Unidad 7 apliquemos elementos de geometria analitica.

UNIDAD 7: APLIQUEMOS ELEMENTOS DE GEOMETRIA
ANALITICA.
Elementos de geometría analítica
Introducción
En esta unidad última nos ocuparemos del estudio de los conceptos más fundamentales de la geometría
analítica plana y haremos un recorrido pos los lugares geométricos más conocidos.
En concreto, se pretende que l@s estudiantes se familiaricen con los conceptos de distancia entre dos
puntos, pendiente de una recta, punto medio de un segmento, ángulo entre rectas. A su vez, se busca que
l@s estudiantes logren un conocimiento claro de las ecuaciones de una línea recta, de una circunferencia y
de una parábola.
Por otro lado, será importante visualizar la aplicación de estos conceptos y ecuaciones, en el análisis de
situaciones geométricas.
Objetivos:
Que el alumno o la alumna pueda:
1. Explicar los conceptos matemáticos de distancia entre dos puntos, inclinación y pendiente de una recta,
ángulo entre rectas y punto medio de un segmento.
2. Aplicar las fórmulas para calcular: la distancia entre dos puntos, la pendiente de una recta, el ángulo
entre rectas y el punto medio de un segmento...
3. Utilizar los conceptos elementales estudiados, para realizar demostraciones geométricas.
4. Definir los lugares geométricos siguientes: línea recta, circunferencia y parábola.
5. Identificar el lugar geométrico (línea recta, circunferencia y parábola) correspondiente a una
determinada ecuación.
6. Determinar los elementos característicos de un lugar geométrico a partir de su ecuación y trazar el
gráfico.
7. Encontrar la ecuación de un lugar geométrico a partir de ciertos elementos que lo caracterizan.
1. Conceptos fundamentales.
Objetivos conceptuales. Entender los conceptos: coordenadas rectangulares, distancia entre dos
puntos, iInclinación y pendiente de una recta, ángulo entre 2 rectas y punto medio de un segmento de recta.
Objetivos procedimentales. Ubicar un punto en el plano cartesano, calcular la distancia entre 2 puntos y la
inclinación y la pendiente de una recta, calcular el ángulo entre 2 rectas y el punto medio de un segmento de recta.
Objetivos actitudinales. Considerar que ubicarse en el plano cartesiano nos puede servir para ubicarnos en las
circunstancias de la vida cotidiana.
1.1 Coordenadas rectangulares
El plano cartesiano ya se ha estudiado en años anteriores. Aquí haremos un breve
recordatorio.
En la página siguiente se muestra el plano cartesiano. Allí podemos observar los 2 ejes
cartesianos: X y y. Observamos también los 4 cuadrantes y 2 pares ordenados.

Actividad 1. Coloquen en el plano cartesiano los puntos siguientes: (2,5), (3,4),
(5,1), (-4,2), (-3,-4), (-1,-4), y (1,-3)
Actividad 1b. Ubiquen en el plano cartesiano los puntos siguientes: (-2,5), (-3,4), (-
5,1), (4,2), (3,-4), (1,-4), y (-1,-3)
Actividad 1c. Ubiquen en el plano cartesiano los puntos siguientes: (-2,-5), (-3,-4),
(-5,-1), (4,-2), (3,4), (1,4), y (-1,3)
5
4
Cuadrante II Cuadrante I
Eje X
(-2, 3)
Origen (0, 0)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
(4, -1)
3
2
1
-1
-2
-3
Cuadrante III Cuadrante IV
Eje y
-4
-5
Un punto en el plano
puede estar arriba o
abajo. Algo parecido
te ocurrirá en la vida:
procura estar ubicado
Podemos observar las características siguientes:
1. Los valores positivos de X están a la derecha del origen
2. Los valores positivos de y están hacia arriba del origen
3. Los valores negativos de X están a la izquierda del origen
4. Los valores negativos de y están hacia abajo del origen
5. Todo valor a la izquierda es menor que todo valor a la derecha (en X)
6. Todo valor de abajo es menor que todo valor de arriba (en y)
1.2 Distancia entre dos puntos
En La gráfica siguiente tenemos 2 rectas: una horizontal que pasa por y = 5, y una
vertical que para por X = 9. Sobre cada recta hay dos puntos. Sobre la recta que pasa
por 9 tenemos los puntos (9,-1) y (9,6) ¿Cuál es la distancia entre los dos puntos? Si
medimos con una regla, encontramos que esa distancia es 7 cm. Pero 7 = 6 – (-1) = 6 +
1 = 7. Pero 6 y –1 son las coordenadas en y.

En general se tiene que, para 2 puntos sobre una recta vertical, la distancia es y2 – y1,
siendo y2 el mayor.
De igual forma tenemos que, para 2 puntos sobre una recta horizontal, la distancia es
X2 – X1, siendo X2 el mayor.
Para el caso de la recta horizontal mostrada, la distancia es: 7 – (-1) = 7 + 1 = 8 cm.
6
5
4
3
2
1
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
Supongamos ahora que queremos medir la distancia entre los puntos (1,1) y el punto
(5,4) Si medimos con una regla encontramos que es 5 cm. Pero a esta respuesta
también se llega aplicando Pitágoras, pues se tiene un triángulo rectángulo.
Para el cateto horizontal se tiene una distancia de: X2 – X1 = 5 – 1 = 4 cm
Para el cateto vertical se tiene una distancia de: y2 – y1 = 4 – 1 = 3 cm
Al aplicar Pitágoras, se tiene que la distancia es: d = 42 + 32 = 25 = 5 cm
Por lo tanto se tiene que la distancia, d, entre 2 puntos es: d = (X2 – X1) 2 + (y2 –
y1) 2
En esta ecuación no importa si X2 es mayor o menor que X1.
Actividad 2. Encuentren la distancia entre los siguientes pares de puntos: 1. (2,8) y (5,8)
____
2. (3,8) y (5,8) ____ 3. (4,8) y (5,8) ____ 4. (-2,8) y (5,8) ____ 5. (-4,8) y (5,8)
____

6. (3,-8) y (5,-8) ____ 7. (4,-8) y (5,-8) ____ 8. (-2,-8) y (5,-8) ____ 9. (-4,-8) y (5,-8)
____
10. (3,8) y (3,6) ____ 11. (3,8) y (3,7) ____ 12. (3,8) y (3,1) ____ 13. (5,-8) y (5,1)
____
14. (3,7) y (6,-5) ____ 15. (3,5) y (12,-4) ____ 16. (-5,8) y (3,-2) ____ 17. (5,12) y (-1,8)
____
18. (12,-7) y (10,-1) ____ 19. (15,10) y (14,9) ____20. (100,-20) y (101,-21) 21. (100,-20) y
(-100,0) ____
Discusión 1.1. Encuentren gráfica y analíticamente el perímetro de
los triángulos siguientes:
6
5
4
3
2
1
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
4
3
2
1
4
3
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
1
-1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-3
-4
2
-1
-2
-3
-4
A
B
Para lograr tus propósitos debes
saber ubicarte. Ubícate de manera
que tengas cerca de ti lo que
necesitarás.

4
3
2
1
Ubícate a la derecha o a
la izquierda. La mejor
posición dependerá de
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
4
3
2
1
las circunstancias.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
C
D
E

4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2. En los casos siguientes se da la distancia entre los 2 puntos. Encuentren en cada caso
la coordenada q. a. (2, q) y (20, 12) d = 373 ___ b. (5, 8) y (10, q) d = 13 ___
C. (-2, 6) y (q, -4) d = ___ d. (Q, 5) y (10,4) d = ___ e. (Q, 8) y
(10,12) d = ___
f. (8,3) y (10, q) d = ___ g. (5, q) y (7,12) ___ h. (2,10) y (q, 7)
___
i. (10, q) y (20,10) d = ___ j. (q, 10) y (5,12) d = ____ k. (1,5) y (5, q)
____
l. (q, 5) y (14,12) ____ m. (q, 20) y (20,30) ____
2b. En los casos siguientes se da la distancia entre los 2 puntos. Encuentren en cada
caso la coordenada q. a. (q, 4) y (-10,-5) ____ b. (q, -8) y (-10,-8) d = 400
c. (10, -20) y (-15, q) d = 25 ____ d. (10, -20) y (-15, q) d = 25 ____
e. (10, -20) y (-15, q) d = 25 ____ f. (-5, -8) y (q,-12) ____
g. (-5, q) y (14,-10) ____ h. (q, 12) y (12,-14) ____
i. (10, -12) y (q, 15) ____ j. (q, 10) y (20,-5) ____
6
5
4
3
2
1
F
G
H
244 82 41
13
d = 8 d = 45
136 13
d = 32
dd == 8855
d = 200
d = 85
d = 641
d = 685 d = 932
d = 954 d = 1450

2c. Trazar y encontrar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son los puntos
siguientes:
a. (3,8); (5,8) y (6,7) ______ b. (3,10); (2,8) y (6,-7) ______ c. (3,-10); (2,-8) y (4,-
7) ______
d. (3,-12); (2,-10) y (-4,-7) ______ e. (-3,-12); (2,-10) y (5,-7) ______
Discusión 2. a. Un cuerpo se mueve del punto A, al B, del B al C,
del C al D, del D al E. Encuentren la distancia total recorrida si se sabe que: el punto A
es (-4,2); el punto B es (2,10); el punto C es (6,4); el punto D es (8,-2) y el punto E es
(5,-7) ______ Además grafiquen los puntos y encuentren la distancia que habría
recorrido el cuerpo si se hubiera movido en línea recta de A E _____ b. Un cuerpo se
mueve del punto A, al B, del B al C, del C al D, del D al E. Encuentren la distancia total
recorrida si se sabe que: el punto A es (-4,3); el punto B es (-2,10); el punto C es (6,5);
el punto D es (5,-2) y el punto E es (5,-6) ______ Además grafiquen los puntos y
encuentren la distancia que habría recorrido el cuerpo si se hubiera movido en línea
recta de A a E _____ c. Un cuerpo se mueve del punto A, al B, del B al C, del C al D,
del D al E. Encuentren la distancia total recorrida si se sabe que: el punto A es (-4,3); el
punto B es (-2,8); el punto C es (6,7); el punto D es (5,-4) y el punto E es (5,-5) ______
Además grafiquen los puntos y encuentren la distancia que habría recorrido el cuerpo si
se hubiera movido en línea recta de A a E _____ d. Un cuerpo se mueve del punto A,
al B, del B al C, del C al D, del D al E. Encuentren la distancia total recorrida si se sabe
que: el punto A es (-2,3); el punto B es (-2,7); el punto C es (5,7); el punto D es (2,-4) y
el punto E es (7,-5) ______ Además grafiquen los puntos y encuentren la distancia que
habría recorrido el cuerpo si se hubiera movido en línea recta de A a E _____ e. Un
cuerpo se mueve del punto A, al B, del B al C, del C al D, del D al E. Encuentren la
distancia total recorrida si se sabe que: el punto A es (-5,3); el punto B es (-2,5); el
punto C es (2,7); el punto D es (2,10) y el punto E es (7,-8) ______ Además grafiquen
los puntos y encuentren la distancia que habría recorrido el cuerpo si se hubiera
movido en línea recta de A a E _____
Discusión 3. a. Encuentren 4 puntos que estén a 5 unidades del
punto (2,5) b. Encuentren 4 puntos que estén a 4 unidades del punto (3,5) c.
Encuentren 4 puntos que estén a 6 unidades del punto (4,5) d. Encuentren 4 puntos
que estén a 7 unidades del punto (2,4) e. Encuentren 4 puntos que estén a 2 unidades
del punto (3,5) f. Encuentren 4 puntos que estén a 6 unidades del punto (3,3) g.
Encuentren 4 puntos que estén a 7 unidades del
punto (2,2)
Discusión 3b. La
circunferencia mostrada tiene un radio de 4 cm.
Calcular las distancias entre los puntos: a. A y B
______ b. A y C ______ c. A y D ______ d. B y
C ______ e. B y D ______ f. C y D ______
60
° 30
45
°
°
75
°
A
B
C
D

Un punto en el plano se
rige por coordenadas. En
la vida encontrarás
coordenadas que te
señalarán el camino
adecuado.
1.3 Inclinación y pendiente de una recta
Inclinación. La inclinación de una recta es el ángulo que forma con la horizontal
Pendiente. La pendiente m de una recta es la tangente del ángulo de inclinación.
l
63.43º
En el plano cartesiano anterior, la recta l tiene una inclinación de 63.43º Esto significa
que su pendiente es: Tan (63.43º) = 2
Lo anterior nos lleva a la conclusión que la inclinación de una recta es la tangente
inversa de la pendiente.
Para el caso anterior, como la pendiente es 2, entonces la inclinación es: Tan-1 (2) =
63.43º
Para una recta que pasa por 2 puntos conocidos, su pendiente viene dada por la
fórmula:
m = (y2 – y1) / (X2 – X1)
Ejemplo. Calcular la pendiente y la inclinación de las rectas siguientes: 1. La que
pasa por los puntos (2,10) y (4,16) 2. La que pasa por los puntos (2,-3) y (4,-7)
Solución.
 Los puntos son (2,10) y (4,16)
La pendiente es: m = (16 – 10) / (4 – 2) = 6/2 = 3
El ángulo de inclinación es: Tan-1 (3) = 71.6º
Si conoces las
circunstancias de tu vida
como un plano
cartesiano, lograrás
ubicarte bien, de
manera que no te
inclinarás ante nadie.

 Los puntos son (2,-3) y (4,-7)
La pendiente es: m = (-7 – (-3)) / (4 – 2) = (-7 + 3) / 2 = -4/2 = -2
El ángulo de inclinación es: Tan-1 (-2) = -63.43º
Observemos que la pendiente y la inclinación son negativas. –63.43 nos indica que es
un ángulo medido hacia abajo del eje X positivo. Esta recta es la siguiente:
Θ
-63.43º
Surge la pregunta: ¿qué ángulo forma hacia arriba del eje X? La respuesta es sencilla.
Se tiene que 63.43º + θ = 180º Por lo tanto θ = 180º - 63.43º = 116.57
No olvidemos que Tan –63.43 = Tan 116.57º
El ángulo puede expresarse como 116.57º ó -63.43º
Se concluye que de 0º a 90º, la pendiente es POSITIVA. De más de 90º a menos de
180º, la pendiente es NEGATIVA.
Además, una recta horizontal tiene pendiente CERO; y una vertical tiene pendiente
INFINITA.
Actividad 3. En cada par de puntos, encuentra la pendiente y la inclinación.
1. (2,4) y (4,6) __ ____ 2. (2,5) y (4,7) __ ____ 3. (2,3) y (4,6) __ ____ 4. (2,5) y
(4,10) __ ____
5. (2,0) y (4,-2) __ ____ 6. (2,1) y (4,-1) __ ____ 7. (2,-3) y (4,-6) __ ____ 8. (2,-5) y
(4,-10) __ ____
9. (2,3) y (3,-2) __ ____ 10. (2,2) y (3,-1) __ ____ 11. (4,-3) y (5,-6) __ ____ 12. (2,5) y
(5,-12) __ ____
13. (2,1) y (4,-2) __ ____ 14. (2,1) y (6,-1) __ ____ 15. (4,-3) y (4,-6) __ ____ 16. (2,-5) y (4,-
10) __ ____
17. (2,2) y (3,-2) __ ____ 18. (1,1) y (5,-1) __ ____ 19. (-4,-3) y (4,-6) __ ____ 20. (-2,-5) y
(4,-10) __ ____
1.4 Angulo entre dos rectas
Θ
Observa el gráfico siguiente:
45º 63.43º
116.57º
-63.43º
l1
l2
En el gráfico, las rectas l1 y l2 forman un
ángulo θ. Como la suma de los ángulos de un
triángulo es 180º, entonces se tiene que el
ángulo θ es de 180º - 45º - 63.43º = 71.57º
Es decir que el ángulo entre las rectas es de
71.57º

Se tiene también que para l1 su pendiente es m1; y para l2 la pendiente es m2.
Ocurre que para θ:
m2 – m1
1 + m1m2
Tan θ =
Significa que el ángulo entre las rectas es:
θ = Tan-1 (m2 – m1) / (1 +
m1m2)
Para el caso que estamos estudiando, las pendientes son:
Para l1: Tan 45º = 1
Para l2: Tan 116.57º = -2
Por lo tanto, el ángulo entre las rectas es: θ = Tan-1 ((-2 – 1) / (1 + (1) (-2))) = Tan-1 (-3/
(1 - 2))
= Tan-1 -3/-1
= Tan-1 3 =
71.57º
Ejemplo. Encontrar el ángulo que forman 2 rectas. La primera pasa por los puntos
(2,4) y (4,8): y la segunda pasa por los puntos (2,-6) y (4,-12)
La primera pasa por los puntos (2,4) y (4,8) Encontremos la
Solución.
pendiente.
m = (4 - 8) / (2 - 4) = -4/-2 = 2  Aquí hemos partido del primer punto.
La segunda pasa por los puntos (2,-6) y (4,-12) Encontremos la pendiente.
m = (-6 – (-12)) / (2 - 4) = (-6 + 12) / -2 = 6/-2 = -3
θ = Tan-1 ((-3 – 2) / (1 + (2) (-3))) = Tan-1 (-5/(1 - 6)) = Tan-1 (–5/-5) = Tan-1 1 = 45º  θ
= 45º
El ángulo que formen las 2 rectas será siempre POSITIVO y menor de
180º
Actividad 4. Encontrar en cada caso el ángulo que forman las 2 rectas.

1. La primera pasa por (2,4) y (5,10) y la segunda pasa por (2,-4) y (5,-10) _____
2. La primera pasa por (2,4) y (5,10) y la segunda pasa por (2,6) y (3,9) _____
3. La primera pasa por (1,1) y (2,2) y la segunda pasa por (2,-4) y (3,-6) _____
4. La primera pasa por (2,-4) y (3,-6) y la segunda pasa por (2,-8) y (3,-12) _____
5 La primera pasa por (2,-5) y (3,-7) y la segunda pasa por (2,-5) y (3,-10) _____
Actividad 4b. Se tiene una recta que pasa por los puntos (0,0) y (2,7). Encontrar el
ángulo que forma esta recta con la recta que pasa por los puntos (10,0) y (3, q) si q
toma los valores de:
a. q = 12 θ = _______ b. q = 11 θ = _______ c. q = 10 θ = _______ d. q = 9 θ
= _______
e. q = 8 θ = _______ f. q = 7 θ = _______ g. q = 6 θ = _______ h. q = 5
θ = _______
i. q = 4 θ = _______ j q = 3 θ = _______ k. q = 2 θ = _______ l. q = 1 θ
= _______
m. q = 0 θ = _______ n q = -1 θ = _______ ñ. q = -2 θ = _______ o. q = -3
θ = _______
Actividad 4c. Para cada recta que pasa por los puntos indicados, encontrar el
menor ángulo que forma con los 2 ejes del plano cartesiano a. (2,4) y (5,10) θX =
______ θY = ______ b. (2,-4) y (5,-10) θX = ______ θY = ______ c. (2,4) y (5,10)
θX = ______ θY = ______ d. (2,6) y (3,9) θX = ______ θY = ______ e. (1,1) y (2,2)
θX = ______ θY = ______ f. (2,-4) y (3,-6) θX = ______ θY = ______ g. (2,-4) y (3,-6)
θX = ______ θY = ______ h. (2,-8) y (3,-12) θX = ______ θY = ______
1.5 Punto medio de un segmento de recta
P1 (X1,
y1)
P2 (X2,
y2)
Pm (X, y)
En la gráfica aparece un segmento de recta. El segmento se inicia en P1 y termina en
P2.
El punto Pm es el punto medio. Es decir, la mitad del segmento. Si conocemos las
coordenadas de los puntos extremos, cómo averiguamos las coordenadas del punto
medio.

Se tiene que:
X = (X1 + X2) / 2
y = (y1 + y2) /2
Ejemplo. Los puntos extremos de un segmento de recta son (2,6) y (8,12)
Encontrar el punto medio.
Solución.
Apliquemos las ecuaciones respectivas:
X = (X1 + X2)/2 = (2 + 8)/2 = 10/2 = 5  y = (y1 + y2)/2 = (6 + 12)/2 =
18/2 = 9
El punto medio es Pm (5,9)
Actividad 5. En cada caso, encuentra el punto medio del segmento de recta. Se
dan los puntos extremos. 1. (2,3) y (8,6) _____ 2. (2,4) y (8,-2) _____ 3. (4,2) y
(10,-4) _____ 4. (-2,-4) y (8,10) _____ 5. (2,3) y (8,7) _____ 6. (2,5) y (8,7) _____
7. (2,5) y (8,7) _____ 8. (2,7) y (8,7) _____ 9. (-2,5) y (8,7) _____ 10. (-2,5) y (-
8,7) _____ 11. (2,5) y (-8,-7) _____ 12. (-2,5) y (-8,-7) _____ 13. (5,2) y (7,8)
_____ 14. (5,2) y (7,8) _____ 15. (5,2) y (5,8) _____ 16. (5,4) y (5,8) _____
17. (5,6) y (5,8) _____ 18. (-5,6) y (5,8) _____ 19. (5,6) y (-5,8) _____ 20. (5,8) y
(-5,8) _____ 21. (5,8) y (-5,-8) _____ 22. (5,6) y (-5,-6) _____ 23. (5,2) y (-5,-2)
_____ 24. (4,2) y (6,-2) _____ 25. (6,2) y (6,-2) _____ 26. (6,-2) y (6,2) _____
27. (1,-2) y (9,2) _____ 28. (1,-2) y (9,4) _____ 29. (3,-2) y (9,-4) _____ 30. (-
3,-2) y (9,-4) _____ 31. (-3,2) y (9,-4) _____ 32. (-3,2) y (-9,-4) _____ 33. (-3,-
2) y (-9,-4) _____ 34. (-3,-2) y (-9,-6) _____ 35. (-3,-2) y (-9,-8) _____ 35. (-3,-2) y
(-9,-10) _____ 35. (-5,-2) y (-9,-8) _____
En cada uno de los casos siguientes se da el punto
Discusión 4.
inicial y el punto medio; calculen el punto final.
1. (2, 4), Pm (6, 8) _____ 2. (2,4), Pm(7,6) _____ 3. (4,6), Pm(9,6) _____ 4.
(8,2), Pm(14,4) ___ 5. (4,8), Pm(4,9) ___ 6. (6,8), Pm(6,9) ___ 7. (6,8), Pm(6,10)
___ 8. (3,8), Pm(7,10) ___
9. (-3,8), Pm(4,11) ___ 10. (3,-8), Pm(7,3) ___ 11. (3,10), Pm(7,4) ___ 12. (-
3,8), Pm(-4,11) ___ 13. (-3,-2), Pm(-5,6) ___ 14. (-5, 10), Pm(-5,6) ___ 15. (-7, 8),
Pm (-6,6) ___ 16. (-3, -2), Pm (-5,-5) ___ 17. (10, -2), Pm (9,-5) ___
En los casos siguientes, deberán encontrar la
Discusión 55, 7) 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444distancia que hay de un extremo al punto medio del segmento de recta dado. 1. (2,4)
y (-2,8) _____ 2. (-4,2) y (6,8) _____ 3. (9,8) y (4,-6) _____ 4. (-2,-10) y (4,8)
_____ 5. (-4,6) y (8,12) _____ 6. (-4,6) y (8,14) _____ 7. (-4,8) y (8,10) _____ 8.
(-2,8) y (10,10) _____ 9. (6,8) y (10,10) _____ 10. (6,2) y (10,18) _____ 11. (-6,4)
y (-10,12) _____ 12. (-8,4) y (-8,10) _____

2. La línea recta.
Objetivos conceptuales. Comprender con cierta profundidad lo que es una línea recta.
Objetivos procedimentales. Trazar una recta y expresar su ecuación conocidos 2 puntos de ella o un punto y su
pendiente; y, conocida la ecuación, calcular si es paralela o no a otra, así como conocer su pendiente o algunos de sus
puntos.
Objetivos actitudinales. Considerar que así como la línea recta carece de quiebres, así nosotros debemos proceder con
rectitud ante nuestros semejantes.
Hemos trabajado anteriormente con segmentos de línea recta. Esto debido a que no se
puede trabajar completamente con la línea recta, pues ésta es infinita. Es decir, no
tiene ni principio ni fin: viene de menos infinito y va hacia más infinito.
Se tiene también que por un punto pasan infinitas líneas
rectas. Esto se muestra en el gráfico:
Sin embargo, por 2 puntos sólo puede pasar una línea
recta.
Si por 2 puntos sólo pasa una recta, entonces la ecuación de dicha recta puede
encontrarse a partir de tales puntos. Así es. Pero, ¿cuál es la ecuación de una recta?
Ecuación general de la recta
La ecuación general de la recta tiene la siguiente forma
Forma pendiente-intersecto de la recta
AX+ By + C = 0
Si de la ecuación general despejamos y, obtenemos:
AX + By + C = 0
By = -AX - C
y = (-A/B)X - C/B
Ocurre en la última ecuación que el factor (-A/B) es la pendiente, m, de la recta;
mientras que C/B es el punto donde la recta intersecta al eje y. Es decir que C/B es el
intersecto. Si al intersecto le llamamos b, se tiene que:
La ecuación pendiente intersecto de una línea recta es: y = mX + b

Intersecto b
Es evidente que toda recta que no es vertical, SIEMPRE tendrá intersecto, aunque éste
puede valer CERO. Esto se da cuando la recta pasa por el origen. Además, en el
intersecto, X = 0. Es decir que el punto intersecto es (0, b)
La ecuación, evidentemente, se aplica si se conoce la pendiente y el intersecto.
Forma intersecciones de la recta
Toda recta que no es vertical tiene intersecto en y, pero también tiene intersecto en X.
Llamémosle a al intersecto en X. Ambos intersectas se muestran a continuación
a
b
Si se conocen los intersectas, la ecuación de la recta es:
X + y
a b
+ = 1
Forma dos puntos de la recta
Si se conocen 2 puntos de una recta, puede calcularse su pendiente m. Recordémoslo:
m =
y2 – y1
X2 – X1
La ecuación dos puntos de una recta es la siguiente:
y2 – y1
X2 – X1
y – y1 = (X - X1)
La ecuación, evidentemente, se aplica si se conocen 2 puntos de la recta.
Forma punto y pendiente de la recta

En la ecuación anterior, al sustituir la pendiente m, se obtiene la ecuación punto
pendiente de la recta:
y – y1 = m (X - X1)
Ejemplo. Una recta pasa por los puntos (1, 4) y (2, 2) Encontremos la ecuación de
la recta y los puntos donde la recta corta los ejes. Además, trazar la gráfica.
Solución.
Lo primero que debemos hacer es encontrar la pendiente:
m = (y2–y1)/(X2–X1)= (4 – 2)/(1 – 2) = 2/(-1) = -2
Ahora tomemos un punto y apliquemos la ecuación punto pendiente. Tomemos el
primer punto (1, 4); obtenemos:
y –y1 = m (X - X1)
y –4 = -2 (X - 1)
y – 4 = -2X + 2
y = -2X + 2 + 4 = -2X + 6
y = -2X + 6  Esta es la ecuación pendiente intersecto.
Ahora dispongámonos a encontrar los puntos donde la recta corta los ejes. El punto
donde corta al eje y es el intersecto: (0,6)
Para encontrar donde la recta corta al eje X, hacemos y igual a CERO.
y = -2X + 6  0 = -2X + 6  -2X = -6  X = -6/(-2)  X = 3
Tracemos la gráfica:
(0,6)
Para trazar la gráfica Bastan
2 puntos. Pueden ser los
Puntos dados o los
Intersectas. Usemos éstos.
3
6
(3,0)
Ejemplo. Una recta pasa por el punto (-2,2) y se sabe que tiene la misma pendiente
que la recta 2y – 4X – 10 = 0 Encontremos la ecuación, los intersectas, la gráfica y 5
puntos más de la recta.
Solución.
Nos dan la ecuación general de una recta paralela a la que buscamos. Son paralelas
porque tienen la misma pendiente.

De la ecuación general sacamos la pendiente. ¿Cómo? Despejando y.
2y – 4X – 10 = 0  2y = 4X + 10  y = 2X + 5
La pendiente de la recta que buscamos es 2.
Con el punto que se tiene y la pendiente, encontramos la ecuación:
y –y1 = m (X - X1)
y – 2 = 2 (X – (-2))
y –2 = 2 (X + 2)
y –2 = 2X + 4
y = 2X + 6  Esta es la ecuación pendiente intersecto.
El intersecto en y es: (0,6)
Para encontrar donde la recta corta al eje X, hacemos y igual a CERO.
y = 2X + 6  0 = 2X + 6  2X = -6  X = -6/2  X = -3
El intersecto en X es: (-3,0)
El gráfico es el siguiente:
6
-3
Para encontrar 5 puntos de la recta, le damos a X 5 valores.
Llenaremos una tabla de valores.
Los 5 puntos son: (1,8), (2,10), (3,12), (4,14) y (5,16)
X y
1 8
2 10
3 12
4 14
5 16
Actividad 6. En los casos siguientes se te dan 2 puntos. Deberás encontrar la
ecuación de la recta, los intersectos, 3 puntos más de la recta y la gráfica.
1. (2,12) y (3,13) _________________ __________ ________
2. (2,7) y (5,10) _________________ __________ ________
3. (2,1) y (5,7) _________________ __________ ________
4. (-3,-19) y (2,-4) _________________ __________ ________

5. (-2,-10) y (5,11) _________________ __________ ________
6. (2,-4) y (3,-6) _________________ __________ ________
7. (5,-11) y (7,-17) _________________ __________ ________
8. (3,15) y (-2,-5) _________________ __________ ________
9. (3,-7) y (5,-15) _________________ __________ ________
10. (3,6) y (6,8) _________________ __________ ________
11. (2,2) y (4,7) _________________ __________ ________
12. (2,1) y (6,-5) _________________ __________ ________
Actividad 6b. En los casos siguientes se te da 1 punto y la inclinación. Deberás
encontrar la ecuación de la recta, los intersectas, 3 puntos más de la recta y la gráfica.
1. (2, 12) La inclinación es de 45º _________________ __________
________
________
3. (2, 1) La inclinación es de 63.435º _________________ __________
________
4. (2, -4) La inclinación es de 71.565º _________________ __________
________
________
________
________
________
________
________
11. (2, -5) La inclinación es de 78.69º _________________ __________
________
12. (1, 5) La inclinación es de -78.69º _________________ __________
________
________
________

________
Actividad 6c. Para cada recta mostrada encontrar su ecuación.
1 2 3
____________ ____________
____________
Discusión 6eci escuchen sin alterarse.
.
.
3
1 7
5
4 5 6
____________ ____________
____________
Encuentren la ecuación de la recta en los casos siguientes. La
longitud del segmento de recta es d.
1 d =
P
-1
4
1. Se sabe que la distancia de P al punto (8,2) es de
251 Encuentren la ecuación de la recta
6 Se sabe que la distancia de P al punto (2,12) es de
41
2
8
8
5
13
52
2
4
2
2
2
-4
2
-5
2
-2
2

2 d = d = 3
3
89
1 9
3
136
1 11
3
1 5
3
1 8
4 d = d = 5
41 65
Tipos de recta
 Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si nunca se intersectan. Es decir, si tienen la misma
pendiente
Las parejas de rectas siguientes son paralelas.

Por ejemplo, las rectas y = 5X – 1 y 2y –10X – 4 = 0 son rectas paralelas.
Despejemos y de la segunda ecuación para comprobarlo.
2y –10X – 4 = 0  2y = 10X + 4  y = 5X + 2
Como vemos, tienen la misma pendiente: 5.
 Rectas perpendiculares
Si 2 rectas no son paralelas, entonces son intersectantes. Es decir, se intersectan. Si
esas rectas se intersectan formando un ángulo de 90º, entonces son perpendiculares
u ortogonales.
90º
Estas rectas son perpendiculares, pues al
cortarse forman un ángulo de 90º
Si 2 rectas son ortogonales, entonces se cumple que el producto de sus pendientes es
–1. Por ejemplo, si l1 y l2 son 2 restas perpendiculares, y si m1 y m2 son sus
pendientes respectivas, entonces se cumple que:
m1 x m2 = -1
Para el caso, si 3/4 es una pendiente; entonces la otra pendiente es –4/3. Encontremos
el producto.
(3/4) x (-4/3) = -12/12 = -1
Actividad 7. En cada caso, determina si las rectas son paralelas o si se intersectan.
Si se intersectan, determina si son perpendiculares. 1. y - 3X – 2 = 0 y 2y - 6X = 2
________ 2. y = 2X + 3 y 2y - X = -4 _______ 3. y = 2X + 3 y 2y + X = -4
______ 4. y - 3X = 4 y 2y - 6X = 2 ________ 5. y = 5X + 2 y 5y + X –15 = 0
______ 6. y - 3X + 2 = 0 y y + 3X = 5 ______ 7. Una recta pasa por (2,4) y
(5,8) y la otra es 4y + 3X = 4 _______ 8. Una recta pasa por (2,4) y (5,8) y la
otra pasa por (4,-3) y (8,-6) _________ 9. Una recta pasa por (2,4) y (5,8) y la
otra tiene una inclinación de 53.13º ________ 10. Una recta pasa por (3,5) y (8,10)
y la otra tiene una inclinación de 135º __________
.

1
Encontrar la ecuación de la recta graficada si se sabe que
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
es perpendicular a la recta cuya ecuación aparece.
2
y + 2X + 3 = 0
3
y + 8 = -2X
1 y + 5 = -2X
y = X/2 + 10
y = X/2 + 100
y = X/2 + 25
1 2 3
y = -0.5X + 2
-1 -2 y = -0.5X + 25
-3
y = -0.5X + 20
y = -X /3 + 2
3
-2
y = -X /3 + 20 1 y = -X /3 + 20
13
(4, 3) 14 15
y + 5 = -2X
(3, 5)
(-2, -5)

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