Materia operativa

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

PORTAFOLIO DEL DOCENTE

ESTUDIANTE: YESENIA HERNÁNDEZ
DOCENTE: MSC. JORGE POZO

SÉPTIMO “B”

JORNADA VESPERTINA

SEPTIEMBRE 2011 - FEBRERO 2012

Tulcán – Ecuador

INTRODUCCIÓN
Las desigualdades en base a las ciencias serán entendidas con profundidad
antes de poder ser analizadas desde el punto de vista histórico. De tal forma
que no es fácil instituir los orígenes de la Investigación Operativa, No obstante,
es necesario relacionar el nacimiento de la Investigación de Operaciones, con
el transcurso de la II Guerra Mundial.

La Investigación Operativa es un conjunto de técnicas que han brotado para
coordinar la teoría con la práctica, para ayudar a resolver los problemas
administrativos, financieros, económicos cada vez más complicados que
surgen en la empresa. El objeto de estudio de la Investigación Operativa es la
toma científica de decisiones mediante el empleo detécnicas cuantitativas.

En el presente módulo intervendrán los temas a estudiar los cuales son:
Problemas de la investigación operativa. Método gráfico, método simplex,
métodos dual y primal, metodología de la investigación operativa y la aplicación
del método de transporte.

El Método Grafico permite el análisis sistemático y objetivo a base de factor
económico, administrativo etc, método mediante el cual permite obtener datos
cuantitativos con lo que permite llegar a una posible toma de decisiones.

Método simplex y problema dual: Análisis económico y su interpretación del
modelo dual. Incorporación de otras restricciones y/o nuevas variables de
decisión.

De la misma forma la investigación de operaciones se vincula con la
Planificación de proyectos a través de los cuales se fundamenta la solución de
problemas del entorno ya sea económico, político, administrativo, social,
ambiental, financiero, etc.

CONVERSIONES DE UNIDADES

La conversión de unidades es la transformación de una unidad en otra.Este
proceso se realiza con el uso de los factores de conversión y las muy útiles
tablas de conversión.

Bastaría multiplicar por una fracción (factor de conversión) y el resultado es
otra medida equivalente, en la que han cambiado las unidades. Cuando el
cambio de unidades implica la transformación de varias unidades se pueden
utilizar varios factores de conversión uno tras otro, de forma que el resultado
final será la medida equivalente en las unidades que buscamos, por ejemplo si
queremos pasar 8 metros a yardas, lo único que tenemos que hacer es
multiplicar 8 x (0.914)=7.312 yardas.

LONGITUD

 1 km = 1000 metros (m)
 1 metro = 100 centímetros (cm), 1000 milímetros (mm)
 1 milla = 1609 metros (m)
 1 pie = 30.48 centímetros (cm), 0.3048 metros (m)
 1 pulg = 2.54 centímetros (cm)
 1 año luz = metros (m)

EJEMPLOS

1.- Tengo una longitud de 700000 milímetros (mm) y se quiere llegar a millas.
Realice dicho cálculo.

2.- Un automotor recorre desde la ciudad de Tulcán hasta Portoviejo y tiene
una distancia de 758.24 millas ¿Determinar que distancia recorrido el automóvil
en pulgadas?

3.- Un basquetbolista de la NBA mide 5 pies y 12 pulgadas. Determinar la
estatura de este atleta en centímetros (cm) y metros (m).

1.52 m+0.30 m = 1.82 m

152.40 cm+30.48cm = 182.88cm

TIEMPO

 1 año = 365 días
 1 mes = 30 días
 1 semana = 7 días
 1 día = 24 horas
 1 hora = 60 minutos, 3600 segundos
 1 minuto = 60 segundos

EJEMPLOS

1.-Tengo 72300000 segundos (s) y se quiere llegar a meses. Realice dicho
cálculo.

2.- Tengo 10 años y se quiere llegar a minutos. Realice dichocálculo.

MASA

Una cantidad de escalar que indica el número y unidad, también la masa es
igual en cualquier lugar del universo, la masa en Tulcán es igual a la masa que
en Francia y la masa en Tulcán es igual a la masa de la luna.Generalmente los
objetos se masan en una balanza.

Kg Se miden en la balanza

PESO

Se la considera una cantidad vectorial y es multiplicar la masa por la gravedad.

)

Niutones que se miden en dinamómetro.

SISTEMAS DE CONVERSIÓN DE MASA

 1 tonelada = 20 quintales (qq), 1000 kilogramos (kg),
910kilogramos (kg) en inglés.
 1 quintal (qq) = 4 arrobas, 100 libras (lbs)
 1 arroba = 25 libras (lbs)
 1 kg = 2.2 libras (lbs)
 1 sulg = 14.58 kilogramos (kg), Inglés – Europa
NOTACIÓN CIENTIFICA
 1 utm = 9.8 kilogramos (kg), Inglés – Europa
 1 kg = 1000 gramos (g)
Base Exponente

N=C U

1 entero con 2 decimales Unidad

37650000000 = 3765.4321000 =

0.000000007889 = 0.0070004832 =

= 0.0000734 m = 73645 m

= 7365210790000 s

Esto nos obliga a transformar una de las dos unidades, de forma que ambas
sean la misma, para no violar el principio de homogeneidad y que el cálculo
sea acertado.

Para realizar la transformación utilizamos los factores de conversión. Llamamos
factor de conversión a la relación de equivalencia entre dos unidades de la
misma magnitud, es decir, un cociente que nos indica los valores numéricos de
equivalencia entre ambas unidades. Por ejemplo, en nuestro caso, el factor de
conversión entre horas y segundos viene dado por la expresión:

O la equivalente , ya que 1 hora = 3600 segundos

Para realizar la conversión, simplemente colocamos la unidad de partida y
usamos la relación o factor adecuado, de manera que se nos simplifiquen las
unidades de partida y obtengamos el valor en las unidades que nos interesa.
En nuestro caso, deseamos transformar la velocidad de Km/hora a
Km/segundo, por lo cual usaremos la primera de las expresiones, ya que así
simplificamos la unidad hora:

Si tenemos que transformar más de una unidad, utilizamos todos los factores
de conversión sucesivamente y realizamos las operaciones. Por ejemplo,
transformemos los 72 Km/h a m/s:

Con el fin de utilizar siempre el mismo sistema de unidades y tener un criterio
de homogeneización, utilizamos el Sistema Internacional de Unidades. En este
sistema tenemos 7 magnitudes y sus correspondientes unidades que llamamos
fundamentales, mientras que el resto de unidades son derivadas, es decir, se
expresan en función de las fundamentales. Las magnitudes y unidades
fundamentales en el Sistema Internacional son:

El resto de las unidades se expresan en función de esas siete, como por
ejemplo la velocidad, que viene dada en función de longitud/tiempo.

Algunas unidades se les asignan un nombre especial como homenaje a un
determinado científico, como la de Fuerza, que es el newton, recordando a
Isaac Newton.

FÓRMULAS DEL VOLÚMEN

Vol. =
Vol. = π Vol. = l x a h

Trabajo EN CLASE

1.- Convertir 1 libra en gramos

2.- Convertir 20 toneladas a slug

VOLÚMEN

Es la capacidad que tiene un sólido, líquido, gas de ocupar un lugar en el
espacio.

 1 litro = 1000 , 1000 ml
 1 = 1000000 ,
 1 galón = 4 litros, en Ecuador
 1 galón = 3.758 litros, en Estados Unidos

ÁREA

Generalmente se mide en metros cubicos.

 = ,
 1 hectarea = 10000
 1 acre = 4050

A=

A 100 m
A=

A = 10000

100 m

Un atleta tiene una longitud de 5 pies y 11 pulgadas. Determinar la
estatura de dicho atleta en centímetros (cm) y metros (m).

1.52 m+0.28 m = 1.80 m

152.40 cm+27.94cm = 180.34cm

pie
milla
km
LONGITUD
metro pulgada
CONVERSIONES DE MEDIDA

años luz
kg

slug
utm
Tonelada qq
MASA
arroba kg
gramos
libras

ÁREA
litro m3
VOLUMEN
galón
hectarea
acres

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) La base b de una pirámide cubre un área de 13 acres (1 acre=43560
) tiene una altura de 5772 pulgadas.
El volumen de una pirámide se calcula de la b x h, donde b es el

área de la base y h es altura, encuentre el volumen de la pirámide ( ).

2) Calcular cuántos granos de arena hay en un tramo de playa de 0,5 km
de largo x 100m de ancho y una profundidad de 3 m, se sabe que el
diámetro de un grano de arena es alrededor de 1 mm.

3) Un galón de gasolina se vende a $ 1.45 por galón. Calcular el precio del
litro de gasolina si un galón americano vale 3.785 litros.

4) La rapidez de la luz es aproximadamente convertir este valor

en .

5) Un pintor debe recubrir las paredes de una habitación que tiene 8 pies
de altura y 12 pies de largo. Calcular la superficie que tiene que recubrir
en de la habitación.

6) Una manguera contra incendios sufre 300 litros de agua por minuto.
Expresa, esta cantidad en /s. Determine cuantos kg de agua /s
equivale esto?

7) Para obtener aproximadamente el tamaño de una molécula se debe
tomar una gota de aceite y se lo deja que se extienda en una superficie
lisa de agua. Cuando la película de aceite adquiere su área máxima se
la denomina capa molecular (moléculas de aceite asentadas una a lado
de otra). Se sabe que una gota de aceite es de kg de masa y
una densidad de 920 kg/ metros.

Se entiende como una película de aceite con un área máxima de 0.55
. Determinar la longitud de una molécula de aceite.

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

NATURALEZA

Como su nombre lo indica, la investigación de operaciones significa "hacer
investigación sobre las operaciones". Entonces, la investigación de operaciones
se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de
operaciones (o actividades) dentro de una organización. La naturaleza de la
organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la investigación de
operaciones se ha aplicado de manera extensa en áreas tan diversas como la
manufactura, el transporte, la constitución, las telecomunicaciones, la
planeación financiera, el cuidado de la salud, la milicia y los servicios públicos,

por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama de aplicaciones es
extraordinariamente amplia.

La parte de investigación en el nombre significa que la investigación de
operaciones usa un enfoque similar a la manera en que se lleva a cabo la
investigación en los campos científicos establecidos. En gran medida, se usa el
método científico para investigar el problema en cuestión. (De hecho, en
ocasiones se usa el término ciencias de la administración como sinónimo de
investigación de operaciones.) En particular, el proceso comienza por la
observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección
de los datos pertinentes. El siguiente paso es la construcción de un modelo
científico (por lo general matemático) que intenta abstraer la esencia del
problema real. En este punto se propone la hipótesis de que el modelo es una
representación lo suficientemente precisa de las características esenciales de
la situación como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean
válidas también para el problema real. Después, se llevan a cabo los
experimentos adecuados para probar esta hipótesis, modificarla si es necesario
y eventualmente verificarla. (Con frecuencia este paso se conoce como
validación del modelo.) Entonces, en cierto modo, la investigación e
operaciones incluyen la investigación científica creativa de las propiedades
fundamentales de las operaciones. Sin embargo, existe más que esto.

HISTORIA

Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas,
cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la
administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada
investigación de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares
prestados a principios de la segunda guerra mundial. Debido a los esfuerzos
bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las
distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en
la forma más efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e
inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran
el método científico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. De
hecho, se les pidió que hicieran investigación sobre operaciones (militares).

Estos equipos de científicos fueron los primeros equipos de Investigación de
Operaciones. Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del nuevo
radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés. A través
de sus investigaciones para mejorar el manejo de las operaciones
antisubmarinas y de protección, jugaron también un papel importante en la
victoria de la batalla del Atlántico Norte. Esfuerzos similares fueron de gran
ayuda en la isla de campaña en el pacífico.

IMPACTO

La investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el
mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo.
En el proceso, la investigación de operaciones ha hecho contribuciones
significativas al incremento de la productividad dentro de la economía de varios
países. Hay ahora más de 30 países que son miembros de la International
Federation of OperationalResearchSocieties (IFORS), en la que cada país
cuenta con una sociedad de investigación de operaciones.

Sin duda, el impacto de la investigación de operaciones continuará
aumentando. Por ejemplo, al inicio de la década de los 90, el U.S. Bureau of
Labor Statistics predijo que la IO sería el área profesional clasificada como la
tercera de más rápido crecimiento para los estudiantes universitarios en
Estados Unidos, graduados entre 1990 y 2005. Pronosticó también que, para el
año 2005, habría 100 000 personas trabajando como analistas de investigación
de operaciones.

¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES?

 La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos
interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con
el control de las organizaciones o sistemas (hombre-máquina), a fin de
que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la
organización.

La investigación de operaciones o investigación operativa es una rama de las
matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos, estadística y
algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones.

Frecuentemente trata del estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad
de mejorar (u optimizar) su funcionamiento. La investigación de operaciones
permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de
recursos, para determinar cómo se puede optimizar un objetivo definido, como
la maximización de los beneficios o la minimización de costes.

A partir del inicio de la investigación de operaciones como disciplina, sus
características más comunes son:

 Enfoque de sistemas
 Modelado matemático
 Enfoque de equipo

Estas características prevalecieron a ambos lados del Atlántico, a partir del
desarrollo de la investigación de operaciones durante la Segunda Guerra
Mundial.

CARACTERÍSTICAS

1.-La Investigación de Operaciones usa el método científico para investigar el
problema en cuestión. En particular, el proceso comienza por la observación
cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección de datos
pertinentes.

2.-La Investigación de Operaciones adopta un punto de vista organizacional.
De esta manera intenta resolver los conflictos de interés entre los componentes
de la organización de forma que el resultado sea el mejor para la organización
completa.

3.-La Investigación de Operaciones intenta encontrar una mejor solución
(llamada solución óptima), para el problema bajo consideración.

ETAPAS

Las etapas de un estudio de Investigación de Operaciones son las siguientes:

Definición del problema de interés y recolección de los datos relevantes.
Formulación de un modelo matemático que represente el problema.
Desarrollo de un procedimiento basado en computadora para derivar
una solución al problema a partir del modelo.
Prueba del modelo y mejoramiento según sea necesario.
Preparación para la aplicación del modelo prescrito por la
administración.
Puesta en marcha.

TIPOS DE MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

1.- MODELO MATEMÁTICO

Se emplea cuando la función objetivo y las restricciones del modelo se pueden
expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables
de decisión.

2.- MODELO DE SIMULACIÓN

Los modelos de simulación difieren de los matemáticos en que las relaciones
entre la entrada y la salida no se indican en forma explícita. En cambio, un
modelo de simulación divide el sistema representado en módulos básicos o
elementales que después se enlazan entre si vía relaciones lógicas bien
definidas. Por lo tanto, las operaciones de cálculos pasaran de un módulo a
otro hasta que se obtenga un resultado de salida.

3.- MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES DE LA CIENCIA DE
LA ADMINISTRACIÓN

Los científicos de la administración trabajan con modelos cuantitativos de
decisiones.

4.-MODELOS FORMALES

Se usan para resolver problemas cuantitativos de decisión en el mundo real.
Algunos modelos en la ciencia de la administración son llamados modelos
determinísticos. Esto significa que todos los datos relevantes (es decir, los
datos que los modelos utilizarán o evaluarán) se dan por conocidos. En los
modelos probabilísticos (o estocásticos), alguno de los datos importantes se
consideran inciertos, aunque debe especificarse la probabilidad de tales datos.

5.- MODELODE HOJA DE CÁLCULO ELECTRÓNICA

La hoja de cálculo electrónica facilita hacer y contestar preguntas de “que si” en
un problema real. Hasta ese grado la hoja de cálculo electrónica tiene una
representación selectiva del problema y desde este punto de vista la hoja de
cálculo electrónica es un modelo.

FORMULACION: Deben plantearse
claramente el problema por que es
Imposible dar solucion a un problema mal
planteado

CONSTRUCCION DEL MODELO: Por
la caracteristica del modelo existen varos
CONEPTO: Es formas de plantear el problema segun
una ciencia que sus tareas y grados de abstracion.
usa el conjunta de Modelo Iconico, modelo Analogico
tecnicas para
resolver Modelo simbolico matematico
problemas del
contexto

DEDUCION DE SOLUCION: Hay que dar
la mejor solucion a los problemas utilizando
FASES la optimizacion de los recursos

PRUEBA DE MODELO: Se lo puede
LIMITACIONES realizar mediante datos pasados
1.Capacidad del comparando el rendimiento del sistema real
investigador y el del modelo
2.Costo de la
INVESTIGACION investigacion
OPERATIVA 3. Uso del
computador CONTROL: Hay que establecerlos debido
a un cambio significativo de los factores del
4. Falta de interes modelo
de las empresas
5.Sistemas
informaticos
EJECUCION: Es la solucion del problema
a travez del modelo

APLICACIONES
Ingenieria
Comercio
Banca
Mineria
Servicios publicos
Segurida industrial

ÁREAS DE APLICACIÓN

Podríamos pues indicar que la investigación de operaciones sólo se aplicará a
los problemas de mayor complejidad, sin olvidar que el simple uso de la
Investigación Operativa trae un costo, que de superar el beneficio, no resultará
económicamente práctico, algunos ejemplos prácticos donde usar Investigación
Operativa son:

 En el dominio combinatorio, muchas veces la enumeración es imposible.
Por ejemplo, si tenemos 200 trabajos por realizar, que toman tiempos
distintos y solo cuatro personas que pueden hacerlos, enumerar cada
una de las combinaciones podría ser. Luego los métodos de
secuenciación serán los más apropiados para este tipo de problemas.
 De igual manera, la Investigación Operativa, es útil cuando en los
fenómenos estudiados interviene el azar. La noción de esperanza
matemática y la teoría de procesos estocásticos suministran la
herramienta necesaria para construir el cuadro en el cual se optimizará
la función económica. Dentro de este tipo de fenómenos se encuentran
las líneas de espera y los inventarios con demanda probabilística.
 Con mayor motivo, la investigación de operaciones se muestra como un
conjunto de instrumentos precioso cuando se presentan situaciones de
concurrencia. La teoría de juegos no permite siempre resolverlos
formalmente, pero aporta un marco de reflexión que ayude a la toma de
decisiones.
 Cuando observamos que los métodos científicos resultan engorrosos
para nuestro conjunto de datos, tenemos otra opción, simular tanto el
comportamiento actual así como las propuestas y ver si hay mejoras
sustanciales. Las simulaciones son experiencias artificiales.

Es importante resaltar que la investigación de operaciones no es una colección
de fórmulas o algoritmos aplicables sistemáticamente a unas situaciones
determinadas. Si se cae en este error, será muy difícil captar en condiciones
reales los problemas que puedan deducirse de los múltiples aspectos de esta
disciplina, la cual busca adaptarse a las condiciones variantes y particulares de

los diferentes sistemas que puede afrontar, usando una lógica y métodos de
solución muy diferentes a problemas similares mas no iguales.

MÉTODO CIENTÍFICO

OBSERVACIÓN • MIRAR

FORMULACIÓN DE • DAR VARIAS IDEAS PARA UNA COSA
HIPÓTESIS

• DAR TODOS LAS PASOS SUFICIENTES PARA
EXPERIMENTACIÓN COMPROBAR SI ALGO ES VERDADERO O FALSO

• RECOLECTAR DATOS DEL EXPERIMENTO Y
FORMULACIÓN DE LEY LUEGO INTERPRETAR UNA LEY CUANTITATIVA Y
CUALITATIVA.

El método científico es un método de investigación usado principalmente en la
producción de conocimiento en las ciencias. Presenta diversas definiciones
debido a la complejidad de una exactitud en su conceptualización: "Conjunto de
pasos fijados de antemano por una disciplina con el fin de alcanzar
conocimientos válidos mediante instrumentos confiables.

El método científico está sustentado por dos pilares fundamentales. El primero
de ellos es la reproducibilidad, es decir, la capacidad de repetir un determinado
experimento, en cualquier lugar y por cualquier persona. Este pilar se basa,
esencialmente, en la comunicación y publicidad de los resultados obtenidos. El
segundo pilar es la reusabilidad. Es decir, que toda proposición científica tiene
que ser susceptible de ser falsada o refutada (falsacionismo). Esto implica que
se podrían diseñar experimentos, que en el caso de dar resultados distintos a
los predichos, negarían la hipótesis puesta a prueba.

El método científico es un proceso destinado a explicar fenómenos, establecer
relaciones entre los hechos y enunciar leyes que expliquen los fenómenos

físicos del mundo y permitan obtener, con estos conocimientos, aplicaciones
útiles al hombre.

Los científicos emplean el método científico como una forma planificada de
trabajar. Sus logros son acumulativos y han llevado a la Humanidad al
momento cultural actual.

Aunque podemos decir que no hay un sólo método científico o modelo clásico,
algunos factores son comunes a todos: una idea brillante del hombre, el trabajo
complementario de los científicos y de las ciencias, la verificabilidad, la
utilización de herramientas matemáticas, etc. También son comunes los
procedimientos descritos en este tema.

Toda investigación científica se somete siempre a una "prueba de la verdad"
que consiste en que sus descubrimientos pueden ser comprobados, mediante
experimentación, por cualquier persona y en cualquier lugar, y en que sus
hipótesis son revisadas y cambiadas si no se cumplen.

PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lineal tiene fases como:

1. Plantear el problema
2. Análisis y una argumentación
3. Sacar datos e incógnitas
4. Dar una solución al problema (maximización y
minimización)
5. Comparación con datos o problemas similares
6. Ejecución (toma de decisiones).

Al graficar diferentes restricciones y se genera una figura geométrica
que está incluida el origen; se maximiza; y si el pintado está fuera de la
figura, se minimiza; formándose de esta manera la zona básica factible.

La zona no factible es cuando los pintados no se cruzan y la solución
será una zona vacía.
La Programación Lineal es una clase de modelos de programación
matemática destinados a la asignación eficiente de los recursos
limitados en actividades conocidas, con el objeto de satisfacer las metas
deseada (tal como maximizar beneficios o minimizar costos). La
característica distintiva de los modelos de Programación Lineal es que
las funciones que representan el objetivo y las restricciones son
lineales o sea inecuaciones o ecuaciones de primer grado.
La Programación Lineal tuvo su orígenes a raíz de la segunda Guerra
mundial cuando George Datzin, quien realizo investigaciones y
aplicaciones en distintos casos de operación aéreo-militar.
Leonfiel aporto principalmente en relaciones interindustriales a través de
su Matriz de Insumo-Producto.
Koopmans, incursionó profundamente en aplicaciones microeconómicas
resolviendo casos de producción, asignación de recursos, maximización
de beneficios y minimización de costos, etc.
La Programación Lineal es un modelo sistemático y matemático de
enfocar determinado problemas para lograr una solución óptima o la
mejor posible, empleando una ecuación objetivo (propósito del
problema), un conjunto de restricciones lineales y una condición de
eliminar valores negativos (condición de no negatividad).

OBJETIVOS Y APLICACIONES

El objetivo básico de la Programación Lineal es encontrar soluciones
mediante métodos matemáticos, utilizando sistemas lineales, a
problemas de carácter técnico-económico que se presentan por la
limitación de recursos.
A través de la Programación Lineal se puede resolver interesantes caos
tales como: combinación optima de mezclas de producción, disposición
interna de procesos, maximización de beneficios, localización,
asignación de recursos, minimización de costos, transportes entre los
más sobresalientes.
En cuanto al área de aplicación se resuelven casos en la industria en
general y dentro de esta con mejores opciones en la industria química,
hierro y acero, papel y carta, petróleo, farmacéuticos, alimenticios y
textil.
Se han realizado aplicaciones también en la agricultura, construcción,
aviación sistemas hidroeléctricos, transporte, etc.

MODELOS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1. De lo macro a lo micro (vertical)

VARIABLE M (A) M (B) M (C) UTILIDAD
Chaquetas (x) 5 3 2 6
Sacos (y) 1 2 1 3
Horas
40 30 70
disponibles

2. De lo micro a lo macro (horizontal)

Horas
VARIABLE Chaquetas Sacos disponibles
M (A) 5 1 40
M (B) 3 2 30
M (C) 2 1 70
Utilidad 6 3

Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente
usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en
ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones
importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.

Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en Modelos Determistas
(MD) Modelos Estocásticos (ME). En el primer caso (MD) se considera que los
parámetros asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta, a
diferencia de los Modelos Estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de
los parámetros tienen una distribución de probabilidad asociada. Los cursos
introductorios a la Investigación Operativa generalmente se enfocan sólo en
Modelos Determistas.

MÉTODO GRÁFICO

Pasos para el Modelo Gráfico
1. Las desigualdades se transforman a igualdad,
2. Elaboramos la tabla de valores para graficar las desigualdades y
pintamos con colores.
3. Determinamos la figura geométrica para señalar los puntos que se
cruzan todas las líneas.
4. Determinar los parees ordenas ordenados que están sobre los ejes
resolvemos por sistema de ecuaciones por cualquier método matemático
encontrando los valores del par ordenado.
5. Los valores de pares ordenados los reemplazamos en la función
objetiva.
6. Los valores del par ordenado ya reemplazados en la función objetiva.

7. Los valores del par ordenado ya reemplazados en la función objetivo
determinamos sus valores más grandes y más pequeños, el valor más
alto significo maximizar y el valor más pequeño significa minimizar.

APLICACIÓN DEL PROGRAMA GRAPH

PROCEDIMIENTOS
AL ingresar al escritorio de nuestro computador podemos encontrar el siguiente
icono.

Este Icono es propio del programa en el cual cliqueamos dos veces para
ingresar a este.

Ya ingresados al programa vamos a tener tres áreas principales las cuales
son:

Área de menú
Área de gráficos
Área de trabajo o de entrada

Dentro del área de Menú tenemos dos barras

La barra de menú
La barra de accesos directos

BARRA DE MENÚ

Dentro de esta barra vamos a encontrar lo siguiente

ARCHIVO

Dentro de archivo vamos a encontrar herramientas las cuales nos van a ayudar
a crear un nuevo documento imprimir el documento importarlo desde cualquier
parte de nuestro computador entre otras herramientas que detallamos a
continuación.

NUEVO

Esta herramienta nos ayudará a crear un nuevo documento de Graph

ABRIR

Esta herramienta nos permite abrir un cuadro de diálogo el cual nos permitirá
buscar un documento que guardamos anteriormente para poder editarlo.

GUARDAR Y GUARDAR COMO

Estas dos herramientas son similares ya que las dos nos pueden ayudar a
guardar nuestro documento.

Pero cabe recalcar que Guardar graba el documento automáticamente sin
ningún cambio de nombre o del tipo de formato que queremos darle a nuestro
documento, mientras que GUARDAR COMO nos permite realizar este proceso
y que al darle click nos aparece un cuadro de dialogo el cual si nos permite
realizar lo que a GUARDAR no.

GUARDAR COMO IMAGEN

Nos permite guardar nuestro documento como una imagen en los siguientes
formatos

IMPORTAR

Nos permite importar dos formas como son

Archivos de Graph

Serie de puntos

Al momento de escoger cualquiera de estas opciones podemos importar desde
otra parte de nuestro computador documentos de los siguientes formatos para
editarlos ya sean los casos de:

Archivo de Graph

Serie de puntos

IMPRIMIR

Nos permite imprimir el documento desde nuestro computador hacia cualquier
impresora conectada al equipo.

SALIR

Nos permite salir del programa

EDITAR

DESHACER Y REHACER

Estas herramientas nos permiten borrar y recuperar una acción.

CORTAR, COPIAR y PEGAR

Nos permiten cortar copiar o pegar una área seleccionada dentro del Área de
trabajo.

COPIAR IMAGEN

Copia por completa la imagen del área de trabajo.

EJES y OPCIONES

EJES

Nos permite en el caso de los ejes configurarlos de la mejor forma para realizar
nuestro trabajo

OPCIONES

Encontramos herramientas que nos permiten configurar acciones para las
herramientas de hacer, deshacer, escala a trabajar e idioma.

FUNCIÓN

Esta es la herramienta más importante para nosotros poder aplicar la
Investigación operativa ya que mediante esta herramienta vamos a poder
introducir las restricciones planteadas dentro de nuestro modelo matemático.
Consta de once sub herramientas de las cuales vamos a utilizar tres ya que
estas nos permitirán realizar la gráfica de las restricciones de nuestro modelo
por el método grafico.

Para ingresar las restricciones de nuestro modelo vamos a tomar un ejemplo
para explicar el ingreso de los datos.

INGRESO DE LOS DATOS

PRIMER PASO.-Ejecutamos el programa y nos dirigimos a la opción Insertar
resolución (X<Y) que se encuentra en la herramienta de función o también en
la barra de accesos directos como se indica en las imágenes

SEGUNDO PASO.- Ingresamos las restricciones siguientes; correspondientes
en este caso en la herramienta anteriormente explicada.

2.-

1.-

<TERCER PASO.- Luego de haber insertado las dos ecuaciones podemos
modificar los estilos, colores y grosor a la preferencia del usuario así.

a) Para poder cambiar el color de la gráfica damos dos click en el punto
señalado en la siguiente imagen.

b) Luego de esto nos aparecerá el cuadro siguiente donde vamos a poder
cambiar el estilo de líneas, colores de líneas y grosor para observar
notablemente la Zona Factible Básica.

c) Ya elegido el tipo de línea color y grosor nos quedará la gráfica de la
siguiente forma.

d) Luego procedemos a determinar la zona básica factible la cual está dada por
los puntos de intersección entre las gráficas los cuales los debemos determinar
despejando las desigualdades mediante el proceso matemático normal.

1.- X Y 1.- 4 X y

0 0

0- 0 -4
0 20 0 25
0– 0–4

0- 0-

0 5

1.- X Y 1.- X Y

4

13.33 0 12.5 0

e) Obtenidos los puntos procedemos a ingresar en el programa para verificar si
esta correcta la ZONA BASICA FACTIBLE.

- Para ingresar los puntos damos click en la siguiente herramienta.

- Al aparecernos el cuadro de dialogo ingresamos los puntos en la zona
marcado con rojo en la siguiente figura.

- Ubicada ya el área donde vamos a ingresar los datos procedemos a
copiar los datos.

- Para encontrar el punto de intersección realizamos también el proceso
matemático normal es decir igualamos las dos ecuaciones

1.- 2.- 4

0- 0

0- /2 0 - 4 /2

0- /2 = 0 - 4 /2 Reemplazamos en 1

2 0- =2 0 - 4 0– /2

80 – 6x = 100 – 8 x y= (40 – 30 ) / 2

8x-6x = 100-80 y= 10/ 2

2x= 20 y= 5

X= 20/2

X= 10

- Encontrado el punto de intersección realizamos también el ingreso de
los datos realizando los pasos anteriores del literal e) específicamente
los dos primeros.

- Ya graficados todos los puntos señalaremos la zona básica factible la
cual está resaltada de color tomate.

CUARTO PAZO.- al momento de obtener la gráfica procedemos a imprimirla o
también se la puede exportar a un archivo de texto o imagen como ya antes lo
habíamos explicado en la opción de Editar – Copiar Imagen.

ZOOM

Mediante la utilización de lupas nos permite realizar las siguientes acciones:

ACERCAR

Acerca la imagen es decir acerca la presentación del sistema de coordenadas

ALEJAR

Aleja la imagen es decir aleja la presentación del sistema de coordenadas.

SELECCIONAR

Selecciona o recorta una Subarea del área de gráficos para realizar un
acercamiento o un alejamiento del sistema de coordenadas

ESCALA UNIFORME

Permite obtener un tipo de escala igual en los dos ejes el X y el Y.

NORMALIZADO

Permite como su palabra lo indica regresar la escala a su normalidad es decir
nos permite regresar ea la escala normal con la que iniciamos nuestro trabajo
en Graph.

MOVER EL SISTEMA

Permite mover el sistema de coordenadas sosteniendo el ratón.

EJERCICIOS EN CLASE

MÉTODO GRÁFICO

Resolver las siguientes desigualdades:

1.

X 0 2/3

Y 0.5 0

2.

-2y ≥ 12 - 3x (-1)
2y ≤ 3 x - 12
y≤

y=

X 0 4

Y -6 0

3.

2y = 7 – x
y=- +

X 0 7

y 3.5 0

y = -2x + 6

X 0 3

Y 6 0

-x – 2y ≤ - 4 (-1)
x + 2y ≥ 4
2y = -x + 4
y=- +2

X 0 4

Y 2 0

6.

X 0 4

Y 12/5 0

7.

y = -3x

X 0 -1

Y 0 3

y< 2x + 4 (1)

x≥-2 (2)
y< 1 (3)

(1) y = 2x + 4

x 0 -2

y 4 0

(2) x = - 2

x 0 2

y 0 -2

(3) y=1

X 0 2

Y 1 1

3x + y > - 6 (1)

X–y>-5 (2)
x≥0 (3)
(1) 3x + y = - 6
y = - 3x – 6

x 0 -2

y -6 0

(2) x – y > - 5 (-1)
-x + y < 5
y= x+5

x 0 -5

y 5 0

(3) x = 0

X 0 0

Y 1 2

Minimizar

z=x+y
Sujeta a

x–y≥0 (1)
4x + 3y ≥ 12 (2)
9x + 11y ≤ 99 (3)
x≤8 (4)
x,y ≥ 0

(1) x–y≥0 (-1)
-x + y ≤ 0
y=x

X 0 2 5

Y 0 2 5

(2) 4x + 3y = 12
3y = - 4x + 12
y=- x+4

x 0 3

y 4 0

(3) 9x + 11y = 99
11y = -9x + 99 A(3;0) (1) x-y=0 (3)
y=- x+9 B(8;0) (2) 4x+3y=12

C(8;2,5)
D(5;5) (1) 3x-3y=0
E(?;?);(1,7;1,7) (2) 4x+3y=12
7x =12

x = 1,7 en 1
X 0 3

Y 4 0

(4) x=8
(1) 1,7 – y = 0

y = 1,7

x 8 8

y 2 4

SOLUCIÓN:
Z(A)=3+0=3
Z(B)=8+0=8
Z(D)=5+5=10
Z(E)=1,7+1,7=3,4

Mínimo: 3 para x=3
y=0

Minimizar

Z = 7x + 3y
Sujeta a

3x – y ≥ - 2 (1)
x+y≤9 (2)
x – y = -1 (3)
x,y ≥ 0 (4)

(1) 3x – y ≥ - 2 (-1)
*-3x + y ≤ 2
y = 3x + 2

X 0 2

Y 2 8

(2) x + y = 9
y = –x + 9

x 0 9

y 9 0

(3) x- y = - 1
-y = - x – 1 (-1)
SOLUCIÓN:
y=x+1
Z(A) =7(0) + 3(1) = 3
Z(B) =7(4) + 3(5) = 43
x 0 4
Mínimo: 3 para x=0 y=1
y 1 5

A(0;1)
B(4;5)

Minimizar

C = 2x + 2y

Sujeta a

x + 2y ≥ 80 (1)
3x + 2y ≥ 160 (2)

5x + 2y ≥ 200 (3)
x,y≥ 0 (4)
(1) x + 2y = 80
2y = -x + 80
y = - + 40

x 0 80

y 40 0

(2) 3x + 2y = 160

2y = - 3x + 160
y = - x + 80

x 0 40 20

y 80 20 50

(3) 5x + 2y = 200

2y = - 5x + 200
y = - x + 100

x 0 40

y 100 0

A(40;20) ((A)=2(40)+2(20)=120
B(80;0) ((B)=2(80)+2(0)=160
C(20;50) ((C)=2(20)+2(50)=140

D(0;100) ((D)=2(0)+2(100)=200

PRODUCCIÓN PARA UTILIDAD MÁXIMA
Mínimo: 120 para x=40 y=20

Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos
juguetes, muñecos y soldados con base a la información concerniente a los
tiempos para la producción de la tabla.Cada muñeco requiere de 2 horas en la
maquina (A), 1 hora en la maquina (B) y 1 hora en el acabado, la maquina (A )
dispone de 70 horas, la maquina (B) de 40 horas y los acabados de 90 horas, en
cambio los soldados para la producción necesitan 1 hora en la maquina (A), 1 hora
en la maquina (B) y 3 horas para los acabados, si en cada muñeca gana 4 dólares
y en los soldados 6 dólares.

¿Cuantos juguetes de cada uno debe producir por cada semana el fabricante con
el fin de maximizar su utilidad?

VARIABLES Maq. (A) Maq. (B) Acabados Utilidad
Muñecas (x) 2 1 1 4
Soldados (y) 1 1 3 6
Horas
70 40 90
disponibles

Función Objetivo: z = 4x +6y

Restricciones: 2x + y 70
x+y 40
x + 3y 90

El punto de origen no se toma en cuenta para maximizar ni minimizar.

2x + y 70 x+y 40 x + 3y 90

y 70 – 2x y 40 – x 3y 90 – x

y = 70 – 2x y = 40 – x

X Y X Y X Y
0 40 0 30
0 70
40 0 90 0
35 0

a) (0; 30)
y = 40 - x
b) 40 – x = y = 40 – 15
y = 25
120 – 3x = 90 – x
120 – 90 = -x + 3x (15; 25)
30 = 2x
x = 15

y = 70 - 2 x
y = 40 – 2(30)
y = 70 – 60
y = 10

(30; 10)

c) 70 – 2x = 40 – x
70 – 40 = -x +2x
X = 30

d) (35; 0
e) (0; 0)

Z = 4x + 6y

Z(A) = 4(0) + 6(30) = 180

Z(B) = 4(15) + 6(25) = 210

Z(C) = 4(30) + 6(10) = 180

Z(D) = 4(35) + 6(0) = 140

Ganancia de 210 dólares construyendo las 15 muñecas y los 25 soldados.


2. x –y < 1
1. y – 3x < 5
y–x<1
2x – 3y > -6

x–y>4
3. 2y < 4x + 2
4. x<2
y < 2x + 1

y>-5

5. 2x + y ≥ 6
x≤ y
6. 2x – 3y > - 12
y≤ 5x + 2
3x + y > - 6

y>x

7.MAXIMIZAR 8. MAXIMIZAR

Sujeta a Sujeta a:

9. Minimizar 10. Minimizar
z=x+y Z = 20x + 30y
Sujeta a
Sujeta a
x–y≥0
4x + 3y ≥ 12 2x + y ≤ 10
9x + 11y ≤ 99 3x + 4y ≤ 24

x≤8 8x + 7y ≥ 56
x,y ≥ 0 x,y ≥ 0

11. Minimizar 12. Minimizar
Z = 7x + 3y C = 3x + 2y
Sujeta a
Sujeta a

3x – y ≥ - 2
x+y≤9
x – y = -1
2x + y ≥ 5
x,y ≥ 0
3x + y ≥ 4
x + 2y ≥ 3
x,y ≥ 0

MÉTODO SIMPLEX

Es una parte de la programación lineal que permite resolver con menos datos y
más incógnitas y se utiliza el método de las matrices.

Pivoteo:

Este se resuelve con tres ecuaciones con más de tres incógnitas.

Sistema de desigualdad formado de una función objetivo que generalmente
proviene de los costos y las utilidades.
Restricciones bienes del problema que se plantea pero también se incluirán
dos símbolos.

Variables estructurales

Variables de holgura

Variables artificiales

Permite resolver problemas de maximización y minimización para llegar a una
toma de decisiones.

1. Aparecen en todos los problemas de la matriz simplex estas pueden tener
signo (+ ó -).
2. Son (+) cuando se maximiza y (–) cuando se minimiza.
3. Aparecen cuando se minimiza y también cuando da una igualdad.

Cuando se maximiza el símbolo de las restricciones será que son las
utilidades.
Cuando se minimiza el símbolo de las restricciones será que son los
costos, gastos o pérdidas.
Para las restricciones se puede tener también (=) o la restricción puede tener
los tres símbolos, ( , , =).
Los términos independientes siempre serán positivos pero si tienen signo
negativo se cambia de signo multiplicando (-1) y es así que también cambia
los signo.

Ejemplo: (-1)

4

1.

2.
3.

1.
2.

1.
2.

El Método Simplex consiste en un algoritmo iterativo que secuencialmente a través
de iteraciones se va aproximando al óptimo del problema de Programación Lineal
en caso de existir esta última.

La primera implementación computacional del Método Simplex es el año 1952
para un problema de 71 variables y 48 ecuaciones. Su resolución tarda 18 horas.
Luego, en 1956, un código llamado RSLP1, implementado en un IBM con 4Kb en
RAM, admite la resolución de modelos con 255 restricciones.

El Método Simplex hace uso de la propiedad de que la solución óptima de un
problema de Programación Lineal se encuentra en un vértice o frontera del
dominio de puntos factibles (esto último en casos muy especiales), por lo cual, la
búsqueda secuencial del algoritmo se basa en la evaluación progresiva de estos
vértices hasta encontrar el óptimo. Cabe destacar que para aplicar el Método
Simplex a un modelo lineal, este debe estar en un formato especial conocido
como formato estándar el cual definiremos a continuación.

FORMA ESTÁNDAR DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Consideremos un modelo de Programación Lineal en su forma estándar, que
denotaremos en lo que sigue por:

Min c1x1 + c2x2 +... + cnxn
suj a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
... ... ...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
xi >= 0, i = 1, 2, ..., n y m <= n

Matricialmente escrito como:

Min cTx
suj Ax = b
x >= 0

No existe pérdida de generalidad en asumir que un modelo de PL viene dado en
su forma estándar:

EJEMPLO

P) Max 9u + 2v + 5z
suj 4u + 3v + 6z <= 50
u + 2v - 3z >= 8
2u - 4v + z = 5
u,v >= 0
z e IR

1. Siempre es posible llevar un problema de maximización a uno de
minimización. Si f(x) es la función objetivo a maximizar yx* es la solución
óptima f(x*) >= f(x), para todo x factible. -f(x*) <= - f(x), para todo x factible.
En consecuencia: x* es también mínimo de -f(x).
2. Cada restricción del tipo <= puede ser llevada a una ecuación de igualdad
usando una (nueva) variable de holgurano negativa, con coeficiente nulo
en la función objetivo.
3. Cada restricción del tipo >= puede ser llevada a una ecuación de igualdad
usando una (nueva) variable de exceso no negativa, con coeficiente nulo
en la función objetivo.
4. Siempre es posible escribir una variable libre de signo como la diferencia de
dos variables no negativas.

Considerando la siguiente notación: u = x1, v = x2, z = x3 - x4, s1 = x5 (holgura),
s2 = x6 (exceso), el problema P) puede ser escrito en forma equivalente como:

Min - 9x1 - 2x2 - 5x3 + 5x4 + 0x5 + 0x6
suj 4x1 + 3x2 + 6x3 - 6x4 + x5 = 50

x1 + 2x2 - 3x3 + 3x4 - x6 = 8
2x1 - 4x2 + x3 - x4 = 5
xi >= 0, i=1,2,3,4,5,6.

PREPARANDO EL MODELO PARA ADAPTARLO AL MÉTODO
SIMPLEX

Esta es la forma estándar del modelo:

Función objetivo: c1·x1 + c2·x2 + ... + cn·xn

Sujeto a: a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1
a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2
...
am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bm
x1,..., xn ≥ 0

Para ello se deben cumplir las siguientes condiciones:

1. El objetivo es de la forma de maximización o de minimización.

2. Todas las restricciones son de igualdad.

3. Todas las variables son no negativas.

4. Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.

CAMBIO DEL TIPO DE OPTIMIZACIÓN.

Si en nuestro modelo, deseamos minimizar, podemos dejarlo tal y como está, pero
deberemos tener en cuenta nuevos criterios para la condición de parada
(deberemos parar de realizar iteraciones cuando en la fila del valor de la función
objetivo sean todos menores o iguales a 0), así como para la condición de salida
de la fila. Con objeto de no cambiar criterios, se puede convertir el objetivo de
minimizar la función F por el de maximizar F•(-1).

Ventajas.- No deberemos preocuparnos por los criterios de parada, o condición de
salida de filas, ya que se mantienen.

Inconvenientes.- En el caso de que la función tenga todas sus variables básicas
positivas, y además las restricciones sean de desigualdad "≤", al hacer el cambio
se quedan negativas y en la fila del valor de la función objetivo se quedan
positivos, por lo que se cumple la condición de parada, y por defecto el valor
óptimo que se obtendría es 0.

Solución.- En la realidad no existen este tipo de problemas, ya que para que la
solución quedara por encima de 0, alguna restricción debería tener la condición
"≥", y entonces entraríamos en un modelo para el método de las Dos Fases.

CONVERSIÓN DE SIGNO DE LOS TÉRMINOS INDEPENDIENTES
(LAS CONSTANTES A LA DERECHA DE LAS RESTRICCIONES)

Deberemos preparar nuestro modelo de forma que los términos independientes de
las restricciones sean mayores o iguales a 0, sino no se puede emplear el método
Simplex. Lo único que habría que hacer es multiplicar por "-1" las restricciones
donde los términos independientes sean menores que 0.

Ventaja: Con ésta simple modificación de los signos en la restricción podemos
aplicar el método Simplex a nuestro modelo.

Inconvenientes: Puede resultar que en las restricciones donde tengamos que
modificar los signos de las constantes, los signos de las desigualdades fueran ("=",
"≤"), quedando ("=","≥") por lo que en cualquier caso deberemos desarrollar el
método de las Dos Fases. Este inconveniente no es controlable, aunque nos
podría beneficiar si sólo existen términos de desigualdad ("≤","≥"), y los "≥"
coincidieran con restricciones donde el término independiente es negativo.

TODAS LAS RESTRICCIONES SON DE IGUALDAD.

Si en nuestro modelo aparece una inecuación con una desigualdad del tipo "≥",
deberemos añadir una nueva variable, llamada variable de exceso si, con la
restricción si ≥ 0. La nueva variable aparece con coeficiente cero en la función
objetivo, y restando en las inecuaciones.

Surge ahora un problema, veamos cómo queda una de nuestras inecuaciones que
contenga una desigualdad "≥"

a11•x1 + a12•x2 ≥ b1 a11•x1 + a12•x2 - 1•xs = b1

Como todo nuestro modelo, está basado en que todas sus variables sean mayores
o iguales que cero, cuando hagamos la primera iteración con el método Simplex,
las variables básicas no estarán en la base y tomarán valor cero, y el resto el valor
que tengan. En este caso nuestra variable xs, tras hacer cero a x1 y x2, tomará el
valor -b1. No cumpliría la condición de no negatividad, por lo que habrá que añadir
una nueva variable, xr, que aparecerá con coeficiente cero en la función objetivo, y
sumando en la inecuación de la restricción correspondiente. Quedaría entonces de
la siguiente manera:

a11•x1 + a12•x2 ≥ b1 a11•x1 + a12•x2 - 1•xs + 1 •xr = b1

Este tipo de variables se les llama variables artificiales, y aparecerán cuando haya
inecuaciones con desigualdad ("=","≥"). Esto nos llevará obligadamente a realizar
el método de las Dos Fases, que se explicará más adelante.Del mismo modo, si la
inecuación tiene una desigualdad del tipo "≤", deberemos añadir una nueva
variable, llamada variable de holgura si, con la restricción si "≥" 0 . La nueva
variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y sumando en las
inecuaciones.

A modo resumen podemos dejar esta tabla, según la desigualdad que aparezca, y
con el valor que deben estar las nuevas variables.

Tipo de desigualdad Tipo de variable que aparece

≥ - exceso + artificial

= + artificial

≤ + hondura

El método Simplex es un método secuencial de optimización, es un procedimiento
iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye
cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método
consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La
búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del
poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de
aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.

El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no
toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo
largo de la cual f aumenta.

Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que
tengan un tipo de desigualdad "=" y coeficientes independientes mayores o iguales
a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que
después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo "=" o "="
habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las Dos
Fases.

Planteamiento del problema

Optimizar: Z = ?C1 X1 ??C 2 X2 ?? ??C n X n

Sujeto a:

Los problemas de programación lineal se caracterizan por una serie de elementos:

1. En la solución óptima: el número de procesos será igual al número de factores
limitados; aunque en ciertas ocasiones, dicho número de procesos puede ser
menor que el número de factores limitados. En tal caso, la solución es
degenerada.

2. Los niveles de utilización Xj de los procesos serán no negativos.

3. Estos niveles serán tales, que todas las restricciones cumplan como igualdad,
siempre y cuando estemos hablando de procesos que pertenezcan al óptimo.

4. El programa (plan de producción), que cumpliendo las condiciones anteriores,
optimice el valor de la función objetivo, será el programa óptimo.

El algoritmo simplex fue descubierto por el matemático norteamericano George
Bernard Dantzig en 1947, es una técnica para dar soluciones numéricas a
problema de programación lineal.

Un problema en su forma estándar se puede representar como:
X, Xs ≥ 0. Donde X son las variables de decisión de la forma estándar, Xs son las
variables de holgura o de exceso, c contiene los coeficientes de la función objetivo
y Z es la variable a ser maximizada o minimizada.
El sistema es no determinado, debido a que el número de variables excede el
número de ecuaciones. La diferencia entre el número de variables y el número de
ecuaciones nos da los grados de libertad asociados con el problema.
Cualquier solución, optima o no, incluirá un número de variables de valor arbitrario.
Esta forma permite encontrar la solución factible básica inicial haciendo Xsi = bj

FORMA ESTÁNDAR DEL MODELO:

1.- Todas las restricciones son ecuaciones con los lados derechos no negativos,
en el caso del primal. Las restricciones del tipo ≤ o ≥ se convierten en ecuaciones
sumando una variable de holgura (caso ≤) o restando una variable de exceso
(caso ≥) en el lado izquierdo de la restricción.

2.- Todas las variables son no negativas, si una variable es irrestricta se usa la
sustitución Yi = Y ´i – Y´´i. Una variable negativa se hace no negativa multiplicando
por -1 a la variable en la función objetivo y las restricciones.
3.- La función objetivo es de maximización o minimización.

SOLUCIÓN BÁSICA:
Una solución básica es aquella que es factible o se encuentra en uno de los
vértices de la región solución. Con m ecuaciones y n variables una solución básica
se determina haciendo n-m variables iguales a cero. En general existen n!/ [m! (n-
m)!] soluciones básicas posibles.

VARIABLES NO BÁSICAS:Son la n -m variables que hemos hecho igual a cero.

VARIABLES BÁSICAS:Son variables restantes diferentes de cero. La solución
básica será factible si todos los valores de las variables básicas son no negativos.
Si alguna de las variables es negativa entonces la solución será infactible.

CONDICIONES PARA QUE UNA VARIABLE SEA BÁSICA O NO BÁSICA:

CONDICIÓN DE OPTIMIDAD:
La variable que entra o pasa a ser básica es aquella no básica con el coeficiente
más negativo si el problema es de maximización, o mas positivo si es de
minimización. Si todos los coeficientes de las variables no básicas en Z son no
negativos, la solución es óptima en maximización y si son no positivos entonces la
solución es optima en minimización. Otro método utiliza para evaluación la fila (Cj
– Zj) y elige para entrar la variable que del mayor mejoramiento por unidad a la
función objetivo.

CONDICIÓN DE FACTIBILIDAD:

La variable que sale es la variable básica, con la menor razón (denominador
positivo) en la dirección de la variable que entra.
Tanto en la condición de optimidad como de factibilidad, los empates se rompen
de forma arbitraria.

TÉCNICA M:
Si todas las restricciones no son del tipo ≤, es decir hay restricciones de = y ≥,
entonces no es posible obtener una solución básica inicial con las variables de
holgura, en este caso se utilizan otras variables llamadas variables artificiales
(Rm) que se agregan a las restricciones que son del tipo ≥ o de = con coeficiente
1, en la función objetivo se penalizan agregándolas con coeficiente muy alto si es
minimización o muy bajo si es maximización (una M o -M). Las iteraciones se
hacen igual que el simplex normal y las condiciones de optimidad y factibilidad son
las mismas.Si en la solución óptima hay variables artificiales, se dice que el
modelo es infactible.

SOLUCIÓN INFACTIBLE:
Ocurre cuando las restricciones no se pueden satisfacer de forma simultánea.
Este tipo de solución no se presenta si todas las restricciones son del tipo ≤, en
otro tipo de restricciones hace falta el uso de variables artificiales, lo que puede
dar lugar a soluciones no factibles. Un modelo con solución infactible puede
significar que ha sido mal planteado o que las restricciones no estén destinadas a
cumplirse simultáneamente, por lo que haría falta una estructura diferente del
modelo.

MAXIMIZAR

El Método Simplex permite resolver problemas de la programación lineal y este es
otro modelo pero ahora van a ver más restricciones es decir que puede haber dos
ecuaciones y más incógnitas.

En este método van a intervenir:

Variables estructurales
X1, X2, X3, X4………….XN
Variables de Holgura
S1,S2,S3,S4………………..# de Restricciones
Variables Artificiales
T1,t2,,t3,t4,……………………tn

Este Método va a tener dos pasos que son los siguientes:

Maximizar Variables Normales

Minimizar Variables Normales

PASOS PARA SOLUCIONAR EJERCICIOS

1. La función objetiva se la iguala a cero
2. A las restricciones se igualan
3. Poner todas las variables
4. De las ecuaciones debajo e todas las variables se ubica los coeficientes
numéricos de cada uno de las restricciones.
5. Debajo de las restricciones en forma horizontal y vertical ponemos dos
líneas entre punteadas
6. Debajo de la línea horizontal entre punteada colocamos los coeficientes
numéricas de la función objetiva.

7. Ubicamos los paréntesis o corchetes en los coeficientes numéricos de las
restricciones.
8. De las ecuaciones dadas escogemos las variables de holgura y artificiales
positivas y se las ubica en la parte izquierda del paréntesis de la matriz
simplex.
9. Señalamos todos los coeficientes numéricos de las variables estructurales,
holgura y artificiales llamándose indicadores.
10. De los indicadores escogemos el valor mas negativo y seleccionamos su
columna y a esta se la llama columna pivote, lo que nos permitirá escoger
el pivote dividiendo los valores que están arriba de la línea entre punteada
que siempre sean positivos utilizando la formula:

PV = bn /xn = valor mas
pequeño es el pivote

ote
11. Si los elementos que están arriba de la línea entre punteada son ceros o
negativos la solución es no básica factible.
12. Escogidos el pivote esto debe ser la unidad que puede ser multiplicado por
cualquier valor para que sea haga la unidad a toda la fila.
13. Obtenido el pivote que es 1 los elementos de la primera y tercera columna
de la columna pivote deben ser ceros utilizando las operaciones de
matrices.
14. La solución se termina cuando todos los indicadores pasaron a tener signo
positivo y si existe algún valor negativo en los indicadores y su columna es
una zona no básica factible, lo que indica que van a existir problemas sin
solución.
15. Para la solución del ejercicio escoge las variables de la izquierda y las
igualan con el término independiente y ahí se encuentra la solución.

16. Para comprobar el problema que esta bien resuelto se remplaza los valores
de las variables estructurales en la función objetivo y nos debe dar igualdad
si no nos da una igualdad quiere decir que el problema esta mal resuelto.
17. Remplazando todos estos valores llegamos a la toma de decisiones.

EJERCICIOS EN CLASE

MAXIMIZAR

Sujeta a:

Matriz simplex

Z B

S1 2 1 1 0 0 8
S2 2 3 0 1 0 12
Z -1 -2 0 0 1 0
 Al lado izquierdo fuera del paréntesis se ubica las variables de holgura y
artificiales con signo positivo.
 De la última fila se escoge el número más negativo y se la designa columna
pivote de las variables estructurales o las de holgura.

 Arriba de la línea entre punteada escoger los valores positivos y divididos
estos valores con los términos independientes y el número menor de esto
se llama pivote.
 De la columna pivote señale el número menor.
 Este pivote generalmente debe ser un número 1.
 Se aplica el proceso de matrices entre filas y columnas de sumar, restar o
multiplicar hasta que los elementos de la columna pivote que no sea el
pivote.

F2 1/3 f2

Z b

S1 2 1 1 0 0 8
S2 2/3 1 0 1/3 0 4
Z -1 -2 0 0 1 0

F1f1 – f2

2 1 1 0 0 8
-2/3 -1 0 -1/3 0 -4
4/3 0 1 -1/3 0 4

F3 f2 + f3

4/3 2 0 2/3 0 8

-1 -2 0 0 1 0
1/3 0 0 2/3 1 8

Z b

S1 4/3 0 1 -1/3 0 4
X1 2/3 1 0 1/3 0 4
Z 1/3 0 0 2/3 1 8

8=0+2
8=8

Una compañía fabrica 3 productos x, y, z, cada uno requiere de un tiempo de
máquina y uno de acabado como se muestra en la siguiente tabla:

T. T.
VARIABLE máquina Acabado
X 1h 4h
Y 2h 4h
Z 3h 8h

El número de horas de tiempo de las máquinas y el acabado disponibles por mes
con 900 y 5000 respectivamente, la utilidad unitaria de x, y, z es de $6, $8, $12
dólares respectivamente ¿Cuál es la utilidad máxima que puede obtenerse por
mes.

T. T.
VARIABLE máquina Acabado Utilidad
X 1h 4h $ 6,oo
Y 2h 4h $ 8,oo
Z 3h 8h $ 12,oo
Horas
900 h 5000 h
disponibles

Función Objetivo: W = 6x + 8y + 12 z

Sujeta a: x + 2y + 3z 900
4x + 4y + 8z 5000 (4)
x; y; z 0
-6x – 8y – 12z + w = 0

x + 2y + 3z + S1 = 900
x + y + 2z + S2 =1250

X y Z S1 S2 w b
S1 1 2 3 1 0 0 900
S2 1 1 2 0 1 0 1250
W -6 -8 -12 0 0 1 0

F1 1/3 f1
X Y Z S1 S2 w b
S1 1/3 2/3 1 1/3 0 0 300
S2 1 1 2 0 1 0 1250
W -6 -8 -12 0 0 1 0

F2 -2 f1 + f2
-2/3 -4/3 -2 -2/3 0 0 -600
1 1 2 0 1 0 1250
1/3 -1/3 0 -2/3 1 0 650

F3 12 f1 + f3
4 8 12 4 0 0 3600
-6 -8 -12 0 0 1 0
-2 0 0 4 0 1 3600

X Y Z S1 S2 w b
Z 1/3 2/3 1 1/3 0 0 300
S2 1/3 -1/3 0 -2/3 1 0 650
W -2 0 0 4 0 1 3600

F1 3 f1

X y Z S1 S2 w b
Z 1 2 3 1 0 0 900
S2 1/3 -1/3 0 -2/3 1 0 650
W -2 0 0 4 0 1 3600

F2 -1/3 f1 + f2

-1/3 -2/3 -1 -1/3 0 0 -300
1/3 -1/3 0 -2/3 1 0 650
0 -1 -1 -1 1 0 350

F3 2 f1 + f3
2 4 6 2 0 0 1800
-2 0 0 4 0 1 3600
0 4 6 6 0 1 5400

X y Z S1 S2 w b
X1 1 2 3 1 0 0 900
S2 0 -1 -1 -1 1 0 350
W 0 4 6 6 0 1 5400

x = 900; y = 0; z = 0; w = 5400

w = 6x + 8y + 12z
5400 = 6(900) + 8(0) + 12(0)
5400 = 5400

Toma de decisiones: El producto (z) y (y) no deben producirse para obtener una
utilidad pero si se debe producir 600 productos de (x).

,

Sujeta a

Z=8
Z=
S1 = 4
8=
S2 = 0
8=8
X2 = 4

X1 = 0

,

Sujeta a

Producción. Una compañía fabrica tres productos X, Y, Z. Cada producto requiere tiempo
de máquina y tiempo de acabado como se muestra en la tabla siguiente:

Tiempo de Tiempo de

Maquina Acabado

X 1hr 4hr

Y 2hr 4hr

Z 3hr 8hr

Planteamiento

Tiempo de Tiempo de Costo
maquina
acabado

X 1hr 4hr $6

Y 2hr 4hr $8

Z 3hr 8hr $ 12

Requerimiento 900 5000

Z = 6X1 +8X2 +12X3 = -6X1-8X2 -12X3

X1 + 2X2 +3X3 ≤ 900

4X1 +4X2 +8X3 ≤ 5000

X1 + 2X2 +3X3+S1 = 900

4X1 +4X2 +8X3 +S2= 5000

Z b

1 2 3 1 0 0 900
P.V

4 4 8 0 1 0 5000

Z -6 -8 -12 0 0 1 0

F1: 1/3F1

1/3 2/3 1 1/3 0 0 300

F2:-8F1 +F2

-8/3 -16/3 -8 -8/3 0 0 -2400

4 4 8 0 1 0 5000

4/3 -4/3 0 -8/3 1 0 2600

F3:12F1 +F3

4 8 12 4 0 0 3600

-6 -8 -12 0 0 1 0

-2 0 0 4 0 1 3600

Z b

X3 1/3P.V 2/3 1 1/3 0 0 300

4/3 -4/3 0 -8/3 1 0 2600

Z -2 0 0 4 0 1 3600

F1:3F1

1 2 3 1 0 0 900

F2: -4/3F1 +F2

-4/3 -8/3 -4 -4/3 0 0 -1200

4/3 -4/3 0 -8/3 1 0 2600

0 -4 -4 -4 1 0 1400

F3: 2F1 + F3

2 4 6 2 0 0 1800

-2 0 0 4 0 1 3600

0 0 6 6 0 1 5400

Z b

X1 1 2 3 1 0 0 900

0 -4 -4 1 0 0 1400

Z 0 4 6 6 0 1 5400

X1 = 900

X2 = 0

X3 = 0

Z = 5400

Z = 6X1 + 8X2 +12X3

5400 = 6 (900) +8 (0) +12 (0)

5400 = 5400

,

Sujeta a

S2 = 1

S3 = 0

Z = 28 X2 = 2

S1 = 0 X1 = 3

,

Sujeta a

, Z=8

28 = S1 = 0

28 = 28 S2 = 8

S3 = 2

X2 = 0

X1 = 4

,

Sujeta a

7=7 S1 = 0

S2 = 0

t1 = 0

X2 = 5

W=7 X1 = 1

,

Sujeta a

SOLUCIÓN:
,
W = 22
22 =
S1 = 0
22 = 22
S2 = 0

t1 = 0

X2 = 1

X1=6

,

Sujeta a

,

-54 =

-54 = -54

W = -54; S1 = 0; S2 = 3; T1 = 0; X2 = 8; X1 = 2; T2 = 0

,

Sujeta a

-8 =

-8 = -8

W = -8; S1 = 1/3; S2 = 0; T1 = 0; X2 = 2/3; X1 = 0; T2 = 0

,

Sujeta a

, W = -216

-216 = S1 = 0

-216 = -216 S2 = 0

T1 = 0

X2 = 0

X1 = 18

,

Sujeta a

-2 =

-2 = -2

W = -2; S1 = 0; S2 = 0; T1 = 0; X2 = 2; X1 = 0

,

Sujeta a

,

-4 = -0 - 0

-4 = -4

W = -4; S1 = 2; S2 = 0; T1 = 0, X2 = 0; X1 = 0; X3 = 4; T2 = 0

,

Sujeta a

,

-2 = -4(0) – 1(0) –

-2= -2

W = -2; S1 = 2; S2 = 2; T1 = 0


, ,

Sujeta a Sujeta a

, ,

Sujeta a Sujeta a

, ,

Sujeta a Sujeta a

, ,

Sujeta a Sujeta a

, ,

Sujeta a Sujeta a

, ,

Sujeta a Sujeta a

MÉTODO DUAL

Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con
él. Uno se denomina primal y el otro dual. Los 2 poseen propiedades muy
relacionadas, de tal manera que la solución óptima a un problema proporciona
información completa sobre la solución óptima para el otro.

Las relaciones entre el primal y el dual se utilizan para reducir el esfuerzo de
cómputo en ciertos problemas y para obtener información adicional sobre las
variaciones en la solución óptima debidas a ciertos cambios en los coeficientes y
en la formulación del problema. Esto se conoce como análisis de sensibilidad o
post-optimidad.

DUALIDAD.- El dual es un problema de PL que se obtiene matemáticamente de
un modelo primal de PL dado. Los problemas dual y primal están relacionados a
tal grado, que la solución simplex óptima de cualquiera de los dos problemas
conduce en forma automática a la solución óptima del otro.

El método simplex además de resolver un problema de PL llegando a una
solución óptima nos ofrece más y mejores elementos para la toma de decisiones.
La dualidad y el análisis de sensibilidad son potencialidades de éste método.

En la mayoría de los procedimientos de PL, el dual se define para varias formas
del primal, dependiendo de los tipos de restricciones, de los signos de las
variables y del sentido de la optimización. La experiencia nos indica que en
ocasiones, los principiantes se confunden con los detalles de esas definiciones.
Más importante aún es que el uso de esas definiciones múltiples puede conducir a
interpretaciones inconsistentes de los datos en la tabla simplex, sobre todo en lo
que respecta a los signos de las variables.

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DUAL

Para poder elaborar el problema dual a partir del primal, este se debe presentar en
su forma canónica de la siguiente forma:

Maximizar

Sujeto a:

El problema dual se puede obtener a partir del problema primal y viceversa de la
siguiente manera:

1. Cada restricción de un problema corresponde a una variable en el otro.

2. Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema son
iguales a los coeficientes respectivos de la función objetivo en el otro.

3. Un problema busca maximizar y el otro minimizar.

4. El problema de maximización tiene restricciones que y el problema de
minimización tiene restricciones que.

5. Las variables en ambos casos son no negativas.

EJEMPLO:

Considere el problema primal siguiente:

Maximizar

Sujeto a:

Elaborar el dual a partir del primal.

Minimizar

Sujeto a:

Cuando el problema primal no está en forma canónica, es necesario hacer ajustes
para poder presentarlo así. Los cambios más frecuentes son:

1. Si la función objetivo es minimizar, se puede transformar a una función objetivo
de maximizar de la siguiente forma:

Minimizar

Maximizar

2. Una restricción mayor o igual que se transforma en una restricción menor o
igual que de la siguiente manera:

3. Una restricción de igualdad se transforma en 2 inecuaciones.

EJEMPLO: (PRIMAL)

Maximizar

Sujeto a:

Maximizar

Sujeto a:

Dual

Minimizar

Sujeto a:

EJEMPLO:

Una compañía produce y vende 2 tipos de máquinas de escribir: manual y
eléctrica. Cada máquina de escribir manual es vendida por un ingreso de 40 dls. y
cada máquina de escribir eléctrica produce un ingreso de 60 dls. Ambas máquinas
tienen que ser procesadas (ensambladas y empacadas) a través de 2 operaciones
diferentes (O1 y O2).

La compañía tiene una capacidad de 2000 hrs. Mensuales para la operación O1 y
1000 hrs. Mensuales de la operación O2.

El número de horas requeridas de O1 y O2 para producir un modelo terminado se
da en la siguiente tabla.

HORAS REQUERIDAS CAPACIDAD

OPERACIÓN MANUAL ELECTRICA (HRS
MENSUALES)

O1 3 2 2000

O2 1 2 1000

Encuentre el número óptimo de unidades de cada tipo de máquina de escribir que
se debe producir mensualmente para maximizar el ingreso.

OBJETIVO: Maximizar el ingreso total

RESTRICCIONES: horas mensuales de las operaciones

VARIABLE DE DECISION: número de máquinas de escribir a producir

X1 = número de máquinas de escribir manuales

X2 = número de máquinas de escribir eléctricas

Maximizar

Sujeto a:

Minimizar

Sujeto a:

V. Z W1 W2 S1 S2 Solución
Básica

Z 1 0 0 5 25 35000

S1 0 1 0 1/ 2 -1/2 500

W1 0 0 1 -1/ 4 3/ 4 250

TEORÍA DE LA DUALIDAD

Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con
él. Uno se denomina primal y el otro dual. Los 2 poseen propiedades muy
relacionadas, de tal manera que la solución óptima a un problema proporciona
información completa sobre la solución óptima para el otro.

Las relaciones entre el primal y el dual se utilizan para reducir el esfuerzo de
cómputo en ciertos problemas y para obtener información adicional sobre las
variaciones en la solución óptima debidas a ciertos cambios en los coeficientes y
en la formulación del problema. Esto se conoce como análisis de sensibilidad.

Parte de un
problema
del PL

Precios
Casos
proacticos DUALIDAD dual o
precio
sombra

Problema
primal y
problema
dual

EJEMPLO:

Una compañía produce y vende 2 tipos de máquinas de escribir: manual y
eléctrica. Cada máquina de escribir manual es vendida por un ingreso de 40 dls. y
cada máquina de escribir eléctrica produce un ingreso de 60 dls. Ambas máquinas
tienen que ser procesadas (ensambladas y empacadas) a través de 2 operaciones
diferentes (O1 y O2).

La compañía tiene una capacidad de 2000 hrs. Mensuales para la operación O1 y
1000 hrs. Mensuales de la operación O2.

El número de horas requeridas de O1 y O2 para producir un modelo terminado se
da en la siguiente tabla.

HORAS REQUERIDAS CAPACIDAD

OPERACIÓN MANUAL ELECTRICA (HRS
MENSUALES)

O1 3 2 2000

O2 1 2 1000

Encuentre el número óptimo de unidades de cada tipo de máquina de escribir que
se debe producir mensualmente para maximizar el ingreso.

OBJETIVO: Maximizar el ingreso total

RESTRICCIONES: horas mensuales de las operaciones

VARIABLE DE DECISION: número de máquinas de escribir a producir

X1 = número de máquinas de escribir manuales

X2 = número de máquinas de escribir eléctricas

Maximizar

Sujeto a:

Minimizar

Sujeto a:

V. Z W1 W2 S1 S2 Solución
Básica

Z 1 0 0 5 25 35000

S1 0 1 0 1/ 2 -1/2 500

W1 0 0 1 -1/ 4 3/ 4 250

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DUAL

El dual se obtiene de un problema primal dado, y están relacionados hasta el
punto que la solución de uno dará también la solución del otro. El estudio del
problema dual permite tener una mayor profundidad en el análisis de sensibilidad.
Los siguientes puntos muestran como obtener un modelo dual a partir de un
primal:
1.- Cada restricción primal representa una variable dual (m variables: Y1, Y2, . . . ,
Ym).
2.- Cada variable del modelo primal pasa a ser una restricción en el modelo dual
(n restricciones que corresponden a: X1, X2, . . . , Xn).
3.- Los coeficientes de las restricciones de una variable primal pasan a ser los
coeficientes del lado izquierdo de la restricción dual correspondiente, con el lado
derecho igual al coeficiente de la variable en la función Z. Los coeficientes de las
variables duales en la función objetivo son los lados derechos de las restricciones
en el modelo primal.

PRECIOS DUALES:
Los precios duales de una i-esima restricción de un Problema Lineal representan
la cantidad en la cual variara el valor óptimo de la función objetivo si se aumenta el
lado derecho de la restricción i en una unidad (valor por unidad de los recursos).

●Si la restricción es del tipo > entonces el precio sombra es no positivo y
Aumentan los costos.

●Si la restricción es del tipo <entonces el precio sombra es no negativo y
Aumentan las ganancias.

●Si la restricción es del tipo = entonces el precio sombra puede ser positivo,
negativo o cero.

●Una restricción con precio dual no cero, debe ser una restricción activa (holgura
o exceso igual a cero).

●Una restricción con una holgura o exceso diferente de cero, tiene precio dual
igual a cero.

●Si tanto el precio dual como la holgura o exceso son cero, significa que en un
vértice están convergiendo mas de dos restricciones.
COSTOS REDUCIDOS:

Representan la tasa o razón neta de decrecimiento del valor optimo de la función
objetivo, al aumentar la variable no básica asociada. Se expresa como la
diferencia entre el costo de la cantidad de recurso usado para producir una unidad
de Xi (entrada) y la ganancia unitaria (salida). Si el costo unitario de los recursos
es mayor al de las ganancias, el costo reducido será positivo y no habrá ningún
incentivo económico para realizar esa actividad (variable Xi).
Por esta razón una variable no básica, que tiene un costo reducido negativo, es
candidata a transformarse en un costo reducido positivo en la solución óptima.
Una actividad económica no utilizada, puede transformarse en viable haciendo
cualquiera de las dos formas siguientes:

1.- Disminuyendo su uso por unidad de recursos (aumento en la productividad).

2.- Aumentando la ganancia unitaria mediante un aumento de precios o
disminución en los costos.

MÉTODO DUAL SIMPLEX

Este método se aplica a problemas óptimos pero infactible. En este caso, las
restricciones se expresan en forma canónica (restricciones).
La función objetivo puede estar en la forma de maximización o de minimización.
Después de agregar las variables de holgura y de poner el problema en la tabla, si
algún elemento de la parte derecha es negativo y si la condición de optimidad está
satisfecha, el problema puede resolverse por el método dual simplex. Note que un
elemento negativo en el lado derecho significa que el problema comienza óptimo
pero infactible como se requiere en el método dual simplex. En la iteración donde
la solución básica llega a ser factible esta será la solución óptima del problema.

CONDICION DE FACTIBILIDAD.
La variable que sale es la variable básica que tiene el valor más negativo (los
empates se rompen arbitrariamente si todas las variables básicas son no
negativas, el proceso termina y esta última tabla es la solución óptima factible).

CONDICION DE OPTIMIDAD.
La variable que entra se elige entre las variables no básicas como sigue. Tome los
cocientes de los coeficientes de la función objetivo entre los coeficientes
correspondientes a la ecuación asociada a la variable que sale.
Ignore los cocientes asociados a denominadores positivos o cero.
La variable que entra es aquella con el cociente más pequeño si el problema es de
minimizar o el valor absoluto más pequeño si el problema es de maximización
(rompa los empates arbitrariamente). Si los denominadores son ceros o positivos
el problema no tiene ninguna solución factible.
ALGORITMO DUAL-SIMPLEX PARA UN MODELO DE MAXIMIZACIÓN

Primero se debe expresar el modelo en formato estándar, agregando las variables
de holgura y de exceso que se requieran.

Enseguida, en las ecuaciones que tengan variables de exceso (resultantes de
restricciones de tipo >), se debe multiplicar por (-1) en ambos lados, para hacer
positivo el coeficiente de la variable de exceso, y formar así un vector unitario que
nos permita tomar esta variable de exceso como una variable básica inicial. sin
necesidad de agregar una variable artificial en esa restricción.

Al hacer lo anterior se logra que debajo de las variables básicas aparezca una
matriz identidad, que es la que el simplex siempre toma como base inicial.

Obtendremos que los términos del lado derecho de las ecuaciones multiplicadas
por (-1) queden con signo negativo, lo cual hace que la solución inicial sea
infactible.

Es importante destacar que este proceso es muy útil ya que en muchos modelos
evita la inclusión de variables artificiales en el momento de transformar un modelo
a formato estándar.

El algoritmo para resolver un modelo de maximización es el siguiente:

Paso 1: Hallar una solución básica inicial infactible e inmejorable

Escribir el tablero inicial tomando a las variables de holgura y de exceso como
variables básicas iniciales

Paso 2: Prueba de factibilidad

a. Si todas las variables básicas son no negativas, la actual solución es la
óptima.

b. Si hay al menos una variable básica negativa, seleccionar como variable de
salida,

(Llamémosla (XB)s ), a aquella con el valor mas negativo. Los empates se pueden

Romper arbitrariamente.

Paso 3: Prueba de inmejorabilidad

a. Sí en el renglón de la variable básica de salida (XB)s todos los coeficientes
de reemplazo con las variables no básicas son no negativos, la solución del
modelo es óptima ¡limitada. Se termina el proceso.

Si en el renglón de la variable básica de salida (XB)s, hay al menos un coeficiente
de intercambio negativo , se efectúan los cocientes entre el efecto neto de cada
variable no básicas y su correspondiente coeficiente de intercambio negativo.

Es decir, siendo (XB)s la variable de salida se calculan todos los cocientes

Se toma como variable de entrada (llamémosla Xe) a aquella que corresponda al
mínimo de los cocientes del anterior conjunto

Si la variable de entrada es Xe el elemento pivote será el elemento (Se)s

El empate se puede romper arbitrariamente.

b. Aplicar la operación de pivoteo para generar la nueva tabla, en la cual
aparezca Xe como variable básica en lugar de la variable de salida (XB)s

c. Repetir el algoritmo a partir del paso 2.

PRECIO SOMBRA

Es el precio de referencia que tendría un bien en condiciones de competencia
perfecta, incluyendo los costos sociales además de los privados. Representa el
costo oportunidad de producir o consumir un bien o servicio.

Un bien o servicio puede no tener un precio de mercado; sin embargo, siempre es
posible asignarle un precio sombra, que permite hacer un análisis de costo-
beneficio y cálculos de programación lineal.

Es el significado del multiplicador de Lagrange, el cual representa la variación de
un objetivo dado cuando se cuenta con una unidad adicional de un cierto recurso
limitado

TRABAJO EN CLASE

Maximizar Z = 2X1 +3X2 sujeta a:

X1+X2 ≤6 ; X1+X2+S1 =6;
-X1+X2≤4 ; -X1+X2 +S2 = 4
X1,X2≥0

W=Z
W = 2X1 +3X2; W - 2X1 - 3X2 = 0

MATRIZ SIMPLEX I

X1 X2 S1 S2 W B

S1 1 1 1 0 0 6

S2 -1 1 0 1 0 4

W -2 -3 0 0 1 0

F1:F1-F2

1 1 1 0 0 6

1 -1 0 -1 1 -4

2 0 1 -1 1 2

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