Apunte sobre método simplex

APUNTES SOBRE EL MÉTODO SÍMPLEX DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Adriel R. Collazo Pedraja

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INTRODUCCIÓN
Este trabajo tiene como propósito proveer ayuda al estudiante para que pueda comprender
y manejar más efectivamente el método símplex de programación lineal. Ilustraremos la
aplicación a situaciones de maximización, minimización y análisis de sensibilidad.
El Método Símplex como herramienta de programación lineal fue desarrollado para la
época de los años cuarenta por George Dantzing, un joven matemático. El método
constituye una forma sistemática y de búsqueda intensiva a través de todas las posibles
soluciones para obtener una solución óptima. Ello resulta de gran utilidad debido a su
eficiencia. Además es fácil programarlo en una computadora. En contraste con el análisis
gráfico, este método permite el uso de muchas variables. También permite la aplicación
de cantidades de restricciones lineales con signos; mayores e igual, menores e igual y de
igualdad.
En comparación con el método gráfico, el método símplex tiene como punto de partida el
origen siendo este la solución inicial al problema. El método prueba todos los puntos
extremos gráficos aunque no necesariamente se detiene en todos los vértices. Por otro
lado utiliza el concepto de álgebra de matrices en una serie de tablones.
EL PROBLEMA DE MAXIMIXACIÓN SÍMPLEX
FORMULACIÓN INICIAL
Utilizando el siguiente ejemplo estableceremos la formulación inicial símplex y
demostraremos la mecánica del método y su interpretación.
El gerente de la Relojería la Torre desea conocer la ganancia máxima que se puede
obtener de la producción y venta de dos clases de relojes económicos digitales de pulsera.
La ganancia que se obtiene por la producción y venta de un reloj de hombre es de $4 y de
$6 para un reloj de mujer. La empresa cuenta con 120 horas semanales para la
producción de los relojes y 100 horas para la inspección y empaque de estos. La
fabricación de un reloj de hombre requiere 2 horas de producción y 2 horas de inspección
y empaque. Mientras que un reloj de mujer requiere 4 horas de producción y 3 horas de
inspección y empaque.
La formulación del problema para esta situación es la siguiente:
Maximizar Z = $4X1 + $6X2
Sujeto a: 2X1 + 4X2 ≤ 120 (horas de producción)
2X1 + 3X2 ≤ 100 (horas de inspección y empaque)
(X1, X2 ≥ 0)
Donde X1 = cantidad de relojes de hombre que se producen semanalmente.
X2 = cantidad de relojes de mujer que se producen semanalmente.

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Luego de formular el problema procedemos a trabajar primero con las restricciones y
luego con la función objetivo. Comenzamos cambiando los signos de las restricciones de
desigualdades a igualdades. El método símplex requiere la conversión de las
restricciones con signos de desiguales a igualdades estrictas. Esto se debe a que el
método usa álgebra de matrices en donde todas las relaciones matemáticas serán a base
de ecuaciones lineales y que a su vez deben contener todas las variables. Llamaremos a
este procedimiento como aumento de las restricciones y de la función objetivo.
AUMENTO DE LAS RESTRICCIONES Y DE LA FUNCIÓN OBJETIVO
El aumento de las restricciones y de la función objetivo surge porque el método símplex
comienza por definición en el origen es decir en el punto (0,0) y de este punto al valor de
las restricciones existe una diferencia. Esta diferencia se conoce como holgura y por
cada restricción que tenga el problema tendremos una o más variables las cuales el
método tomará en consideración.
Comencemos con la primera restricción: 2X1 + 4X2 ≤ 120 (horas de producción)
Al analizar la restricción hallamos que el lado izquierdo es menor que el lado derecho.
Para poder hacer el cambio de la desigualdad a igualdad tendremos que añadir una
variable que absorba la diferencia entre ambos lados. En este caso la variable representa
recursos no utilizados o recursos disponibles. Esta variable se conoce como variable de
holgura o "Slack".
La primera restricción se reformula asignándole una variable de holgura positiva
conocida como S1, la que aparecerá de la siguiente forma: 2X1 + 4X2 + S1 = 120. La
variable S1 se relaciona con la primera restricción. De manera parecida procedemos a
reformular la segunda restricción: 2X1 + 3X2 ≤ 100 (horas de inspección y empaque).
Encontramos que esta restricción también posee un signo de desigualdad que es menor o
igual por lo tanto el lado izquierdo es menor que el derecho. Para poder llevar la
ecuación a igualdad tendremos que también añadir una variable de holgura positiva que
absorba la desigualdad. De tal manera la segunda restricción se reformula de la siguiente
forma: 2X1 + 3X2 + S2 = 100 en donde S2 se relaciona con la segunda restricción.
Tenemos que ambas restricciones se presentan de la siguiente forma:
2X1 + 4X2 + S1 = 120
2X1 + 3X2 + S2 = 100
La variable de holgura S1 representa las horas de producción no utilzazas y la variable S2
representa las horas de inspección y empaque no utilizadas.
Si por definición el método símplex comienza en el origen (0,0) donde X1 = 0 y X2 = 0,
entonces esto significa que por ahora no hay producción de relojes de ninguna clase (X1 =
relojes de hombre y X2 = relojes de mujer). El no tener producción significa que los
recursos disponibles son 120 horas de producción y 100 horas de inspección y empaque.
Esta situación la representamos de la siguiente forma para la primera restricción: 2X1 +

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4X2 + S1 = 120 donde X1 = 0 y X2 = 0. Al sustituir los valores de X1 y X2 en la primera
restricción tendremos el siguiente resultado: 2(0) + 4(0) + S1 = 120 por lo tanto S1 = 120
horas disponibles es decir tenemos 120 horas de producción disponibles porque no hay
producción alguna.
Lo mismo sucederá con la segunda restricción: 2X1 + 3X2 + S2 = 100, al sustituir, X1 y
X2 en la segunda restricción, se obtendrá el siguiente resultado: 2(0) + 3(0) + S2 = 100
por lo tanto S2 = 100. Esto representa 100 horas disponibles para inspección y empaque.
¿Por qué? Por que no hay producción. Por lo tanto cuando X1 = 0 y X2 = 0, S1 = 120
horas y S2 = 100 horas. Si hacemos una comparación gráfica, estaríamos en el origen,
punto I, según lo demuestra la siguiente gráfica.1
Para aquellas variables símplex que no aparecen en una ecuación se le añaden
coeficientes de 0. Veamos la nueva formulación:
2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 120
2X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 100
Esto no afecta a las ecuaciones a las cuales se les agregan los coeficientes. Por ejemplo
en la primera restricción S2 posee un coeficiente de 0 porque la variable S2 se refiere a la
segunda restricción en donde en el punto (0,0) existe un sobrante de 100 horas. Estas
horas se relacionan con la segunda restricción y no con la primera. De igual manera
sucede con la segunda restricción. La variable S1 se relaciona con la primera restricción
indicando que hay disponible 120 horas.
1
Los modelos de gráfica son adaptados del programa QM.

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Estas variables de holgura no producen ganancia alguna porque se relacionan con los
recursos por lo tanto serán añadidas a la función objetivo y sus coeficientes serán 0
porque estas no aportan a la ganancia. Al reformular la función objetivo junto con las
restricciones tendremos que estas se expresan de la siguiente forma:
Maximizar Z (ganancia) = $4X1 + $6X2 + $0S1 + $0S2
Sujeto a: 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 120
2X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 100
(X1, X2, S1, S2 ≥ 0)
COMO OBTENER UNA SOLUCIÓN INICIAL
Las dos restricciones consideradas en la formulación del problema establecen dos
ecuaciones y cuatro variables (X1, X2, S1, S2). El uso del álgebra para aquellos casos
donde tenemos cuatro variables desconocidas y solo dos ecuaciones, conlleva igualar dos
de las variables a 0 y luego resolvemos para las otras dos variables restantes. Es decir si
X1 = X2 = 0 entonces S1 = 120 y S2 = 100. Esto se conoce como una posible solución o
solución básica factible.
El método símplex comienza con una solución inicial básica en donde todas las variables
reales Xj son cero. Esta solución siempre produce una ganancia de 0 y valores de las
variables de holgura iguales al valor de las constantes que aparecen al lado derecho. Si se
fija en la gráfica anterior la solución inicial símplex será el punto de origen (0,0). Esta es
una solución posible pero no es la mejor solución. Como se indicó anteriormente el
método símplex solo considera soluciones que son factibles, es decir no toma en
consideración aquellas combinaciones de variables reales que violentan las restricciones
ya que el método siempre cumple con estas. El violentar una o más restricciones
conlleva la no existencia de una solución y algunos mencionan esta situación como
solución o soluciones no factibles.

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CUADRO INICIAL
Colocamos todos los coeficientes y constantes en un tablón. Esto simplifica el manejo de
las ecuaciones y de la función objetivo. Veamos el siguiente modelo para un cuadro
inicial.
Cj = forma aumentada de los coeficientes de la función objetivo
Ci = coeficientes de las variables básicas
aij = forma aumentada de los coeficientes de las restricciones o tasa de sustitución
bi = valores del lado derecho de las restricciones
z = valor de la función objetivo
Zj = reducción de ganancias, aumento en costos asociados con la introducción de una de
sus valores en las columnas respectivas
∆Zj = Cj - Zj = índice de mejoramiento o renglón de criterio símplex
Ratio = límites introductorios
En suma, con estos parámetros del tablón símplex tenemos dos clases de variables a
considerarse, variables básicas y variables no básicas. Por definición las variables
básicas son aquellas que poseen un ∆Zj = 0 y las variables no básicas poseen ∆Zj
desiguales a 0.
Procedemos a llenar el cuadro inicial utilizando la función objetivo y las restricciones de
forma aumentada.
Maximizar Z (ganancia) = $4X1 + $6X2 + $0S1 + $0S2
Sujeto a: 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 120
2X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 100
(X1, X2, S1, S2 ≥ 0)

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Comenzamos con la función objetivo.
Luego seguimos con los coeficientes de las restricciones o tasa de sustitución y la
constante o el valor derecho de las restricciones. Por ejemplo para la primera restricción
el coeficiente que representa horas de consumo del recurso de producción para relojes de
hombres (X1) es 2 horas y se ubica en la primera fila, primera columna. La posición en el
tablón será a11 y así sucesivamente con los demás coeficientes. Para los relojes de mujer
(X2) es 4 horas y estará ubicada en la posición a12 en el tablón. En relación al lado
derecho de la primera restricción el valor de b1 es 120. Hacemos lo mismo para la
segunda restricción. Veamos el siguiente cuadro.
En este cuadro inicial las variables básicas, que están en la solución, son las variables de
holgura S1 y S2. Estas variables estarán ubicadas a lado izquierdo del tablón y sus ∆Zj
son cero. Esto sucede porque la solución inicial símplex es en el origen (0,0) por lo tanto
si X1 = 0 y X2 = 0 entonces al no fabricar ningún tipo de relojes, los recursos disponibles
serán S1= 120 horas de producción y S2 = 100 horas de inspección y empaque. Los
coeficientes Ci de estas variables básicas son 0 porque no tienen efecto sobre la ganancia
y estarán localizados en la parte izquierda dentro del tablón.
Busquemos ahora los valores para Zj. Si no se están fabricando relojes entonces los
costos o la reducción en las ganancias tiene que ser cero así como el valor final de la
función objetivo Z. Por ejemplo la producción de la variable de decisión real X1 (relojes
de hombres) consume 2 horas de producción y 2 horas de inspección y empaque según lo
indica sus coeficientes aij o tasa de sustitución. Como no hay producción, la variable
básica para la primera restricción o primer recurso será S1 = 120 con un coeficiente C1 =
0, es decir 0 aportación a las ganancias. De igual forma sucede con la segunda restricción
en donde C2 = 0.

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Esta situación se refleja de la siguiente forma Zj = Σ Cijaij.
C1 a11 C2 a21
Z1 = (0)(2) + (0)(2) = 0; este valor irá en la primera columna para el renglón Zj debajo
de la columna X1.
C1 a12 C2 a22
Z2 = (0)(4) + (0)(3) = 0; este valor irá en la segunda columna para el renglón Zj debajo de
la columna X2.
C1 a13 C2 a23
Z3 = (0)(1) + (0)(0) = 0; este valor irá en la tercera columna para el renglón Zj debajo de
la columna S1.
C1 a14 C2 a24
Z4 = (0)(0) + (0)(1) = 0; este valor irá en la cuarta columna para el renglón Zj debajo de la
columna S2.
El cálculo para hallar la ganancia (Z), con valor es 0 se realiza de forma parecida donde
Z = Σ Cijbi.
Z = (0)(120) + (0)(100) = 0
Trasladamos estos datos al tablón inicial.
El último paso para terminar el tablón será calcular los cambios en Zj, (∆Zj) para las
columnas. Estos cambios se calculan restando los coeficientes de la función objetivo por
el Zj correspondiente es decir ∆Zj = CJ - Zj.
∆Z1 = C1 - Z1 = 4 – 0 = 4
∆Z2 = C2 - Z2 = 6 – 0 = 6
∆Z3 = C3 - Z3 = 0 – 0 = 0
∆Z4 = C4 - Z4 = 0 – 0 = 0

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Trasladamos estos datos al tablón inicial y tenemos nuestro primer tablón símplex.
Analizamos el tablón y encontramos que este posee una matriz identidad. La matriz
identidad es aquella que está compuesta por diagonales de 1 y cero. Para este ejemplo la
matriz se encuentra debajo del las variables de holguras S1 y S2. Al obtener una solución
final la matriz identidad se trasladará al lado derecho debajo de las variables reales X1 y
X2 o se obtendrá algo parecido a una matriz identidad.
INTERPRETACIÓN DEL PRIMER CUADRO SÍMPLEX
Para poder interpretar y analizar el primer tablón, procedemos a buscar las variables
básicas y no básicas y leer sus valores. Las variables básicas son aquellas que están en la
solución y poseen cambios en Zj de cero, (∆Zj = 0) y valores positivos o cero en el lado
derecho (bi ≥ 0). Los valores de las variables básicas, aquellas que se encuentran al lado
derecho extremo, deberán ser siempre mayores o iguales a cero porque no existen
negativos recursos o porque no se puede manufacturar negativos productos. Al estudiar
el tablón encontramos que la variable S1 posee un ∆Zj = 0 con un valor 120 horas de
producción. Este valor de 120 aparece a la extrema derecha del primer renglón (b1). De
igual forma la variable S2 posee ∆Zj = 0 con un valor 100 horas de inspección, valor que
aparece a la extrema derecha del segundo renglón (b2). Al estudiar los ∆Zj para las
variables antes mencionadas encontramos que S1 y S2 son variables básicas. Contrario a
las variables básicas, las variables no básicas, no están en la solución y son aquellas que
poseen cambios en Zj desiguales a cero (∆Zj ≠ 0) y con valores de 0 (bi = 0). Los valores
de las variables no básicas siempre serán cero porque estas variables no están en la
solución. Al leer el tablón hallamos un ∆Z1 = 4 para la variable X1 y un ∆Z2 = 6 para la
variable X2. Esto indica que X1 y X2 son variables no básicas y que sus valores son cero.
Por último se desprende del tablón que la ganancia, (Zj ) es cero. Este valor de 0 aparece
en el tablón a la extrema derecha del renglón Zj.
En conclusión no se están fabricando relojes de hombre ni de mujer (variables no básicas
X1 = 0 y X2 = 0). Se tienen disponible 120 horas semanales de producción y 100 horas
semanales de inspección y empaque (variables básicas S1 y S2 respectivamente) para una
ganancia semanal de $0.

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MEJORANDO EL CUADRO INICIAL
Para mejorar la solución el método símplex seleccionará el mejor cambio en Zj , (∆Zj),
es decir el más grande o más positivo. Este cambio nos indicará que variable deberá
entrar en la próxima solución. Si tomamos en consideración la función objetivo:
Maximizar Z = $4X1 + $6X2 + $0S1 + $0S2, lo más seguro que usted escogerá la variable
X2 como aquella que conviene producir, porque esta nos da un rendimiento mayor que la
variable X1, ya que la ganancia que provee X2 es de $6 en comparación con la ganancia
de $4 que proporciona la variable X1. Aparentemente la compañía ganará más si vende
relojes para las damas en vez de relojes para caballeros.
El método símplex hace un análisis parecido. Siempre selecciona el mejor coeficiente.
Como se está maximizando, el método escogerá el valor que otorgue el mayor
rendimiento, es decir el más positivo y el más negativo para casos de minimización.
Utilizando la solución del cuadro inicial, seleccionamos el mejor cambio en Zj , entre ∆Z1
= 4 para la columna X1 y el ∆Z2= 6 para X2 y lo circulamos. Este mejor cambio nos
indicará qué variable no básica en la columna se convertirá en variable básica. Es decir,
qué variable se va a producir y que a su vez provea un mejor rendimiento o una nueva y
mejor solución al problema. También el mejor cambio en Zj, ∆Z2= 6 en este caso,
aumentará la ganancia actual de $0 por seis veces el numero de unidades entrantes,
relojes de mujer. El método seleccionará la variable X2 porque esta posee el mejor
cambio en Zj, circulamos la columna X2 y a esta columna se le conoce como la columna
pivote.
El método ha seleccionado la producción de relojes de damas, (X2) pero queremos
conocer cuántos relojes de mujer se van a manufacturar. Existen dos restricciones que
limitan la producción de los relojes de damas (X2) estas son: 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 =
120 (horas de producción) y 2X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 100 (horas de inspección y
empaque). Al analizar la primera restricción, 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 120 (horas de
producción) encontramos que todas las horas de producción se utilizan para fabricar la
variable X2 por lo tanto si la producción de una unidad de X2 toma 2 horas y se tienen en
existencia 120 horas entonces se manufacturarán 30 relojes, (120 horas ÷ 4 horas por
unidad = 30 relojes de damas). No obstante, para poder completar el proceso de
producción, debemos inspeccionar y luego empaquetar los relojes donde la cantidad
disponible de horas para el anterior proceso mencionado es de 100 horas.

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El estudio de la segunda restricción, 2X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 100, demuestra que el
proceso de inspección toma 3 horas donde solo se pueden inspeccionar 33.33 relojes de
damas.2
Por lo tanto a pesar de que la segunda restricción indica que se puede
inspeccionar y empaquetar más relojes (33.33) de los que se pueden producir (30), en
realidad solo hay recursos para hacer 30 relojes. Si por error se decide manufacturar
33.33 relojes entonces habrá una deficiencia de 13.32 horas necesarias para completar la
producción. Veamos el porqué de lo antes mencionado. La fabricación de 33.33 relojes
requiere 4 horas por cada reloj del recurso horas de producción, para un total de 133.32
horas requeridas (4 horas x 33.33 relojes). El total de horas disponible para la producción
de relojes son 120 por lo tanto faltarán 13.32 horas para poder hacer los 33.33 relojes
(120 – 133.32). Esto significa que la producción se quedará corta por 3.33 relojes (-13.32
horas ÷ 4 horas de producción).
El proceso mecánico del método símplex toma en consideración lo antes mencionado
mediante el cálculo de un Ratio o límite introductorio para cada renglón y luego
selecciona el Ratio positivo más pequeño entre los renglones. Este Ratio indica la razón
de entrada y salida para la nueva variable básica. Esto aplica para ambos casos,
maximización y minimización. Es decir sabemos que la variable entrante, la nueva
variable básica es X2 y ésta deberá ocupar su lugar al lado extremo izquierdo donde están
ubicadas las variables de holguras S1 y S2. La búsqueda del mejor Ratio nos indicará cuál
de las variables básicas, S1 y S2 saldrá para dar paso a la nueva variable entrante, variable
básica X2 o lo que es lo mismo en cuál fila se ubicará la variable. Para lograr lo antes
mencionado, el método calcula para cada renglón un Ratio, dividiendo el valor del lado
derecho (bi) entre el coeficiente aij correspondiente y luego selecciona el positivo más
pequeño. Para este caso se usarán los coeficientes aij correspondiente a la columna pivote
(columna X2).
bi ÷ aij = Ratio
(b1) (a12)
S1 120 ÷ 4 = » límite positivo más pequeño (renglón pivote)
(b2) (a22)
S2 100 ÷ 3 = 33.33
El ratio positivo más pequeño es 30 por lo tanto la variable S1 ubicada en el primer
renglón saldrá y en su lugar la ocupará la variable X2. A este renglón saliente se le
conoce como renglón pivote porque sale para dar paso a la entrada de la nueva variable
básica provista por la columna pivote. Es decir sale la variable S1, entra la variable X2 y
se producen 30 unidades. Se podrá seleccionar el cero como el valor positivo más
pequeño de ser necesario, ante la ausencia de un ratio positivo. Véase tablón símplex en
la siguiente página.
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La cantidad de relojes que se inspeccionan y empacan deberá ser un número entero y no fraccionar. Para
evitar esta situación se utiliza el enfoque de programación para enteros, el cual no veremos en este trabajo.
30

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El propósito del Ratio es saber el número máximo de unidades que se pueden asignar a la
variable que entra y así evitar que las variables básicas tengan valores negativos o se
violenten las restricciones. La selección errónea de 33.33 como el mejor Ratio violenta la
primera restricción causando un faltante de 13.32 horas (33.33 x 4 horas – 120 horas
disponibles de producción) y como consecuencia de está decisión, la producción se
quedará corta por 3.33 relojes (-13.32 horas ÷ 4 horas de producción). El Ratio
seleccionado indica una producción de 30 relojes y la columna pivote indica que estos
relojes serán de damas (X2). Si la aportación a las ganancias de la variable X2 son $6 por
unidad entonces la ganancia total será de $180; ($6)(30 relojes). Para expresar esta
relación de entrada y salida se hace el cálculo para nuevo renglón pivote y se trasladan
los resultados al segundo tablón símplex. El cálculo del nuevo renglón se realiza
dividiendo el renglón pivote entre el elemento de intersección de la columna y el renglón
pivote.
Elemento Nuevo
Renglón Pivote ÷ Intersección = Renglón Pivote
(2, 4, 1, 0; 120) ÷ 4 = (½, 1, ¼, 0; 30) » Trasladar al segundo tablón.
La justificación para que el renglón pivote se divida entre el elemento de intersección
viene de las ecuaciones lineales. El ratio positivo más pequeño seleccionado de 30 se
obtuvo de la primera ecuación y de la división del valor o la constante al lado derecho
(b1) de 120 entre 4. Ahora bien, cualquier ajuste que se realice a un elemento de una
ecuación afecta a todos los demás elementos de esa ecuación. Es decir lo que se le haga a
un lado de la ecuación afecta toda la ecuación lineal. Por ejemplo la división entre 4 al
valor del lado derecho de 120 para la restricción, 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 120,
afecta toda la ecuación por lo tanto toda la ecuación lineal se divide entre 4. El resultado
obtenido es igual al nuevo renglón pivote.
2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 120
= (½ X1+1X2 + ¼ S1 + 0S2; 30) « Nuevo renglón
4 pivote

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Luego de producir las 30 unidades de X2 se requieren que en su totalidad se inspeccionen
y se empaquen para la venta. La segunda restricción se relaciona con este proceso, 100
horas disponibles. La sustitución del valor de X2 en la ecuación lineal, 2X1 + 3X2 +
0S1 + 1S2 = 100, indica el uso de 90 horas que se consumen del total de 100 horas
disponibles del segundo recurso, creando un sobrante de 10 horas. El resultado anterior
se obtiene sustituyendo X1 = 0 y X2 = 30 en la segunda ecuación.
2(0) + 3(30) + 0S1 + 1S2 = 100
S2 = 100 – 90 = 10 (horas disponibles)
Este procedimiento se conoce como revisión de los renglones y es mandatario para todas
las filas, excluyendo el nuevo renglón pivote. A continuación se resume el proceso de
revisión de los renglones según el método símplex:
1. Halle el elemento de intersección que se encuentra entre la columna pivote y el
renglón a revisarse. (3 para nuestro ejemplo)
2. Multiplique el nuevo renglón pivote por el negativo del elemento de intersección.
(½, 1, ¼, 0; 30) x – (3) = (- 3
/2 , -3, -¾, 0; -90)
3. Súmele algebraicamente al el renglón negativo el renglón que se está revisando y
trasládelo al próximo tablón. (segundo tabla símplex)
(- 3
/2, -3, -¾, 0; -90)
S2: + ( 2, 3, 0, 1; 100)
( ½, 0, -¾, 1; 10)
Al igual que para el tablón inicial habrá que buscar los valores Zj para la nueva tabla
símplex. (Zj = Σ Cijaij.), llevarlos al segundo tablón y luego buscar la ganancia de manera
parecida donde Z = Σ Cijbi.
C2 a11 C2 a21
Z1 = (6)(½) + (0)(½) = 3; este valor irá en la primera columna para el renglón Zj debajo
de la columna X1.
C2 a12 C2 a22
Z2 = (6)(1) + (0)(0) = 6; este valor irá en la segunda columna para el renglón Zj debajo de
la columna X2.
C2 a13 C2 a23
Z3 = (6)(¼) + (0)(-¾) = 3
/2; este valor irá en la tercera columna para el renglón Zj debajo
de la columna S1.
C1 a14 C2 a24
Z4 = (6)(0) + (0)(1) = 0; este valor irá en la cuarta columna para el renglón Zj debajo de la
columna S2.
Z = (6)(30) + (0)(10) = 180
Finalmente para completar el tablón habrá que buscar los ∆Zj correspondientes donde
∆Zj = CJ - Zj.

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∆Z1 = C1 - Z1 = 4 – 3 = 1
∆Z2 = C2 - Z2 = 6 – 6 = 0
∆Z3 = C3 - Z3 = 0 – 3
/2 = -3
/2
∆Z4 = C1 - Z4 = 0 – 0 = 0
INTERPRETACIÓN DE LA SEGUNDA TABLA SÍMPLEX
El siguiente tablón símplex hace un resumen de todos los datos pertinentes a la empresa
para ser interpretados.
La búsqueda de la solución actual se obtiene al interpretar los resultados del segundo
cuadro. Se analizan las variables básicas y no básicas, se leen el valor de estas variables y
finalmente se busca la ganancia.
Las variables básicas son aquellas con ∆Zj = 0 y con valores al lado derecho (bi) mayores
e iguales a cero. La razón por la cual estos cambios son cero se debe a que estas
variables hicieron su aportación máxima a la ganancia. La variable X2 posee con ∆Z2= 0
y su valor a la extrema derecha (b1) es 30. Mientras que la variable S2 también posee un
∆Zj = 0 con un valor de 10. Note que para ambas variables existe un coeficiente de 1,
ubicado en la intersección entre la columna y el renglón donde se encuentra la variable.
Las variables no básicas son aquellas con ∆Zj ≠ 0 y con valores de cero. Su valor es cero
porque no están o no aportan a la solución. Además estás variables tienen cambios
positivos o negativos. Las variables no básicas para el segundo tablón son: X1 con ∆Z1 =
1 y S1 con ∆Z3 = -3
/2 y los valores de estas dos son cero. La ganancia (Zj) será de $180.
Se puede cotejar si la ganancia expresada en el tablón es la correcta utilizando la
siguiente relación aritmética; Zi +1 = Zi + (mejor ∆Zj)( mejor Ratio).
ZII = ZI + (mejor ∆ZI)( mejor RatioI).
ZII = $0 + ($6)(30 ) = $180.

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En conclusión la mezcla para la producción de los relojes se encuentra en el punto (0, 30)
en donde la producción semanal será de 30 relojes de mujer y 0 relojes de hombre.
Además se utilizó el total de horas de producción para hacer los relojes y existe un
sobrante de 10 horas disponibles de inspección y empaque para una ganancia de $180.
Al comparar la solución símplex con el análisis gráfico encontramos la solución en el
punto II.
TERCER TABLÓN SÍMPLEX
Un vistazo a las variables no básicas en el segundo tablón símplex demuestra la
existencia de ∆Zj positivos. Esto indica que el tablón no es final óptimo. La solución se
puede mejorar al seleccionar el ∆Zj más positivo. Este cambio provee una ganancia
mayor que la anterior. La variable X1 tiene el ∆Zj más positivo, ∆Z1 = 1. Esto indica que
la solución se puede mejorar si se decide entrar a la base la variable X1. La selección de
ésta variable aumenta la ganancia por $1 según la cantidad entrante de X1 unidades. El
método selecciona la variable no básica con el ∆Zj = 1 por lo tanto X1 será la nueva
columna pivote. (Véase página 16) Luego se buscan los Ratio para cada renglón y se
escoge el positivo más pequeño entre estos.
bi ÷ aij = Ratio
(b1) (a11)
X2 30 ÷ ½ = 60
(b2) (a21)
S2 10 ÷ ½ = » límite positivo más pequeño (renglón pivote)20

16
El renglón S2 sale para dar entrada a la variable X1. Esto indica una producción de 20
unidades de X1, relojes de hombres. Fabricar relojes de hombre causa un efecto negativo
en la producción de relojes de mujer (X2) porque habrá que hacer una reducción en la
cantidad de relojes de mujer que se producen ya que para la solución anterior (cuadro II)
se usaron todas las horas de producción (S1) en los relojes de mujer variable (X2).
Esta situación que presenta el método se puede plasmar y ver su resultado mediante el
análisis de las tasas de substitución (aij) provista por las ecuaciones lineales en el corazón
del tablón símplex. Por ejemplo las ecuaciones lineales originales son:
2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 120 (horas de producción)
2X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 100 (horas de inspección y empaque)
La producción de 20 unidades de X2 (relojes de mujer) utiliza un total de 80 horas de
producción (20 unidades x 4 horas) para un restante de 40 horas disponibles (120 total
horas – 80 horas utilizadas). Como la variable X1 (relojes de hombre) se quedó en la fila,
es decir es una variable básica entonces las 40 horas restantes y disponibles se utilizarán
para producir X1. De la primera restricción se desprende que la variable básica X1 utiliza
2 horas del primer recurso (horas de producción) por lo tanto se producirán 20 unidades
(40 horas restantes y disponibles ÷ 2 horas). Observe que al sustituir los valores de la
mezcla de producción: X1= 20, X2 = 20 en las restricciones y en la función objetivo, se
agotan o se consumen al máximo todos los recursos para obtener una ganancia de $200.
Veamos, primero sustituimos en las restricciones los valores de X1= 20, X2 = 20 y luego
en la función objetivo.
Primera restricción, 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 120
2(20) + 4(20) + 1S1 + 0S2 = 120 (horas de producción)
1S1 + 0S2 = 120 – 40 – 80 = 0
S1 = 0
Segunda restricción, 2X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 100
2(20) + 3(20) + 0S1 + 1S2 = 100 (horas de inspección y empaque)
S2 = 100 – 40 – 60 = 0
S2 = 0
Función objetivo, Maximizar Z = $4X1 + $6X2
Maximizar Z = $4(20) + $6(20) = $80 + $120 = $200
Resumiendo, la solución para el tercer tablón será: X1= 20, X2 = 20, S1 = 0, S2 = 0 y Zj =
$200.

17
Para completar el tercer tablón, repetimos el proceso mecánico símplex. A continuación
se resume el procedimiento.
1. Busque el mejor el ∆Zj más positivo, ∆Zj = 1 para la columna X1.
2. Halle el Ratio positivo más pequeño, R2 = 20, S2 renglón pivote.
3. Halle el renglón pivote, (½, 0, -¾, 1; 10)
4. Halle el nuevo renglón pivote y trasládelo a próximo tablón (tabla III)
a. Busque el elemento de intersección que se encuentra entre la columna
pivote y el renglón pivote. (½ para nuestro ejemplo) y divida el renglón
pivote entre el elemento de intersección.
(½, 0, -¾, 1; 10) ÷ (½); para este caso es más fácil multiplicar el renglón
pivote por el inverso de la fracción, es decir 2.
(½, 0, -¾, 1; 10) x (2) = (1, 0, -3
/2, 2, 20) » Nuevo renglón pivote
5. Revise los renglones restantes para nuestro ejemplo la fila X2.
a. Multiplique el nuevo renglón pivote por el negativo del elemento de
intersección. (1, 0, -3
/2, 2, 20) x – (½) = (- ½ , 0, ¾, -1; -10)
b. Súmele algebraicamente al renglón negativo el renglón que se está
revisando y trasládelo al próximo tablón. (III tabla símplex)
(- ½ , 0, ¾, -1; -10)
X2: + ( ½, 1, ¼, 0; 30)
( 0, 1, 1, -1; 20)
6. Halle los valores Zj para la nueva tabla símplex. (Zj = Σ Cijaij.)
C2 a11 C2 a21
• Z1 = (6)(0) + (4)(1) = 4; este valor irá en la primera columna para el renglón Zj
debajo de la columna X1.

18
C2 a12 C2 a22
• Z2 = (6)(1) + (4)(0) = 6; este valor irá en la segunda columna para el renglón Zj
debajo de la columna X2.
C2 a13 C2 a23
• Z3 = (6)(1) + (4)(- 3
/2) = 0; este valor irá en la tercera columna para el renglón Zj
debajo de la columna S1.
C1 a14 C2 a24
• Z4 = (6)(-1) + (4)(2) = 2; este valor irá en la cuarta columna para el renglón Zj
debajo de la columna S2.
7. Halle la ganancia donde Z = Σ Cijbi.
• Z = (6)(20) + (4)(20) = 200
8. Halle los ∆Zj correspondientes donde ∆Zj = CJ - Zj.
• ∆Z1 = C1 - Z1 = 4 – 4 = 0
• ∆Z2 = C2 - Z2 = 6 – 6 = 0
• ∆Z3 = C3 - Z3 = 0 – 0 = 0
• ∆Z4 = C1 - Z4 = 0 – 2 = -2
Leemos el tercer tablón, buscamos las variables básicas, no básicas, la ganancia e
interpretamos la solución. Las variables básicas son aquellas que poseen ∆Zj = 0 y sus
valores al lado derecho extremo son positivo. La variable X1 y X2 poseen ∆Zj = 0 y un
coeficiente de 1 en la intersección entre la columna y fila donde se encuentra la variable.
El valor para la variable X1 es de 20 unidades mientras que X2 posee un valor también de
20 unidades. Por otra lado las variables no básicas poseen ∆Zj ≠ 0, (positivos o
negativos) mientras que su valor es 0. De la tabla se desprende a S1 y S2 como variables
no básicas y ambas con valores de 0. La ganancia (Zj) que se obtiene de la mezcla de
producción son $200. Se puede cotejar si la ganancia expresada en el tablón es la
correcta utilizando la siguiente relación aritmética; Zi +1 = Zi + (mejor ∆Zj)( mejor Ratio).
ZIII = Zi + (mejor ∆ZII)( mejor RatioII)
ZIII = 180 + (1)(20) = 200

19
El análisis de todos los ∆Zj para el tercer tablón indica que la solución es final óptima.
Esto se debe a que la única manera para mejorar la solución es que una variable no básica
se convierta en variable básica. Para que esto suceda la variable no básica debe tener un
cambio positivo de manera que al seleccionarse aumente la ganancia. De seleccionarse
una variable con cambio negativo, esta reducirá la ganancia. En resumen, para casos de
maximización una solución será óptima si está posee ∆Zj de cero para las variables
básicas y negativo para las variables no básicas.
En conclusión el tablón final indica que la mezcla para la producción de los relojes se
encuentra en el punto (20, 20) en donde la producción semanal será de 20 relojes de
hombre (X1) y 20 relojes de mujer (X2). Se utilizó todos los recursos para obtener una
ganancia máxima semanal de $200. En la solución gráfica, véase gráfica, aparecen
cuatro puntos extremos que son soluciones posibles, estas se prueban hasta obtener una
solución óptima. El método símplex probó todas las esquinas de la solución gráfica en
solo tres tablones.

20
EL PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN
La solución para un problema de minimización se simplifica después de haber practicado
un problema de maximización. La diferencia en el procedimiento es mínima.
Veamos el siguiente ejemplo. La empresa Que Lindo Perrito se dedica a la producción y
venta de comida seca para perros. La compañía produce y empaca dos clases de comidas
en bolsos de 20 libras, estos son a saber; comida seca para perros en crecimiento y
comida seca para perros adultos. El costo semanal de fabricar un saco de comida para
crecimiento es de $5 y para adultos de $7. A la comida para crecimiento se le puede
añadir un máximo de 200 unidades de vitaminas mientras que la comida para perros
adultos deberá tener un mínimo de 100 unidades. El total de unidades de vitaminas para
la mezcla deberá ser exactamente 800 unidades.
La formulación para este problema de programación lineal es la siguiente.
Minimizar Z = $5X1 + $7X2
Sujeto a: 1X1 + ≤ 200 (unidades de vitaminas para perros en crecimiento)
+ 1X2 ≥ 100 (unidades de vitaminas para perros adultos)
X1 + X2 = 800 (total de unidades de vitaminas)
(X1, X2 ≥ 0)
Donde
X1 = unidades de vitaminas para las bolsas de comida para crecimiento
X2 = unidades de vitaminas para bolsas de comida perros adultos
AUMENTO DE LAS RESTRICCIONES Y DE LA FUNCIÓN OBJETIVO
Al igual que en el caso de maximización, antes discutido, se comienza aumentando las
restricciones y luego la función objetivo. La primera restricción, 1X1 + ≤ 200
(unidades de vitaminas para perros en crecimiento) posee un signo de desigualdad por lo
tanto se le asigna una variable de holgura positiva.
1X1 + S1 = 200
La segunda restricción, 2X1 + 3X2 ≥ 100 (unidades de vitaminas para perros adultos)
tiene un signo mayor e igual, es decir el lado izquierdo es mayor que el lado derecho.
Para poder igualar la restricción habrá que restar una variable de holgura. Esta variable
se conoce como una variable de holgura negativa o de excedente o superflua.
0X1 + 1X2 -S2 = 100
Como el método símplex comienza en el origen, esto significa desafortunadamente que
en el punto de solución inicial (0,0) el valor de la variable S2 será de -100.

21
Esto se debe a que se sustituyó el punto (0,0) en la ecuación obteniendo el resultado antes
mencionado.
1(0) -S2 = 100,
S2 = -100
No es permitido un valor negativo para la variable de holgura. Este valor negativo
representa la falta de recurso. No se puede asignar una cantidad negativa de vitaminas
para las bolsas de comida de perro. Para remediar esta situación se le asignará una
variable artificial a la restricción al lado izquierdo en adición a la variable de holgura
negativa. La variable artificial absorberá la negatividad de la variable de holgura.
1X2 -S2 + A2 = 100
La variable artificial posee un subíndice de 2 porque pertenece a la segunda restricción.
Su interpretación, es de una variable de holgura negativa que demuestra por cuántas
unidades la solución final violenta la segunda restricción. Cuando se encuentra una
solución que no violente la restricción, A2 será cero (0) y se quedará con ese valor. Su
único propósito es el proveer una solución inicial con valores no negativos.
La tercera restricción, X1 + X2 = 800 (total de unidades de vitaminas), se le añadirá
una variable artificial para no violentar la restricción. A menos que la restricción pase por
el origen, de lo contrario existirá una diferencia entre el origen y la igualad de la
restricción. La variable artificial absorberá esta diferencia
X1 + X2 + A2 = 800
Siempre que se incorpore una variable de holgura o artificial a una restricción, habrá que
agregarlas en las demás restricciones y en la función objetivo. En una solución óptima,
las variables artificiales no pueden ser variables básicas. La razón para que estas se
excluyan en la solución óptima es que estas absorben la negatividad de la variable de
holgura. También representan por cuantas unidades no se ha cumplido con la restricción.
Para eliminar estas variables artificiales se le asigna un costo extremadamente alto para
los casos de minimización y una reducción grande en las ganancias para los casos de
maximización. En problemas de minimización las variables con costos bajos son
deseables y son las primeras en entrar a la solución y las variables con costos altos serán
rápidamente eliminadas. Para lograr esto utilizaremos el método de la M grande. El
método de la M grande permite la eliminación de estas variables hasta donde sea posible.
El método utiliza la letra $M en vez de dólares para representar un número muy grande.
Le asigna un coeficiente de +$M, costo muy alto en casos de minimización y -$M,
reducción de ganancias para maximización. Las variables de holgura negativa tienen un
costo de cero.

22
Acomodamos las restricciones y la función objetivo con sus nuevas variables de holgura
y artificiales.
Minimizar Z (costo) = $5X1 + $7X2 + $0S1 + $0S2 + MA2 + MA3
Sujeto a: 1X1 + 0X2 + 1S1 + 0S2 + 0A2 + 0A3 = 200
0X1 + 1X2 + 0S1 - 1S2 + 1A2 + 0A3 = 100
1X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 + 0A2 + 1A3 = 800
(X1, X2, S1, S2, A2, A3 ≥ 0)
COMO OBTENER UNA SOLUCIÓN INICIAL
El tablón símplex inicial se construye de manera parecida al anterior ejemplo de
maximización. Las variables básicas en la solución inicial son aquellas que poseen
signos positivos en este caso son las de holgura positivas (S1) y las artificiales (A2 y A3).
Veamos cuales de las variables son básicas a ser asignadas al tablón inicial.
La primera restricción, 1X1 ≤ 200; S1, se asigna la variable S1 » Variable básica
La segunda restricción, 1X2 ≥ 100; -S2 + A2, se asigna la variable A2 » Variable básica
La tercera restricción, X1 + X2 = 800; A3, se asigna la variable A3 »Variable básica
Luego de trasladar las ecuaciones a la tabla inicial procedemos a buscar los valores de Zj
y los ∆Zj correspondientes y los llevamos al tablón inicial.
Z1 = (0)(1) + (M)(0) + (M)(1) = M
Z2 = (0)(0) + (M)(1) + (M)(1) = 2M
Z3 = (0)(1) + (M)(0) + (M)(0) = 0
Z4 = (0)(0) + (M)(-1) + (M)(0)= -M
Z5 = (0)(0) + (M)(1) + (M)(0)= M
Z6 = (0)(0) + (M)(0) + (M)(1)= M
Z = (0)(200) + (M)(100) + (M)(800) = 900M
∆Z1 = C1 - Z1 = 5 – M = 5-M
∆Z2 = C2 - Z2 = 7 – 2M = 7-2M
∆Z3 = C3 - Z3 = 0 – 0 = 0
∆Z4 = C4 - Z4 = 0 – M = M
∆Z5 = C5 - Z5 = M – M = 0
∆Z6 = C6 - Z6 = M – M = 0

23
Para la tabla inicial buscamos las variables básicas, no básicas e interpretamos la
solución. Las variables básicas como se ha mencionado son aquellas que poseen ∆Zj = 0,
mientras que las variables no básicas tienen ∆Zj ≠ 0. Las variables: S1, A2 y A3 son
básicas, mientras que las variables: X1, X2 y S2 son variables no básicas porque tienen
cambios negativos y sus valores son cero. El valor de la variable básica S1 es de 200 y
significa, la existencia de 200 unidades disponibles de vitaminas para perros en
crecimiento. Las variables artificiales significan que no se ha cumplido con la
restricción. El valor de 100 para la variable A2 indica el incumplimiento por la cantidad
de 100 unidades de la segunda restricción, 1X2 ≥ 100 (unidades de vitaminas para perros
adultos). Esta restricción exige que se agreguen por lo menos 100 unidades y su
incumplimiento se debe a que la solución inicial está en el punto (0,0). De igual manera
sucede con la variable A3. Está variable se refiere a la tercera restricción e indica el
incumplimiento de la restricción por 800 unidades. Al sustituir los valores de X1 y X2
faltarán las 800 unidades para su cumplimiento.
Para la tercera restricción sustituimos los valores de X1 = 0 y X2 = 0, entonces 0 + 0 +
A3= 800 por lo tanto A3 = 800.
Cuando se cumpla con la tercera restricción entonces la variable artificial dejará de ser
básica y tendrá un valor de cero. Siempre se violentarán las restricciones mientras una
variable artificial se mantenga como básica.
En conclusión no se asignan vitaminas para alimentos de perros en crecimiento, (X1 = 0)
ni vitaminas para perros adultos, (X2 = 0), y se podrá agregar 200 unidades de vitaminas
para perros en crecimiento. Se incumple con la segunda restricción por 100 unidades y
con la tercera restricción por 100 unidades y el costo es alto.

24
SEGUNDO TABLÓN SÍMPLEX
La construcción del segundo tablón símplex comienza con la búsqueda de la columna
pivote. En el método de la M grande, los ∆Zj son afectados según el valor asignado a la
variable M. Para seleccionar el mejor cambio, asignamos un valor extremadamente alto
en comparación con los coeficientes de X1 y X2. Un valor de $100 es bastante alto si
este es comparado con $5 y $7. Asignamos el valor de $100 y los sustituimos en los
cambios. La selección del ∆Zj más negativo o el costo más bajo, -193, nos indica que la
columna pivote es la segunda columna.
∆Z1 = 5-(100) = 5-100 = -95
∆Z2 = 7-2(100) = 7-200 = -193
La variable X2 entrará a la base. Luego se buscan los Ratio para cada renglón y se escoge
el positivo más pequeño entre estos.
bi ÷ aij = Ratio
S1 200 ÷ 0 = ∞ (No definido)
A2 100 ÷ 1 = » límite positivo más pequeño (renglón pivote)
A3 800 ÷ 1 = 800
El renglón A2 sale para dar entrada a la variable X2. Esto indica una asignación de 100
unidades para X2. Después que una variable artificial sale de la base o deja de ser
variable básica esta no podrá entrar a la base. Esto sucede porque el costo de entrar la
variable es muy alto y el método descartará la variable. Es recomendable aunque no
necesario, la eliminación de la columna A2 en el tablón. Esto hace el cálculo aritmético
más fácil porque la tabla tiene menos elementos. De existir una solución óptima, el
tablón final será más pequeño.
100

25
Se repiten los pasos aprendidos en el caso de maximización para completar el segundo
cuadro.
1. Halle el renglón pivote, (0, 1, 0, -1, 0; 100). Se eliminó la columna A2.
2. Halle el nuevo renglón pivote y trasládalo a próximo tablón (tabla II)
pivote y el renglón pivote. (1 para nuestro ejemplo) y divida el renglón
b. Para este ejemplo el elemento de intersección es 1 por lo tanto el nuevo
reglón pivote será igual que el renglón pivote. (0, 1, 0, -1, 0; 100) ÷ (1).
(0, 1, 0, -1, 0; 100) ÷ (1) = (0, 1, 0, -1, 0; 100) » Nuevo renglón pivote
3. Revise los renglones restantes,
a. para la fila S1.
i. Multiplique el nuevo renglón pivote por el negativo del elemento
de intersección. (0, 1, 0, -1, 0; 100) x – (0) = (0, 0, 0, 0, 0; 0)
ii. Súmele algebraicamente al el renglón negativo, el renglón que se
está revisando y trasládelo al próximo tablón. Como los elementos
son cero entonces el renglón revisado es igual al renglón a
revisarse.
(0, 0, 0, 0, 0; 0)
S1: + (1, 0, 1, 0, 0; 200)
(1, 0, 1, 0, 0; 200)
b. para la fila A3.
iii. Multiplique el nuevo renglón pivote por el negativo del elemento
de intersección. (0, 1, 0, -1, 0; 100) x – (1) = (0, -1, 0, 1, 0;-100)
iv. Súmele algebraicamente al el renglón negativo el renglón que se
está revisando y trasládelo al próximo tablón. Como el elemento es
cero el renglón revisado es igual al renglón a revisarse.
(0, -1, 0, 1, 0;-100)
A3: + (1, 1, 0, 0, 1; 800)
(1, 0, 0, 1, 1; 700)

26
4. Halle los valores Zj para la nueva tabla símplex. (Zj = Σ Cijaij.)
• Z1 = (0)(1) + (7)(0) + M(1) = M
• Z2 = (0)(0) + (7)(1) + M(0) = 7
• Z3 = (0)(1) + (7)(0) + M(0) = 0
• Z4 = (0)(0) + (7)(-1) + M(1) = -7+M
• Z5 = (0)(0) + (7)(0) + M(1) = M
5. Halle la ganancia donde Z = Σ Cijbi.
• Z = (0)(200) + (7)(100) + M(700) = 700 + 700M
• ∆Z1 = C1 - Z1 = 5 – M = 5 – M
• ∆Z2 = C2 - Z2 = 7 – 7 = 0
• ∆Z3 = C3 - Z3 = 0 – 0 = 0
• ∆Z4 = C4 - Z4 = 0 – (-7 +M) = 7-M
• ∆Z5 = C5 – Z5 = M -M = 0
INTERPRETACIÓN DEL SEGUNDO TABLÓN
La tabla anterior resume toda la información sobre la mezcla de producción. Un examen
de los datos provistos, demuestran las variables básicas: S1 con valor de 200, X2 con
valor de 100 y A3 con valor de 700 y las no básicas: X1 y S2 ambas con valores de 0. El
costo para la mezcla de 700 + 700M es todavía muy alto. El punto de solución (0,100)
indica la asignación de 100 unidades de vitaminas para perros adultos (X2) y 0 unidades
de vitaminas para perros en crecimiento.

27
La interpretación de la variable básica S1 se obtiene al estudiar la primera restricción, 1X1
≤ 200 (unidades de vitaminas para perros en crecimiento). Observe que la sustitución
del valor de cero para X1 en la ecuación de forma aumentada causa una disponibilidad
máxima de 200 unidades de parta de la variable S1. Veamos, para 0 + 0X2 + 1S1 +
0S2 + 0A2 + 0A3 = 200; S1 = 200.
En cuanto a la variable básica A3, esta indica el incumplimiento de la tercera restricción,
X1 + X2 = 800 (total de unidades de vitaminas), por la cantidad de 700 unidades. La
restricción exige una combinación exacta de 800 unidades para X1 y X2, sin embargo se
asignó una cantidad de 100, incumpliendo con la restricción por 700 unidades. Veamos,
sustituyendo X1 = 0 y X2 = 100 en la ecuación;
1X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 + 0A2 + 1A3 = 800
1(0) + 1(100) + 0S1 + 0S2 + 0A2 + 1A3 = 800
1A3 = 800 -100 = 700
A3 = 700
Por último se revisa el costo del tablón para ver si este es el correcto, donde;
Zi +1 = Zi + (mejor ∆Zj)( mejor Ratio).
ZII = ZI + (mejor ∆ZI)( mejor RatioI)
ZII = $900M + ($7-2M)(100 ) = $900M + 700 -200M
ZII = $700M + 700
TERCER TABLÓN SÍMPLEX
Un examen de los ∆Zj indica que la solución del segundo tablón no es óptima porque no
todos los cambios son cero y positivos. La solución se puede mejorar porque existen dos
cambio negativos: ∆Z1 = 5-M para la columna X1 y ∆Z4 = 7-M para la columna S2, uno
de estos cambios reducirá el costo más que el otro para la próxima tabla. Seleccionamos
el primer cambio porque es el más negativo. Por consiguiente la variable X1 entrará en la
base y será la columna pivote remplazando aquel renglón que posea ratio positivo más
pequeño.

28
Enumeramos los siguientes pasos para el cálculo del tercer tablón símplex luego de haber
seleccionado la columna pivote.
1. Para el segundo tablón busque los Ratio para cada renglón y escoja el positivo
más pequeño entre estos.
bi ÷ aij = Ratio
S1 200 ÷ 1 = » límite positivo más pequeño (renglón pivote)
X2 100 ÷ 0 = ∞ (No definido)
A3 700 ÷ 1 = 700
El renglón S1 sale al poseer el ratio positivo más pequeño.
9. Halle el renglón pivote, (1, 0, 1, 0, 0; 200)
10. Halle el nuevo renglón pivote y trasládalo al tercer tablón.
11. Para este ejemplo el elemento de intersección es 1 por lo tanto el nuevo reglón
pivote será igual que el renglón pivote.
(1, 0, 1, 0, 0; 200) ÷ (1) = (1, 0, 1, 0, 0; 200) » Nuevo renglón pivote
a. Para la fila X2, la multiplicación del nuevo renglón pivote por cero y la
suma del renglón S1, hace que el reglón revisado sea igual al renglón a
revisarse.
b. para la fila A3.
200

29
de intersección; (1, 0, 1, 0, 0; 200) x -(1) = (-1, 0, -1, 0, 0; -200)
está revisando y trasládelo al tercer tablón; (-1, 0, -1, 0, 0; -200) +
(1, 0, 0, 1, 1; 700) = (0, 0, -1, 1, 1; 500)
13. Halle los valores Zj para la tercera tabla símplex. (Zj = Σ Cijaij.)
• Z1 = (5)(1) + (7)(0) + M(0) = 5
• Z2 = (5)(0) + (7)(1) + M(0) = 7
• Z3 = (5)(1) + (7)(0) + M(-1) = 5-M
• Z4 = (5)(0) + (7)(-1) + M(1) = -7+M
• Z5 = (5)(0) + (7)(0) + M(1) = M
14. Halle el costo donde Z = Σ Cijbi.
• Z = (5)(200) + (7)(100) + M(500) = 1,000 + 700 + 500M
• Z = 1700 + 500M
• ∆Z1 = C1 - Z1 = 5 – 5 = 0
• ∆Z2 = C2 - Z2 = 7 – 7 = 0
• ∆Z3 = C3 - Z3 = 0 – (5-M) = -5+M
• ∆Z4 = C4 - Z4 = 0 - (-7 +M) = 7 -M
• ∆Z5 = C5 – Z5 = M -M = 0

30
INTERPRETACIÓN DEL TERCER TABLÓN
Al igual que en tablas anteriores, examinamos la tercera tabla para buscar las variables
básicas, no básicas e interpretar la solución. En el tercer tablón las variables básicas son:
X1 con un valor al lado derecho de 200 unidades, X2 con 100 y A3 con 500. Las variables
no básicas, aquellas que tienen ∆Zj ≠ 0 están representadas por: S1 y S2 y estas poseen
valores de cero. El costo para esta solución sigue siendo muy alto, $1700 + $500M. Este
costo es alto porque la variable artificial A3 se encuentra en la base, esto violentan la
tercera restricción por 500 unidades ya que esta restricción exige que la combinación de
las variables reales, X1 y X2 en su totalidad sea de 800 unidades. Así lo refleja la
sustitución de las variables reales en la tercera restricción. Veamos, para X1 + X2 = 800
donde 1X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 + 0A2 + 1A3 = 800 en su forma aumentada.
1(200) + 1(100) + 0S1 + 0S2 + 0A2 + 1A3 = 800
A3 = 800 – 300
A3 = 500
En este momento la solución es la asignación de 200 unidades de vitaminas para perros
en crecimiento y 500 unidades para perros adultos con un costo alto para la mezcla.

31
CUARTO TABLÓN SÍMPLEX
Un examen de los ∆Zj muestra que el tercer tablón tiene un solo cambio negativo de 7-M
en la variable no básica S2. Es conveniente entrar esta variable a la base porque me
reducirá el costo. Este cambio negativo indica que la columna S2 será la columna pivote.
Por consiguiente S2 será la nueva variable básica. A continuación se vuelve a enumera
los pasos para llenar el cuarto tablón luego de haber seleccionado la columna pivote.
1. Halle los Ratio para cada renglón y se escoge el positivo más pequeño entre estos.
bi ÷ aij = Ratio
S1 200 ÷ 0 = ∞ (No definido)
X2 100 ÷ -1 = -100
A3 500 ÷ 1 = » límite positivo más pequeño (renglón pivote)
El renglón A3 sale al poseer el ratio más positivo más pequeño.
2. Halle el renglón pivote, (0, 0, -1, 1; 500). Se eliminó la columna A3, porque
después que sale una variable artificial esta no podrá entrar a la base porque su
costo es muy alto.
3. Halle el nuevo renglón pivote y trasládalo a próximo tablón (tabla IV).
b. Para este ejemplo el elemento de intersección es 1 por lo tanto el nuevo
reglón pivote será igual que el renglón pivote; (0, 0, -1, 1; 500) ÷ (1).
(0, 0, -1, 1; 500) ÷ (1) = (0, 0, -1, 1; 500) » Nuevo renglón pivote
500

32
a. para la fila X1.
i. Para la fila X1, la multiplicación del nuevo renglón pivote por cero
hace que el reglón revisado sea igual al renglón a revisarse. (1, 0,
1, 0; 200)
b. para la fila X2.
de intersección; (0, 0, -1, 1; 500) x -(-1) = (0, 0, -1, 1; 500)
está revisando y trasládelo al cuarto tablón; (0, 0, -1, 1; 500) + (0,
1, 0, -1; 100) = (0, 1, -1, 0; 600)
5. Halle los valores Zj para la cuarta tabla símplex. (Zj = Σ Cijaij.)
• Z1 = (5)(1) + (7)(0) + (0)(0) = 5
• Z2 = (5)(0) + (7)(1) + (0)(0)= 7
• Z3 = (5)(1) + (7)(-1) + (0)(-1) = -2
• Z4 = (5)(0) + (7)(0) + (0)(1) = 0
6. Halle el costo donde Z = Σ Cijbi.
• Z = ($5)(200) + ($7)(600) + $0(500) = $5,200
• ∆Z1 = C1 - Z1 = 5 – 5 = 0
• ∆Z2 = C2 - Z2 = 7 – 7 = 0
• ∆Z3 = C3 - Z3 = 0 – (-2) = 2
• ∆Z4 = C4 - Z4 = 0 – 0 = 0

33
INTERPRETACIÓN DEL CUARTO TABLÓN
Los valores de los ∆Zj, de 0 y positivos indican que la solución es óptima. Las variables
básicas son: X1 con valor de 200 unidades, X2 con 600 unidades y S2 con 500 unidades.
La variable S1 al igual que las artificiales, estas últimas se eliminaron del tablón son
variables no básicas. Un examen del tablón óptimo refleja el traslado de la matriz
identidad hacia el lado izquierdo de la tabla. Se corrobora el costo para la solución final
al sustituir en la ecuación; ZIV = ZIII + (∆ZIII)(RatioIII), por lo tanto ZIV = 1700 + 500M
+($7-M)(500) = $5,200. La empresa utilizará 200 unidades de vitaminas para perros en
crecimiento y 600 unidades de vitaminas para perros adultos para un costo semanal de
$5,200. La variable S2 = 500 representa un exceso de 500 unidades de las vitaminas para
perros adultos sobre el mínimo necesario de 100 unidades. Acuérdese que la variable se
relaciona con la segunda restricción, 1X2 ≥ 100 (unidades de vitaminas para perros
adultos). Si la solución para X2 son 600 unidades y el mínimo requerido son 100
unidades entonces S2 será igual a 500 unidades; (X2 + S2 = 100, al sustituir en la
ecuación; 600 + S2 = 100 por lo tanto S2 = 600 – 100).
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD SÍMPLEX
El análisis de sensibilidad símplex se conoce como análisis post óptimo o análisis de
cambios a la solución óptima. Su propósito es ver como cambios en diferentes
parámetros afectan la solución óptima sin que estos violenten la solución y poder así leer
los resultados de estos efectos en la solución. Es decir, se desea ver los efectos de
cambios en los parámetros de la solución óptima sin tener que reformular el problema y
tener que volver hacer los cálculos símplex. Para efectos de este trabajo analizaremos
tres tipos de cambios, estos son; cambios en los coeficientes (Cj) de las variables no
básicas, cambios en los coeficientes (Cj) de las variables básicas y cambios en los niveles
de los recursos o valores al lado derecho de las restricciones (bi).

34
Se utilizará el siguiente ejemplo para explicar el concepto de análisis de sensibilidad.
Maximizar Z = 4X1 + 2 X2
Sujeto a: 2X1 + 2 X2 ≤ 150
1X1 + 2 X2 ≤ 100
(X1, X2 ≥)0
CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO PARA
VARIABLES NO BASICAS
En este ejemplo las variables no básicas son: X2 y S1 con valores de 0.
Nos interesa el contemplar los efectos de un cambio en los coeficientes de la función
objetivo para la variable real X2. Es decir, se desea conocer por cuánto será el cambio
máximo para la constante C2 con valor de 2 y que a su vez las variables básicas y no
básicas se mantengan en el tablón, sin afectar la solución óptima de 300.
Para contestar la interrogante se utilizará el tablón óptimo. La respuesta se basará en la
búsqueda de los intervalos para los cambios máximos permitidos a la variable. Se
comienza agregando un delta (∆) en todo lugar donde esté ubicada la variable no básica.
La variable X2 aparece solo en la segunda columna. Se agrega a la constante 2 el ∆; (2
+∆).
La tabla final permanece sin cambio excepto por el cómputo del ∆Z2 = C2-Z2. Si Z2 es 2
y C2 es ahora 2 +∆ entonces ∆Z2 será igual a -2+∆.

35
Como este es un caso de maximización, la solución óptima actual se quedará óptima
mientras los ∆Zj se mantengan negativos para las variables no básicas y 0 para las
variables básicas.
∆Zj ≤ 0
Por lo tanto mientras que el ∆Z2 no sea positivo, la solución será misma. Resolvemos
para hallar el intervalo de la siguiente forma.
∆Z2 ≤ 0
-2+∆ ≤ 0
∆ ≤ 2
-∞≤ ∆ ≤ 2
Esto significa que C2, el coeficiente de X2 no puede aumentar por más de 2 unidades sin
afectar la solución óptima. La variable X2 puede tener coeficientes entre negativo infinito
y positivo 4. Por ejemplo el intervalo para X2 donde -∞≤ ∆ ≤ 2 se busca sustituyendo
donde;
2+∆ ≤ X2 ≤ 2 +∆
2-∞ ≤ X2 ≤ 2 +2
-∞ ≤ X2 ≤ 4
Este intervalo indica que la variable X2 puede tener un valor máximo de 4 y de negativo
infinito.
CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO PARA
VARIABLES BASICAS
Es de interés el conocer el cambio máximo permitido para el coeficiente de la función
objetivo para una variable básica antes que se afecten las variables básicas remanentes en
una solución óptima. Un cambio en una variable básica puede afectar las demás
variables básicas porque está se encuentra en la fila y en la columna, creando efecto en
los ∆Zj y a su vez la solución actual. El cambio de una variable básica puede causar dos
efectos. Primero existe la posibilidad de que la variable deje de ser básica, si el
coeficiente de la contribución de la variable disminuye. Esto crea la posibilidad de que la
variable deje de ser básica porque resulta menos rentable el mantenerla en la base. Por
otro lado un aumento en la contribución a las ganancias de una variable básica puede
causar un mayor nivel de producción de la variable. Como consecuencia se debe
considerar ambos casos; aumento y disminución de los coeficientes.

36
Considere los cambios para el coeficiente de la variable básica X1. Al agregar un ∆ en
donde esta ubicada la variable, se crea un efecto en los ∆Zj para las columnas.
∆Z1 = 0
∆Z2 = -2-∆
∆Z3 = -2-½∆
∆Z4 = 0
Z = 300+75∆
Para hallar los intervalos de optimalidad se analizan todos los cambios los ∆Zj para su
cumplimiento. Acuérdese que se está maximizando por lo tanto los ∆Zj deberán ser
negativos o cero. Se procede a resolver para: -2-∆ ≤ 0 y -2-½∆ ≤ 0.
-2-∆ ≤ 0 -2-½∆ ≤ 0
-∆ ≤ 2 -½∆ ≤ 2
-½
∆ ≥ -2 ∆ ≥ -4
El cambio ∆ ≥ -2 cumple con el cambio ∆ ≥ -4 porque este es mayor que -4 pero no así lo
contrario. Expresamos el intervalo de la siguiente forma; -2 ≤ ∆ ≤ ∞ o en términos de la
variable real, 2 ≤ X1 ≤ ∞.
¿Ahora bien, se podrá aumentar el coeficiente de la variable X1 a $6? El intervalo indica
que si es posible porque el cambio es $4 o X1 ≤ ∞. Este cambio no afecta las variables
básicas, es decir las variables básicas se quedan en la base pero si crea un efecto en los
valores de estas variables y en la solución actual. Esto se debe a que se está aumentando
la aportación a las ganancias de $4 a $6 por lo tanto la ganancia total aumentará pero el
valor de la variable sigue siendo el mismo, 75. La única forma de aumenta el valor de la
variable X1 es teniendo más recursos. A mayor cantidad de recursos se espera una mayor
producción y una ganancia mayor. El efecto neto del cambio de $2 ($6 - $4) es de un
aumento en la ganancia de $400 donde Z = $300 + 75∆ por lo tanto $300 + 75($2) =
$300 + $150 = $450. Las variables básicas se quedaron con los mismos valores: X1 = 75
y S2 = 25.
Como pudo observar, los cambios en las variables básicas mientras estos se mantengan
dentro del intervalo, no afectarán los valores de las variables básicas pero si se afectarán
la solución final (Zj).

37
CAMBIOS EN LOS VALORES DE LAS RESTRICCIONES (bi) O NIVELES DE
LOS RECURSOS
Un cambio en los valores de los recursos puede afectar tanto los valores de las variables
básicas como el de la función objetivo. El agregar una cantidad mayor de recursos puede
aumentar la producción y como consecuencia el valor de la solución. Y por el contrario
una disminución de recursos puede disminuir el valor de la variable básica y a su vez el
valor de la función objetivo.
La variables que representan los recursos disponibles en la solución inicial son a saber; S1
con valor de 150 y S2 con valor de 100. Para conocer cuántas unidades del primer
recurso se pueden agregar o disminuir y poder leer el resultado en el tablón óptimo, habrá
que buscar el intervalo de optimilidad. Este indicará el efecto de un cambio en el valor
de 150 valor ubicado al lado derecho para la variable S1. Para entender el procedimiento
para la búsqueda del intervalo, agregamos un ∆ en b1, en el tablón inicial y este se refleja
en la tabla inicial según aparece en el próximo tablón. Acuérdese que la variable S1
representa el valor del primer recurso, para la primera restricción según lo demuestra el
tablón inicial.
2X1 + 2X1 ≤ 150 + 1∆; S1 = 150
X1 + 2X1 ≤ 100 + 0∆
El delta agregado en la solución inicial símplex se moverá a través de las diferentes
interacciones. En la interacción final aparecerá reflejado de la siguiente forma según lo
ilustra el próximo tablón final. Observe en el tablón óptimo que las constantes de los
deltas son iguales a las constantes correspondientes a la columna S1, por lo tanto para
buscar los deltas necesarios, le agregamos el producto del valor de bi y la constante
ubicada en relación a la columna de la variable de holgura que representa la restricción.

38
Acuérdese que los valores de los lados derechos tienen que ser positivos o cero (bi ≥0)
por lo tanto los ∆Zj deberán ser también positivos o cero (∆Zj ≥0).
Se despejan los ∆Zj para buscar el intervalo.
75 +½∆ ≥ 0 25 -½∆ ≥ 0
½∆ ≥ -75 -½∆ ≥ -25
∆ ≥ -150 ∆ ≤ 50
Para el primer recurso el intervalo es: -150 ≤ ∆ ≤ 50 y al sustituir los cambios en S1, el
intervalo para la variable en términos totales será de 0 ≤ ∆ ≤ 200; (-150 +150 ≤ S1 ≤ 50
+ 150).
Supóngase que se aumenta el primer recurso a 175. ¿Se puede hacer este aumento y
poder leer su efecto en el tablón óptimo? La respuesta a este pregunta, es afirmativa, se
puede porque el cambio es menor que 50 y mayor que -150; (175 – 150 = 25). Y en
términos totales para S1, 175 es menor que 200.
¿Cómo se afectan las variables básicas y la función objetivo con el nuevo incremento de
recursos por la cantidad de 175? La contestación a esta pregunta se obtiene sustituyendo
el nuevo cambio de 25 en las nuevas ecuaciones. Para,
X1 S2 Z
X1 = 75 +½∆ S2 = 25 -½∆ Z = 300 +2∆
X1 = 75 +½(25) S2 = 25 -½(25) Z = 300 +2(25)
X1 = 75 + 12.5 S2 = 25 -12.5 Z = 300 +50
X1 = 87.5 S2 = 12.5 Z = 350

39
Al interpretar los resultados tenemos que un aumento de 175 unidades para la primera
restricción causará un incremento de 87.5 unidades para X1, 12.5 unidades para S2 y $350
para la función objetivo.
En conclusión un aumento o disminución en los valores de los recursos afectará los
valores de las variables básicas y el valor de la función objetivo.
BIBLIOGRAFÍA
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Approaches to Decision Making, 9 edition, South Western, 2000.
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