problemas pu

1. Sistema por Unidad – PU
Ejemplos
1. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 zonas, dibuje el diagrama de
reactancias en p.u.. Seleccione los valores del generador de la zona 1 como los
valores base del sistema.
Los datos son los siguientes:
· Generador: 30 MVA, 13.8 kV, 3Ø, X” = 15 %
· Motor No. 1: 20 MVA, 12.5 kV, 3Ø, X” = 20 %
· Motor No. 2: 10 MVA, 12.5 kV, 3Ø, X” = 20 %
· Transformador T1 (3Ø): 35 MVA, 13.2 Δ / 115 Y kV, X = 10 %
· Transformador T2 (3 - 1 Ø): @ 10 MVA, 12.5 / 67 kV, X = 10 %
· Línea de Transmisión: 80 Ω /fase
Solución:
Empezamos definiendo las bases de voltajes en todo el sistema. El ejemplo indica que la
base son los datos del generador que se encuentra en la zona 1, entonces:
MVAbase = 30 MVA, y kVbase = 13.8 kV
De acuerdo a lo anterior tenemos que kVbase 1 = 13.8 kV. Las demás bases de voltaje son
calculadas tomando en cuenta la relación de transformación de los transformadores y sus
conexiones.
Zona 2:
ù
ú úû
é
kV kV V no al
ê êë
=
sec min
base zona base zona min
V no al
prim
1 2
ó
ù
úû
V no al
é
kV kV pri
êë
=
min
base zona base zona min
V no al
sec
2 1
é
13.8 115 2 = úû
kVbase zona 120.23 kV
13.2
ù
êë
Þ =

2. Zona 3:
ù
ú úû
é
ê êë
=
V no al
sec min
base zona base zona min
V no al
kV kV
prim
3 2
ù
é
120.23 12.5 3 =
= referido a través de T2
kVbase zona 12.958 kV
3 67
ú úû
ê êë
*
Esta última base merece un comentario: los valores de voltaje indicados en la razón de
transformación se deben a que T2 es un banco de unidades monofásicas, conectado en
estrella-delta y en los datos que se dieron anteriormente, la relación de transformación se
refiere a la relación de transformación de cada unidad, así como la potencia, es la potencia
de cada unidad, o sea monofásica. Además, tomando en cuenta la conexión de las unidades
del banco, tenemos que para el lado de alto voltaje se requiere el factor de 3 , debido a la
conexión en delta en ese punto.
Cálculo de las impedancias en p.u.:
Generador No.1:
X g1 =0.15 (No requiere conversión porque esta zona es la base del sistema)
Motor No.1:
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
kV
M actual MVA
è
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
è
=
2
1
2
1
2
1
base
base
base
base
MVA
kV
X X
0.2795
30
20
æ
0.2 12.5
12.95
2
ö
æ
ö
1 = ÷ ÷ø
ç çè
÷ ÷ø
ç çè
X M =
Motor No. 2:
ö
÷ ÷ ø
æ
ç ç
kV
M actual MVA
è
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
è
=
2
1
2
1
2
2
base
base
base
base
MVA
kV
X X
0.5590
30
10
æ
0.2 12.5
12.95
2
ö
æ
ö
2 = ÷ ÷ø
ç çè
÷ ÷ø
ç çè
X M =
En el caso de los transformadores, el cambio de base será como sigue:
Transformador T1
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
kV
T pu actual MVA
è
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
è
=
2
1
2
1
2
1
base
base
base
base
MVA
kV
X X
0.0784
30
35
æ
0.1 12.5
12.95
2
ö
æ
ö
2 = ÷ ÷ø
ç çè
÷ ÷ø
ç çè
X pu =

3. Transformador T2
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
kV
T pu actual MVA
è
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
è
=
2
1
2
1
2
2
base
base
base
base
MVA
kV
X X
0.0932
30
30
æ
0.1 12.5
12.95
2
ö
æ
ö
2 = ÷ ÷ø
ç çè
÷ ÷ø
ç çè
XT =
Para la línea de Tx:
2
1
2
base 2
MVA
( )
base
base
kV
Z =
(120.23)2
= = 481.82 W
30
Zbase 2
pu octual
pu base
X
X =
Tx X
0.1660
= 80 = XTx
481.82
Diagrama de impedancias:

4. 2. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 barras, tomando en consideración una
potencia base de 100 MVA y un voltaje base de 110 kV, transforme el sistema en
un diagrama unifilar de impedancias (reactancias) en por unidad.
Generador
100 MVA
22 kV
X=90%
Transformador
100 MVA
22:110 kV
X=10%
Línea de transmisión
Z = j0.8403 pu @ 120
kV y 50 MVA
Carga
datos de operación:
V=110 kV
S=10 MVA
fp = 1
Transformador
100 MVA
120:24 kV
X=12.6%
Solución
Para realizar la solución de pasar al sistema p. u. se debe de realizar los siguientes pasos:
1. Definir en primera instancia la potencia base y los voltajes base por zona, los cuales
normalmente son definidas por los transformadores.
2. Convertir las impedancias a p. u. Si las bases de los equipos no son las del sistema,
la impedancias primero se deben pasar a ohmios (Ω) y evaluar el nuevo valor de la
impedancia en p. u.
3. Dibujar el diagrama de impedancias en p. u.
Para este caso, se ve claramente tres zonas:
1. La zona del lado del generador 1.
2. La zona de transmisión, donde se encuentran las líneas y cargas.
3. La zona del lado del generador 2.
Generador
80 MVA
22 kV
X=1.48 pu
Línea de transmisión
Z = j60.5 ohms
Línea de transmisión
X = 60.5 ohms
Sbase = 100 MVA
Vbase = 110 kV
22:110 kV 120:24 kV

5. Cálculo de Voltaje Base
Zona 2: Referencia del sistema
S base = 100 MVA
V base = 110 kV
Zona 1: Lado del generador 1
S base = 100 MVA
V base = ?
ù
ú úû
é
ê êë
=
V no al
sec min
base zona base zona min
V no al
kV kV
prim
1 2
é
110 22 1 = úû
kVbase zona 22 kV
110
ù
êë
=
Zona 3: Lado del generador 2
S base = 100 MVA
V base = ?
ù
ú úû
é
kV kV V no al
ê êë
=
sec min
base zona base zona min
V no al
prim
3 2
é
110 24 3 = úû
kVbase zona 22 kV
120
ù
êë
=
Cálculo de impedancias y reactancias
Zona 1: Lado del generador 1
Estos cálculos no son estrictamente necesarios porque:
• la base del generador corresponde a la base del sistema
• la base del transformador corresponde a la base del sistema
Generador
generador
base sistema
X Z
pu placa base generador
ù
- - =
é
=
g Z
base sistema
Z
Z
X
-
- W
-
ú úû
ê êë
*
1
sistema
0.9 * ( 22 )
pu placa
kV
ù
ú ú ú ú ú
é
=
g pu
kV
( 22 )
MVA
MVA
X 0.9
100
100
2
2
1 =
û
ê ê ê ê ê
ë
-
Transformador

6. transf
base sistema
X Z
pu placa base transf
ù
- - =
é
=
t Z
base sistema
Z
Z
X
-
- W
-
ú úû
ê êë
*
1
sistema
0.1 * ( 22 )
pu placa
kV
ù
ú ú ú ú ú
é
=
t pu
kV
( 22 )
MVA
MVA
X 0.1
100
100
2
2
1 =
û
ê ê ê ê ê
ë
-
Zona 2: Área de transmisión: líneas y cargas
Línea superior
línea
base sistema
Z Z
pu placa base línea
ù
- - =
é
L L Z
base sistema
Z
Z
Z j X
-
- W
-
ú úû
ê êë
= =
*
sistema
Z kV
pu placa
= 242
W =
* (120 )
2
ù
ú ú ú ú ú
é
L L j pu
kV
(110 )
MVA
j
kV
(110 )
MVA
MVA
Z j X 2
100
100
50
2 2
û
ê ê ê ê ê
ë
= =
-
Líneas inferiores
línea
-W = =
base sistema
L L Z
Z
Z j X
-
Z j X j 0.5
= = 60.5
W =
2 L L j pusistema
kV
(110 )
MVA
100
Línea de la carga
c a
Z
-W = = arg
base sistema
Z j X
L L Z
-
kV
(110 )
MVA
ö
° Ð ÷ ÷
ø
æ
Z j X = Ð °
L L pusistema
kV
(110 )
MVA
ç ç
è
= = 10 0
100
0
10
2
2
Zona 3: Lado del generador 2
Generador

7. generador
base sistema
X Z
pu placa base generador
ù
- - =
é
=
g Z
base sistema
Z
Z
X
-
- W
-
ú úû
ê êë
*
2
sistema
é
=
1.48 * ( 22 )
pu placa
kV
ù
ú ú ú ú ú
g pu
kV
( 22 )
MVA
MVA
X 1.85
100
80
2
2
2 =
û
ê ê ê ê ê
ë
-
Transformador
transf
base sistema
X Z
pu placa base transf
ù
- - =
é
=
t Z
base sistema
Z
Z
X
-
- W
-
ú úû
ê êë
*
2
sistema
0.126 * ( 24 )
pu placa
kV
ù
ú ú ú ú ú
é
=
t pu
kV
( 22 )
MVA
MVA
X 0.15
100
100
2
2
2 =
û
ê ê ê ê ê
ë
-
Lo anterior nos da el siguiente diagrama de impedancias en por unidad de una base común:
zt1=j0.1 zg2=j1.85
4
3. Para el siguiente sistema de transmisión de 2 barras, tomando en consideración una
potencia base de 30 MVA y un voltaje base de 33 kV, transforme el sistema en un
diagrama unifilar de impedancias (reactancias) en por unidad.
+
V1= 1 p.u.
-
zg1=j0.9
z13=j2 p.u.
z12=j0.5 p.u. z23=j0.5 p.u.
z2=10 p.u.
zt2=j0.15
+
V3= -j1 p.u.
-
1 3
2
5

8. Los datos del sistema eléctrico se enumeran a continuación:
· Generador No. 1: 30 MVA, 10.5 kV, X” = 44%, Xn = 1.5 Ω
· Generador No. 2: 15 MVA, 6.6 kV, X” = 41%, Xn = 2.5 Ω
· Generador No. 3: 25 MVA, 6.6 kV, X” = 32%, Xn = 2.5 Ω
· Transformador T1 (3Ø): 15 MVA, 33/11 kV, X = 21%
· Transformador T2 (3 - 1 Ø): 5 MVA, 20/6.8 kV, X = 0.24%
· Línea de Transmisión: 20.5 Ω /fase
· Carga A: 15 MW. 11 kV, factor de potencia de 0.9 en atraso
· Carga B: 40 MW, 6.6 kV, factor de potencia de 0.85 en atraso.
En el caso del transformador T2 se trata de un banco de tres unidades monofásicas
conectadas como se muestra en el diagrama; por supuesto en este caso, la potencia nominal
corresponde a cada unidad y la relación de transformación igualmente. Las reactancias
denotadas por Xn , son las reactancias de aterrizado de los generadores. En ocasiones estos
valores están especificados, al igual que las reactancias propias de la máquina, en forma
normalizada, ya sea en % ó en pu., en cuyo caso debemos entender que las bases de su
normalización son los datos nominales del equipo. En el presente ejemplo, se definen en Ω.
Solución:
Para el análisis de este caso se divide el sistema en tres zonas como se indica en la siguiente
figura, cada una con la característica de tener el mismo voltaje:

9. Empezamos definiendo las bases de voltajes en todo el sistema. Supongamos que se decide
usar como bases de sistema: MVAbase = 30 MVA, y kVbase = 33 kV en la zona de
transmisión.
De acuerdo a lo anterior tenemos que kVbase 1 = 33 kV, dado que el voltaje base coincide
con el voltaje nominal. Las demás bases de voltaje son calculadas tomando en cuenta la
relación de transformación de los transformadores y sus conexiones.
Para las demás bases se tiene:
Zona 1:
ù
ú úû
é
ê êë
=
V no al
sec min
base zona base zona min
V no al
kV kV
prim
1 2
é
33 11 1 = úû
= referido a través de T1
kVbase zona 11 kV
33
ù
êë
Zona 3:
ù
ú úû
é
kV kV V no al
ê êë
=
sec min
base zona base zona min
V no al
prim
3 2
ù
é
33 6.8 3 =
= referido a través de T2
kVbase zona 6.48 kV
20 3
ú úû
ê êë
×
Esta última base merece un comentario: los valores de voltaje indicados en la razón de
transformación se deben a que T2 es un banco de unidades monofásicas, conectado en
estrella-delta y en los datos que se dieron anteriormente, la relación de transformación se
refiere a la relación de transformación de cada unidad, así como la potencia, es la potencia
de cada unidad, o sea monofásica. Además, tomando en cuenta la conexión de las unidades
del banco, tenemos que para el lado de alto voltaje se requiere el factor de 3 , debido a la
conexión en delta en ese punto.
Una vez calculadas las bases de voltajes en todas las zonas, las bases restantes, o sea de
corrientes e impedancias, se calcularán únicamente si se requieren. En el presente ejemplo,
únicamente incluiremos en la normalización del parámetro de la línea de transmisión, la
impedancia base de la zona correspondiente (zona 2).
Con esto la siguiente tarea consiste en cambiar de base los parámetros de las componentes
del sistema eléctrico, cuyos valores estén especificados en forma normalizada, lo cual es lo
más comúnmente encontrado en los datos de placas de los equipos. En los datos
proporcionados previamente, se especifican los datos de generadores y transformadores
normalizados, sobre las bases de valores nominales de las variables eléctricas de estos
equipos. Como no coinciden en general con las bases del sistema que seleccionamos,
deberemos cambiarlos de base y referirlos por tanto, a las bases de sistema. Lo anterior se
muestra a continuación.
Generador No.1:

10. generador
base sistema
X Z
pu placa base generador
ù
- - =
é
=
g Z
base sistema
Z
Z
X
-
- W
-
ú úû
ê êë
*
1
pu
0.44 * (10.5 )
kV
(11 )
MVA
kV
MVA
X
pu placa
ù
ú ú ú ú ú
é
=
g 0.40
30
30
2
2
1 =
û
ê ê ê ê ê
ë
-
Mientras que la reactancia de aterrizamiento es:
n
-W = 1
1
base sistema
n Z
X
X
-
X j n 0.37
j pu
1 = 1.5
W
= 2 kV
(11 )
MVA
30
Generador No.2:
generador
base sistema
X Z
pu placa base generador
ù
- - =
é
=
g Z
base sistema
Z
Z
X
-
- W
-
ú úû
ê êë
*
2
pu
0.41 * (6.6 )
kV
(6.48 )
MVA
kV
MVA
X
pu placa
ù
ú ú ú ú ú
é
=
g 0.85
30
15
2
2
2 =
û
ê ê ê ê ê
ë
-
Mientras que la reactancia de neutro es:
n
- W = 2
2
base sistema
n Z
X
X
-
X j n 1.79
j pu
2 = 2.5
W
= 2 kV
(6.48 )
MVA
30
Generador No.3:
generador
base sistema
X Z
pu placa base generador
ù
- - =
é
=
g Z
base sistema
Z
Z
X
-
- W
-
ú úû
ê êë
*
3

11. pu
0.32 * (6.6 )
kV
(6.48 )
MVA
kV
MVA
X
pu placa
ù
ú ú ú ú ú
é
=
g 0.40
30
25
2
2
3 =
û
ê ê ê ê ê
ë
-
Mientras que la reactancia de aterrizamiento es:
n
-W = 3
3
base sistema
n Z
X
X
-
X j 1.79
3 = 2.5
W
= 2 n j pusistema
kV
(6.48 )
MVA
30
En el caso de los transformadores, el cambio de base será como sigue:
Transformador T1
transf
base sistema
X Z
pu placa base transf
ù
- - =
é
=
t Z
base sistema
Z
Z
X
-
- W
-
ú úû
ê êë
*
1
pu
0.21 * (11 )
kV
(11 )
MVA
kV
MVA
X
pu placa
ù
ú ú ú ú ú
é
=
t 0.42
30
15
2
2
1 =
û
ê ê ê ê ê
ë
-
Transformador T2
transf
base sistema
X Z
pu placa base transf
ù
- - =
é
=
t Z
base sistema
Z
Z
X
-
- W
-
ú úû
ê êë
*
2
pu
é ×
=
( 20 3 )
kV
(33 )
MVA
kV
MVA
X
pu placa
ù
ú ú ú ú ú
t 0.53
30
15
0.24 *
2
2
2 =
û
ê ê ê ê ê
ë
-
Es importante indicar que en la relación de transformación podemos usar indistintamente la
relación de cualquier lado del transformador, dado que 20 ×
3
=
6.8
33
6.48
En el caso de la línea de transmisión, el valor del parámetro está en ohmios, por lo que en
lugar de cambio de base, efectuamos su normalización directamente

12. c a
Z
- W = arg
base sistema
LT Z
X
-
pu
= 20.5
W =
2 X LT 0.56
kV
(33 )
MVA
30
4. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 barras, sin cargas, las reactancias de
las dos secciones de líneas de transmisión se muestran en el siguiente diagrama. Los
transformadores y generadores tienen los siguientes valores nominales:
· Generador No. 1: 20 MVA, 13.8 kV, Xd” = 0.20 por unidad
· Generador No. 2: 30 MVA, 18 kV, Xd” = 0.20 por unidad
· Generador No. 3: 30 MVA, 20 kV, Xd” = 0.20 por unidad
· Transformador T1 (3Ø): 25 MVA, 220 Y/13.8 Δ kV, X = 21%
· Transformador T2 (3 - 1 Ø): 10 MVA, 127/18 kV, X = 10 %
· Transformador T3 (3Ø): 35 MVA, 220 Y/22 Y kV, X = 21%
Dibuje el diagrama de impedancias con todas las reactancias señaladas en por unidad y
con las letras para indicar los puntos que corresponde al diagrama unifilar. Seleccione
una base de 50 MVA y 13.8 kV en el circuito del generador 1.
Solución
Cálculo de Voltaje Base
Zona del generador 1:
S base = 50 MVA
V base = 13.8 kV
Zona de la línea de transmisión de B a C y de C a E
S base = 50 MVA
V base = ?
ù
ú úû
é
ê êë
=
V no al
sec min
base zona base zona min
V no al
kV kV
prim
1 2
ó

13. ù
úû
V no al
é
kV kV prim
êë
=
min
base zona base zona min
V no al
sec
2 1
é
13.8 220 2 = úû
kVbase zona 220 kV
13.8
ù
êë
=
Zona del generador 2
S base = 50 MVA
V base = ?
ù
ú úû
é
ê êë
=
V no al
sec min
base zona base zona min
V no al
kV kV
prim
3 2
ù
ú úû
é
kV kV V no al
ê êë
=
sec min
base zona generador base zona línea min
V no al
prim
3 ( 2) 2 ( )
ù
é
220 18 3 ( 2) =
kVbase zona generador 18 kV
3 127
ú úû
ê êë
=
Zona del generador 3
S base = 50 MVA
V base = ?
ù
ú úû
é
kV kV V no al
ê êë
=
sec min
base zona base zona min
V no al
prim
3 2
ú úû ù
é
ê êë
=
V no al
sec min
base zona generador base zona línea min
V no al
kV kV
prim
3 ( 3) 2 ( )
é
220 22 ) 3 ( 3 = úû
kVbase zona generador 22 kV
220
ù
êë
=
Cálculo de impedancias y reactancias
Lado del generador 1
Para calcular la impedancia del generador 1, la base del sistema 50 MVA no es la misma
que la potencia del generador, la cual es de 20 MVA, pero en el caso del voltaje base si es
igual, 13.8 kV.
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
kV
g pu MVA
è
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç è
=
base del sistema
2 ( )
1 ( )
2
1
2
1
base del generador
base
base
MVA
kV
X X
æ
0.2 50 1 = ÷ ÷ø
X g 0.50 por unidad
20
ö
ç çè
=
Lado del generador 2

14. En el caso del generador 2, la base del sistema, 50 MVA no es la misma que la potencia del
generador 2, el cual es de 30 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual, porque se
había calculado anteriormente y se encontró que es 18 kV, mismo voltaje del generador 2.
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
kV
g pu MVA
è
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
è
=
base del sistema
2 ( )
1( )
2
1
2
2
base del generador
base
base
MVA
kV
X X
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
è
X 2 =
X
base del sistema
MVA
base del generador
g pu MVA
æ
0.2 50 2 = ÷ ÷ø
X g 0.33 por unidad
30
ö
ç çè
=
Lado del generador 3
En el caso del generador 3, la base del sistema, 50 MVA no es la misma que la potencia del
generador 3, el cual es de 30 MVA y en este caso los voltajes son diferentes porque el
voltaje del generador 3 es de 20 kV y el voltaje calculado anteriormente para la zona del
generador 3 fue de 22 kV.
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
kV
g pu MVA
è
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
è
=
base del sistema
2 ( )
1( )
2
1
2
3
base del generador
base
base
MVA
kV
X X
50
20 2
æ
ö
æ
3 = ÷ ÷ø
X g X pu 0.275 por unidad
30
22
ö
ç çè
÷ ÷ø
ç çè
=
Para el transformador T1
Para calcular la impedancia del transformador 1, la base del sistema 50 MVA no es la
misma que la potencia del transformador, la cual es de 25 MVA, pero en el caso del voltaje
base si es igual, 13.8 kV.
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
kV
T pu MVA
è
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
è
=
base del sistema
2 ( )
1 ( )
2
1
2
1
base del generador
base
base
MVA
kV
X X
æ
0.01 50 1 = ÷ ÷ø
XT 0.20 por unidad
25
ö
ç çè
=
Lado del transformador T2
En el caso del transformador 2, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia
del transformador 2, el cual es de 30 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual,
porque se había calculado anteriormente y se encontró que es 18 kV, mismo voltaje del
generador 2.
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
kV
g pu MVA
è
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
è
=
base del sistema
2 ( )
1( )
2
1
2
2
base del generador
base
base
MVA
kV
X X

15. ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
è
X 2 =
X
base del sistema
MVA
base del generador
g pu MVA
æ
0.01 50 2 = ÷ ÷ø
X g 0.167 por unidad
30
ö
ç çè
=
Lado del transformador T3
En el caso del transformador 3, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia
del transformador 3, el cual es de 35 MVA y en este caso los voltajes son iguales porque el
voltaje del transformador 3 es de 22 kV y el voltaje calculado anteriormente para la zona
del transformador 3 fue de 22 kV.
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
kV
g pu MVA
è
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
è
=
base del sistema
2 ( )
1( )
2
1
2
3
base del generador
base
base
MVA
kV
X X
æ
ö
2 50
æ
0.01 20
ö
X g 0.143 por unidad
35
22
2
3 = ÷ ÷ø
ç çè
÷ ÷ø
ç çè
=
Líneas de transmisión
base
base MVA
base
kV
Z
( )2
=
( 220)2
= = 968 W
50
Zbase
Para la línea de Tx de j 80 Ω se tiene:
línea
Z
-W = =
base sistema
Z j X
L L Z
-
= 80 =
ZL 0.0826 por unidad
968
Para la línea de Tx de j 100 Ω se tiene:
línea
Z
-W = =
base sistema
Z j X
L L Z
-
= 100 =
ZL 0.1033 por unidad
968
Finalmente el diagrama de impedancias con todas las reactancias es el siguiente: