los siguientes ejercicios, tratan sobre los diferentes metodos de resolucion de las ecuaciones diferenciales

1. Universidad Fermín Toro
Vice-rectorado Académico
Decanato de Ingeniería
Departamento de mantenimiento mecánico

2. 1.) Determine si la función es solución de la ecuación diferencial.
Para la solución de los ítems a, b y c debemos derivar la función y tantas veces nos indique
la ecuación diferencial, a continuación se sustituyen los valores obtenidos en la misma y si
se cumple la igualdad entonces la función y es solución de la ecuación diferencial en caso
contrario no es solución.
a.) y = 3sen2 x + e − x ; y ,, + 4 y = 5e − x
y = 3 xsen2 x + e − x ⇒ y = 6 x cos 2 x + e − x
⇒ y” = −12 sen 2 x + e −x
Entonces:
y” = + 4y = − 12 sen2 x + e − x + 4( 3sen2 x + e − x )
= − 12 sen2 x + e − x + 12sen2 x + 4e − x
y”+ 4y = 5e − x
La función es solución de la ecuación diferencial
1 1
b.) y = senx − cos x + 10e − x ; y , + y = senx
2 2
1 1 1 1
y= senx − cos x + 10e − x ⇒ y ' = cos x + senx + 10e − x
2 2 2 2
Entonces:
1 1 1 1
y’ +y = cos x + senx − 10e − x + senx − cos x + 10e − x
2 2 2 2
y’ +y = senx
La función es solución de la ecuación diferencial

3. c) y = C1e − x + C2 e x + C3e −2 x + C4 e 2 x ; y ( 4 ) − 5 y ,, + 4 y = 0
c1e − x + c2 e x + c3e −2 x + c4 e 2 x
−x
y’ = − c1e + c 2 e x − 2c3 e −2 x + 2c 4 e 2 x
−x −2 x
y” = c1e + c2 e + 4c3e + 4c4 e
x 2x
−x −2 x
y’’’ = c1e + c2 e − 8c3e + 8c4 e
x 2x
−x −2 x
y(4) = c1e + c 2 e + 16c3 e + 16c 4 e
x 2x
Entonces:
−x −2 x
y(4) - 5 y” +4y = c1e + c2 e + 16c3e + 16c4 e
x 2x
= − 5( c1e + c2 e + 4c3e + 4c4 e )
−x x −2 x 2x
= + 4( c1e + c2 e + c3e + c4 e )
−x x −2 x 2x
−x −2 x
= c1e + c2 e + 16c3e + 16c4 e
x 2x
−x −2 x
= − 5c1e − 5c2 e − 20c3e − 20c4 e
x 2x
−x
= 4c1e + 4c 2 e x + 4c3 e −2 x + 4c 4 e 2 x
y(4) - 5 y” +4y =0
La función es solución de la ecuación diferencial.
2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al
método correspondiente.
La siguiente ED la resolveremos utilizando el método de variables separables de esta
manea:
a.) e y sen2 xdx + cos x( e 2 y − y ) dy = 0

4. e y .sen 2 x.dx + cos x ( e 2 y − y ) dy = 0
e y .sen 2 x.dx = − cos x( e 2 y − y ) dy Usando variables separables
sen2 x e2 y −
dx = − y dy
cos x e
2 senx cos x  e2 y y 
dx =  y − y dy
e
cos x  c 
2 senxdx = −( e y − ye − y ) dy
Integrando tenemos que:
− 2 cos x = −e y − e y ( y + 1) + c Solución general
b.) ( xy + y 2
+ x 2 ) dx − x 2 dy = 0 ( xy + y 2
+ x 2 ) dx − x 2 dy = 0
La ED es homogénea de orden 2 verifiquemos si es homogénea.
( xy + y 2
+ x 2 ) dx = x 2 dy
dy xy + y 2 + x 2 Ι
=
dx x2 I
Con lo cual:
xy + y 2 + x 2 λ2 xy + λ2 y 2 + λ2 x 2
f ( x, y ) = ⇒ f ( λx , λy ) =
x2 λ2 x
λ2 ( xy + y 2 + x 2 )
/
⇒ f ( λ x, λ y ) =
λ2 x 2
/
xy + y 2 + x 2
⇒ f ( λ x, λ y ) =
x2
f ( λx , λy ) = f ( x , y )

5. Como f ( λx, λy ) = f ( x, y ) ⇒ la ecuación diferencial es homogénea, con lo vual
podemos hacer el cambio de variable y = vx Así:
dy dv
y = vx ⇒ = .x + v
dx dx
Sustituyendo en Ι :
dv xvx + v 2 x 2 + x 2
.x + v =
dx x2
dv x 2 ( v + v 2 + 1)
.x =
dx x2
dv
.x = v 2 + v + 1
dx
dx dv
= 2
x v + v +1
Integrando:
2 −1  2 y + 1
tg 
x 3  3 +c
Ln =
Devolviendo el cambio de variable:
2 −1  2 y / x + x
tg 
x 3  3
Ln = +c
2 −1  2 y + x
tg 
x 3  3x
Ln = +c solución general
c) (y 2
cos x ) dx + ( 4 + 5 ysenx ) dy = 0
Al parecer la ED es exacta comprobemos:

6. y 2 cos xdx + ( 4 + 5 ysenx)dy = 0 Ι
Verifiquemos si es exacta:
∂M
M ( x, y ) = y 2 cos x ⇒ = 2 y cos x
∂y
∂N
N ( x, y ) = 4 + 5 ysenx ⇒ = 5 y cos x
∂x
∂M ∂N
Como ≠ ⇒ no es exacta, veamos si podemos encontrar un factor integrante
∂y ∂x
usando:
∂N ∂M
∫ ( ∂x − ∂y
µ ( y) = e
5 y cos x − 2 y cos x
∫ y 2 cos x
dy
=e
dy
=e 3 ∫ y = e 3 Lnly 3 = y 3
Entonces
µ ( y ) = y 3 Es el factor inteligente, multipliquemos ± por µ (y) = y3
Y5 cosx dx + (4 y3 + 5 y4 senx) dy = 0
La cual debe ser ahora exacta
aM
M = y5 cosx ⇒ = 5 y4 cosx
ay
aN
N = 4 y3 + 5 y4 senx ⇒ = 5 y4 cosx
ax
aM aN
Como = ⇒ es exacto y resolvemos usando
ay ax

7. x y
∫a
M ( xb)dx + ∫ N = ( xy ) = 0
b
x y
∫b cos xdx + ∫ (ay 4 + 5 y 4 senx) dy = 0
5
a b
x y
∫ + (y + y 5 senx) ∫ = 0
4
b5senx
a b
b5senx - b5sena + y4 + y5 senx – b4 b5senx = 0
y4 + y5 senx +c = 0 c = -b5sena – b4
2
d ) y, − y = x 2 cos x
x
2
y´ - y = x2 .cosx
x
La ecuación tiene la estructura de una ecuación lineal de 1er orden con lo cual
Q(x) = x2 cosx
2 dx
P(x) = -
x
⇒ ∫ P ( x )dx = −2 ∫
x
= −2 ln x
Así la solución es de la forma
∫
− P ( x ) dx  Q( x)e ∫ P ( x ) dx dx + c 
Y=e ∫
 

Sustituyendo ∫ P( x)dx , tenemos
y=e
2 Ln x
[∫ x cos xe
2 − 2 Ln x
dx + c ]
2 Ln x 2  x 2 cos xe −1n x −2 dx + c 
y=e ∫
 


8. y = x2 [∫ x cos x.x
2 −2
dx + c ]
y = x2 [∫ cos xdx + c]
y = x 2 [ senx + c ]
3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método
correspondiente.
a.) y ,, − 3 y , + 2 y = 3e − x − 10 cos 3 x
y” – 3y3 + 2y = 3e-x – 10cos3x I
Usaremos el método del anulador, entonces
R(x) = 3e-x -10cos3x
L(D) = D2 – 3D + 2 = (D - 1) (D - 2)
A (D) = (D + 1) (D2 + 9) anulador de R(x)
Entonces la ecuación I se puede escribir como
(D2 – 3 D + 2) y = 3 e-x – 10cos 3x II
Multiplicando ambos lados de la igualdad por A(D)
(D-1)(D+2)(D+1)(D2+9) y = (D+1)(D2+9)(3e-x-10cos3x)
(D-1)(D-2)(D+1)(D2+9) = 0, polinomios característicos
D -1 = 0, D - 2 = 0, D + 1 = 0 y D2 + 9 = 0
D = 1, D = 2, D = -1 y D = ± 3
La solución tiene forma
Y = c, ex + c2 e2x + c3 e-x + c4 sen3x + c5cos3x

9. Sustituyendo en II
(D2-3D+2)(c, ex+c2 e2x + c3e-x + c4sen3x + c5cos3x) = 3e-x-10cos3x
Desarrollando tenemos que
2c, ex + 2 c2 e2x + 2 c3 e-x + 2 c4 sem 3x + 2 c5 cos 3x
-3(c, e2 + 2 c2 e-2x – c3 e-x + 3 c4 cos 3x – 3 c5 sem 3x)
+ c, ex + 4 c2 e-2x + c, e-x – 9 c4 sen3x – 9 c5 cos 3x = 3 e-x – 10 cos 3x
3c1 e2 + 6 c2 e-2x + 3 c3 e-x – 7 c4 sem 3x – 7 c5 cos 3x – 3 c, ex
- 6 c2 e-2x + 3c3 e-x – 9 c4 cos3x + 9 c5 sem 3x = 3 e-x – 10 cos 3x
6 c3 e-x + (-7 c4 + 9 c5) sem 3x – (9 c4 + 7 c5) cos 3x = 3 e-x – 10 cos 3x
Igualando coeficientes
6 c3 = 3 ⇒ c3 = ½
-7 c4 9 c5 = 0 ⇒ c4 = 9/7 c5
9
9 c4 + 7 c5 = 10 ⇒ 9 c5 + 7 c5 = 10 ⇒ 130 c5 = 70
7
⇒ c5 = 7/13 ∧ c4 = 9/13
Por lo tanto la solución es
1 -x 7 9
y = c, ex + c2 e2x e + sen 3x + cos 3x
2 13 13
b.) y ( 6 ) − 5 y ( 4 ) + 16 y ,,, + 36 y ,, − 16 y , − 32 y = 0
y(6) – 5 y(4) + 15 y”´ 35 y” 16 y´ - 32 y = 0

10. es una ecuación homogénea, la cual le escribimos como
(D6 – 5D4 + 16D3 + 36D2 – 16D - 32). y = 0
Entonces
D6 – 5D4 + 16D3 + 36D2 – 16D - 32). Y = 0, polinomio característico
Usando Ruffini
32 = {± 1, ±2, ±4, ±8, ±16}
1 0 -5 16 36 -16 -32
1 1 1 -4 12 48 32
1 1 -4 12 48 32 0 0=1
-1
-1 0 4 -16 -32
1 0 -4 16 32 0 D = -1
-2
-2 4 0 -32
1 -2 0 16 0 D = -2
-2 -2 8 -16
1 -4 8 3 D = -1
− (−4) ± (−4) 2 − 4(1)(8) D = 2 + 26
D= =
2(1)
D = 2 - 26
La solución es
y = c, ex + c2 e-x + c3 e-2x + c4 x e-2x + c5 e2x sem x + c5 e2x cos 2x