la tensión en la entrada inversora sea menor que la entrada no
inversora, la tensión de salida es Vcomp= Vcc. Por lo que se reemplaza en la ecuación
(4.3) Vcomp= Vcc = 15V.
Los valores máximos y mínimo de resistencias de carga son:
min
máx
máx
min
9
1,5
6
9
4,5
2
o
out
o
out
V
R
I
V
R
I
   
   
(4.4)
iV
L
C
( )Li t


R


oV
( )oi t
( )ci t
S
fR
A


ccV
refV
1R
compV

El inductor tiene que limitar la variaciónde corriente cuando se dé la máxima carga,
esta variación será:
10% 0,1.6 0,6Lmáx
L
outmáx
I
I A A
I

     (4.5)
Dado que la variación de tensión en el capacitor se considera del 10%, se tiene:
10% 0,1.0,18 0,018C
C
O
V
V V V
V

    
 (4.6)
Dada la frecuencia de conmutación fs = 100kHz, se calcula el valor del inductor, y del
capacitor mediante las siguientes ecuaciones:
   9 20 9
82,5
20 .100 .0,6
O i O
i s Lmáx
V V V V V V
L Hy
V f I V KHz A
 
   

(4.7)
0,6
41,66 47
8. . 8.100 .0,018
Lmáx
s C
I A
C F F
f V KHz V

     

(4.8)
La máxima variación de corriente que se puede dar es:
min
0,18
0,12
1,5
O
Omáx
V V
I A
R

   

(4.9)
El resistor mínimo en serie al capacitor se calcula como:
min
0,18
0,375
0,6 0,12
O
CSE
Lmáx Omáx
V V
R
I I A A

  
   
(4.10)
Con los valores hallados de los distintos elementos, se procede a simular el circuito
mediante el programa PSIM. El circuito simulado se aprecia en la siguiente figura.

Figura 4.2 Convertidor reductor te tensión de CC a CC simulado en PSIM
La siguiente gráfica, se aprecian las tensiones de salida del convertidor (V3), del punto
A (V2) y de la referencia (V1), obtenidas con el programa de simulación PSIM
Figura 4.3respuesta obtenida en PSIM, tensión de salida (V3), de referencia (V1) y
del punto A (V2). Para una resistencia de carga mínima R1=1.5Ω
En la figura 4.3 se aprecia la acción de control del sistema comandada por el MOSFET.
Donde la salida de tensión del convertidor posee una ondulación del 1% requerido.
Además se aprecia que la frecuencia de conmutación es de 100kHz, como se requiere

en la consigna. Esto quiere decir que con la frecuencia de 100kHz, se logran las
especificaciones de ondulación máxima.
Figura 4.4respuesta obtenida en PSIM, tensión de salida (V3) y del punto A (V2).
Para una resistencia de carga mínima R1=1.5Ω
La Figura 4.4 se aprecia la señal de referencia la cual es de 9V (V2) y la acción de
control ON-OFF (V3), la cual posee un sobrepaso y luego sigue la referencia con una
ondulación del 1%.
La fluctuación de la tensión se da entre un valor máximo y uno mínimo, estos se
determinan a continuación.
inferior
1
8,973f
ref
f
R
V V V
R R
 

(4.11)
1
superior
1 1
9,018f
CC ref
f f
RR
V V V V
R R R R
  
 
(4.12)
Entonces podemos definir el ciclo de histéresis como la diferencia entre las ecuaciones
anteriores.
superior inferior 0,045H V V V    (4.13)

Este resultado concuerda con lo especificado inicialmente. A continuación se grafica la
ventana de histéresis dada entre la tensión de referencia y la de salida del convertidor.
Figura 4.5respuesta obtenida en PSIM, siclo de histéresis (Vreferencia respecto de
Vconvertidor) con R1=1.5Ω y f=10kHz
Se puede ver en la figura 4.5 que el ciclo de histéresis está centrado alrededor de los
9V, donde los límites de ancho de ventana inferior y superior se corresponden con los
valores calculados en las ecuaciones (4.11) y (4.12), respectivamente.
(Resuelto por: Hoff Romina)
Ejercicio 5)
Proyectar un controlador ON-OFF con realimentación positiva, utilizando la
configuración que se muestra en la figura 5.0. La función de transferencia del proceso a
controlar está dada por 100
80
)(


s
sGp
.
1° caso. La tensión de alimentación del comparador es Vcc = 18V. Los límites inferior y
superior de la banda de histéresis son, respectivamente, VA2 = 9,5V y VA1 = 10V. La
resistencia R3 = 470kΩ.
2° caso. La tensión de alimentación del comparador es Vcc = 15V. Los límites inferior y
superior de la banda de histéresis son, respectivamente, VA2 = 10V y VA1 = 10,05V.
La resistencia R3 = 500kΩ.
Una vez proyectado el controlador, simular en cada caso, el sistema en lazo cerrado
con Pspice o PSIM mostrando en una misma gráfica, las formas de ondas de la salida
de la planta, y de la tensión de referencia, o sea, potencial del punto A respecto a tierra.

En otro gráfico presentar la tensión de salida del comparador junto a la salida de la
planta. En un tercer gráfico mostrar el ciclo de histéresis.
Nota: Para el que utilice Pspice (Schematics) para simular, puede usar un
comparador LM339.
Figura 5.1Esquema de control propuesto
Dada la función de trasferencia en la ecuación 5.1, se presenta luego, el esquema
circuital a implementar en Pspice
100
80
)(


s
sGp (5.1)
Figura 5.2Esquema del controlador implementado en Pspice
En la figura 5.2 observarse el esquema eléctrico del controlador, donde se utiliza un
LM339 como comparador de ventana inversor, con alimentación no simétrica. La
implementación del sistema de control mediante un comparador con histéresis tiene la
A


ccV
1R
compV
1R
3R
pull upR 
inv

ventaja de que no presenta oscilaciones en el voltaje de salida cuando la tensión de
entrada esta próxima a la de referencia.
Este comparador, conmuta de la tensión de salida del AO en función de la tensión
diferencial vista entre sus entradas. Así para Vent> Vref la tensión de salida tiende a cero
( 0outV V ), y para Vent< Vref la señal de salida del comparador es out CCV V .
Los dos casos a proyectar en este ítem y sus respectivas condiciones son:
1º Caso:
VCC=18V; VA2=9,5V; VA1=10V; R3=470kΩ
Donde VA2 y VA1 son los límites inferior y superior de la banda de histéresis.
Para el dimensionar del circuito de la figura 5.2, se plantea la siguiente relación entre
R1 y R3:
1
3 1
0,5
0,053
9,5A
R H V
R V V

  
(5.2)
Por lo que R1 resulta:
1 30,053. 0,053 470 24,74 22 3,3R R k k k k         (5.3)
Como el valor calculado de R1 no se encuentra en la serie E12, se adoptan dos
resistores en serie de 22kΩ y 3,3kΩ
Para hallar R2 se presenta a continuación en la ecuación 5.4, de la cual se despeja R2
2
1
1 3
2
1 3
CC
A
V R
V
R R
R
R R



(5.4)
1 3 1
2
1 2 1
A
CC A
R R V
R
R R V V
 
  
  
(5.5)
Reemplazando los valores dados como datos, en la ecuación 5.5 se obtiene:
2 29,38 27 3,3R K K K     (5.6)

Finalmente, se determina el valor de la Rpu. Observando la hoja de datos del AO
LM339 que para configuraciones similares a la que hemos planteado, el fabricante
recomienda un resistor entre 3kΩ y 6,2kΩ; por lo que se adopta
3,3puR K  (5.7)
A continuación, se presenta el esquema circuital del controlador a implementar en
conjunto con la función de transferencia del proceso:
Figura 5.3Esquema de la planta en conjunto con el controlador implementado.
A partir de circuito de la figura 5.3, se obtienen los gráficos del sistema en lazo cerrado
obtenidos mediante simulación con Pspice (Schematics):
Figura 5.4Gráfica de la respuesta de la planta con la implementación del controlador

ON-OFF.
En la figura 5.4 puede observarse que la respuesta del sistema se estabiliza en torno
al valor régimen permanente en 12ms aproximadamente. Además, en régimen
permanente el valor de tensión oscila entre los límites de tensión inferior y superior que
definen la ventana de histéresis del controlador.
Figura 5.5Gráfica de la tensión de salida de la planta y acción de control
En la figura anterior, puede apreciarse la variación de la tensión de salida del
controlador. Mediante la implementación de controladores ON-OFF con histéresis
podemos controlar el valor final al que tiende la respuesta del sistema mediante la
definición del centro de la ventana, y las oscilaciones en régimen permanente se
pueden controlar regulando ∆H.
Finalmente se presenta la gráfica de la ventana de histéresis para el controlador
proyectado:
Figura 5.6Ciclo de Histéresis.

2º Caso:
VCC=15V; VA2=10V; VA1=10,05V; R3=500kΩ
Donde VA2 y VA1 son los límites inferior y superior de la banda de histéresis,
respectivamente.
Para el dimensionamiento del circuito de la figura 5.2 se utiliza la ecuación 5.2
1
1 3
3 1
0,05
0,005 0,005.
10A
R H V
R R
R V V

     (5.8)
1 2,5 2,2 390R K K     (5.9)
Para hallar R2 se utiliza la ecuación 5.5
1 3 1
2
1 2 1
A
CC A
R R V
R
R R V V
 
  
   (5.10)
Reemplazando los valores en la ecuación (5.10) se obtiene:
2 5,05 4,7 390R K K     (5.11)
Rpu se adopta del mismo valor que en el caso 1.
3,3puR K  (5.12)
Implementando el circuito de la figura 5.3, pero reemplazando los nuevos valores, se
presentan los gráficos del sistema en lazo cerrado obtenidos mediante simulación con
Pspice:
Figura 5.7Gráfica de la respuesta de la planta con la implementación del controlador

ON-OFF.
Figura 5.8Gráfica de la tensión de salida de la planta y del controlador
En las figuras 5.7 y 5.8 se observa, que la respuesta del sistema en el 2do
caso, posee un mayor tiempo de establecimiento y menor amplitud en las
oscilaciones en régimen permanente. Pero el tiempo de establecimiento es
mayor, esto se debe al incremento en el valor de resistencia de realimentación
(R3), con lo cual se aumentó el factor de amortiguamiento del sistema; y la
disminución en las oscilaciones en régimen permanente se debe a la
disminución del ancho de la ventana de histéresis del AO.
Finalmente se presenta en la figura 5.9 la gráfica de la ventana de histéresis
para el controlador proyectado:
Figura 5.9: Ciclo de Histéresis.

En conclusión, para seleccionar la resistencia Rpu se debe tener en cuenta de que la
misma debe ser elevada, para evitar la elevada disipación del transistor de salida del
amplificador operacional y lo suficientemente baja para poder drenar la corriente
necesaria de la fuente a la carga conectada a la salida del AO. Además, cabe destacar
que con componentes muy simples se puede implementar un sistema de control ON-
OFF eficiente y con excelentes prestaciones.
(Resuelto por: Hoff Romina)

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