UNIVERSIDAD FERMIN TORO                                               VICERECTORADO ACADEMICO                             ...
− 12 sen 2 x + e − x + 12 xsen2 x + 4e − x = 5e − x                                                               5e − x =...
2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método          correspondiente.       ...
( xy + y   2               + x 2 ) dx − x 2 dy == 0( xy + y   2               + x 2 ) dx = x 2 dydy xy + y 2 + x 2     =dx...
2         2t + 1                    tg −1                                  x          3        3 +c Ln        =Regresa...
M′M = y 5 cos x ⇒                               = 5 y 4 cos x                                           y′                ...
2 Ln x 2    x 2 cos xe −1n x −2 dx + c y=e               ∫                                                           ...
2c, ex + 2 c2 e2x + 2 c3 e-x + 2 c4 sem 3x + 2 c5 cos 3x-3(c, e2 + 2 c2 e-2x – c3 e-x + 3 c4 cos 3x – 3 c5 sem 3x)+ c, ex ...
1        0    -5      16      36       -16     -32   1             1    1       -4      12       48      32        1      ...
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Calculo IV

451 visualizaciones

Publicado el

REsueltos

0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
451
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
2
Acciones
Compartido
0
Descargas
10
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Calculo IV

  1. 1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO VICERECTORADO ACADEMICO DECANATO DE INGENIERIA ASIGNACIÒN DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD II: ECUACIONES DIFERENCIALES 1.) Determine si la función es solución de la ecuación diferencial. a.) y = 3sen2 x + e − x ; y ,, + 4 y = 5e − x 1 1 b.) y = senx − cos x + 10e − x ; y , + y = senx 2 2 c) y = C1e − x + C2e x + C3e − 2 x + C4e 2 x ; y ( 4 ) − 5 y ,, + 4 y = 0Sol:Para los tres casos tenemos 3 funciones: a.) y = 3sen2 x + e − x ; 1 1 b.) y = senx − cos x + 10e − x ; 2 2 c) y = C1e − x + C2e x + C3e −2 x + C4e 2 x ; Para poder resolver los casos debemos derivar la función Y tantas veces sea indicado en el ejercicio y luego sustituir esas derivadas en la ecuación diferencial, si la igualdad nos da la misma quiere decir que la función si es solución de la ecuación diferencial, a continuación presentamos la solución de los ejercicios: a.) y = 3sen2 x + e − x ; y ,, + 4 y = 5e − x y = 3 xsen2 x + e − x ⇒ = y ′ = 6 x cos 2 x − e − x ⇒ y ′′ = −12sen 2 x + e − xSustituimos y ′′ y y en la ecuación diferencial:− 12 sen2 x + e − x + 4 ( 3 xsen2 x + e )= −x 5e − x
  2. 2. − 12 sen 2 x + e − x + 12 xsen2 x + 4e − x = 5e − x 5e − x = 5e − x si es solución 1 1 b.) y = senx − cos x + 10e − x ; y , + y = senx 2 2 Solución: 1 1 y = cos x + senx − 10e − x 2 2Sustituimos y ′ y y en la ecuación diferencial: 1 1 1 1 cos x + senx − 10e − x + senx − cos x + 10e − x = senx 2 2 2 2 1 1 senx + senx = senx ; 2 2 senx = senx si es solución c) y = C1e − x + C 2 e x + C 3 e −2 x + C 4 e 2 x ; y ( 4 ) − 5 y ,, + 4 y = 0 y ′ = −c1e − x + c 2 e x − 2c3 e −2 x + 2c 4 e 2 x y ′′ = c1e − x + c 2 e x + 4c3 e −2 x + 4c 4 e 2 x y ′′′ = −c1e − x + c 2 e x − 8c3 e −2 x + 8c 4 e 2 x y ′′′′ = c1e − x + c 2 e x + 16c3 e −2 x + 16c 4 e 2 x Sustituyendo y ′′′′ , y ′′ y y en la ecuación diferencial; c1e − x + c 2 e x + 16c3 e −2 x + 16c 4 e 2 x − 5( c1e − x + c 2 e x + 4c3 e −2 x + 4c 4 e 2 x )+4 C1e − x + C 2 e x + C 3 e −2 x + C 4 e 2 x = 0 c1e − x + c 2 e x + 16c3 e −2 x + 16c 4 e 2 x -5 c1e − x − 5c 2 e x − 20c3 e −2 x − 20c 4 e 2 x + 4C1e − x + C 2 e x + C 3 e −2 x + C 4 e 2 x = 0 c1e − x − 5c1e − x + 4C1e − x + c 2 e x − 5c2 e x + C2 e x + C3e −2 x − 20c3e −2 x + C3e −2 x + 16c4 e 2 x − 20c4 e 2 x + C 4 e 2 x = 0 Si es solución
  3. 3. 2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método correspondiente. a.) e y sen 2 xdx + cos x e 2 y − y dy = 0 ( ) b.) ( xy + y + x )dx − x dy = 0 2 2 2 c) ( y cos x )dx + ( 4 +5 ysenx )dy = 0 2 2 d) y, − y = x 2 cos x xSol:a.) e y sen2 xdx + cos x( e 2 y − y ) dy = 0El método que se aplicara para resolver la ecuación diferencial es el meto de ecuaciones separables de lasiguiente manera:e y sen 2 xdx = − cos x( e 2 y − y ) dysen 2 x dx = ( e 2 y − y ) dy− cos x eySabemos que:sen2 x = 2 senx cos xEntonces:2 senx cos x dx = ( e 2 y − y ) ⇒ 2senxdx = ( e y − ye − y )dy Integrando ambos lados de la igualdad tenemos: − cos x ey − 2 cos x = −e y − e y ( y + 1) + cb.) ( xy + y 2 + x 2 ) dx − x 2 dy = 0Buscamos la forma que tiene para poder solucionar el problema:Veamos es homogénea sin embargo no se puede resolver como tal; pero sin embargo se puede llevar a laforma realizando un cambio de variable; de la forma siguiente:
  4. 4. ( xy + y 2 + x 2 ) dx − x 2 dy == 0( xy + y 2 + x 2 ) dx = x 2 dydy xy + y 2 + x 2 =dx x2 xy + y 2 + x 2 u 2 xy + u 2 y 2 + u 2 x 2f ( x, y ) = ⇒ f ( ux, uy ) = x2 u2x u 2 ( xy + y 2 + x 2 )⇒ f ( ux, uy ) = u2 x2 xy + y 2 + x 2⇒ f ( ux, uy ) = x2f ( ux, uy ) = f ( x, y )Como f ( ux, uy ) = f ( x, y ) ⇒ la ecuación diferencial es homogénea, con lo cualPodemos hacer el cambio de variable y = tx Así: dy dty = tx ⇒ = .x + t dx dxSustituyendo:dt xtx + t 2 x 2 + x 2 x+t =dx x2dt x 2 ( t + t 2 + 1) .x =dx x2dt .x = t 2 + t + 1dxdx dt = 2 x t + t +1Integrando:
  5. 5. 2  2t + 1 tg −1   x 3  3 +c Ln =Regresando el cambio de variable: 2 −1  2 y / x + x tg  x 3  3 Ln = +c 2 −1  2 y + x tg  x 3  3x Ln = +c solución generalc) (y 2 cos x ) dx + ( 4 + 5 ysenx ) dy = 0y 2 cos xdx + (4 + 5 ysenx)dy = 0Como posee la forma de las ecuaciones diferenciales exactas comprobémosla: ∂M M ( x, y ) = y 2 cos x ⇒ = 2 y cos x ∂y ∂N N ( x, y ) = 4 + 5 ysenx ⇒ = 5 y cos x ∂x ∂M ∂NComo ≠ ⇒ no es exacta, veamos si podemos encontrar un factor integrante usando: ∂y ∂x  ∂N ∂M  ∫  ∂x − ∂y dy   µ ( y) = e    5 y cos x − 2 y cos x  ∫  y 2 cos x  dy  =e   dy =e 3 ∫ y = e 3 Lnly 3 = y 3EntoncesFI ( y ) = y 3 Es el factor integrante, multipliquemos ± por FI (y) = y3cos xdx + (4 y 3 + 5 y 4 senx)dy = 0Veamos ahora si es exacta:
  6. 6. M′M = y 5 cos x ⇒ = 5 y 4 cos x y′ N′N = 4 y 3 + 5 y 4 senx ⇒ = 5 y 4 cos x X′ aM aNComo = ⇒ es exacta! ay ax x y∫a M ( xb)dx + ∫ N = ( xy) = 0 b x y∫b cos xdx + ∫ (ay 4 + 5 y 4 senx) dy = 0 5 a b x y ∫ + (y + y 5 senx) ∫ = 0 4b5senx a bb5senx - b5sena + y4 + y5 senx – b4 b5senx = 0y4 + y5 senx +c = 0 c = -b5sena – b4 2d ) y, − y = x 2 cos x x 2y´ - y = x2 cosx xLa ecuación tiene la estructura de una ecuación lineal de 1er orden con lo cualQ(x) = x2 cosx 2 dxP(x) = - x ⇒ ∫ P ( x )dx = −2 ∫ x = −2 ln xAsí la solución es de la forma ∫ − P ( x ) dx  Q( x)e ∫ P ( x ) dx dx + c Y=e ∫   Sustituyendo ∫ P( x)dx , tenemosy=e 2 Ln x [∫ x cos xe 2 − 2 Ln x dx + c ]
  7. 7. 2 Ln x 2  x 2 cos xe −1n x −2 dx + c y=e ∫   y = x2 [∫ x 2 cos x.x −2 dx + c ]y = x2 [∫ cos xdx + c] y = x 2 [ senx + c ] 3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método correspondiente:a.) y ,, − 3 y , + 2 y = 3e − x − 10 cos 3 xY” – 3y3 + 2y = 3e-x – 10cos3xUsaremos el método del anulador, entoncesR(x) = 3e-x -10cos3xL(D) = D2 – 3D + 2 = (D - 1) (D - 2)A (D) = (D + 1) (D2 + 9) anulador de R(x)Entonces la ecuación I se puede escribir como(D2 – 3 D + 2) y = 3 e-x – 10cos 3xMultiplicando ambos lados de la igualdad por A(D)(D-1)(D+2)(D+1)(D2+9) y = (D+1)(D2+9)(3e-x-10cos3x)(D-1)(D-2)(D+1)(D2+9) = 0, polinômios característicosD -1 = 0, D - 2 = 0, D + 1 = 0 y D2 + 9 = 0D = 1, D = 2, D = -1 y D = ± 3La solución tiene formaY = c, ex + c2 e2x + c3 e-x + c4 sen3x + c5cos3xSustituyendo en II(D2-3D+2)(c, ex+c2 e2x + c3e-x + c4sen3x + c5cos3x) = 3e-x-10cos3xDesarrollando tenemos que
  8. 8. 2c, ex + 2 c2 e2x + 2 c3 e-x + 2 c4 sem 3x + 2 c5 cos 3x-3(c, e2 + 2 c2 e-2x – c3 e-x + 3 c4 cos 3x – 3 c5 sem 3x)+ c, ex + 4 c2 e-2x + c, e-x – 9 c4 sen3x – 9 c5 cos 3x = 3 e-x – 10 cos 3x3c1 e2 + 6 c2 e-2x + 3 c3 e-x – 7 c4 sem 3x – 7 c5 cos 3x – 3 c, ex- 6 c2 e-2x + 3c3 e-x – 9 c4 cos3x + 9 c5 sem 3x = 3 e-x – 10 cos 3x6 c3 e-x + (-7 c4 + 9 c5) sem 3x – (9 c4 + 7 c5) cos 3x = 3 e-x – 10 cos 3xIgualando coeficientes6 c3 = 3 ⇒ c3 = ½-7 c4 9 c5 = 0 ⇒ c4 = 9/7 c5 99 c4 + 7 c5 = 10 ⇒ 9 c5 + 7 c5 = 10 ⇒ 130 c5 = 70 7 ⇒ c5 = 7/13 ∧ c4 = 9/13Por lo tanto la solución es 1 -x 7 9 y = c, ex + c2 e2x e + sen 3x + cos 3x 2 13 13b.) y ( 6 ) − 5 y ( 4 ) + 16 y ,,, + 36 y ,, − 16 y , − 32 y = 0y(6) – 5 y(4) + 15 y”´ 35 y” 16 y´ - 32 y = 0es una ecuación homogénea, la cual le escribimos como(D6 – 5D4 + 16D3 + 36D2 – 16D - 32). y = 0EntoncesD6 – 5D4 + 16D3 + 36D2 – 16D - 32). Y = 0, polinomio característicoUsando Ruffini32 = {± 1, ±2, ±4, ±8, ±16}a51
  9. 9. 1 0 -5 16 36 -16 -32 1 1 1 -4 12 48 32 1 1 -4 12 48 32 0 0=1 -1 -1 0 4 -16 -32 1 0 -4 16 32 0 D = -1 -2 -2 4 0 -32 1 -2 0 16 0 D = -2 -2 -2 8 -16 1 -4 8 3 D = -1 − (−4) ± (−4) 2 − 4(1)(8) D = 2 + 26 D= = 2(1) D = 2 - 26La solución es y = c, ex + c2 e-x + c3 e-2x + c4 x e-2x + c5 e2x sem x + c5 e2x cos 2x

×