despacho econoico

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN
FACULTAD DE INGENIERÍA DE PRODUCCIÓN Y SERVICIOS
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
CURSO: ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2
TEMA: DESPACHO ECONOMICO
ALUMNO: VALENCIA ARTEAGA ARTURO
DOCENTE: ING. HOLGER MEZA DELGADO
AREQUIPA- PERÚ
ENERO 2018
INGENIERÍA
ELÉCTRICA
U N S A

2. AGREDECIMIENTOS
Agradezco a Dios por las cosas buenas que me toca vivir, y por darme sabiduría y
confianza.
Agradezco infinitamente a mis padres, por el gran apoyo que me bridan, por los
valores inculcados como el orden y la puntualidad.
Al ingeniero Olger Meza Delgado por su gran incentivo para la investigación y
formación profesional.

3. DEDICATORIA
Este presente trabajo de investigación la dedico a mis padres con mucho
entusiasmo.
También la dedico al Ingeniero Olger Meza Delgado, por su gran aporte
que nos brinda para nuestra formación profesional,
como es el tema de investigación de forma constante, para así alimentar
mucho más nuestros conocimientos.

4. DESPACHO ECONOMICO
Se explica la metodología de solución del despacho económico de generación para un
sistema termoeléctrico, por medio del método de Lagrange así como las características
de este en un sistema uní-nodal, contemplando restricciones físicas, técnicas y
operativas del sistema.

5. 1.1 Principales Características del Despacho Económico.
El despacho económico consiste básicamente en usar los recursos energéticos
(térmicos, hidráulicos, solares, eólicos, etc.) disponibles para la generación de
energía eléctrica en una forma optima de tal manera que cubra la demanda de
electricidad a un mínimo costo y con un determinado grado de confiabilidad,
calidad y seguridad.
Este consiste también en conocer la cantidad de potencia que debe suministrar
cada generador para satisfacer una condición de demanda de los consumidores
minimizando los costos de generación del sistema eléctrico sujeto a diferentes
tipos de restricciones operativas de las plantas de generación tales como:
rapidez para tomar la carga en el sistema caldera-turbina-generador, limites de
generación, reserva rodante, tipos de combustible, etc.
Sin dejar a un lado las restricciones de transmisión y seguridad de la red
eléctrica.
Esto es como una sintonización de todos los generadores operando a un mismo
costo incremental.
1.2 Despacho Económico Sin Perdidas.
El problema del despacho económico sin perdidas se fundamenta en una
optimización estática en el tiempo, es decir, se minimiza el costo de producción
en un instante para un valor de demanda del sistema, los generadores se
ajustan para cumplir con los requerimientos de energía de los consumidores,
satisfaciendo además otro tipo de restricciones propuestas.
Se utilizan para modelar los costos del problema de despacho económico las
características de entrada-salida.

6. La figura 1.1 muestra como los generadores conectados a una sola barra que
alimentan a una carga concentrada.
Figura 1.1 Despacho sin pérdidas.
El problema se formula como la minimización de los costos N generadores
formando la función objetivo.
Se incluye además la restricción de que todos los generadores cumplen con la
demanda.
FT = F1 + F2 +......+ FN ................................ (1.1)
1 2
0 D N
ϕ = = P − PG − PG −......− PG ……….(1.2)
Donde: PD = Potencia de Demanda.
Cuando existe una restricción de igualdad, se propone una función extendida
de Lagrange.
∼
PG2
∼
PGN
∼
.
.
.
PD

7. 1.3 Aplicación por el Método de Multiplicadores de Lagrange.
El método más frecuentemente usado para restricciones es empleando los
multiplicadores de Lagrange. La técnica será presentada usando dos variables
independientes y una ecuación de restricción para ilustrar los conceptos. Luego
el procedimiento será extendido al caso general de n variables independientes y
m ecuaciones de restricción. Para el caso de dos variables independientes,
tenemos:
Optimizar: y(x1, x2)
Sujeta a : f(x1, x2) = 0
Mostraremos como surgen los multiplicadores de Lagrange y como un
problema con restricciones puede ser convertido a un problema sin
restricciones. La función beneficio y la ecuación de restricción son expandidas
en una serie de Taylor. Luego, usando los términos de primer orden se tiene:
1 2
1 2
1 2
1 2
0
dy dy
dy dx dx
dx dx
df df
dx dx
dx dx
= +
= +
Esta forma de la ecuación de restricción será usada para eliminar dx2 en la
función beneficio. Resolviendo para dx2 se tiene:
1
2 1
2
f
x
dx dx
f
x
∂
∂
= −
∂
∂
Este ecuación se reemplaza en la ecuación para dy y se obtiene:
1
1 1
1 2
2
f
x
y y
dy dx dx
f
x x
x
∂
 
 
∂
∂ ∂
 
= −
∂
∂ ∂  
 
∂
 

8. y re-arreglando se tiene:
2
1
1 1 1
2
( )
0
y
x
y f y f
dy dx
f
x x x
x
λ
−∂
 
 
∂
∂ + ∂ ∂
 
= → = +
∂
∂ ∂ ∂
 
 
∂
 
Ahora podemos definir λ como el valor de [–∂y/∂x2 / ∂f/∂x2] en el punto
estacionario de la función restringida. Esta razón de derivadas parciales λ es
una constante en el punto estacionario, y la ecuación anterior puede escribirse
como:
1
1 1
1
1
( )
y f
dy dx
x x
o
y f
dy x
x
λ
λ
 
∂ ∂
= +
 
∂ ∂
 
 
∂ +
= ∂
 
∂
 
En el punto estacionario dy = 0, y esto da:
1
( )
0
y f
x
λ
∂ +
=
∂
Ahora si L es definido como L = y + λf, se tiene:
1
0
L
x
∂
=
∂
Esta es una de las condiciones necesarias para localizar los puntos
estacionarios de una función sin restricción L la cual es construida a partir de la
función beneficio y(x1,x2) y la ecuación de restricción f(x1,x2) = 0. Ahora las
mismas manipulaciones pueden ser repetidas para obtener las demás
condiciones necesarias:
2
0
L
x
∂
=
∂
Por lo tanto, el problema con restricciones puede ser convertido a un problema
sin restricciones mediante la formación de la función Lagrangiana, o aumentado,
y resolviendo este problema por los métodos previamente desarrollados de
establecer las primeras derivadas parciales iguales a cero. Esto dará dos
ecuaciones para resolver para las tres incógnitas x1, x2 y λ en el punto
estacionario. La tercera ecuación a ser usada es la ecuación de restricción.
El hecho de que el multiplicador de Lagrange es tratado algunas veces como
otra variable ya que ∂L / ∂λ da la ecuación de restricción.

9. Ejemplificando el metodo de lagrange al despacho economico:
La condición necesaria para encontrar el mínimo de la función es derivando el
Lagrangiano e igualando a cero dicha derivada (Gradiente del Lagrangiano).
Λ = FT (PG) + λϕ …………………………(1.3)
1
2
0
N
PG
PG
V
PG
λ
→
∂Λ
 
 
∂
 
∂Λ
 
 
∂
 
Λ = =
 
∂Λ
 
∂
 
 
∂Λ
 
∂
 
………………………..(1.4)
Para cada generador se tiene:
1
0
i
i
dF
PG dPG
λ
∂Λ
= − =
∂
……………………….(1.5)
Y para la restricción de igualdad
1
0
N
D i
i
P PG
λ =
∂Λ
= − =
∂
∑ ……………………….(1.6)
De (1.5) se tiene para la existencia de un mínimo, la función de Lagrange
requiere que todas las unidades, operen a un mismo costo incremental.
El sistema de ecuaciones para la solución del despacho tendrá las siguientes
condiciones:
i
i
dF
dPG
λ
= N Ecuaciones
iMin i iMax
PG PG PG
≤ ≤ 2N Desigualdades ……………….(1.7)
1
N
i D
i
PG P
=
=
∑ 1 Restricción

10. Para resolver las ecuaciones anteriores se han usado diferentes procedimientos
de solución, tales como: métodos iterativos donde se empieza con un valor de λ
inicial y se termina hasta que las potencias se ajustan a la demanda, soluciones
directas y otras se basan en generadores con funciones de costos equivalentes.
Existen N + 1 ecuaciones y N + 1 incógnitas (NPGi y una λ) y si el sistema de
ecuaciones es lineal existe una solución única al despacho económico.
Al considerar una función cuadrática para el costo del generador i se puede
escribir.
1
1
1
1
2
2
2 0 0 1
0 2 0 1
0 0 1
2 1
1 1 1 0
N
C
C
N
N
C
D
b
PG
b
PG
b
PG
P
λ
−
  −
 
 
   
 
− −
   
 
   
  =
−
   
 
−
−
   
 
   
  −
   
− − −
 
⋯
⋯
⋮
⋮
⋮ ⋱
⋮ ⋮ ⋮
⋯
…………………..(1.8)
El sistema anterior tiene la particularidad que puede ser fácilmente
triangulizado, ayudando esto al algoritmo computacional.
Para λ se tiene:
2
1
2
i
D
i
i
b
P
c
c
λ
+
=
∑
∑
……………………….(1.9)
Como todos los generadores operan aun mismo costo incremental la potencia
de salida de (1.5) se obtiene para cada unidad como:
2
i
i
i
b
PG
c
=
λ −
………………………….(1.10)

11. 1.4 Restricciones.
Para que la solución sea factible los valores de potencia de generación
encontrados con (4.8) deben estar dentro de ciertos límites.
Min
PG ≤ PGi ≤ PGMax ……………………..(1.11)
Si después de encontrar una solución con (1.8), algún generador viola uno de
sus límites, existen procedimientos alternos para obtener una solución factible.
METODO I
• Eliminar la ecuación del sistema a solucionar y restar a la potencia de
demanda el valor del límite violado.
• Volver a solucionar el sistema y verificar si no existen otras violaciones
a límites de otros generadores, si se presentan, volver al paso anterior.
METODO II
• En el sistema de ecuaciones se sustituye el valor de la potencia violada y
se resuelve para las otras incógnitas.
• Si existen otras violaciones, se sustituyen los valores limites en cada
ecuación y se vuelve al paso anterior.
Para ilustrar mejor lo anterior se presentan los sistemas de ecuaciones para
ambos métodos, cuando la potencia de salida en el generador 2 ha alcanzado
alguno de sus límites.

12. METODO I
1 1
1
2
2 0 0 1
2 1
1 1 1 0
N
C
N
C N
D
b
PG
b
PG
P PG
λ
−
  −
 
 
   
 
   
  =
   
  −
−
   
 
− −
− − −
     
 
⋯
⋮
⋮ ⋰ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
⋮ ⋮ ⋮
⋯
METODO II
1
1
1
1
2
2
2 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1
2 1
1 1 1 0
C
viol
N
C N
D
b
PG
PG
PG
b
PG
P
λ
−
  −
 
 
   
 
   
 
   
 
−
   
 
−
−
   
 
   
 
− − −    
 
⋯
⋯
⋮
⋮ ⋱ ⋮
⋮ ⋮ ⋮
⋯
Figura 1.2 Rampas de carga.
Se propone un formulario donde se incluye como restricción el cambio del
punto de operación de la unidad como una rampa de carga [13].
λ λ λ

13. Modelando esta restricción como la ecuación de la recta, donde el signo de la
pendiente indica el aumento o disminución de la unidad.
( ) ( ) ( )
op op
PG T T P T m T
+ ∆ = ± ∆ ……………………(1.14)
PG
m
T
∆
=
∆
Pendiente de carga
Donde:
m = Relación de cambio del generador i, (se especifica por generador y depende
del tipo de unidad).
La inclusión de esta restricción propone nuevos límites de operación al
generador, antes de realizar el despacho.
, ,
MinOP i iOP MaxOP i
PG PG PG
≤ ≤ ………………………(1.15)
La ecuación permite revisar límites en el cambio de potencia en un punto de
operación, antes del despacho económico.
Existen unidades que no pueden realizar cambios en su potencia de salida,
unidades con carga fija, para este caso se propone que no entren directamente al
proceso de solución.
La manera de resolver el problema de restarle a la demanda la cantidad que
aporta esta unidad, unidad no-coordinable, y que las demás unidades se
coordinen para la nueva demanda.
El generador fue tratado como si hubiera violado alguno de sus límites.

14. 1.5 Ejemplos Ilustrativos del Despacho Económico Utilizando
Operadores de Lagrange.
EJEMPLO 1.1: suponga que se desea hacer el despacho económico para tres
unidades generadoras, de las cuales sus datos característicos están descritos a
continuación y la demanda a satisfacer en la etapa de planeación es de 850MW.
Sea el conjunto de 3 unidades siguientes:
U-1 : de vapor a base de carbón.
PGmax =600 MW, PGmin = 150 MW
2
1 1 1 1
( ) 510.0 7.2 0.00142
G G
Mbtu
H PG P P
h
 
= + +  
 
U-2: de vapor a base de combustoleo.
PGmax =400 MW, PGmin = 100 MW
2
2 2 2 2
( ) 310.0 7.85 0.00194
G G
Mbtu
H PG P P
h
 
= + +  
 
U-3: de vapor a base de combustoleo.
PGmax =200 MW, PGmin = 50 MW
2
3 3 3 3
( ) 78.0 7.97 0.00482
G G
Mbtu
H PG P P
h
 
= + +  
 
El costo del combustible para cada unidad es:
U-1: C1’= 1.1 $/Mbtu.
U-2: C2’= 1.0 $/Mbtu.
U-3: C3’= 1.0 $/Mbtu.
Entonces ,
´
1 1 1 1 1
´
2 2 2 2
´
3 3 3 3 3
2
1 1 1
1
2
2 2 2 2
2
2
3 3 3
3
( ) ( ) ( )1.1 561 7.92 0.001562 $/
( ) ( ) ( )1.0 310 7.85 0.00194 $/
( ) ( ) ( )1.0 78 7.97 0.00482 $/
G G G G G
G G G G G
G G G G G
C P H P C H P P P h
C P H P C H P P P h
C P H P C H P P P h
= = = + +
= = = + +
= = = + +
El lagrangiano
1 2 3 1 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( ) 850
G G G G G G
L C P C P C P P P P
λ  
= + + + − − −
 

15. Las condiciones de primer orden son:
1
1
7.92 0.003124 G
G
dL
P
dP
λ
= + =
2
2
7.85 0.003880 G
G
dL
P
dP
λ
= + =
3
3
7.97 0.009640 G
G
dL
P
dP
λ
= + =
1 2 3
850 0
G G G
dL
P P P
dλ
= + + − =
Reescribiendo en forma matricial las ecuaciones (a)-(d) se tiene:
0 003124 0 0 1
0 0 003880 0 1
0 0 0 009640 1
1 1 0 0
.
.
.
−
 
 
−
 
 
−
 
 
1
2
3
G
G
G
P
P
P
λ
 
 
 
 
 
 
=
7 92
7 85
7 97
850
.
.
.
−
 
 
−
 
 
−
 
 
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales anterior se obtiene:
1
2
3
393.17
334.60
122.23
9.1482$/
G
G
G
P MW
P MW
P MW
MWh
λ
=
=
=
=
El generador 1 (PG1) esta proporcionando una potencia de 393.17 MW, el
generador 2 (PG2) proporciona una potencia de 334.60 MW, el generador 3 (PG3)
proporciona una potencia de 112.23 MW y el costo incremental (λ) es
9.14 $/MWh.

16. En la tabla se muestra que las potencias generadas están dentro de los límites
operativos.
Tabla 1.1 Resultados finales del ejemplo 1
Generador
1 150.0 600.0 393.17
2 100.0 400.0 334.60
3 50.0 200.0 122.23
EJEMPLO 1.2: Resolviendo el ejemplo anterior con un cambio de costo del
combustible para la unidad uno(PG1).
Ahora supóngase que el costo del carbón es de 0.9 $/Mbtu. Entonces:
´
1 1 1 1 1
1 1 1
1
( ) ( ) ( )0.9 459 6.48 0.001280 $/
G G G G G
C P H P C H P P P h
= = = = + +
El nuevo sistema de ecuaciones que se tiene es:
0 002560 0 0 1
0 0 003880 0 1
0 0 0 009640 1
1 1 1 0
.
.
.
−
 
 
−
 
 
−
 
 
1
2
3
G
G
G
P
P
P
λ
 
 
 
 
 
 
=
6 48
7 85
7 97
850
.
.
.
−
 
 
−
 
 
−
 
 
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales anterior se obtiene:
1
2
3
705.15
112.16
32.69
8.2851$/
G
G
G
P MW
P MW
P MW
MWh
λ
=
=
=
=
El generador 1 (PG1) esta proporcionando una potencia de 705.15 MW, el
generador 2 (PG2) proporciona una potencia de 112.16 MW, el generador 3 (PG3)
proporciona una potencia de 32.69 MW y el costo incremental (λ) es
8.28 $/MWh.

17. λ λ λ
Figura 1.3 curvas de costo incremental de generadores con respecto al costo
incremental.
Sin embargo tanto como están fuera de sus límites operativos, por lo
que la nueva función lagrangiana es:
1 2 3 1 2 3 1 1 3 3
1 2 3 1 3
( ) ( ) ( ) 850 ( ) ( )
Max Min
G G G G G G G G G G
L C P C P C P P P P P P P P
λ µ µ
 
= + + + − − − + − + −
 
Las condiciones de primer orden son:
1
1
1
6.48 0.00256 G
G
dL
P
dP
µ λ
= + + =
2
2
7.85 0.00388 G
G
dL
P
dP
λ
= + =
3
3
3
7.97 0.00964 G
G
dL
P
dP
µ λ
= + − =
1 2 3
850 0
G G G
dL
P P P
dλ
= + + − =
1 1
1
0
Max
G G
dL
P P
dµ
= − =
3 3
3
0
Min
G G
dL
P P
dµ
= − =
Rescribiendo en forma matricial las ecuaciones (a)-(f) se tiene:
1
2
3
1
2
0.00256 0 0 1 1 0 6.48
0 0.00388 0 1 0 0 7.85
0 0 0.00964 1 0 1 7.97
1 1 1 0 0 0 850
1 0 0 0 0 0 600
0 0 1 0 0 0 50
G
G
G
P
P
P
λ
µ
µ
 
− −
   
 
   
− −
 
   
 
   
− − −
  =
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 

18. Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
1
2
3
1
3
600.0
200.0
50.0
8.626$/
0.83
0.174
G
G
G
P MW
P MW
P MW
MWh
λ
µ
µ
=
=
=
=
= −
= −
Nótese que el ultimo valor de λ que el calculado previamente. Esto se debe a
que en el caso inicial la unidad U-1, siendo mas barata, genera mas que lo
permitido por su limite máximo (705.16 y 600 MW respectivamente), y que la
diferencia (105.16 MW) se tiene que generar con las unidades relativamente mas
caras (U-2 y U-3).
Considerando las desigualdades, las condiciones para el óptimo de CT varían
ligeramente a:
( )
i
i i i
i
i G Min Max
G G G
G
dC P
P P P
dP
λ
= → 〈 〈
( )
i
i i
i
i G Max
G G
G
dC P
P P
dP
λ
〈 → =
( )
i
i i
i
i G Min
G G
G
dC P
P P
dP
λ
〉 → =
Donde estas expresiones son conocidas como condiciones de Kuhn-Tucker.
Lo importante aquí, es que ante la existencia del alcance de los límites de
generación, el costo incremental de sistema ya será diferente del costo
incremental de los generadores operando bajo tales condiciones.
Revisando las condiciones de Kuhn-Tucker para la última solución presentada
se observa que el generador 3 no cumple ya que:
3
3
3 ( )
7.97 0.00964(50) 8.4528.626
G
G
dC P
dP
= + =
Por lo que se tiene que la nueva función lagrangiana es:
1 2 3 1 2 3 1 1
1 2 3 1
( ) ( ) ( ) 850 ( )
Max
G G G G G G G G
L C P C P C P P P P P P
λ µ
 
= + + + − − − + −
 

19. Obteniendo las condiciones de primer orden y escribiéndolas en forma
matricial se tiene:
1
2
3
1
0.00256 0 0 1 1 6.48
0 0.00388 0 1 0 7.85
0 0 0.00964 1 0 7.97
1 1 1 0 0 850
1 0 0 0 0 600
G
G
G
P
P
P
λ
µ
 
− −
   
 
   
− −
 
   
 
   
=
− −
 
   
 
   
 
   
   
 
Resolviendo se obtiene:
1
2
3
1
600.0
187.13
62.83
8.576$/
0.56
G
G
G
P MW
P MW
P MW
MWh
λ
µ
=
=
=
=
=
El generador 1 (PG1) esta proporcionando una potencia de 600 M, el generador 2
(PG2) proporciona una potencia de 187.13 MW, el generador 3 (PG3) proporciona
una potencia de 62.83 MW y el costo incremental es 9.14 $/MWh, el nuevo
multiplicador de Lagrange asociado a el costo de la unidad uno es 0.56.
El multiplicador de Lagrange esta asociado con el alcance del limite máximo
de generación de la unidad 1, de modo que en caso general, este multiplicador
puede denotarse como . La interpretación del valor de es la siguiente:
si el valor del limite máximo de un generador no-marginal (en su limite) se
incrementara en , entonces se podría reducir el costo de operación, ya que
se reduciría generación de unidades marginales (dentro de limites y de alto
costo) y se aumentaría generación en la maquina que se cambio el limite.
En el caso particular de tener costos de operación lineales, con una unidad
marginal con costo proporcional , el cambio en el costo se puede expresar
mediante:
De esta forma Max
µ es el factor de sensibilidad de la reducción en el costo total
de operación, resultado del incremento en el límite máximo del generador . De
ahí que el nombre asociado a Max
µ sea el de costo marginal de la restricción.
, ( )
i i
i
Max m Max m Max
T
T i G G i
Max
G
C
C b P b P b b
P
µ
∆
∆ = ∆ − ∆ → = − = −
∆

20. La tabla resume las condiciones para los generadores con diversos puntos
operativos.
Tabla 1.2 Condiciones de Kuhn-Tucker.
Generadores
Marginales
i
i
G
C
P
λ
∂
=
∂
0
Max Min
µ µ
= =
Generadores en
Máximo
i
Max
i
G
C
P
λ µ
∂
= +
∂
0; 0
Max Min
µ µ
〉 =
i
i
G
C
P
λ
∂
〉
∂
Generadores en
Mínimo
i
Min
i
G
C
P
λ µ
∂
〉 +
∂
0; 0
Max Min
µ µ
〉 =
i
i
G
C
P
λ
∂
〈
∂
3
En una representación grafica, la Figura 1.2 muestra el cambio en el despacho
de generación.
En la condición operativa antes del cambio, el generador G es la unidad
marginal y el costo marginal asociado es m
b . Si el generador G1 cambia su límite
máximo, la generación de G1 aumentara, ya que es de menor costo, y la
generación de G3 disminuirá. Como no se consideran perdidas de transmisión
los cambios de generación son iguales en magnitud, en este caso el generador
G2 queda sin cambio.
λ
D PD
Figura 1.4 Efecto de límite de generación máximo en el costo incremental.

21. En la figura 5.2 el área A+ representa el incremento en el costo debido al cambio
en el generador 1
G , mientras que el área A- representa la disminución en costo
debido a la reducción en la generación de 3
G .
En una forma similar a la descrita, se puede realizar el análisis de reducir el
límite máximo, solo que, en este caso, se tendrá un incremento en costo, ya que
el generador marginal tomara mayor carga a expensas del generador que
reduce su limite.
Por otro lado, también es importante analizar el impacto de cambios en limites
mínimos de generación ( )
i
Min
G
P
∆ , lo que lleva a la interpretación del valor de
Min
µ .
Si una maquina queda en su mínimo, generalmente su costo incremental será
mayor al de las unidades marginales. Entonces, una manera de reducir costos
de operación seria disminuyendo los mínimos operativos de los generadores
donde es factible hacerlo. Lo cual, a su vez, causa un aumento en la producción
de los generadores marginales.
De esta forma, considerando costos lineales de operación y un generador
marginal con costo proporcional m
b , el cambio en el límite mínimo del
generador ( )
i
Min
G
P
∆ produce un cambio en el costo de operación T
C
∆ :
, ( )
i i
i
m Min Min m Miin
T
T G i G i
Min
G
C
C b P b P b b
P
µ
∆
∆ = ∆ − ∆ → = − = −
∆
λ
D PD
Figura 1.5 Efecto del límite mínimo de generación en el costo marginal.

22. La interpretación es similar a la del límite máximo; Miin
µ es un coeficiente de
sensitividad que mide el cambio en costo de operación debido al cambio en el
límite mínimo de generación.
En forma grafica, la figura 1.3 muestra los puntos mas relevantes del análisis.
En la condición inicial se tienen tres generadores en el mínimo 1 2 3
( )
G G G , para
un nivel de demanda D. el generador marginal es 6
G . Si se reduce el mínimo
del generador 1
G se deberá aumentar la producción de 6
G .
EJEMPLO 1.3: suponga que se desea hacer el despacho económico para tres
unidades generadoras, de las cuales sus datos característicos están descritos a
continuación y la demanda a satisfacer en la etapa de planeación es de 450MW.
Sea el conjunto de 3 unidades siguientes:
Tabla 1.3 Limites y costos de las unidades generadoras.
La ecuación característica de cada unidad generadora:
Tabla 1.4 Ecuaciones características de las unidades generadoras.
Generador Constante Coeficiente Lineal Coeficiente Cuadrado
H1 225 8.4 P 0.0025 P2
H2 729 6.3 P 0.0081 P2
H3 400 7.5 P 0.0025 P2
Multiplicando las ecuaciones características de cada unidad generadora por el
costo inicial:
( ) ( )
2 2
1 1 1 1 1 1 1
225 8 4 0 002 0 80 180 6 72 0 002
. . . . .
PG H C P P P P
= = + + = + +
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2
729 6 3 0 0081 1 02 743 58 6 426 0 008262
. . . . . .
PG H C P P P P
= = + + = + +
Potencia
Mínima
MW
Potencia
Máxima
MW
Costo inicial del
Combustible
$
45 350 0.80
45 350 1.02
48 450 0.90

23. ( ) ( )
2 2
3 3 3 3 3 3 3
400 7 5 0 0025 0 90 360 6 75 0 00225
. . . . .
PG H C P P P P
= = + + = + +
Construyendo el Lagrangiano:
( ) ( ) ( ) [ ]
1 1 2 2 3 3 1 2 3
450
L C PG C PG C PG PG PG PG
λ
= + + + − − −
1
1
6 72 0 004
. .
L
PG
PG
δ
λ
δ
= + =
2
2
6 426 0 01652
. .
L
PG
PG
δ
λ
δ
= + =
3
3
6 75 0 0045
. .
L
PG
PG
δ
λ
δ
= + =
Re-escribiendo en forma matricial tenemos:
0 004 0 0 1
0 0 016524 0 1
0 0 0 0045 1
1 1 1 0
.
.
.
−
 
 
−
 
 
−
 
 
1
2
3
PG
PG
PG
λ
 
 
 
 
 
 
=
6 72
6 426
6 75
450
.
.
.
−
 
 
−
 
 
−
 
 
Los resultados son:
PG1= 205.951 MW
PG2= 67.6474 MW
PG3= 176.401 MW
Costo incremental= λ= 7.543 $/MWh.
El generador 1 (PG1) esta proporcionando una potencia de 205.951 MW, el
generador 2 (PG2) proporciona una potencia de 67.64 MW, el generador 3 (PG3)
proporciona una potencia de 176.40 MW y el costo incremental (λ) es
7.54 $/MWh.
Como se observan resultados obtenidos están dentro de los rangos, esto es que
no viola ninguna restricción, portal motivo no se construye un nuevo
Lagrangiano, obteniendo el mismo costo incremental para todas las unidades.

24. Comprobando:
λ = 6.72 + 0.004 (205.951) = 7.54
λ = 6.426 + 0.016524 (67.6474) = 7.54
λ = 6.75 + 0.0045 (176.401) = 7.54

25. CONCLUSION
Debido a la taza de natalidad, el incremento en la demanda de energía
eléctrica ha provocado que el sistema eléctrico nacional incremente en su
generación, transmisión, subtransmision y distribución de dicha energía.
La generación de la energía eléctrica se hace por medio del movimiento
de turbinas las cuales funcionan por medio de vapor y la producción de este, se
hace por la quema de diferentes combustibles (Diesel, Gas, Combustoleo,
Carbón, entre otros) teniendo diferentes precios, los cuales hacen que el costo
de producción para cada unidad generadora sea diferente.
Con el incremento de generación se tiene que encontrar soluciones
óptimas para no desperdiciar energía eléctrica y tener un mejor funcionamiento
del sistema.
Las soluciones óptimas son el mejor aprovechamiento de los recursos
energéticos y humanos que se tienen para dar respuesta a la creciente demanda,
contemplado la calidad, continuidad, seguridad y eficiencia en el suministro de
la energía eléctrica.
La representación de las unidades generadoras se hace por medio de un
polinomio de segundo orden el cual contempla el precio del combustible y la
potencia generada por dicha unidad.
Para dar solución al problema del despacho económico se consideran
limitaciones físicas y eléctricas de las unidades generadoras, las limitaciones
físicas básicamente es el combustible y el estado de la unidad (Disponible para
generar, mantenimiento, entre otras) y las eléctricas son los limites de
generación (potencia mínima y máxima)
Para la solución optima existen diferentes metodologías y en el presente
trabajo se hace una comparación entre el método de Lagrange y Programación
lineal, y de acuerdo a las simulaciones realizadas se observo que el método de
Lagrange necesita auxiliares para encontrar la solución con una serie de
iteraciones mayor a las que se realizan con la programación lineal.

26. ANEXO A

27. EJEMPLO A1[13-14]
DATOS
En la siguiente tabla se muestran los datos de las unidades.
Tabla 1 Ejemplo A1.
Unidad Tipo
Combustible
Costo
$/Gcal
Potencia
Mínima
Mw
Potencia
Máxima
Mw
1 TULU1 COM 63.25 260 300
2 VAEU1 GAS 64.06 75 145
MODELOS
Las curvas (consumo) de entrada-salida de cada una de las unidades son:
)
1
.......(
43
.
112
6560
.
1
0014108
.
0 1
2
1
1 +
+
=






g
g
Hr
Gcal
q
)
2
........(
78943
.
37
8692
.
1
0025323
.
0 2
2
2
2 +
+
=






g
g
Hr
Gcal
q
El modelo de costo Vs. generación de las unidades es la curva de entrada-salida,
afectada por el costo del combustible:
Para la unidad TULU1
( ) ( ) )
/
($
*
1
1
1
1 Gcal
Costo
g
q
g
F =
( ) ( )
F g q g
1 1 1 1 63 25
= * .
( ) )
3
.....(
$
1975
.
7111
742
.
104
08923
.
0 1
2
1
1
1 





+
+
=
Hr
g
g
g
F
Para la unidad VAEU1

28. ( ) ( )( )
F g q g
2 2 2 2 64 06
= +
. γ
( ) )
4
....(
$
7633
.
2420
74
.
119
16222
.
0 2
2
2
2
2 





+
+
=
Hr
g
g
g
F
Las curvas de costo incremental de las unidades se obtienen derivando las funciones de
costo de cada una de ellas.
)
5
....(
742
.
104
17847
.
0 1
1
1
+
= g
dg
dF
)
6
....(
74
.
119
32444
.
0 2
2
2
+
= g
dg
dF
Despachando a costo incrementales iguales λ se tiene:
dF
dg
g
1
1
1
0 17847 104742
= + =
. . λ
dF
dg
g
2
2
2
0 32444 11974
= + =
. . λ
g g
1 2 400
+ =
Resolviendo para λ , obtenemos:
λ = 156 1199
. $/Mw-Hr
g1 287 88
= . Mw
g2 112 12
= . Mw
COSTO DE GENERACIÓN
Evaluando g1 y g2 en las ecuaciones (3) y (4), se obtiene el costo de generación de cada
unidad y el costo total.
( )
F g
1 1 44659 25
= . $/Hr
( )
F g
2 2 17885 26
= . $/Hr
FT = 62544 51
. $/Hr

29. CONSUMO DE COMBUSTIBLE
Evaluando g1 y g2 en las ecuaciones (1) y (2), se obtiene el consumo de generación de
cada unidad y el consumo total
( )
q g
1 1 706 07
= . Gcal/Hr
( )
q g
2 2 279 19
= . Gcal/Hr
26
.
985
=
T
q Gcal/Hr
GRAFICA DE CURVAS.
En la figura 1 se muestra la gráfica de las curvas de costo incremental de cada una de
las unidades y la curva de costo incremental equivalente. También se muestra el costo
incremental equivalente (λ = 156 1199
. $/Mw-Hr) al que se despacharon las unidades,
para cubrir la demanda (400 Mw).
Costo Incremental (Sobreprecio=0.0)
140
145
150
155
160
165
170
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Mw
$/Mw-Hr
VAEU1
TULU1
EQUIV
Grafica de costo incremental

30. ANEXO B

31. EJEMPLO 2[13-14]
En las siguientes tablas se muestran las características generales, mediciones de régimen
térmico, curvas de arranque en caliente y en frío de la unidad 1 de la central Presidente
Adolfo López Mateos (Tuxpan).
Tabla 1 Especificaciones generales.
Clave TUVU1
Número de modelo 104
Tiempo mínimo de paro frío 16 horas
Tiempo mínimo de operación 16 horas
Potencia de diseño 350.0 MW
Combustible 1 COM
Combustible 2 DIS
Costo combustible 1 146.48 $/Gcal
Costo combustible 2 245.19 $/Gcal
Costo de mantenimiento 0.0
Costo de operación 0.70 $/Mwh
% de variación combustible 1 70.00
% de variación combustible 2 30.00
Cantidad base del combustible 1 391.335
Gcal/hr
Cantidad base del combustible 2 167.715
Gcal/hr
Generación mínima 200.00 MW
Generación máxima 325.00 MW
Tabla 2 Mediciones de Régimen Térmico.
Generación
MW
% Potencia
Diseño
Régimen Térmico
Kcal/Kwhr
Q
Gcal/Hr
175.0 50 2482.00 434.175
262.5 75 2387.00 626.5875
350.0 100 2341.00 819.35

32. Tabla 3 Curva de arranque en frío.
Tiempo en paro frío
(horas)
Consumo
(Gcal)
0 0.0
12 286.00
24 415.00
36 473.00
48 499.0
54 505.0
60 510.0
Tabla 4. Curva de arranque en caliente.
Ordenada al origen 0.0 Gcal
Pendiente 1000.00 Gcal/hr
Modelo de entrada salida
Obtener el modelo de entrada salida de la unidad 1 de la central Presidente Adolfo
López Mateos (Tuxpan).
Aplicando la ecuación 14 y datos de la tabla 2.




















=










−
1125
.
1880
209
.
7
029959048
.
0
25
.
222031
5
.
787
3
5
.
787
3
012380952
.
0
3
012380952
.
0
000055328
.
0
1
c
b
a
Resolviendo con Texas Instruments TI-92 Plus
Hr
Gcal
a /
67451763
.
50
=
2 18669066
. /
b Gcal MWHr
=
2
0 000027339
. /
c Gcal MW Hr
=
( ) ( )
Hr
Gcal
g
g
g
q /
000027339
.
0
18669066
.
2
67451763
.
50 2
+
+
=

33. Modelo de consumo específico
El modelo de consumo específico se obtiene con la expresión:
( )
( )
50 67451763
2 18669066 0 000027339
.
. . /
q g
g Gcal MW Hr
g g
= + + −
1.1 Consumo específico a máxima eficiencia
Utilizando la formula 16 , la potencia a máxima eficiencia es:
50 67451763
0 000027339
1361.45
* .
.
g MW
= =
se acota a 325.00 MW, (límite superior) sustituyendo en la ecuación 17 el consumo
específico a máxima eficiencia es:
50 67451763
2 18669066
325 00
(0.000027339)(325.00)=2.35147583371 Gcal/ MWh
*
*
( ) .
.
.
q g
g
= + +
Determinar el consumo de cada combustible dada una generación de 280 Mw.
Datos de la Tabla 1
Supongamos una generación de 250 MW en un punto particular para determinar
las bases.
Base del combustible tipo 1: 335
.
391
1 =
q Gcal/Hr
Base del combustible tipo 1: 715
.
167
2 =
q Gcal/Hr
05
.
559
2
1 =
+ q
q Gcal/Hr
Curva (consumo) de entrada-salida
( ) ( )
Hr
Gcal
g
g
g
q /
000027339
.
0
18669066
.
2
67451763
.
50 2
+
+
=
Sustituyendo 280 MW en la ecuación anterior se obtiene la cantidad de calor
suministrada por los dos combustibles.
q(280) = 665.09128 Gcal/hr

34. La variación respecto a la base es:
∆q q g q q
= − +
( ) ( )
1 2
041
.
106
715
.
167
335
.
391
(
09128
.
665 =
+
−
=
∆q Gcal/Hr
Ahora se reparte esta variación entre los dos combustibles de acuerdo al porciento de
variación de cada uno de ellos, y se le suma a la cantidad base de cada uno.
Para el Combustible tipo 1
T q
p
q
1 1
1
100
= + ( )
∆ Gcal/Hr.
5637
.
465
)
041
.
106
(
100
0
.
70
335
.
391
1 =
+
=
T Gcal/Hr
Para el Combustible tipo 2
T q
p
q
2 2
2
100
= + ( )
∆ Gcal/Hr.
5273
.
199
)
041
.
106
(
100
30
715
.
167
2 =
+
=
T Gcal/Hr.
Determinar el costo por consumo de combustible dada una generación de 280 MW.
Datos de la Tabla 1
Función de costo )
(g
C $/Hr por operar al nivel g
Sustituyendo los datos en la Ec. 25 :
( )
[ ] ( )
[ ] ( ) ( )
g
q
p
c
p
c
q
q
p
q
c
q
q
p
q
c
g
C 2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
)
( +
+
+
−
+
+
−
= $/Hr
( )
[ ] ( )
[ ]
( ) ( ) $/Hr
3
.
0
*
19
.
245
7
.
0
*
48
.
146
715
.
167
335
.
391
3
.
0
715
.
167
19
.
245
715
.
167
335
.
391
7
.
0
335
.
391
48
.
146
)
(
g
q
g
C
+
+
+
−
+
+
−
=
( )
[ ] ( )
[ ]
( ) ( ) $/Hr
557
.
73
536
.
102
05
.
559
3
.
0
715
.
167
19
.
245
05
.
559
7
.
0
335
.
391
48
.
146
)
(
g
q
g
C
+
+
−
+
−
=
[ ] [ ]
( ) ( ) $/Hr
093
.
176
715
.
167
715
.
167
19
.
245
335
.
391
335
.
391
48
.
146
)
(
g
q
g
C +
−
+
−
=

35. ( )( ) $/Hr
000027339
.
0
18669066
.
2
67451763
.
50
093
.
176
0
.
0
)
( 2
g
g
g
C +
+
+
=
$/Hr
000484206
.
0
06091
.
385
42
.
8923
)
( 2
g
g
g
C +
+
=
Finalmente se calcula el costo de generación, evaluando en la función de costos
determinada anteriormente..
000484206
.
0
06091
.
385
42
.
8923
)
( 2
g
g
g
C +
+
= $/Hr
280
*
280
*
000484206
.
0
00
.
280
*
06091
.
385
42
.
8923
)
280
( +
+
=
C $/Hr
$/Hr
43
.
116778
)
280
( =
C

36. Referencias
[1] Ley del servicio publico de energía eléctrica, ultima reforma publicada
diario oficial de la federación, 22 de diciembre de 1993.
[2] Reglamento de la ley del servicio publico de energía eléctrica, diario oficial
de la federación, 31 de mayo de 1993.
[3] Costos y parámetros de referencia para la formulación de proyectos de
inversión en el sector eléctrico: generación 2003, CFE subdirección de
programación, gerencia de evaluación y programación de inversiones.
[4] Nivera, R., M. Ruiz, O. Girón, R. Navarro, I. Guillen. “Metodología de la
asignación de unidades y coordinación hidrotermica semanal (CHTS-AU)”.
Versión 1.1 Unidad de resultados de análisis de redes. Instituto de
investigaciones eléctricas.
[5] http://www.cfe.gob.mx/es/laempresa/generacionelectricidad/
[6]
http://www.cfe.gob.mx/es/negociosconCFE/inversionistas/proyectosde
inversion/mapa1ubicacioninfraestructura/mapa2ubicacionplantascicloco
mbinado/
[7]
http://www.cfe.gob.mx/es/negociosconCFE/inversionistas/productore
xternos/
[8] contrato de compromiso de capacidad de generación de energía eléctrica y
compraventa de energía eléctrica asociada, anexo 12, limites técnicos de
operación y mantenimiento.
[9] Representación de centrales de ciclo combinado en CHT. Versión 1.1. instituto
de investigaciones eléctricas.
[10] Allen J. Wood, Wollenberg. “power generation operation, and control”. John
Wiley & Sons, Inc.
[11] Guía de llenado del anexo 4 para la programación y despacho de
generación de CENACE.
[12] Costos de producción de las unidades de generación. Gerencia de
operación de mercado de energía. Octubre 2003.
[13] David G. Luenberg, “Programación lineal y no lineal”, Addison-Wesley
Iberoamericana, México, 1989.
[14] Rafael Alejo García-Mauricio,
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0226-01/capitulo7.html.