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D. KLETENIK
PROBLEMAS
DE GEOMETRIA ANALITICA
1"e1JisacloR ¡JO" et. I"1'ofeso1"
N. I~~'IMOV
Tradrwtdo de~ 'ruso
por
I!:MILl...
Primera Parte
GEOMETRIA
ANALITICA
PLANA
1
Capítulo
PROBLEI{AS ELEMENTALES DE LA GEOltfETRTA
ANALITICA PLANA
§ 1. El eje y segmentos del eje. Las coordenadas
. en ...
f. Trazar los pun Los:
A(3). B(5~. C(-i.), D(4), E(-f),
F (V'2) y H ( - V5).
2. Trazar los puntos, cuyas coordenadas satis...
7. Determinar la r.allón }..= ~; , en la que 01 punto C
divide al segmento AB en los siguientes casos;
1) A (2), B (6) y C...
14. Dados dos puntos A (5) y B (-3). detcrruiuar:
1) la coordenada del punto 1111 simétrico al punto A con
respecto al pun...
planos; 1)1que está situadu en La diroociún positiva tllll lljÓ Oy so lla-
ma superior y, el otro, in(crior.
Los cíes coor...
23. Hallar las coordenadas de los puntos simétricos
a los puntos
1) A (2; 3); 2) B (5; -2); 3) e (-3; 4)
con respecto a la...
ángulos polares tomaremos como posltívaa las rotaciones en la dlrcc-
ción en que debo girar el semício positivo de abscisa...
con respecto al eje polar, si estos están dados en un sis-
tema de coordenadas polares.
28, Determinar las coordenadas pol...
coordenadas polares del punto medio del segmento que une
los puntos JY! I Y 11<[!l'
3,1. En un sistema de coordenadas pola...
43. El polo de un sistema de coordenadas polares coin-
cide con el origen do coordenadas cartesianas rectangulares:
01 eje...
I~s uoctr, p:lra hallar JIIS proyecciones del segmento dirigido sobre
los ejes coordenados es necesarlo restar lae coorden...
1¡6. Trazar los segmentos que tienen el origen en el punto
111 (2; -1), conociendo sus proyecciones sobre los ejes
coordon...
polar a de cada uno de ellos:
1) d=12, 6=fn; 2) d=6, G= - ~;
3) d = 2, f) = - T .
53. Dadas las proyecciones do los sogmon...
del origen de este segmento. si se sabe que forma con el
eje de abscisus: a) un áugulo ngudo. b) un ángulo obtuso.
59. Con...
72. Demostrar que los puntos A (2; 2), B (-1; 6),
e (-5; 3) y D (-2; -1) son vórtices de un cuadrado.
73. Averiguar si ent...
punto M se dotorminan medtanto las Iórznulas
XI+"x2 Yl+AY2
x = 1+1.. ' y = ---¡-::¡::r- .
Si M es el punto medio del segme...
97. Los, vértices do un triángulo son: A (3; -5),
B (-3; 3) y e (-1; -2). Determinar la longitud de la
bisectriz del ángul...
e esLú en el eje do ordenadas. Determinar las coordenadas
de los plintos M y C.
110. Se han dado los vértices de una lúmin...
114. En los puntos A (XI; YI), B (X2; Y2) y e (X3; Ya)
están concentradas las masas In, n y p. Determinar las Coor-
denada...
H9. Tres vértices de un paralelogramo son 105 puntos
A (3; 7), B (2; -3) y e (-1; 4). Calcular la longitud de
su altura ba...
magnitud eJotraslación en dirección del ejo de abscisas y b. la magni-
tud de traslación en dirección del eje de ordenadas...
ángulos siguientes:
1) 60°; 2) -45"; 3) 90°; 4) _90°; 5) 180°.
..132. Los ejos de coordenadas han girado un ángulo
a = GO°...
138. El eje de coordenadas se ha trasladado ni punto
O' (-1, 2). y los ejes coordenados han girado un ángulo
ex = arctg :&...
M b (2; - ~ ). Determinar las coordenadas car tesianas
rectangulares de estos pun Los.
144. El eje polar de un sistema de ...
II
Capítulo
ECUACIO N DE U NA LI NFA
§ 8. Función de dos variables
Si existe una ley, según la cual a cada punto M del pla...
2) .el punto P se 11a tomado como origen de coorde-
nadas y el eje O» tiene la dirección del segmento QP.
48. Dados un cua...
156. ¿Qué ángulo tienen que girar los ejes coordena-
dos para que la expresión de la función f (x, y) = 3X2 +
+ 2 V3XY + y...
7) x = O; 8) y = O; 9) ;¡;2 - xy = O; 10) xy+ y' = O;
1'1) x.1 - y2 = O; 12) xy = O; 13) !¡Z - 9 = O;
14) ;);2 - 8.'1; -1-...
Determinar cuáles de estos puntos están en la línea
dofinida por la ecuación dada on coordenadas polares p =-
= 2 cos () y...
en el rayo que parLe del polo con una inclinación al eje
polar do un ángulo 1) = ~ . Hacer el dibujo.
171. En la espiral d...
Sustituyendo estas expresiones obtenidas on la Igualdad (-O, hallamos
la ecuación que relaciona las coordenadas :1' o 11 d...
En cíectc, para cada punto M sltuado en la circunferencia dadu, so
cumplo la condición (1) Y. por conaiguíentc, las coorde...
185. Los vértices de un cuadrado son los puntos A (a; a),
B (-a; a), e (-a; -a) y D (a; -a). Hallar la ecuación
del lugar ...
x = - f. Este lugar geométrico se llama 'parábola, el
puntoF se llama foco de la parábola y la recta dada, directriz.
193....
§ 11. Ecuaciones paramétricas de una línea
Designemos por las letras x e y las coordenadas do un punto M;
consíderomoa dos...
punto M, tomando por parámetro t el ángulo que forma
el segmento OM con 01 oje O:;;.
207. La trayectoria del punto M es un...
111
Capítulo
LINEAS DE l'Hll'tlliR OHDEN
~ 12. Fom13 general de la ecuación de Ia recta.
Ecuación de la recta en funci6n d...
La ecuación y - /lo = k (x - xo) es la ecuación de la recta que
pasa pOI' el punto Mo (xo; /10) y tieno el coeficiente ang...
214. Hallar el punto de tntersección de dos rectas
3z - 4y - 29 = O, 2x + 5y + 19 = O.
215. Los lados AS, Be y A e del tri...
to b que ella intercepta en el eje Oy;
1) k=i-, &=3; 2) k=3, b=O; 3) k=O, b=-2;
4) k= -t, &=3; 5) k= -2, &= -5;
1 2
6) k=-...
228. Hallar en cada uno de los casos siguientes la ecua-
ción de la recta paralela a las dos rectas dadas y que pasa
por e...
bajada desde el vértice C a In bisectriz del ángulo interno
del vórtice A.
238. Hallar las ecuaciones de los lados y do la...
248. Hallar un punto MI, simétrico al punto M2 (8; -9),
relativo a la recta que paso. por los puntos A (3; -q)
y B (-1; -2...
Hallar las ecuaciouos do las rectas en la quo ostán los rayos
incidente i/ reítejado.
259. Un rayo de luz va dirigido por ...
Rcsclvce (,1 prohlem» sin CllculM los cooñcicntes angulares
de las rectas dadas,
N u t n, A 1,l.ear la condloión de 11t"'J...
do dos alturas
5x + 3y - 4 = O y 3.1' + 8y 1- 13 = O.
272. Hallar las ocuacíunes do los Indos de un tl'itugulo,
conociendo...
278, Hallar las ecuaciones de los Indos de UII L1'iáJI gu lo,
conociendo UIO do sus vértices A (3; -1) y las ecuaciouas
de...
§ (3. Ecuaciones íncompletas de 111 recta.
Dtscusién do las ecuaciones aírnul táneas de. dos y do
tres rectas, Ecuación (,...
285. Determinar IH1I'a qUIÍ valor de a lu recta
(a ~ 2) z + (a~ - 9) y + :Ja~- 8a + 5 = O
'1) es paralela 01 eje do ubscis...
291. Determinar para qué valores de a y b las dos rectas
(IX - 2y - 1 = O, 6x - 4y - b = O
1) tienen un punto común; 2) so...
298. Determinar para qué valor de a las tres rectas
2:t - y + 3 = O, x + y + 3 = O, ax + y - 13 = O
so cortan en '111 punt...
que intercepta en el ángulo coordenado U11 trtángulo do área
iguul a S. Determinar la relacíén entre las ca 11tidades XI' ...
Si 111' da la ecuación general rlc la rctta A.l'+lJlI 1- C= 0, !,lIra
reducirla 11In forma 1I(>rm~1 es neccsn-io multiplic...
313. Determi llar si el punto lyI (1; -3) y el origen de
coordenadas están a un mismo lado o a diferentes lados
de cada un...
Calcular In distancia desdo 01 centro de gr'ovo(lad d(l esto
triángulo hasta el lado BC.
a22. Calcular la distancia d entr...
331. HaBar. las écuaciunes de las rectas paralelas a la
recta 3:t. - 'IY - 10 .;..._0, que so encuentran a unn dístanciu
d...
Mo. HalÍar las ecuaciones de las recias que pnsan por
el punto P (2: -'1.) y junto con las rodas
2x - y + 5 = 0, 3x + l3y ...
846. Averiguar qué áuguf o (agudo ti obtuso) Inrmudo
por las rectas
3x - 5y - 4 = O y a: + 2y + 3 = O,
contiene el punto M...
Es 100S, slempre so pueden e.1l'gir loe números CI. y P do manera
que la ccuactén (1) represento una recta cualqulern (Isi...
escribir la ecuacion de la recta de este haz que pasa por
el centro de gravedad do una lámina trjangular homogénea,
cuyos ...
Problemas de Geometría Analitica
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  1. 1. EOfTORIAL lIdIR
  2. 2. n. O. i{ JI E T B f1 H {( CBOPHMI{ 3A,I1;A-q no AHAJIVITJlIl.JECROn rEOMETPJ1H BoÍ) peOal<'lllct7 npotfi. JJ. lJ. E rfi tI.lt (/8 a l'OCYn,PCTBEHnOE H3;D.ATEJlbCl'BO (I>¡'¡31u{O·l1A'rEMA1'R'iECHOa JIKTEI)ATYPbJ l l u llCllf"le~o ..u AOW.KlJ
  3. 3. D. KLETENIK PROBLEMAS DE GEOMETRIA ANALITICA 1"e1JisacloR ¡JO" et. I"1'ofeso1" N. I~~'IMOV Tradrwtdo de~ 'ruso por I!:MILlANO APARICIO DEnN'ARDO. (Jnn1litlat() a Dootor Ct't Cfe-Jh"(."# }:4slr.o-.3ra.f,!,m(d'k(M, (;rrletll'ót<lt:--O rlr. lfFa.tr:1tlttiHcff8 .""'''pl;,,,U,'t'~11 r7f:t ./)IHti-h't" E.,UtJ"OI:UC.d (Te .íYtMeÚ {tncC1·a. (HHci6n) EDITORIAL MIR MOSCU
  4. 4. Primera Parte GEOMETRIA ANALITICA PLANA
  5. 5. 1 Capítulo PROBLEI{AS ELEMENTALES DE LA GEOltfETRTA ANALITICA PLANA § 1. El eje y segmentos del eje. Las coordenadas . en la recta So llama eje a Iu recta en la <¡UO so ha elegido unu diruccién posí- tl vn. el segmento, limitado por los puntos A y D, 8() Huma dirigido, si 80 ha convenido cuál do MtOS puntos es el origen y cuál ()I extremo del segmento, El segmento dirigido, con el origen A y con el extremo JJ: se designa con el aímbolo AIJ, So llama magnitud el01 segmento dirigido del ojo Il su longitud, tomada con signo más, si la direccién de] segmento (es decir, la dtroccién del origen al extremo) coincido con la direccíón positiva del cje, y con signo menos, si cstn díreccíén es contraria a la dirección positiva del cje. La magnitud del segmento Al) se designa con 01 símbolo A./J y su longitud con el símholo IAB l. Si los puntos Ji y JJ coíucidcn, se dice que el segmento que determinan ('8 nulo; es ovídento qua en este caso AI1 = DA = O (la dirección del segmento nulo os 'indefini(1u). Supongamos duda una recta arbitraria e, Tornemos un segmento 1)('1'unidad do medida do longitudes, elijamos en la recta la dirocc¡ón posttiva (dMPUé.5 do lo cual la recta se convierto en ojo) *) y designe- mos con la Ietru O algún !HmLO do ella. Con esto, 011 la recta a queda establecido un sistem a de coordenadas. • So llama coordenada de un punto cualqulera M de la recta a. (en el sistema do ooonlcnudas establecido) al número z , iguul a la magnitud del segmento 0111: x=OM, El punto O se llama origen de coordenadas y su coordenada C8 i~lul a COto. A continuación, 01 símbolo M (x) indica quo el punto M Llene la coordonadu x. Si Mj (XI) Y M2 (X2) son dos puntos arbitrarios do la recta a, la fórmula M1M2=X2-XI expresa la magnitud dol segmento M,1l12 y la Iórmula 1.1tIjMzl=1 :Z;2-Xj expresa su longitud. ") Por lo general, en los diugrnmus Se señala do izquierda a dere- cha la dirección positiva en los ojos horizontales. 7
  6. 6. f. Trazar los pun Los: A(3). B(5~. C(-i.), D(4), E(-f), F (V'2) y H ( - V5). 2. Trazar los puntos, cuyas coordenadas satisfacen a las ecuaciones 1) J.,t[=2¡ 2) IX-'1I=3¡ 3) 1-1-:cl=2; 4) 12+;:¡;1=2. 3. Caractenizar geométricamen te la posición do los puntos, cuyas coordenadas satisfacen a las desigualdades: 1) x>2; 2) x-3<0; 3) 12-,7;<0; 4) 2.:1:-3.,.;:0; 5) 3.1'-5>0; G) 1<:1:<3; 7) -2<x<3; 8) 2-x O' C) 2z-1 . 10 2-z O' 11) 23:-1. .. x-t> , U x-2 >1., ) .:-1< " x-2 <1, 12) x2-8x+15<0; 13) x2-8x+15>O; 14) :r.2+x-12>0; 15) x2+.:¡;-12<0. 4. Determinar la magnitud AB y la longitud 1 AH JeI segmento definido por los puntos: 1) A (3) y B (11); 2) A (5) y B (2); 3) A (-1) y B (3); 4) A (- 5) "Y B (- B); 5) A(-l) y B(-3); G) A(-7) Y B(-5). 5, Calcular la coordenada del punto A, si se conocen: 1) B(3) y AB=5; 2) B(2) y AB= -3; 3) B(-1) y BA=2; 4) B(-5) y BA= -3; 5) B(O) y IABI=2; 6) B{2) y IABI=3; 7) B(-1) y IABI=5; 8) B(-5) y IABI=2. 6. Caractcrtznr geométrtcamonte la posición de los puntos, cuyas coordenadas satisfacen a las siguíentes des- igualdades: 1) Ixl<1¡ 2) Ixl>2; 3) Ixl<2; 4) jxl>3; 5) Ix-21<3; 6) Ix-51<1; 7) Ix-11>2; 8) Ix-31>1; 9) 1$+11<3; 10) Ix+21>1; 11) Ix+51<1; 12) Ix+11>2. 8
  7. 7. 7. Determinar la r.allón }..= ~; , en la que 01 punto C divide al segmento AB en los siguientes casos; 1) A (2), B (6) y C (4); 2) A (2), B (4) y C (7); 3) A (-1), B (5) y C (a); 4) A (1), B (13) Y e (5); 5) A(5), B(-2) y C(-5). 8. Se dan tres puntos A (-7), B (-1) y e (1). Deter- minar la raz6n A., en la que cada uno de ellos divide al segmento Iimitado por los otros dos. 9. Determinar la razón }..= :~ , en la que un punto dado 111(x) divide al segmento MtM2 limitado por los puntos Mt(Xt) y M2 (x2). 10. Determinar la coordenada x del punto M, que divido al segmento M1M2 limitado por los puntos dados MI (XI) Y M2(x",) en una razón dada A.(A.= ~:~~). 11. Determinar la coordenada x del punto medio del segmento limitado por los dos puntos dados MI (XI) YM2 (X2)' 12. Determinar la coordenada x del punto medio del segmento limitado por los dos puntos dados en cada uno de los casos siguientes: 1) A (a) y B (5); 2) e (-1) y D (5); 3) lvJt(-1) y Mz(-3); 4) Pt(-5) y P2(1); 5) o,(3) y Q2 ( - 4). 13. Doterrninar la coordenada del punto M couocicndo» 1) 1'.11(3), M2 (7) y A.= ::~~= 2; 2) A (2), B ( - 5) y '" = ~ = 3; CM 1 3) C(-1), D(S) y A.= MD ='2; AM 4) A(-1), B(3) y J..= MB =-2; BM 5) A(1), B(-3) Y A.= MA = -3; o) A(-2), B(-1) y A.= !~= -f. 9
  8. 8. 14. Dados dos puntos A (5) y B (-3). detcrruiuar: 1) la coordenada del punto 1111 simétrico al punto A con respecto al punto B; 2) la coordenada del punto N simétríco al punto B con respecto al punto A. 15. m segmento limitado por los puntos A (-2) y B (19) se ha dividido en tres partes iguales, Determinar las (.001'- donadas de los puntos de división. 16. Determinar Ias coordenadas de los extremos A y 8 del segmento dividido en tres partes iguales por los puntos P (-25) y Q (-9). § 2. Coordenadas cartesianas rectangulares en el plano 81 sistema (lo coordunadas cnrtosian o roctungular 50 detcnnln a por IIIlU unidad Iíneal para )0 mcrltcíén do Ionglmdcs y por dos ojoa, perpendiculares entro sí, numerados 011 un orden determinado. !I 11v1------oH t o Pig. 1. [~I punto do Intorauccién do los cíos 50 Ilauiu origen do coordenu- dll~, y los mismos (IJCS. ojos do ooordcnudna. El primero de Los ejes coordenados se Il ama ojc .1(, nbscisas y o! segundo, ejo do ordenadas. El or-igen do coordeuadus so indica con la letra O, 01eje do absci- sas con 111notaclén Ox , y 01 de ordenadas con In notación Oy. So llaman coordenadas do ID punto arbitrario M, en el sístema dado, u los números z=OMx• 1/=011-11/ (fig. 1), donde ~1:e y Mil son Ias proyecciones tlol punto ./Id sobro los ejes O" yOy; 0_""",08 la waguitu,l dcl aogmento OMr dol oje de abscísns. y OMv indico la magnitud ele) segmento OMII dol l'je do ordonndas. El número % se Ilama abscisa del punto M; el número y ordenada do esto mismo punto. La notación M (%; y) indica que la abscisa del punto /01 os (JI número 3), In ordonadn, 01número y. El tljo Off divido tUllo 01 plano en (los sumíplanos: el que cstlÍ aituadc en la llil'oceibn positiva del cío Ox se Llamo. derecho y, al otro, izquierdo. An álognnionte, 01 eje 0% divido el plano en dos semi- 10
  9. 9. planos; 1)1que está situadu en La diroociún positiva tllll lljÓ Oy so lla- ma superior y, el otro, in(crior. Los cíes coordenados dividon conjuntamente el plano en cuatro cuadrantes que estiín numerados segun la slgulentc regla: el primer cuadrante coordenado es el quo está situado a la vez en los semtplanca derecho y superior; 01 segundo. en los somlnlnnos izquierdo y superior: el tercero, en los semtpíencs izquierdo o inferior y, el cuarto, on los sumiplunos derecho o inforiur. f 7. Trazar los puntos A (2; 3). B (-5; 1), e (-2; -3), D (O;3), ( 1 2 )E (-5; O). F - 3' ; '3 . 18. Hallar las coordenad as de las proyecciones el o los puntos A (2; -3), B (3; -1), e (-5; 1), D (-3; -2), E (-5; -1) 'I;O})J'Ü 01 ejo do abscisas. 19. Hallar las coordenadas al) las proyecoioncs de los puntos .ti (-3; 2), B (-5; 1), e (3; -2), D (-1; 1), E (-U; -2) sobro el oje de ordenadas. 20. Hallar las coordenadas do los puntos simétricos a los puntos 1) A (2; 3); 2) B (-3; 2); 3) e (-1; -1); 4) D (-3; -5); 5) E (-4; 6); 6) F (a; IJ) con respecto al eje O«. 21. Hallar las coordenadas de los puntos simétricos n los puntos 1) A (-1; 2); 2) B (3; -1); 3) e (-2; -2); 4) D (-2; 5); 5) E (3; -5); 6) F (e: b) con respecto al eje Oy. 22. Hallar Ias coordenadas de los puntos simétricos a los puntos 1) A (3; 3); 2) B (2; -4); 3) e (-2; 1); 4) D (5; -3); 5) E (-5; -4); 6) F (a; h) con respecto al origen de coordenadas. ' 1t
  10. 10. 23. Hallar las coordenadas de los puntos simétricos a los puntos 1) A (2; 3); 2) B (5; -2); 3) e (-3; 4) con respecto a la bisectriz del primer ángulo coordenado. 24. Hallar las coordenadas de los puntos simétricos ti los puntos 1) A (3; 5); 2) B (-4; 3); 3) e (7; -2) con respecto a la bisectr-iz del segundo ángulo conrdauado , 25. Determinar en qué cuadrantes puede estar situado el punto M (x; y), si; 1) xy >O; 2) xy < O; 3) x - y = O; 4:) x +y = O; 5) x + y >Q; 6) (C + y < O; 7) z - y >O; 8) x - y < O. § 3. Coordenados polares El sistoma de coordenadas polares se determina por un punto O llamado polo, por un ravc OA que parto de este punto y que so dono- mina oje polar, y por una unidad Iíneal para la medición de Iongí- tudes. Además, cuando so consídora un sistema polar hay que con- venir en qué rotaciones alrededor del punto O se toman como posit.ivas (en las figüras, por lo general, se toman como positivas las rutacíones en dirección contraria a la de las agujas do un reloj). Se Ilaman coordenadas polares de un punto arhrtraio M (con respecto al sistema dado) a los números p = OM r e=~ AOM (fig. 2). El ángulo O ticllo el significado que se da a los ángulos en trigonome- tría. El numero p es la primera coordenada v se llama radío poial'; 01 número e es la segunda coordenada y se llama ángulo POIIlI' del punto /11*). I~Isímholo M (p; O) indica que el punto M tiene las coordenadas polares p y O. El ángulo polar e tiene infinidad de valores posibles (quo se diferencian unos de otros en IDa magnitud de la forma ±2nn, donde n es un número entero positivo). El valor del ángulo polar que satis- face a las desigualdades -n < e -< + n so llU1I1R valor fundamental. Convengamos en que. cuando se consideren a la vez un sistema carteaiano de coordenadas y un sistema polar de coordenadas: t) uti- lizaromos una misma unidad de medida, 2) en la definición do los *) Aquí, OM indica la Ion g i tu d del segmento y tiene el significado que so da a las longitudes en geometría (es decir, ae toma su valor absoluto sin tener en cuenta el signo). En este caso no es necesarto emplear el símbnlo 10111 " tan complicado, puesto que los puntos O y M 89 consideran como puntos arbitrarios del plano y no como puntos de un eje. En adelante, a menudo so empleará, un casos antílogos, uno simplificación semejante de 108 aímholos.
  11. 11. ángulos polares tomaremos como posltívaa las rotaciones en la dlrcc- ción en que debo girar el semício positivo de abscisas para que del modo más corto coincida con 01 sonuoje positivo do ordonadas (de esto manero, si los cies do coortlcnadns están situados en su forma hahitu~l. es. decir, si el ojo Of ostá dirigido hacia la derecha y el eje Oy hacía arriba, entonces, los nngulos polares se toman como do costum- bre, o son, son positivos los ángulos quo 80 toman en díreccién con- traria 11 In do las agujos eJo un reloj). L N O A Fig. 2. Con ostu condíclón, si ol polo del sistema do coordonndas polnros coincide con el origen (lo coordenndaa cartesianas rectangulares. y el ojo polar con el semiojo positivo do abscisas, el paso do las coordc- nndas polares do un pun to arbitrario u las coordenadas cortcsíanas del mismo pun to se ef(Ctúa medíantn las fórmulas z=pcos9, I/=P son e. En este mismo caso, las fórmulas son Las fórmulas de p8S0 do las coordenadas cartesianos a Las polares. Convengamosen quo, on lo sucesivo, al considerar conjuntamente dos sistemas de coordenadas polares, la direcctén positiva do las rota- ciones y la unidad do medida do los dos sistemas serlÍn iguales. 26. Trazar los puntos, dadas sus coordenadas poiMes: A (3; ~), B (2; n), e (3; - ~ ), D (4; 3 ~) , E(5¡ 2) y F(1; -1) (ofectuar, aproximadamente, el~trazado de los puntos D, E y F, empleando el transportador). '2:1. Determinar las coordenadas polares de los puntos simétricos a los puntos Mt(3; ~), M2(2; -~), Ms(3; -~), J'III,(1; 2} y M~(5; -1)
  12. 12. con respecto al eje polar, si estos están dados en un sis- tema de coordenadas polares. 28, Determinar las coordenadas polares de los puntos simétricos a los puntos Mi{l¡ ~) 1 M2(S; ~) 1 M3(2¡ - ~), ll:f,. ('i; f n) y M5 (3; - 2) con respecto al ])010, sí éstos están dados en un sistema de coordenadas polares. 29. En un sistema de coordenadas polares so han dado dos vértices A (3; - ~ 1C) Y B (5; 1: 10) do un paralelogramo ABCD 1 cuyo punto de intersección do las diagonales coincide con el polo. Determinar los otros dos vórtices de este paralelogramo, 30. En un sistema do coordenadas polares se han dado Jos puntos A (8; - f n) y B (6; ~). Calen lar las coor- denadas polares del punto medía del segmento que une los puntos A y B. 31. En un sistema de coordenadas polares se han dado los puntos A(3; ~), n(2; -~), C(1;n), D(5; -fn). E(3; 2) y F(2; -1). La dirección positiva del eje polar se ha cambiado por la contrarta. Determinar las coordenadas polares do estos puntos en el nuevo sistema. 32. En un ststeme de coordenadas polares se han dado los puntos MI (3; ~). Mz(1¡ in), M3(2¡ O), M~(5i :). Ms(3; -in) y Mo(1; gn). El cíe polar ha girado do manera que en la llueva posi- ción pasa por el punto M l. Determina!' las coordenadas do Jos puntos dados en 01 lluevo sistema (polar). 33. En un sistema do coordenadas polares se han dado los puntos MI (12; in) y Mz(12; -fn). Calcular las 14
  13. 13. coordenadas polares del punto medio del segmento que une los puntos JY! I Y 11<[!l' 3,1. En un sistema de coordenadas polares se han dado lo~ puntos M t(PI; 01) y Mz (pz, O2), Calcular la distancia d entre ellos. :35. En un sistema de coordenadas polares se han dado los puntos MI (5; :) y M2 (8; - ~). Calcula l' la dístancia d entre «llos. 3(t I~n un sistema de coordenadas polares se han dado dos vértices adyacentes de un cuadrado MI (12; - ~ ) y Mz (:~; .~) .Determínar su área. 37. En un sistema de coordenadas polares so han dado dos vért.ices opuestos de un cuadrado P (6; - 1 7 2 :n) y. Q (4; f n) . Determinar Sil área. 38. En un sistema de coordenadas polares se han dado dos vértices do un tl'iiÍJlgulo equilátero A (4; - 1 1 2 1t) Y B (8; 1 7 '}"n) .Determinar su área. 39. Uno de los vértices de) triúngulo OAB está en el polo; los otros dos son los puntos A (PI; 01) y B (P2; O2), Calcular el área de este trhingulo. /jO. Uno de los vértices del triángulo OAB estó. en el polo O; los otros dos son los puntos A (5; ~) y B (4; ~). Calcular el úrea de este triángulo. 41. Calcular el área del triángulo, si sus vértices 11(3; i:n), B (8; ~ 1t) Y e (6; ~ 11) están dados en coordenadas polares. 42. El polo de un sistema de coordenadas polares coin- cide con 01 origen de coordenadas cartesianas rectangula- res; el eje polar coincide con el semieje positivo de abscisas. En 01 sistema de coordenadas polares se han dado los puntos ¡'!tri (6; ~), M2 (5; O), IV!l (2; ~), M~(10; - ; ) • M6 (8; i1t), MG (12; - ~ ) . Detormínar las coordenadas cartesianas de ellos. 15
  14. 14. 43. El polo de un sistema de coordenadas polares coin- cide con el origen do coordenadas cartesianas rectangulares: 01 eje polar coincido con el scmro]o positivo de abscisas. En el sistema cartesiano de coordonadas rectangulares se han dado los puntos Mi (O; 5); j'¡l[2 (-3¡ O); M 3 (Va; 1); M4 (- V2; - Vi); M6 (1; - V3). Determinar las coor- denadas polares de ostos puntos. § 4. Segmento dirigido. Proyección de un segmento sobre un eje arbitrario. Proyecciones de un segmento sobre los ejes coordenados. Longitud y ángulo polar de un segmento. Distancia entre dos puntos Un segmento rccliHnoo so [lama dirj~jdo. si so ha indicado cuál do los pun tos que lo limitan es el origen yeual os el extremo. El segmento dirigillo con ol origun (1 1.'1punto A y con 01 oxtromo en el plinto B B A Fig.3. (Ug. 3) so indica con 01 símbolo AB (os decir ,lo mismo quo 01 segmentol del ojo; véase § i). La longitud del segmento dirigido AB (respecto a la unidad de medida considerada) so indica con el símbolo IABI (o Allí véase la observación de la pág. 12). Se llama proyección de) segmento A/J sobre un eje u, al nümoro igual a la magnitud del segmento AtllJ del ejo u: se supone que 01 punto Al os la proyección dol punto A sobre el ojo Il y que el punto /JI es la proyección del punto 1) sobro el mismo eje. Ln proyección dol segmento ifjj' sobre el cíe " se indica con o) símbolo PTuAB. Si en 01 plano se ha dado un sistema de coordenadas cartesian« rectangular, la proyección del segmento sobre el eje 0% so Indica con el sÚDbolo X y la proyección sobre el ejo Oy, con el símbolo Y. Si se conocen las coordenadas do los puntos MI (;1;1: YI) y M2(xz: Y2), las proyeccionos X o y del segmento dirigido ~ sobro los ojos caoordcrinüos pueden calcularse mediante Iás rórmullls X=X2-"'I' Y=YZ-YI' 16
  15. 15. I~s uoctr, p:lra hallar JIIS proyecciones del segmento dirigido sobre los ejes coordenados es necesarlo restar lae coordenadus de su nrígen do las coordenadas do su extremo. Se llama ángulo polar del segmento M 1M2 al ángulo e en 01 que hoy que hacer girar el semle]o positivo O» pnru que su direcclón coincida con la dirección del segmento M 1M",. El ángulo fl tíono el signíficudo que so (11, a Jos ángulos en la trtgonomutrta. Oc acuerdo con esto O tiene 1I11a infinidad do valores posibles, que se difercncran entro sí on ·UlIB mugnitud de la Iorma ±2mt (donde n os un número entero y positivo). Se llama valor (1111- damenral del ángulo polar a uno do sus valores que satisface a las desigualdades -1 < e -< + n , Las fórmulas X=d.cos6. Y=d·scnEl expresan las proyecclones do U1I segmento arbitrarto sobre los ejes coordenados medrante su longitud y 511 ángulo polar, D() aquí se dodu- cen los fórmulas y. cos Il x Vxz+ylí • d= -VX~+ y2 ~en6 y -VX2+ )'2 • que expresan la longitud y 01 ángulo polar d()l segmento mediante sus proyecciones sobre los <:jCs coordenados. Si en el plano se han duJo dos puntos MI (;);',; 111) Y M2 (;);'2; Y2), 10.dístanoín d entro ellos so dotormina )lor h. fórmula d= V(X2-X.)2+(YZ-Yl)2. 44. Calcular la proyección del segmento sobre el eje u.• si se ban dado su longitud d y su ángulo de inclinación <phacia el eje: lO 1) d=6. <P='T; 3) d = 7. <p = ~ ; 5) d=5. <p=1C; 4) d=5, <p=0; :rt 6) d=4, <P= --¡r' 45. Trazar el segmento que parte del origen de las coordenadas. conociendo sus proyeccicnes 80I)l'(! los ejes coordenados: 1) X =3, 3) x= -5, 5) X =0, Y=2; y=o; Y=3; 2-3~2 2) X=2, 4)X= -2, 6) x= -5, Y=-5; Y=3; y= -1. 17
  16. 16. 1¡6. Trazar los segmentos que tienen el origen en el punto 111 (2; -1), conociendo sus proyecciones sobre los ejes coordonados: 11) X=4, Y=3; b) X=2, Y=O; e) X=-3, Y=1; d) X=-4, Y=-2; e) X=O, Y=-3; f) X=l Y=-3. 47. Dados los puntos Mt(1; -2), M2(2.; 1), Ma(5; O), M d-1; "1.) y }liTs (O; - 3), hallar las proyecciones de los siguientes segmentos sobro los ejes coordenados: 1) M1Mz, 2) M3il¡[j, 3) M,Ms, 4) k15Ma. 1¡8. Dadas las proyecciones del segmento M1,'Il2 sobre los ejes coordenados X = 5, y = -4, hallar las coordena- das de Sil extremo, sabiendo que 511 origen está en el punto MI (-2; 3), ~9. Dadas las proyecciones del segmento AB sobre los ejes coordenados X = 4, y = -5, hallar las coordenadas de su origen, sabiendo que su extremo está en el punto B(1;-3), 50. Trazar los segmentos que parten del origen de coor- denadas, conociendo la longitud d y el ángulo potar O de cada llll0 de ellos: 1) d=5, O ¡r. 2) d=3, 5 =5'; O=(f1t; 3) d=~., O n, 4) d=:l, -1 =-1l' 0= -g:Jt. 5i. Trazar los segmentos que tienen (11 oeigon en el punto M (2; B), conociendo la longitud y el ángulo polar de cada uno de ellos: 1) cl=2, 0=-1~; 2) <l='J, e=~; 3) d=5, 9= - ~ (las coordenadas del punto ]'y! son cartesíanas]', t'i2. Calcu lar las proyecciones de los segmentos sobre los ejes coordenados, conociendo Ia longitud d y el ángulo '18
  17. 17. polar a de cada uno de ellos: 1) d=12, 6=fn; 2) d=6, G= - ~; 3) d = 2, f) = - T . 53. Dadas las proyecciones do los sogmontos sobro los eje~ coordenados: 1) X = 3, y = _IL; 2) X = 12. Y = 5; 3) X= -8, Y=6, calcular la longttud de cada uno de ellos. 51. Dadas las proyecciones do los segmentos sobro los eies coordenados: 1) X =1, y= V3; 2) X=3V2, Y= -3VZ; 3) x= -2V3, Y=2, calcul ar la longitud d y el ángulo polar 6 de cada uno do ellos. 55. Dados Jos puntos .M¡(2; -3), ft/2(1; -4), M~(-1; -7) y Jli[d-4; 8), calcular la longitud y el úugulo polar de los siguientes segrnen tos: a) M1M2, b) /111M3, e) MzM,. d) M4M3' 56. La longitud d do un segmento es igual a 5. su proyec- ción sobre el eje de abscisas es igual a 4. Hallar la proyec- ción de este segmento sobre el eje de ordenados, si forma con el eje de ordenadas: a) un ángulo agudo, b) un ángulo obtuso. 57. La longitud del segmento MN es igual a 13; su origen está en el punto M (3; -2); la proyección sobre el eje de abscisas es igual a -12. Hallar las coordenadas del extremo de este segmonto, si forma con el eje de ordenadas: a) un ángulo agudo, b) un ángulo obtuso. 58. La longitud del segmento MN es igual a 17; su extremo está en el punto N (-7; 3) y la proyección SObl'O el oje de ordenadas es igual a 15. Hallpr las coordenadas 2· 19
  18. 18. del origen de este segmento. si se sabe que forma con el eje de abscisus: a) un áugulo ngudo. b) un ángulo obtuso. 59. Conociendo las proyecciones del segmento sobre los ejes coordenados X = L Y = - V~3.hallar su proyocoión sobre 01 eje que forma el ángulo 0= f n con el eje Ox, 60. Dados dos puntos 1vI¡(1; -5) y M:d.4; - 1), hal lar las proyecciones de} sogrnen to M 1M z sobre el eje quo forma con el eje 0:& el ángulo e = - ~ . 61. Dados dos puntos P ( - 5; 2) y Q (3; 1). hallar la proyección del segmento PQ sobro el eje que forma con el oje O» el ángulo 9=arctgf. 62.Dados dos puntos M¡(2; -2) y Mz(7; -3), hallar la proyección del segmento M¡Mz sobre el eje que pasa por Jos puntos .4(5;-4),8(-7; 1) Y cuya dirección es: 1) de A hacia B, 2) de B hacia A. 63. Dados los puntos A (O; O), B (3; -4), e (-3; 4), D (-2; 2) y E (10; -3), determinar la distancia d entre los puntos: i) A y B; 2) B y e; 3) A y e; 4) e y D; 5) A y D; 6) D y E. M. Dados dos vértices adyacentes do un cuadrado A (3; -7) y B (-1; I.!), calcular su área. 65. Dados dos vértices opuestos de UII cuadrado P (3, 5) y Q (1; -3), calcular su área. (j(). Calcular el área de un triángulo regular, si dos de sus vórtices son 4 (-3; 2) y B (1; 6). 67. Dados tros vértices A (3; -7), B (5; -7); e (-2; 5) de un -paralologramo ABeD, cuyo cuarto vértice D es opues- to a B. determinar las longitudes de las diagonales de este paralelogramo. 68. El lado de un rombo es igual a 5 V1.0 y dos de sus vértices opuestos son los puntos P (4; 9) y Q (-2; 1). Calcular el área de esto rombo- 69. El lado de un rombo os igual a 5 V2" y dos de sus vértices opuestos son los puntos P (3; -4) y Q (1; 2). Cal- cular la longitud de la altura de este rombo. 70. Demostrar que los puntos A (3; -5), B (-2; -7) y e (18; 1) están en una recta. 71. Demostrar que el triángulo con los vértices Al (1; 1). A2(2; 3) y A3(5;. -1) es rectángulo. 20
  19. 19. 72. Demostrar que los puntos A (2; 2), B (-1; 6), e (-5; 3) y D (-2; -1) son vórtices de un cuadrado. 73. Averiguar si entre Jos ángulos internos del triángulo con los vértices M. (1; 1), 1112(O; 2) y M3 (2; -1) hay algún ángulu obtuso. 74. Demostrar que todos los ángulos internos del trián- gulo con los vértices .1It! (-1; 3), N (1; 2) y P (O; 4) son agudos. 75. Los puntos A (5; O), B (O; 1) y e (3; 3) son vértices de un tL'iángulo. Calcular sus ángulos Internos. 76. Los puntos A (- V3; 1), B (O; 2) y e (-ZV3; 2) son vértices de un triángulo. Calcular su ángulo externo COJl el vértice en el punto A. 77. Hallar en el eje de abscisas UIl punto ]11, cuya dis- tancia hasta el punto N (2; -3) sea igual ¡l 5. 78. Hallar en el eje de ordenadas un punto 11-.1,cuya distancia hasta el punto N (-8; 13) sea ígna l a 17. 79. Dados dos plintos M' (2; 2) y N (5; -2). hallar en el eje. de abscisas un punto P de modo que el ángulo MPN sea recto. 80. Por 01 punto A (4; 2) se ha trazado una circunfe- rencia, tangente a los dos ejes de coordenadas. Determinar su centro e y su radio R. 81. Por e] punto M'I (1; -2) se ha trazado una circun- ferencia de radio 5, tangente al eje 03.:, Determinar el centro e de la misma. 82. Determinar las coordenadas del punto Jl!rz• simé- trico al punto ¡"VI (1; 2) con respecto a la recta que pasa por los puntos A (1; O) 'Y B (-1; -2). 83. Dados dos vértices opuestos de un cuadrado. A (3; O) y e (-4; 1), hallar los otros dos vér-tices. 84. Dados dos vérttces adyacentes de 11n cuadrado. A (2; -1) y B (-1.; 3), determinar los otros dos vértices. 85. Los vértices de un trrángulo son: ]!t!. (-3; 6), M2 (9; -10) y M3 (-5; 4). Determinar el centro e y el radio R de la circunferencia cirounscrita en él. § 5. División de un segmento en una razón dada Si el punto M (x; y) está en la recta quo pasa por dos puntos d MIM da os M. (xI: y,). MZ(X2: y'.)) y se ha dadn la razón '.= MM" en la que el punto M divíde al segmento MIMz, las coordenadas del 21
  20. 20. punto M se dotorminan medtanto las Iórznulas XI+"x2 Yl+AY2 x = 1+1.. ' y = ---¡-::¡::r- . Si M es el punto medio del segmento ""sM2, BUS cocrdenadas Sil deter- minan POI' las fórmulas xs+xz _ !/S+Y2 3:=--2-' 11--- 2-, 86. Los extremos de una varllla homogénea sOllA (3; -5) y B (-1; 1). Determinar las coordenadas de su centro do gravedad. 87. El centro de gravedad de una varilla homogénea está situado en el punto.M (1; 4); uno de sus extremos en el punto P (-2; 2). Determinar las coordenadas del otro extremo Q de la varilla. 88. Los vértices do un triángulo son: A (1; -3), B (3; -5) y e (-5; 7). Determinar los puntos modios de sus lados. 89. Dados dos puntos A (3; -1) y B (2; 1), determinar: 1) las coordenadas de punto M simétrico al punto .ti con respecto al punto B; 2) las coordenadas del punto N símétrico al punto B con respecto al pun to A. 90. Los puntos medios do los lados de un triángulo son: M (2; -1), N (-1; 4) y P (-2; 2). Determinar sus vértices. 91. Dados tres vértices de un paralelogramo: A (3; -5), B (5; -3) y e (-1; 3), determinar el cuarto vértice D opuesto a B. . 92. Dados dos vórtices adyacentes de un paralelogramo: A (-3; 5), B (1; 7) y el punto de intersección de sus diago- nales fI.f (1; 1), determinar los otros dos vértices. 93. Dados tres vértices de un paralelogramo ABCD: A (2; 3), B (4; -j.) y e (O; 5), hallar el cuarto vórtice D. 94. Los vértices de un triángulo son: A (1; 4.), B (3; -O) y e (-5; 2). Determinar In longitud de la mediana trazada desdo el punt o B. 95. El segmento limitado por los puntos A (1; -3) y B (4; 3) ha sido dividido en tres partes iguales. Deter- minar las coordenadas de los puntos de división. 96. Los vértices de un triángulo son: A (2; -5), B (1; -2) y C (4; 7). Hallar el punto de intersección del lado AC con la bisectriz. del ángulo interno del vértice B. 22
  21. 21. 97. Los, vértices do un triángulo son: A (3; -5), B (-3; 3) y e (-1; -2). Determinar la longitud de la bisectriz del ángulo interno del vértice A. 98. Los vértices do un triángulo son: A (-1; -1), B (3; 5) y e (-4; 1.). Hallar el punto do intersección de In bísectcí» del ángulo externo del vórtice A cou 13 pro- longación del lado Be, 99. Los vértices de un triángulo son: A (3; -5), B (1; -3) y e (2; -2). Determinar la longitud de lo bisectriz del ángulo externo del vértice B. tOO. Los puntos A (1; -1), B (3; 3) y e (4; 5) estáu situados en una recta. Determinar la razón A, en la que cada punto divide 01 segmento limitado pOI' los otros dos. tOI. Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es dividido en tres partes iguales por los puntos P (2; 2) Y Q (1; 5). 102. Una recta pasa por los puntos 1111 (-12; -13) Y M2 (-2; -5). Hallar en esta recto 01 punto cuya abscisa es igual a 3. 103. Una recto pasa por los puntos M (2; -3) y N (-6; 5). Hallar en esta recta el punto cuya ordenada es igual a -5. l04. Una recta pasa P()'C los puntos A (7; -3) y B (23; -6). Hallar el punto de Intersección de esta recta con el eje do abscisas. t05. Una recta pasa por los puntosA (5; 2) y B (-4; -7). Hallar el punto de ínterseccíón de esta recta con el eje de ordenadas. 106. Los vértices de un cuadrilátero son: A (-3; 12), B (3; -4), e (5; -4) y D (5; 8). Determinar lo razón en la que su diagonal A e divide la díugonal BD. t07. Los vértices de un cuadrilátero son: A (-2; 14.), B (4; -2), e (6; -2) y D (6; 10). Determinar el punto de Intorseccíén de sus diagonales Ae y BD. 108. Dados los vérticos de una lámina homogénea I;rion- guiar A (XI; YI), B (xz; Y2) y e (X3; Y3), detorminar las coordenadas do su centro de gravedad. O b s e r v a ció n. El centro de gravedad se encuentra en el punto de Intersección do las medianas. 109. El punto M de intersección de las medianas do un triángulo está situado en el ejo do abscisas; dos do sus vért.i- ces son los puntos A (2; -3) y B (-5; 1); el terc.er vértice 23
  22. 22. e esLú en el eje do ordenadas. Determinar las coordenadas de los plintos M y C. 110. Se han dado los vértices de una lúmina homogé- nea triangular A (XI; YI). B (xz. Y2), y e (xs; Ya)' Uniendo los puntos medios de sus lados se forma otra lámina horno- g6nen teiangular. Demostrar que coinciden los centros de g¡'ovedllu de Las Iámínas. O 11s o r va e i 6 n , Aplicar Los resultados del problema 108. i11. En una lámina homogénea que tiene la forma de un cuadrado, de lado igual a 12. se ha hecho un corte cua- y / Ir ~ •I • ~O~-~·_-_-__ ~~~_-_-_~-~;~-----x y .Fig./,. Fig. 5. druugular: las rectas dol corte pasan por el centro de! cuadrado; los ejes coordenados están dirigidos por los lados de la lám ina (fig. 4). Determinar el centro de gravedad do esta lá mina. 112. En una lá minn homogénea que tiene la forma de un rectángulo. con los lados iguales a a y b, se ha hacho un corte rectangular: las rectas del corte pasan pOI' el centro: los ejes coordenados están di rígidos por los lados de la lámina (fig. 5). Determina r el centro de gravedad de esta lámina, 113. 1)0 una lámina homogénea que tiene la forma do un cuadrado, de lado igual a 2a. se ha cecortado un trián- gulo; la recta del corto une los puntos medios de dos lados adyacentes y los ejes de ccordenadus están dirigidos por los lados de la lámina (Hg. 6). Determinar 01 centro de gra- vedar! de la misma.
  23. 23. 114. En los puntos A (XI; YI), B (X2; Y2) y e (X3; Ya) están concentradas las masas In, n y p. Determinar las Coor- denadas del centro de gravedad de este sistema de tres masas. Fig.6. 115. Los puntos A (4; 2), B (7; -2) y e (1; 6) son los vértices de UIl triángulo de alambre homogéneo. Determi- nar el centro de gravedad de este triángulo. § 6. Area del triángulo Cuulesquíora quo sean los puntos A (:1'1: rI,), B (xz; yz) y e (X3. Y3)' el área S del triángulo ABe se dctormlna por la rórmula 11X2-XI Y'l-1I11±s=- .2 x3-xl Ya-YI El segundo miembro de ostn Iórmula es igual a + S. cun ndo la rota- ción más corta del sogmont.o;¡¡¡ hacía 01 segmentu AC I!S positiva y a -8. cuando es negativa. 1'16. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos: 1) A (2; -3). B (3; 2) y e (-2; 5); 2) MI (-3; 2), M2 (5; -2) y M 3 (1; 3); 3) ivI (3; -4). N (-2; 3) y P (4; 5). 117. Los vértices de un tritíngulo son los puntos A (3; 6), B (-1; .,) y e (2; -'1). Calcular la longitud do su altura bajada desde -el vértice C. 118. Determinar el área del paralelogramo, tres de cuyos vértices son los puntos A (-2; 3). B (4; -5) y e (-3; 1). 25
  24. 24. H9. Tres vértices de un paralelogramo son 105 puntos A (3; 7), B (2; -3) y e (-1; 4). Calcular la longitud de su altura bajada desde el vértice B al lado AG. 120. Dados los vértices consecutivos de una lámina homogénea cuadrangulnr A (2; 1), B (5; 3), e (-1; 7) Y D (-7; 5), determinar las coordenadss de su centro de gravedad, 121. Dados los vértices consecutivos de una lámina homogénea pentagonal A (2; 3), B (O; 6), G (-1; 5), D (O; 1) Y E (1; 1), determinar las coordenadas de su centro do gravedad. 122. El área de un triángulo es S = 3; dos do sus vér- tices son los puntos A (3; 1) y B (1; -3); el tercer vértice e está situado en el ejo Oy. Determinar las coordenadas del vértice c. 123. El área de un triángulo es S = 4; dos de sus vér- tices son los puntos A (2; 1) Y B (3; -2); 01 tercer vértice e está situado en el eje Ox, Determinar las coordenadas del vértice G. 124. El área de un triángulo os S = 3; dos do sus vér- tices son los puntos A (~; 1) y B (1; -3); el centro de gravedad de este triángulo está situado en el eje Ox. Dctor- minal' las coordenadas del torcer vértice c. 125. El área dEl UH paralelogramo es S = 12 unidades cuadradas; dos do sus vértices son los puntos A (-1; 3) y 8 (-2; 4). Hallar los otros dos vértices de este para- lelogramo , sabiendo que el punto do intersección de sus diagonales es~ú situado en el eje de abscisas. 126. El área de un paralelogramo es S = 17 unidades cuadradas; dos do sus vértices son los puntos A (2; 1) y B (5; -3). Hallar los otros dos vértices de este para- lelogramo, sabiendo quo el punto de intersección de sus diagonales está en 01 eje de ordenadas. § 7. Transformación de coordenadas La trunsformaci6n do coordenadas carWSiQD8S rectangulares l~or traslación paralela de los ejes S6 determina med iante las fórmulas y=y'+b. AClllí, x e y son las coordenedns de un punto 8l'bitra'l'io M do! plano. relativo a los ejes primf tivos; e'; IJ' son las coordonadas del mismo punto, relativo a los »[es IIUOVOS; a, b son los coordenadas del nuevo origen O', relativo a los ejes primitivos (también so dice que a es lu. 26
  25. 25. magnitud eJotraslación en dirección del ejo de abscisas y b. la magni- tud de traslación en dirección del eje de ordenadas). La transformacién de coordenadas cartesianas rectangulares por rotación do los ej<'Sen un ángulo a. (que tiene (1significado que se da a los ángulos on la trigonometría) so determina mediante las fór- mulas :1:=%' cosa.-y' SOlla, y =x' son a+ ¡¡' cos 01. Aquí. x o 11 son las coordenadas do un punto ar hitrnrio M del planu, rolati vo 1 los ejos primitivos; x'. v' son las eoordonadns dol mismo punto, rulntí vo a los cjes nuevos. Las fórmulas x=x' COSOl-¡¡' sona+a, y=x' sen a.+y' cos et+ b, detcrmlnun la transformación de coordenadas por traslación paralela del sistema <lo ejes en una magnitud a en dtroecién do O», en una mngnitud b en dirocción do OY. y por rotación sucesiva de los CjC8 en un ángulo a. Todas las Iérmulas indicadas corresponden a la trans- Iorrnaelén de coordenadas manteniendo invariable la unida'] do medida. En los problemas que siguen se supone quo la unidad de medida se manuene invariable. 127. Escribir las fórmulas de transformación de coor- denadas, si el origen do coordenadas se ha trasladado (sin cambiar la dirección de los ejes) al punto: 1) A (3; 4); 2) B (-2; 1); 3) e (-3; 5). 128. El origen de coordenadas so ha trasladado (sin cambiar la dirección de los ejes) al punto O' (3; -4). Las coordenadas do los puntos A (1, 3), B (-3; O) y e (-1; 4) están determinadas en el nuevo sistema. Calcular las coor- denadas do estos puntos en el sistema de coordenadas pri- mitivo. 129. Dados los puntos A (2; 1), B (-1; 3) y e (-2; 5), hallar sus coordenadas en el nuevo sistema, si el origen de coordenadas se ha trasladado (sin cambiac la dirección de los ejes): 1) al punto A; 2) al punto B; 3) al punto C. 130. Determinar las coordenadas primitivas del origen O' del nuevo sistema, si las íórmulas de transformación de coordenadas se han dado mediante las igualdades Siguientes: 1) x = x' + 3, y = y' + 5; 2) x = z' - 2, y = y' +1; 3) x = x", y = y' -' 1; 4) x = x' - 5, y = y'. t 31. Escribir las fórmulas do transíormación de coor- denadas, si los ejes coordenados han girado en uno de los 27
  26. 26. ángulos siguientes: 1) 60°; 2) -45"; 3) 90°; 4) _90°; 5) 180°. ..132. Los ejos de coordenadas han girado un ángulo a = GO°. Las cocrdenadas de los puntos A (2 Ií"3; - 4) I B eV3; O) y e (O; - 2vg) están determinadas en el nuevo sistema. Calcu tú las coordenadas do estos mismos puntos en el 'sistema de coordenadas primitivo. 133. Dados los puntos M (3; 1),N(-1;5)yP(-3;-1), hallar sus coordenadas en el lluevo slstcma, Ki los ejes coor- denados han girado un ángulo: 1) -45"; 2) 90"; 3) -900;. 4) 180~. 131i. Determinar el ángulo a, en al que han girarlo los ejes, si las fórmulas de transformación de coordenadas se determinan por las siguientes ig,ualdndes: t 35. Determinar las coordenadas del nuevo origen O' de coordenadas, sabiondo que el punto A (3; -4) está situado en el nuevo eje de abscisas, el punto B (2; 3) está situado en el nuevo eje de ordenados y los ejes de los sistemas de coordenadas primitivo y nuevo tienen respecti- vamente las mismas direcciones. 136~ Escribir las fórmulas de transformación de coor- donadas, si 01 punto MI (2; -3) está situado en el nuevo ejo de abscisas, el punto Jlt!2 (1; -7) está situado en el nuevo eje de ordenadas y los ejes de los sistemas de coor- denadas primitivo y nuevo tienen respectivamente las mismas direcciones. f 37. Dos sistemas de ejes coordenados O», Oy y Ox', Oy' tienen un origen común O y se transforman el uno en el otro mediante una rotación en cierto ángulo. Las coordenadas del punto A (3; -4) están determinadas respec- to al primero de ellos. Deducir las fórmulas de transforma- ción do coordenadas, sabiendo que la dirección positiva del eje Ox' está definida por 01 segmento OA. 28
  27. 27. 138. El eje de coordenadas se ha trasladado ni punto O' (-1, 2). y los ejes coordenados han girado un ángulo ex = arctg :&. Las coordenadas de los puntos Mi (3i 2)", M 2 (2; -3) y M 3 (13; -13) están d~terminadas en el nuevo sistema. Determinar las coordenadas de estos mis- mos puntos en el sistema de coordenadas primitivo. 139. Dados tres puntos: A (5; 5),B (2; -1) yC (12; -6), hallar sus coordenadas en el nuevo sistema, si el origen do coordenadas se ha trasladado al punto B y los ejes coor- denados han girado un ángulo ex = arctg -} . 140. Determinar las coordenadas primiLivas del lluevo origen y el ángulo a, en el que han girado los ejes, sí las fórmulas de transformación de coordenadas se dan mediante las siguientes igualdades; 1) x= -y'+3, y=x'-2; 2) x= -.'t'-1, y= -y'+3; 3) Vi, +Ví r I - V2 '+ Vi, 3x=Tx TU --<), Y= -Tx TY - . 141.. Se han dado dos puntos: Mi (9; -3) y Mz (-6; 5). El origen de coordenadas se ha trasladado al punto M1 y los ejes coordenados han girado do manera que la direc- ción positiva del nuevo eje de abscisas coincide con la dirección del segmento MIJIII 2. Deducir las fórmulas de transformación de coordenadas. 142. El eje polar de un sistema de coordenadas pola- res es paralelo al eje de abscisas de un sistema cartesiano rectangular y tiene la misma dirección que él. Se han dado las coordenadas cartesianas rectangulares del polo 0(1; 2) y las coordenadas polares de los puntos MI (7; ~) , M2 (3; O), JllIa (5; - ~ ),M, (2; i- ,,;)y M5 (2; - ~) . Determinar las coordenadas de estos puntos (m el sistema cartesiano rec tangular. 143. El polo de un sistema de coordenadas polares coin- cide con el origen de coordenadas de un sistema carte- siano rectangular, y el eje polar tiene la dirección de la bisectriz del primer ángulo coordenado. So han da- do las coordenadas polares de los puntos MI (5; ~), M~ ( 3; - ~) • M3 ( 1; 4 rt ), M, ( 6¡ - {- 11) Y 29
  28. 28. M b (2; - ~ ). Determinar las coordenadas car tesianas rectangulares de estos pun Los. 144. El eje polar de un sistema de coordenadas pola- res es paralelo al ejo de abscisas de un sistema cartesiano rectangular y tiene la misma dirección que él. Se han dado las coordenadas cartesinnas rectangulares del polo O (3; 2) y de Jos puntos MI (5; 2)•• /lt12{3; 1). M3(3; 5), M" (3+ 112; 2- 1Ii) y Ms (3+ y3; 3). Determinar las coordenadas polares de estos puntos. 145. Bl polo do un sistema de coordenadas pol.aros coincido con el origen de coordenadas cartesianas rectan- gulares, y el eje polar Liene In dirección de In bisectriz del primer ángulo coordenado. Se han dado las coordenadas cartesianas rectangulares de los puntos MI( -1: 1), M2 (112; - Y2), M3 (1;V3), M,(-1I3;1) y Ms(2Y3; -2). Determinar las coordenadas polares de los mismos.
  29. 29. II Capítulo ECUACIO N DE U NA LI NFA § 8. Función de dos variables Si existe una ley, según la cual a cada punto M del plano (o de alguna parte del plano) Sil 10 pone <.'11 correspondencia un número 11, se dice que en C)} plano (o en la parte del plano) «eslá dada una Iuncíón del punto»; ésta so exprosa mediante una igualdad de la forma u = = / (M). El número u que corresponde al punto M, so llama valor de la Iuncíén en el punto M. Por ejomplo, si A os IIn punto rijo del [ ,Iano y M es UII punto arbitrario, la distancia desdo A basta M es una unción del pun to M. En esto caso, f (M) = A M. Supongamos que se ha dado una [unción u = t CM) y 1 la voz un sistema de coordenadas. Entonces, cada punto arbitrario M se determina por sus coordenadas s , y. Do acuerdo a esto, el valor (11)la función en el plinto M so determina por las coordenadas "', y, o dicho do otro modo, u = t (M) es una función <lo dos variables x e y. La función do dos variables "'i y se indica con ln notación I ("" y); si f (M) = I (x, y), la [órmu a 11 = f (x, y) so llama expresión de la función en 01 sistema de coordenadas elegido. Así. on 01 ejemplo ante- rior f (M) = AM Y en IIn sistema 110 coordenadas cartesiano rectan- gular con el origen en el punto A, la expresión de esta función será: u= V:rZ+y2. 146. Se han dado dos puntos P y Q, la distancia entre los cuales es igual a a y la función f (M) = di - d!, donde dI = lVIP y d2 = MQ. Determinar la expresión. de esta fun- ción, si el punto P se ha tomado como origen de coorde- nadas y el eje Ox está dirigido por el segmento PQ. ~'147. Con los datos del problema 146, determinar la exprosíón de la función f (M) (directamente y mediante una transformación de coordenadas, aplicando el resultado del problema 146), si: 1) 01 punto medio del segmento PQ se ha tomado como origen de coordenadas y el eje O» tiene la dirección del segmento PQ; 31
  30. 30. 2) .el punto P se 11a tomado como origen de coorde- nadas y el eje O» tiene la dirección del segmento QP. 48. Dados un cuadrado ABCD con el lado a y una función f (M) = di + d~ + ~ + d¡, donde di = MA, dz = = MB, da = Me y di, = MD, determinar la expresión de esta función, si las diagonales del cuadrado se han tomado como ejes de coordenadas (el eje Ox tiene la dirección del segmento AC y el eje Oy, la dirección del segmen- to BD). 149. Con los datos del problema 148, determinar la expresión de la función j (M) (directamente y mediante una transformación de coordenadas, aplicando el resultado del problema 148), si el punto A se ha tomado como ori- gen de coordenadas y los ejes de coordenadas están diri- gidos por sus lados (el eje O» por el seg mento AB y el eje Oy por el segmento AD). 150. Dada la función f (z, y) = X2 + y2 - 6x -1- 8y, determinar la expresión de esta función en el lluevo sistema de coordenadas, si el origen de coordenadas se ha trasladado (sin cambia.' la dirección do los ejes) al punto O' (3; -4). 151. Dada la función I (z, y) = X2 - y2 - 16, determi- nar la expresión de est a función en el nuevo sistemu de coor- denadas, si II)S ejes (jo coordenadas han girado un ángulo de -45<', 152. Dada la función j (x, y) = X2 -1- yZ, determinar la expresión de esta función en el nuevo sistema de coorde- nadas. si los ejes de coordenadas han girado un ángulo ex. 153. Hallar un punto, en el que, al trasladar el origen de coordenadas a él, la expresión de la función f (z, y) = = a;2 - 4y2 - 6x + By + 3, después de la transformación, no contenga términos de primer grado respecto a las nuevas variables. 154. Hallar un punto, en el que, al trasladar el origen de coordenadas a él, la expresión de la [unción t (x, y) = = x1. - 4xy + 4y2 + 2x + y - 7, después de la transfor- mación, no contenga términos de primer grado respecto a las nuevas variables, 155. ¿Qué ángulo tienen que girar los ojes courdenados para que la expresión de la Iuución f (x, y) = X2 - 2xy + + y2 _ 6x + 3, después de la transformación, 110 contenga el término del producto de las nuevas variables? 3:1.
  31. 31. 156. ¿Qué ángulo tienen que girar los ejes coordena- dos para que la expresión de la función f (x, y) = 3X2 + + 2 V3XY + y~, después de la transformación, no contenga el término del producto de las nuevas variables? § 9. Concepto de ecuacíén de una linea. Determinación de la línea mediante una ecuación Una igualdad de la forma F (:2:, y) = O so llama ecuación de dos variables 3;, 11, si no se verifica para cualquier par de números :2:, y. También se dice que dos números :2: = XO, y = Yo satlsfacon a una ecua- ci6n de la forma F (:2:, y) = O, si al sustituir estos números en la ecua- ci6n, en lugar de las variables :2: e y, el primer miembro se convier- te en cero, . Se llama ecuación de una línea dada (en el sistema de coordenadas asignado) a una ecuación de dos variables que satisfacen a las coorde- nadas de cualquier punto situado en la linea y quo no satísíacen a las coordenadas de ningún otro punto situado fuera de olla, . En adelante, en lugar do la expresi6n «se ha dado la ecuaei én de' la Iínca F (x, V) = o» diremos, frecuentemente, de modo más abre- viudo: so ha dado la Jínea F (x, y) = O. Si se han dado dos líneas F (x. y) = O y <l> (x, y) = O, la solu- ción común del sístoma { r t», y)=O, <D (x, y)=O proporciona todos Jos puntos do su intorsoccién. Con más exactitud, cada par do números quo es solución común de este sistema determína uno,do los puntos do intersección. 157. Dados los puntos*) Mj (2; -2), Mz (2; 2), Ma (2; -1), M, (3; -3), . M5 (5; -5), M¿ (3;-2), determinar cuáles de estos puntos están en la línea definida por la ecuaci6n x + y = O y cuáles no están en ella. ¿Qué línea deííne esta ecuación? (Representarla en el plano). 158. En la línea definida por la ecuación X2 + y~ = 25, hallar los puntos cuyas abscisas son iguales a los siguien- tes números: a) O, b) -3, e) 5, d) 7; hallar en esta línea los puntos cuyas ordenadas son iguales a los siguientes números: e) 3, f) -5, g) -8. ¿Qué línea se define por esta ecuación? (Representarla en el plano). 159. Determinar las líneas que están dadas por las ecuaciones (construirlas en el plano): 1) x - y = O; 2) x + y = O; 3) x - 2 = O; 4) x + 3 =, O; 5) y - 5 = O; 6) y + 2 = O; ----..) En los casos en que no se nombro el sistema do coordenadas, S9 supone que es cartesiano rectangular. 3-352 33
  32. 32. 7) x = O; 8) y = O; 9) ;¡;2 - xy = O; 10) xy+ y' = O; 1'1) x.1 - y2 = O; 12) xy = O; 13) !¡Z - 9 = O; 14) ;);2 - 8.'1; -1- '15 = O; '15) y2 + Sy + 4. = O; 16) xZy-7;-ey+10y=O: 17) y= Ix 1:18) x= IY 1; 19) y + Ixl = O; 20) a: + 1 y I = O; 21) y =)x-1I; 22) y=I:r,-+ 21; 2::3) x2 +y2=16; 24) (:¡; - 2)2 ;- (y - 1? = 16; 25) (x + 5}e + (y - 1)2=9; 26) (x - 1)2 + y'l = 4; 27) X2 + (y -1- 3)2 = 1; 28) (x - 3)Z + y'l = O: 29) zZ + 2y2 = O; 30) 2x2 + 3y~ + 5 = O; 31) (x - 2)2 + (y -1- 3)2 + 1 = O. 160. Dadas las Iíneas: 1) x + y = O; 2) x - y = O; 3) X2 + yÜ - 36 = O; 4) X2 + y2 _ 2x + y = O; 5) :¡;'~+ y2 +4x - Gy - 1=0, determinar cuáles de ellas pasan por el origen de coorde- nadas. 161. Dadas las líneas: 1) x'l +y2 = 49; 2) (x - 3)Z + (y +4)2 = 25; 3) (.1: + 6}2 + (y - 3)W = 25; 4) (x -1- 5)~ + (y - 4)2 = 9; 5) .1:2 +y2 - 12x + 16y = O; 6) X2 + y'l - 2x +8y +7~Oj 7) X2 + y~ - Gx + 4y + 12 = O, hallar sus puntos de intersección: a) con el eje Ox; b) COIl el eje Oy. ¡ 162. Hallar los puntos de ínterscoclén de las dos lineas: 1) X2 +ye = 8, x - y = O;' 2) X2 -(- y2 - 16x +4y +18 = 0, x + 11= O; 3) 3;2 +y2 _ 2x +4y _ 3 = 0, :e2 + y2 = 25; 4) ;);2 + y: _ 8x +10y +40 = O. ;);2 +y2 = 4. 163. En un sistema de coordenadas polares se han dado los puntos M1 (1; ~). M2(2; O), M3(2; ~) . (" - n ) (2)M" ~(3", G y M6 1",31( " 34
  33. 33. Determinar cuáles de estos puntos están en la línea dofinida por la ecuación dada on coordenadas polares p =- = 2 cos () y cuáles no lo están. ¿Qué Iinea está deñnida por esta ecuación? (Representarla gráítcamonte). 164. En la línea definida pOI' In ecuncí ón p =- __2_o ' cos bullar los puntos cuyos ángulos polares son iguales a los siguientes números: a) ~ , b) -;, e) O, d) ~. ¿Quó línea está definida por esta ecuación? (Construirla eJl el plano). 165. En In línea definida por la ecuación P=~ ,sen 1 hollar los puntos cuyos radios polares son iguales a los siguientes números: a) 1, b) 2, e) V2'. ¿Qué linea está definida por esta ecuación? (Ccnstruírla en el plano). 1611. Determinar las Iíneas que se determinan en COOl'- denudas polares por las siguientes ecuaciones [conatru ir-lus en el plano): 1 p = 5; 2) e = ~ ; :3) e = - ~ ; 4) pcosO=2; 5) psenS=1; 6) p=6cosO; "( 1 7) P= 10 sen O; 8) sen fJ =:r; 9) sen p = 2 . 167. Construir en el plano los sigutcntos espirales de Arquímedes: O ti '1) p=26¡ 2) p=58; 3) P=-n; 4) p= -n-' tG8. Construir en el plnno las siguientes espirnlcs hiperbólicas: 1) p = t; 2) p = ir; 3) p = ~ ¡ 4) P = - ~ . 169. Construir en el plano 1n5 slgutcntos oaplrnlcs logluitnticas: 1) p = 20¡ P = ( ~t. 170. Determinar las longitudes de los segmentos inter- secados por In espiral do Arquímedes p=36
  34. 34. en el rayo que parLe del polo con una inclinación al eje polar do un ángulo 1) = ~ . Hacer el dibujo. 171. En la espiral de Arquímedes 5 P=li'0 se 11<' tomado un punto e cuyo radio polar es igual a 4.7. Determinar en cuántas partes divide esta espiral el radio polar del punto C. Hacer el dibujo. 172. En la espiral hiperbólica 6 P="ij" hallar un punto P, cuyo radio polar sea igual n 12. liacer el dibujo. i73. En la espiral logarítmica p=3° hallar un punto Q, cuyo radio polar sea igual a 8i. Hacer el dibu jo. § 10. Deducción de las ecuaciones de líneas previamente dadas En los problemas dol párrafo anterior, la linea estaba definida mediante la ecuación dada. Aquí consideraremos problemas de carác- ter Inverso: en cada uno do ellos la curva se deClne goométrtcamcnte y so pide hallar su ecuaci6n. . E j e ro p 1 o 1. Deducir on un sistema de coordenadas cartesia- no rectangular la ecuación del lugar gecmétrico do los puntos, cuya sume de los cuadrados do distancias a dos puntos dados Al (-a; O) y A2 (a; O) sea uno cantidad constante, igual a 4a~. S o 1 u ció n. Indiquemos con la letra M un punto arbítrarlo de la línea y con las lotras x o y las coordenadas do este punto. Como 01 punto M puede ocupar cualquier posición en la linea, x o 11 son can Lidadl's variables, llamadas coordenadas variables. Escribamos simb6lícamento la prcpiodnd geom6trica de esta Iínea: (1) Al moverse el punto M, en esta Igualdad pueden variar las lon- gitudes MA I Y M A,2' Sus ox.presiones mediante las coordenadas varia- bles dol punto M son: MAt= Y(;-"x-'+-a""')Z"""+""'y-::2, MA2= Y(x-a)z+ V~. 36
  35. 35. Sustituyendo estas expresiones obtenidas on la Igualdad (-O, hallamos la ecuación que relaciona las coordenadas :1' o 11 del punto M: ("'+a)2+!lZ+(:¡;-a)II+!I~=4a2. (2) Esta es la ecuación do la linea dada. En efecto, para cado. punto M sítuadc en esta línea, se cumplo la condtcién (1) y, por consiguiente, IRS coordenadas del punto 111 satisfacen a la ocuacíén (2); para cada I)Un~OM no situado en la linea, DO se cumple la condíclén (1) y, por lo ranto, sus coordenadas no sattsfacen a la ecuación (2). H Fig. 7. As{ pues, el problema está resuelto. Se puode, sin embnrgo, aímplíücar la ecuación (2); abriendo flaréntcsis y reduciendo los térml- 110S semejantes, obtenemos lit ecuación do la Iínea dada en la. forma a:'+y2=a~. Ahora se observa fácilmonto que la linea dada es una circunferencia con el centro en el origon do coordenadas y con el radio igual a 4. E j e m .p 1 o 2. Deducir en 01 sistema de coordenadas polares la ecuación do la circunforoncia con el centro C (Po; Bo) y con el radio T (fig. 7). S o 1 u ció n. Designomos con la letra M un punto arbttrarlo do la circunforoncia y con las letras r y O sus coordenadas polares. Como el punto M puede ocupar en Ia circunferencia una posición arbitraria, las cantidades p y O son var iahles , 001 mismo modo quo on 01 caso del slatoma cartesiano, éstas se Ilnman coordonadas variables. Todos los puntos de la circunferencia están a In distancia r dol centro; escribamos esta condición stmbóllcamontc: CM=T. (t) Expresemos CM mediante las coordenadns variables del punto M (apliquemos el teorema do los cosenos; ligo 7): CM= Vp~+p~-2Popcos (0-00). Sustituyondo la oxprcsión obtenida on la igualdad (1), hallamos la ecuación que relaci6na las coordonadas p, B del punto 111: lIp3+pa-2Popcos (0-00)= r. (2) Esta es la ecuaclén do la circunferencia dada. 37
  36. 36. En cíectc, para cada punto M sltuado en la circunferencia dadu, so cumplo la condición (1) Y. por conaiguíentc, las coordenadas del punto M satlsfacon a la ecuación (2); para cada punto M, no situado on la clrcunfcroncia dado. no so cumplo la condíclén (1) Y. por lo tan to, sus coordonadas no aatístaccn s la ecuación (2). Así pues, 111problema queda resuelto. Se puede tamhién slmpli- Ilcar un poco In ecuación obtenida y representar+a sin radical pZ-2pop cos (6-00) = r-p8. 174. Deducir la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidistan de los ojes coordenados. 175. Deducir la ecuación del lugar geométrico do los puntos que están a una distancia a del ejo Oy. t 76. Doduci r la ecuación del lugar geométrico de los puntos quo están a una distancia b del oje Ox, 1.77. Desde el punto P (6; -8) se han trazado todos los rayos posibles hasta su intersección con el eje de abscisas. Hallar la ocuación del lugar geométrico do sus puntos medios. 178. Desde el punto e (10; -3) se han trazado todos los rayos posibles hasta su intersección con 01 eje de orde- nadas. Hallar la ecuación dol lugar geom6tricO de sus puntos modios. 179. Hallar Ia ecuncíón de In trayectoria del punto que en cada momento do su movimiento equidista de los pontos: 1) A (3; 2) y B (2; 3); 2) A (5; -1) y B (1; -5); 3) A (5; -2) y B (-3; -2); 4) A (3; -1) Y B (3; 5). t80. Ha'llar Ia ecuación del lugar geométrico do los puntos cuya diferencia de los cuadrados de sus distancias u los puntos A (-a; O) y B (a; O) sea igual a c. 181. Deducir la ecuación de la circunferencia con centro ou 01 origen de coordenadas y radio r. 182. Deducir In ecuación de la clrcun'Inranci a con cen- tro e (a; ~) y radio r. 1.83. Dada la ecuación de la circunferencia x! + y2 = 25, hallar la ecuación dol lugar goométl'ico de los puntos modios do las cuerdas do esta circunferencia cuyas longi tudos sean iguales a 8. i 84. Hallar la ecuación del lugar geométrtco de los puntos cuya suma de los cuadrados de sus distancias n los puntos A (-3; O) y B (3; O) sea igual a 50. al:!
  37. 37. 185. Los vértices de un cuadrado son los puntos A (a; a), B (-a; a), e (-a; -a) y D (a; -a). Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de los cuadra- dos do sus distancias a los lados de este cuadrado sea una cantidad constante, igual a 6a2• 186. Por el origen do coordenadas Se han trazado todas las cuerdas posibles dela circunferencia (x -8)~ +y~ = 6ft. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de estas cuerdas. 187. Deducir la ecuación del lugar geométrico de los puntos en que la suma do sus distancias a dos puntos dados FI (-3; O)y F 2 (3; O)sea una cantidad constante, igual a '10. 188. Deducir la ecuación del lugar geométrico de los puntos en que ],11 diferencía de sus distancias a dos puntos dados Fl (-5; O) y F2 (5; O) sea una cantidad constante. igual a 6. 189. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos, cuyas distancias a un punto dado F (3; O) seno iguales a sus distancias a la recta x + 3 = o. 190. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos en que la suma de sus distancias a dos puntos dados FI (-e; O) y F2 (e; O) sea una cantidad constante. i~ual a 2a. Este lugar geométrico so llama oltpso y los puntos FI y F2 se llaman focos do la elipse. Demostrar que la ecuación do la oltpsc os ;¡;~ y2 1i2+"i)2= 1. donde b2 = a~ - ca. 191. Deducir la ecuación del Lugar gcométrtco de los puntos en que la diferencia de sus dtstancias a dos pun- tos dados Pi (-e; O) y F'l. (e; O) SM uno cantidad cons- tante. igual a 2a. Este lugar geométl'Ít.() se Iln ma htpér- bola y los puntos F1 y F2 se Ila man locos de la hipérbola. Demostrar que la ecuación de la hipérbola es ;¡;~ y2 /i1i'- b2 =1, donde b2 = c2 - a~. 192. Deducir la ecuación del Iugnr geométrico do los puntos para los cuales sus distancias a un punto dado F (-tr-; O) sean igualas a sus distanclns a una recta dada 39
  38. 38. x = - f. Este lugar geométrico se llama 'parábola, el puntoF se llama foco de la parábola y la recta dada, directriz. 193. Deducir la ecuación del lugar geométrico de Jos puntos para los cuales la razón de sus d istancras a un punto dado F (-4; O) respecto a sus distancias a una recta dada 4$ + 25 = O sea igual a ;_.¡¡ 194. Deducir la ecuación del lugar geométrico de los puntos para los cuales la razón de sus distancias a un punto dado F (-5: O) respecto a sus distancias a una recta dada 5x +10 = O sea' igual a {. 195. Deducir la ecuación del lugar geométrico de los puntos para los cuales sus distancias mini mas a dos circun- ferencias dadas (x +3)2 + y2 = 1, (x - 3ra +y'l. = 81 sean iguales entre si. 196. Deducir la ecuación del lugar geométrico de los puntos para los cuales sus distancias mínimas a dos circun- ferencias dadas (x + 10)2 +yZ = 289, (x _ '10)2 -1- y~ == 1 sean iguales entre sí" 197. Deducir la ecuación del lugar geométrico de los puntos para los cuales sus distancias mínimas a una cir- cunferencia dada (x - 5)2 + y2 = 9 y a una recta dada x + 2 = O sean iguales entre sí. 198. Una recta es perpendicular al eje polar e inter- cepta en él un segmento igual a 3. Hallar' la ecuación de esta recta en coordenadas polares. 199. Un rayo parte del polo con una inclinación al eje polar de un ángulo -F. Hallar la ecuación de este rayo en coordenadas polares. 200. Una recta pasa por el polo con una inclinación al eje polar de un ángulo de 45 0 • Hallar la ecuación ele esta recta en coordenadas polares. 201. Hallar. en coordenadas polares, el lugar geomé- trico do los puntos, cuyas distancias al eje polar son iguales a '5. 202. Una circunferencia de radio R = 5 pasa por el polo y su centro está en el ejo polar. Hallar la ecuación de esta circunferencia en COOrdenadas polares. 203. Una circunferencia de radio R = 3 es tangente al eje ,polar en el polo. Hallar la ecuación de esta circun- ferencia en coordenadas polares. 40
  39. 39. § 11. Ecuaciones paramétricas de una línea Designemos por las letras x e y las coordenadas do un punto M; consíderomoa dos funciones del argumento t: %= q> (1), } (1) y=1j>(t). Al voriar 1, generalmente, también varían las cantidades XI)II y, por consiguionte, so desplaza el punto M. Las igualdades (1) so llaman ecuaciones paramétrtcas de la Iínoa, que es lo. trayoctoria dol punto M; 01 argumento t recibe el nombre de parámetro. Si (lo las igualdades (i) se puede eliminar el parámetro 1, obtendremos la ecua- ción de la trayectoria del punto M en la forma F(x, y)=O. 204. Los extremos de una varilla AB resbalan sobre los ejes de coordenadas. El punto M divide la varilla en Fig.8. dos partes A M = a y BJI.f = b. Deducir las ecuaciones paramétrtcas del punto M, tomando por parámetro el ángulo t = ,2í: OBA (Hg. 8). Eliminar después el pará- metro t·y hallar la ecuación de la trayectoria del punto M en la forma F (x, y) = o. . 205. La trayectoria del punto M es una elipse, cuya 2 2 ecuación es :2 +h = 1 (véase el problema 190). Deducir las ecuaciones para métricas de la trayectoria del punto M, tomando por parámetro t el ángulo que forma el segmen- to OM con el eje Ox. 206. La trayectoria del puoto M es una hipérbola, cuya ecuación es ~ - ~ = 1 (véase el problema 191). Ded ucir las ecuaciones paramétrtcas de la trayectoria del
  40. 40. punto M, tomando por parámetro t el ángulo que forma el segmento OM con 01 oje O:;;. 207. La trayectoria del punto M es una parábola, cuya ecuación es y2 = 2px (véase el problema 192). Dedu- cir las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del pun- to M, tomando por parámetro t: 1) la ordenada del punto 111; 2) el ángulo que forma el segmento 01')([ con el eje Ox; 3) el ángulo que forma el segmento F1J.{ con el eje Oz; siendo el punto F 01 foco de la parábola. 208. Dadas las ecuaciones polares do las siguientes líneas: 1 0= 2R cos O: 2) p = 2R sen 9; 3) p = 2p ~~2~' hallar las ecuaciones para métricas de estas líneas en coordena- das cartesianas rectangulares, haciendo coincidir el semi- eje positivo de abscisas con el eje polar y tomando por parámetro el ángulo polar. 209. Dadas las ecuacíonos para métricas do las línoas 1) x=t2-2t+1,} 2) x=acost.} 3) x=asect, y=t-1; y=asent; y=btgt; (1. ( 1)} 5) x=2ROOS2t,}4.) x=:r t+T ' Y = R sen 2t; y=~(t-+); 6) x=Rsen2t. } y = 2R son" t; 7) x = 2p ctg2~, } y=2pctgt, olirninando 01 parámetro t. hallar las ecuaciones de estas líneas -de la íormn F (.r.. y) = O.
  41. 41. 111 Capítulo LINEAS DE l'Hll'tlliR OHDEN ~ 12. Fom13 general de la ecuación de Ia recta. Ecuación de la recta en funci6n del coeficiente angular. Angulo de dos rectas. Condición de paralelismo y de perpendicularidad de dos rectas En coordenndas cartesianas, cada recta so deturmiua por una ecuación de prhncr grado ~', recíprucamcntc, cada ecuación de primer grado determina una 1'00[,8., . La ecuaciéu de la forma A.r+llY-I-C=O (1) 50 Llama ecuación general do la recta. El angula (;(, definido como muestra In fig. 9, so llama úngu!r> de inclinación de la recta respecto al eje O», La tangento del ángulo do y Fig. 9. inclinación de la recta respecto al 1*' 03: so llanta cooñcíontc angular do la recta y so designa ordínnríamonte con In letra k: k= tg <x. La ecuación y = ka; + b se llama ecuución do la recta en Iun- cíón del coeficiente angular: k es el cooñcionto angular y 1,es la mag- nitud del segmento que íntcrcupta la recta M 01 oío Oy desdo 01 origou do coordenadas. Sí la ecuación do la recta so da en su forma gencrnl Az+.8y+C=O, su coeficiente angular so determina por lu Iórmulu A k=-B' 43
  42. 42. La ecuación y - /lo = k (x - xo) es la ecuación de la recta que pasa pOI' el punto Mo (xo; /10) y tieno el coeficiente angular k. Si In recta pasa por los puntos M, (x,; //,) y }l,f2 (X2; /12) su coeft- oíon LO angular se dctermlna por la fórmula jo //2-//1 ..=-;;=-;;¡ . La ccuucíén X-XI = Y-YI X:!-x( //2-/11 es In ecuación do la recta que Ilasa por dos puntos Mt(xl; /11) y M"2(XZ; II'/). Si so conocen los coeñcíentes angulares de dos rectas k, y "2, uno do 108 ángulos rp formado por cst.as rectas so dotermma por la Iónnula k2-k, tgq>=i+k11'2 . El crttorío do paralelismo do dos rectas es la igualdad do sus coeñcten tes angulares k,~k2' El criterio de perpendicularidad de (los rectas es la relación 1 k,k2= -1 o ka= -T¡' Es decir, los coeficientes angulares de dos rectas perpendiculares son recíprocos en valor absoluto y contrarios do signo. 210. Deterrninarcuáles de los puntos M1 (3; 1), M2 (2; 3), Ma(6;3), M~ (-3; -3), Ms (3; -'1), M6 (-2; 1) están situados en la recta 2x - 3y - 3 = O y cuáles no lo están. 2(1. Los puntos PI, Pz, Ps, P, Y P5 están situados en la recta 3x - 2y - 6 = O; sus ahscísas son igual es respocti Vilmente a los nú meros: 4, O, 2, -2 y -ti. Determinar las ordenadas de estos puntos. 212. Los puntos Q" Q2, Qa. Q4 y Q5 están situados eu Ia recta x - 3y + 2 = O; sus ordenadas son iguales respectivamente a los números: 1, 0, 2, -1, 3. Detormínar las abscisas de estos puntos. 213. Determinar los puntos do intersección de la recta 2x-3y-12=0 con los ejes coordenados y construir esta recta en el plano.
  43. 43. 214. Hallar el punto de tntersección de dos rectas 3z - 4y - 29 = O, 2x + 5y + 19 = O. 215. Los lados AS, Be y A e del triángulo A Be son dados medianto sus ecuaciones correspondientes .*) 4x + 3y - 5 = O, x - 3y + 10 = O, x - 2 = O. Determinar las coordenadas de sus vértices. 216. Dadas las ecuaciones do dos lados de nn paralelo- gramo 8x +3y +1 = O, 2x +y - 1 = O y la ecuación de una de sus díngonnles 3x + 2y +3 = O, determinar las coordenadas de los vértices de este paralelo- gramo. 217. Los lados de un triángulo están en las rectas x+ 5y - 7 = O, 3x - 2y - 4 = O, 7x + y + 19 = O. Calcular su área S. 218. El área de un triángulo es S = 8 unidades cuadra- das; dos de sus vórtices son los puntos A (1; -2), B (2; 3) y el tercer vértice e está en la recta 2x + y - 2 = O. Determinar las coordenadas del vértíce C. 219. El área de un triángulo es S = 1,5 unidades cuadradas; dos do sus vértices son los puntos A (2; -3) y B (3; -2) y el centro de gravedad do este tl'iángulo ostá en la recta 3x - y - 8 = O. Determinar las coordenadas del tercer vértice e. 220. Hallar la ecuación de la recta )' trazar ésta 011 el plano, conociendo su coeficiente angular k y el segmen- .) Aquí y en lo sucesivo, In frase dos ecuaciones do los lados. tlene el sentido do las ecuaciones da los ¡·COI.AS en las que estén los lados. 45
  44. 44. to b que ella intercepta en el eje Oy; 1) k=i-, &=3; 2) k=3, b=O; 3) k=O, b=-2; 4) k= -t, &=3; 5) k= -2, &= -5; 1 2 6) k=-1f' u=1f' 221. Determinar 01 coeficiente angular k y el segmento b que intercepta en el eje Oy cada una de las rectas: 1) 5$ - y +3 ~ O; 2) 2x +3y - ü = O; 3) 5x +3y -;- 2 = O; 4) 3x + 2y = O; 5) y - 3 = O. 222. Se da la recta 5x + 3y - 3 = O. Determínar 01 coeficiente angular k de In recta: 'J) paralela n la recta dada; 2) perpendicular n la recta dada. 223. So da In recta 2x +3y +4 = O. Hallar la ecuación do la recta que pasn por el punto Mo (2; 1) : 1) paralela a la rectn dada: 2) perpendicular u la recta dada. 224. Dadas las ocuncíones de dos lados de un rectángulo 2.'l! - 3y +5 = O; 3x + 2y - 7 = O y uno do sus vértices A (2; -3), hallar las ecuaciones de los otros dos lados de este rectángulo. 225. Dadas las ecuacioues de dos Indos de un rectángulo x - 2y = 0, x - 2y + 15 = ° y la ocuacíún de una de sus diagonales 7x +y -15 = 0, hallar los vértices del rectángulo. 22(i. Hallar la proyección dol punto P (-6; 4) sobre la recta 4x - 5y +3 = o. 227. Hallar 110 punto Q simétrico nI punto P (-5; 13) relatí vo a la recta 2x - 3y - 3 = O.
  45. 45. 228. Hallar en cada uno de los casos siguientes la ecua- ción de la recta paralela a las dos rectas dadas y que pasa por el medio de ellas: '1) 3x - 2y - 1 = O, 2) 5x + y + 3 = O, 3.1' - 2y - 13 = O; 5x + y - 17 = O; 3) 23: +3y - 6 = O, 4) !ir. + 7y + 15 = 0, 4.x + 6y + 17 = O; 5x +7[/ + 3 = O; 5) 3x - "l5y - 1 = O, x - 5y - 2 = Q. 229. Calcular el coeficiente angular le de la recta que pasa por dos puntos dados: n) M1 (2; -5), JltIz (3; 2); b) P (-3; 1), Q (i; 8); e) A (5; -3), B (-1; 6). 230. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por 16Svértices del trilÍngulo A (5; -4), B (-1; 3), e (-3; -2) y son paralelas a los lados opuestos. 231. Dados los puntos medios de los lados de un trilÍll- gulo: MI (2; 1), 111 2(5; 3) y M3 (3; -4), hallar las ecuacíones de 5IS lados. 232. Dados dos puntos: P (2; 3) y Q (-1; O). hallar In ecuación de la rectn que pasa por el punto Q. perpendi- cular al segmento PQ. 233. Hallar la ecuación do la recta, si el punto P (2; 3) es la base de la perpendicular bajarla del origen ele coor- denadas a esta recta. 234. Dados los vértices ele UIl triángulo MI (2; 1), M2 (-1; -1) Y M3 (3; 2), hallar las ecuaciones de sus alturas. 235. Los Indos de un triíingulo se dan por sus ecua- ciones ~x - y - 7 = O, x +3y - 31 = O, x +5y - 7 = o. Hallar el punto de intersección de sus alturas. 236. Dados los vórtices de un trtáugulo A (1; -1), B (-2: 1) y e (3; 5), hallar la ecuación do la porpendi- cular bajada desde el vértice A a la mediana, trazada desde el vértice B. 237. Dados los vért.lces de un triángulo A (2; -2), B (3; -5) y e (5; 7), hallar la ecuación de la perpendicular 47
  46. 46. bajada desde el vértice C a In bisectriz del ángulo interno del vórtice A. 238. Hallar las ecuaciones de los lados y do las medianas del triángulo que tiene los vértices A (3; 2), B (5; -2), C (1; O). 239. Por los puntos M, (-1; 2) y M2 (2; 3) se ha trazado una recta. Determinar los puntos do intersección de esta recta con los ejes coordenados. 240. Demostrar quo la condición, según la cual tras puntos MI (XI. YI). M2 (X2; Y'J.) y M3 (X3; Ya) están situados on una recta, puede escribirse on la forma siguiente: XI YI 1. Xz yz 1 =0. $3 V3 1. 241. Demostrar que la ecuación do la recta que pasa por dos puntos dados Mi (Xl; VI) Y M'l. ($2; Vz), puede escribirse on la forma siguiente: x y 1 XI YI 1 =0. .2:2 Y2 1 242. Dados los vórtices consecutivos de un cuadrilátero convexo A (-3i 1), B (3; 9), C (7; 6) y D (-2; -6), detorminar el punto de intersección de sus diagonales. 243. Dados dos vértices adyacentes A (-3; -1) y B (2; 2) de un paralelogramo ABCD y el punto Q (3; O) de intersección de sus diagonales, hollar los ecuaciones de sus lados. 244. So dan las ecuaciones de dos lados de un rectán- gulo 5x + 2y - 7 = O, 5x + 2y - 36 = O y la ecuación de una do sus diagonales 3x + 7y - 10 = O. Hallar las ecuaciones de los otros lados y de la otra diagonal. 245. Dados los vértices de un triángulo A (1; -2), B (5; ti) Y C (-2; O), hallar las ecuaciones de las hísec- trices de los ángulos interno y oxterno del vórtice A. 2lj6. Hollar la ecuación de lo recta que pasa por el punto P (3; 5) a igual distancia de los puntos A (-7; 3) y B (11; -15). 247. Hollar la proyección del punto P (-8; 12) sobre la recta que pasa por los puntos A (2; -3) y B (-5; 1.). 48
  47. 47. 248. Hallar un punto MI, simétrico al punto M2 (8; -9), relativo a la recta que paso. por los puntos A (3; -q) y B (-1; -2). 249. Hallar, en el oje de abscisas, un punto Pite manern que la suma de sus distnncías a los puntos M (1; 2) y N (3; 4) sea miníma. 250. Hallar, en el eje de ordenadas, un punto P de manera que la diferencia de sus distancias a los puntos M (-3; 2) y N (2; 5) sea máxi ma. 251. Hallar en la recta 2.x - y - 5 = O un punto P de manera que la suma de sus distancias a los puntos A (-7; 1), B (-5; 5) sea mínima. 252. Hallar en la recta 3x - y - 1 = O un punto P de manera que la diferencia de sus distancias a los puntos A (4; 1) y B (O; 4) sea máxima. 253. Determinar el ángulo q> formado por las rectas 1) 5x - y + 7 = O, 3x +2y = O; 2) 3x - 2y +7 = O, 2x +Sy - 3 = O; 3) x - 2y - 4 = O. 2x - 4y + 3 = O; 4) 3x + 2y - 1 = O, 5x - 2y + 3 = O. 254. Dada la recta 2x + 3y +4 = O, hallar la ecuación do la recta que pasa por el punto Mo (2; 1) y forma un ángulo de 450 con la recto. dada. 255. El punto A (-4; 5) es un vértice dol cuadrado cuya diagonal está en la recta 7x - y +8 = O. Hallar las ecuaciones de los lados y de In segunda diagonal do este cuadrado. 256. Dados dos vértices opuestos de un cuadrado A (-1; 3) y e (6; 2), hallar las ecuaciones de sus lados. 257. El punto E (1; -1) es 01 centro de un cuadrado, uno de cuyos lados est.á (m la recta x - 2y + 12 = O. Hallar las ecuaciones de las rectas en las que están los otros lados de oste cuadrado. 258. Desde el punto iV.lo (-2; 3) so ha dirigido hacia el oje O» un rayo de luz con una inclinación de un ángulo Ct. So sabe que tg ex= 3. El rayo se ha refloiado del eje O«. 49
  48. 48. Hallar las ecuaciouos do las rectas en la quo ostán los rayos incidente i/ reítejado. 259. Un rayo de luz va dirigido por la recta x - 2y + + 5 = O. Al llegar a la recta 3x - 2y + 7 = O se ha refleja- do da ella. Hallar la ecuación de la recta 011 la que está el rayo reflejad o. 260. Dadas las ecuaciones do los Indos de UIl. triúngulo 3x +4y - 1 -= 0, z - 7y - 17 = 0, 7x + y + 3'1 = 0, demostrar que esto triángulo es isósceles. Resolver este problema comparando los ángulos de este triángulo. 261. Demostrar que la ecuación de In recta quo paso. por el punto ]111(;¡;I; YI) Y es parulcla a la recta Ax +By + e = 0, puede escribirse en la Iorma siguiente: A (x - XI) +B (y - Yt) = O. 262. Hallar la ecuación de la recto. quo pasa pOI' 01punto MI (2; -;'3) y es paralela 11 la recta: 1) 3x - 7y +3 = O; 2) J; + 9y - '1 t =. O; 3} 10;1: - 24y - 7 = O; 4) 2x +3 = O; 5) ;)y - 1 = O. Resotver el. problema sin calcular los coeficientes angulares do las rectas dadas. ;:; el l. U. Aplicur (jI resultado (101 problemu anterior. 263. Demostrar que la condíclón do perpeudicularidad de las rectas At·t: +BIY +(;. = 0, A2·t: +B2y +C2 ~~ () puede escribirse en la forma síguícn Le: A1A2 +BlB2 -= (J. 2(11. Detorrni llar qué PUI'OS do eectus son perpe udicu 111ros: 1) 3x - y +:3 = 0, 2) 3x - 4y + 1 = O, x +:3y - 1 = O; 4.:r. - 3y +7 = ú; 3) ÜX - 15y +7 = 0, 4) ~h;- 12y +5 = 0, 10x + 4y - ;) = 0, 8x + (iy - 13 = O; 5) T» - 2y + 1 = 0, 6) 5x - 7y + ~= 0, 4x + By + 17 = O; 3x + 2y - 5 = O. 50
  49. 49. Rcsclvce (,1 prohlem» sin CllculM los cooñcicntes angulares de las rectas dadas, N u t n, A 1,l.ear la condloión de 11t"'J)l'II,lIclllarida,] de las 1'I.'ctl1'l tledlJeld" en el prcblema 26iJ. 26.'~. Demostrar que In fÓl'ltIul¡¡ pon'! dctorminar el ángulo 'P Jormorlo por las rectas A.r +S.!! +C, ::..0, A 2_X +B:y +C~ = O puede escribirse ('11 la siguiente íorma: l _ .. 1,B;-Azn g q> - AIA:d B.lJ: • 266. Determinar 01 Itngulo Ij) formado por las dos rectes: '1) :~-y+5=O. 2) xV2-V}f3-5=O. l:t+y-7=0¡ (3+ V2}x+ (V6- V3) y+ 7=0; 3) xV3+yV2-2=O. xJ{ij-3y+3=O. Resolver 1:1 problema sin calcular Jos coeficientes angulares ele 1I1s rectas dadas. N .. t 11. Apltcar I~ lóm1Ul:l. obtt'lIidl1 en el problema 265 pnrn detorminar 1)1ángulo Iormndo por dos rectas. 267. Dados dos vértices de un triángulo M, (-10; 2) y 111.(6; 4), cuyas alturas so cortan 011 el punto N (5, 2), determinar las coordenadas del tercer vértice 11-1s- 268, Dados dos vértices A (3; -1) ')' B (5; 7) del triün- gulo ABC y ~I puuto N (4; -1) de iuterseccíén de sus alturas, bullar las ecuaciones de los lados ele ~sLO tri:ingl110. 269. En 01 triángulo ABe se dan: la ecuación del lu- do AB. que es 53' - 3y + 2 = O. y lns ecuncíonos de JII~ ultura» A:'V y EN, que son respectlvamente 1).1: - 3y + l = O y 7$ _L 2y - 22 = O. Hallar las ecuaciones de los otros dos Indos y de In tercera altura. 270. Hallllr las ecuaciones ¡fe lus Indos del lriongulo A BC, si se don uno de 1l1lS vértices A (t; 3) y las C('lII1CiOllOS do dos medianas X - 2y + 1 = O e y - 1 = O. 27t. Hallar las ecuaciones de los Indos de UJI tr'iángulo. si se dan un" de sus ....6rLices B (_/1; -5) y las ecuaciones
  50. 50. do dos alturas 5x + 3y - 4 = O y 3.1' + 8y 1- 13 = O. 272. Hallar las ocuacíunes do los Indos de un tl'itugulo, conociendo uno de los vértices A (4; -1) y las ecuaciones de dos bisectrices x - f = ° y x - y - 1 = O. 273. Hallar Ias ecuaciones de los lados de un triángulo, conociendo uno de sus vértices B (2; 6) y las ccuacíoncs do la altura ,'1; - 7y + 15 = O y de la bisectriz 7x + y + 5 = 0, trazadas desde uno de sus vértices. 274. Hallar las ecuaciones de los lados de 111 triángulo, conociendo uno de sus vértices B (2; -1) Ylas ecuaciones de la altura 3x - 4.y + 27 = O y de la bisectriz x + 2/1 - 5 = 0, trazadas desde diferentes vértices. 275. Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo, conociendo uno de sus vórtices e (4; -i) y las ecuaciones de la altura y de la mediana 2x - 3y + 12 = O 2x + By = O, trazadas desde un vértice. 276. Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo, conociendo uno de sus vértices B (2; -7) y las ecuaciones do la alura 3x+y+11=0 x + 2y + 7 = O, trazadas desde diferentes vértices. 277. Hallar las ecuaciones do los lados do UD triángulo, conociendo uno de sus vértlcos e (4; 3) y las ecuaciones de lo bisectriz y do la mediana a: + 2y - 5 = O y de la mediana (LX + 13y - 10 = O, trazadas desde un vértice
  51. 51. 278, Hallar las ecuaciones de los Indos de UII L1'iáJI gu lo, conociendo UIO do sus vértices A (3; -1) y las ecuaciouas de la bisectriz z - 4y + 10 = O y de la mediana 6x + 10y - 59 = O, trezudas desdo d¡forentes vértices. 279. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y forma con las rectas x - y + 12 = 0, 2x + y + 9 = ° un triángulo, cuyo área es igual a 1,5 unidades cuadradas. 280. Entre las rectas que pasan por el punto P (3; O) hallar una cuyo segmento, eomprendldo entro las rectas 2x - y - 2 = O, a: + y + 3 = O, sea dividido por la mitad en el punto P. 281. Por el punto P (-3; -1) se han trazado todas las rectas posibles. Demostrar que el segmento de coda 111)[1 do ellas, comprendido entro las rectas a: - 2y - 3 = 0, x - 2y -1- 5 = 0, se di vide por la mitad on el punto P. 282. Por 01 punto P (O; 1) se han trazado todas las rectas posibles. Demostrar que entre ellas no hay una recta cuyo segmento, comprendido entre las rectas x - 2y - 3 = O, x - 2y + 17 = O, sea dividido por la mitad en el punto P. 283. Hollar la ecuación do la recta que pasa por el origen de coordenadas, sabiendo que la longitud de su seg- mento, comprendido entro las rectas 2x - y + 5 = O, 2x - y + 10 = 0, es igual a V10. 284. Rallar la ecuación de la recta que pasa por el punto e (-5; 4), sabiendo que la longitud do su segmento, com- prendido entre las rectas a: + 2y + 1 = 0, x + 2y - 1 = 0, es igual a 5.
  52. 52. § (3. Ecuaciones íncompletas de 111 recta. Dtscusién do las ecuaciones aírnul táneas de. dos y do tres rectas, Ecuación (,segmontarla» do la recta Sí on 10 ecuación dll In recta, dado on su formo {tenorol 1'''':+Dy'¡''C=O (1) so anula lino o (los do los tres coctiotontes (iucluyondu I~ILérmlno indt'pc.lldiCI te). la ecuación so llama incom plot a . 1'110<1en d 1I1'SIl Ios oasos síguien tos: 1) e = o: la ocullcil;n es do la forma ,4% + DI! = O V dotcrmín a un a recta que pasa pOI' 1.'1origen de coordennd aa. ' 2) J) "'" O (A =1= O); la ecuación ('5 do la fOl1JlR A.r- + c: = O y tlctel'lnillll una recta perpeudicuinr 01 oje 03:, Estn.ocullci6n ~ll puede ecprosontar do la Iorrua :r =. u, en In que a = - ~ es lit magn itud del segmQllto quo int erccptn 13 recta en el t'lo Ox, paruendo del orlgon do coordenadas. 3) 13 = O, e = O (A + O); 111 ecuación puede representarse en lo forma :r = O y dotermínu 01 ejo de ordenadas, -:1) A "" O (13 =F O); In ecuucién I:lS de 111 r01'll'11I l/y _¡.. <.: = O Y determínn una recta perpendicular al cíe Oy. E~la ('.(,.u8ci611ac J,uurll' roproscntar en In Iorma u=b. en la qvc b = - ios la magní tud dl!l segmento que [a re(,to Intercepta en l'[ ojo 011, pal·tieudo del urigun ek cU(H'dtllllldllS. 5} A = O. e = o (D o:¡b. O); 111(!c.tlIlc.ilíll SI) (lUcdl reprosoutnr en 1(1 Iorma !I "" Ú y dotormína dejo de' ahscisas. Si ninguno de los coeñotontos de la ocuacnin (1) es ignal a 1:1.'1' .. , és- L¡ pUI!(I(!. reductrsc .1 Lu Iorm a z ,Y ( a'bf!Sl I (2) lec l 1en H 1(11(111 = -j¡ y 1, = - Jj sal) a~ mllgnitlldllR do us segmentes I1UO inLl.'rc.o"LIl la roctu en los ojes coordonudos. La I!C11I>c.iím (2) SI' tl am« ccuncién .~~lI.'lHnrin. de 1.1 recr». Si Se dun dos rectas medíanto 11u; ecuaciones Ai.r+DJ!I+CJ=O y Atx+1f2Y·¡-('2,.,.-(I. ~(' /ll}I,dl'lI preson tal' los tres cusos :ligu íent es: A, n, 1 • a) A;'" =r- 1l2,' as rectes t.((·IlNI 1111 punto comán: A, ¡JI C IJ) "'A'2 = B?, "!~ G' IIIS reclas ~('n parn lclns; e) ~ - lJ, - el Jns rectas cuínciden, os «ce-ir, las dos ecua. "'2 - /12 - C2 ' cíones tlcLorulinao una mismo recta,
  53. 53. 285. Determinar IH1I'a qUIÍ valor de a lu recta (a ~ 2) z + (a~ - 9) y + :Ja~- 8a + 5 = O '1) es paralela 01 eje do ubscisas: 2) P.S paralela 01 eje de ordenados: 3) IIIISo. por el orlgcn de coordcnndes. E"rl'ibir en cada caso 111 ecuación de In rcctu. 286. Determiunr para {lll1~ valores de lit y 11 J:l recta (I/~+ 211 - 3) x + (21/~ - n ~ 1) y + Sm +9 = O es paralela al eje <le 11bscisas e in tcrcepta en 01 ojo de ord Ir nadas UIl segmento igual ti -3 (partiendo del origen de coordenados). Escribir la ecuación de esta recta. 287. Determinar para (LIIÓ valorea do In y n: la recta (2m - n ~ !í) x + (m + 3n - 2) y + 2/11 1- 7n + 19 = O el! pnralel» aloje de ordenadas e intercepta 011 01 eje de l1bsrisa.s un segmento igual a +5 (partiendo rlel origen de coordeundns). Escribir la ecuación de esta recta. 288. Demostrar que, 011 los casos siglliellles, se cortan las dos rectas dadas y hallar el punto de Sil iuterseccién : 1) x + 5y - 35 = O. ~x + 2y - 27 = O; 2) 14.4 - 9y - 2ft = O, ;3; - 2y - 17 = O; 3) i 2:t ~, '15y - g = O, 1Gz + 9y - 7 ~ O; 4) 8.t - aay - 19 = O, 12x + fíSy - 10 = O; 5) 3x + 5 - O, y - 2 = O. 28!l. Demostrar quv. ('11 los casos sigllientos. son para- lelas 1M dos rectas dadas: 1) 3x + liy - 1, - O, 2) 2.r - 411 + 3 = O, 3) 2;c - '1 ...,. n, 4) y -+-:~ = O, 6.1: + 10!1 + í - O; .r. - 2y .... O; x -1- 3 = O; Sy - 7 = O. 290. Demostrar que. en 10$ casos sígulcntcs, coinciden I:'IS dos rectas dadas: 1) 3.r+5y-4;:...O, 6x+10y-8=O; 2) X-JI ~/'2=O, xVZ-2!1=O; 3) ,t}'H-l=O, i3.t-!·'J .....O. !i5
  54. 54. 291. Determinar para qué valores de a y b las dos rectas (IX - 2y - 1 = O, 6x - 4y - b = O 1) tienen un punto común; 2) son paralelas; 3) coinciden. 292. Determinar para qué valores de m y n las dos rectas mx + 8y + n = O, 2x + my - 1 = O 1) son paralelas; 2) coinciden; 3) son perpendiculares. 293. Determinar para qué valor de m las dos rectas (m - 1) x + my - 5 = O, mz + (2m - 1) y + 7 = O se cortan on un punto situado en el eje de abscisas. 294. Determinar para qué valor de m las dos rectas ma: + (2m + 3) y + m -1- 6 = O, (2m + 1) .'1: + (m - 1) y + m - 2 = O se cortan en un punto situado en el eje de ordenados. 295. Verificar si se cortan o no en un punto las tres rectas en los casos siguientes: 1) 2x + 311 - 1 = O, 4x - 5y + 5 = O. 3x - y + 2 = O; 2) 3x - 11+ 3 = O, 5x + 3y - 7 = O, x - 2y - 4 = O; 3) 2x - y + 1 = O, .'1: + 2y - 17 = O, X + 2y - 3 = O. 296. Demostrar que sí las tres rectas A1x + Bly + Cl = O, A2x + B2y + C2 = o. Asx+B3Y+ Ca = O, se cortan en un punto, entonces Al BI C11 Az s, C2 =0. Aa B3 Ca I 2H7. Demostrar que sí Al El el A2 Bz C2 =0, Aa É3 Ca las tres rectas Alx -1- EIl! + CI = O. Azx -1- Bz1l + C2 = O. A3x + BoY + C3 = O, se cortan en un punto o sou paralelas.
  55. 55. 298. Determinar para qué valor de a las tres rectas 2:t - y + 3 = O, x + y + 3 = O, ax + y - 13 = O so cortan en '111 punto, 299. Se dan las rectos: 1) 2x + 3y - 6 = O; 2) 4x - 3y + 24 = O, 3) 2x + 3y - 9 = O; 4) 3x - Sy - 2 = O; 5) 5x + 2y - i = O, Hallar sus ecuaciones esegmentarias» y trazar estas rectas en el plano. 300. Calcular el ároa del triángulo que forma la recta 3x - 4y - 12 = O con los ejes coordenados. 301. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto J111 (3; -7) e intercepta en los ejes coordenados segmentos iguales y diferentes de cero (cada segmento se considera dil'igido a partir del origen de coordonadas). a02. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto jJ (2; 3) e intercepta en los ejes coordenados segmentos de igual longitud, considerando cada segmento desde el orígon de coordenadas. 303. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto e (1; 1) e intercepta en el ángulo coordenado un triángulo de área igual a 2 unidades cuadradas. ' 304. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto B (5; -5) e intercepta en el ángulo coordenado un triángulo de área igual a 50 unidades cuadradas. 305. Hallar la ecuación do la recta que pasa por el punto P (8; 6) e intercepta on 01 ángulo coorden ado un triángulo de área igual a 12 unidades cuadradas. 306. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (12; 6) o intercepta en el ángulo coordenado un triángulo de área igual a 150 unidades cuadradas. 307. Por 01 punto M (4; 3) so ha trazado una recta que intercepta en el ángulo coordenado un triángulo de área igual a 3 unidades cuadradas. Deter-minar los puntos de inter- sección de esta recta con los ejes coordenados. 308. Por el pun to MI (x,; y,), siendo x,y, > O, se ha trazado una recta 57
  56. 56. que intercepta en el ángulo coordenado U11 trtángulo do área iguul a S. Determinar la relacíén entre las ca 11tidades XI' y, Y S para que los segmentos a. y b tengan 01 mismo sigilo. § 1~. Eeuaeíén normal de la recta. Problema del cálculo de In dístancia de un punto a una recta Dndn unn recta en 01plano xOy, tracemos por 1>1Ol'igoll UO C(/)I'- ,IOIII,!Ins una l1~rpolldlculnr a In recta dadn y Ilamérnosla normal. Señulomos 1"'1' P ,,1 punto do intersección rle la normul C.()JJ la rcr·~;1 <lndll y establuzcnmus la dirección positiva de la normal dol punto O al I'UlltC) 1'. Fig.10. _ Si C( es 01 ángulo polur do Iu normal y /)10 IOllgitud del s('llnll1l1tCJ 01' trigo 10), la ccuacíón do la recta dada so PUOOl cscri hir on la formn X,CO!! a+ y·l!f¡n Gt- p=); In ccuacion do esta Iorma so llamn normal. Dndos una ructu cunlquteru y un punto nrhitrnrto M": lll'!!i!¡'ICIIIIIS pClf ti lu dist.anc¡a del punto M* n la recta dalla. So llama ~d"s'Hlclém. Ii del 1""lt" M* de la recta (o distancía dirigida) ni número + d. si el 1)""1,1' ciado y el origen de coordonedas están sítuados a diversos I~do~ tlu 111 recta dnrla, y -el. si el punto dudo y el origen lit' r.1)()rdcn1l11a~ '$(,r'íll situados a un mismo lndo do lit recta dada. (!!sl'a II)~ {lUIII!,S que l'SLáll en la misma recta. 11"... 0. Si 8" dan lo., coordonudas ,¡;*, 11* Ill'l j'UII to M* y In ocuacíón normal (ll' la recta x CIIS n: + !I sen f1. - JI =0, n desviuciún 11del pun (o .ti" do esta recta se puede calcular I",r 111 fórlnt.da /) .... x" cos a.+ 1/* sen (X.- {l. DQ estn manera. paru hatlar lu desviación de cnakruíor punt« M' t1u la recta <1lid11 es necesario susti tuir en el primor ruíenibr« do la ecuacrón normal do eS~8 rcctu lAS coordenadas vnrlnblcs por las coor- dé),H(III~ dol plinto M*. 131 número ohtentdo ('/j igllnl n la rlesvínció« buscnrlu. P"m hallnr 13 dístnncta d dl,l puuto a la recta ()~ suñcícnto cal- Clllul' 1.. '¡cSlllc'i(1II y tomnr SI.1In,;IIIII,,: d_I~I·
  57. 57. Si 111' da la ecuación general rlc la rctta A.l'+lJlI 1- C= 0, !,lIra reducirla 11In forma 1I(>rm~1 es neccsn-io multiplicar todos los t6r- miJII~ do "st'l ecuación por 01 Iuctor nunnalixadur ~I, que SI) dllfhll¡ )lo!' lit fórmula 1 u-± . . VAa+,JZ ni MigJ1() (Id factor nOI'llIftlizl).lor' tiene quo sor CÓIlIl'lll'io nl sigUI) 11,,1 161'IIIi111>independiente do la l)I'uución 11110so normullm , 309. Determinar cuáles de las ecuaciones siguientes de lns rectas SOJl nor lOa les: 3 -1 z 3 1.) ~ x - ... 1/- 3 = O; 2) c.1; - -¡:; ,1/- 1=O; tl·, ., '" ,;¡ t2 á 12 • 3) I3X-TIiIl+2=O; 4.) -mx-r-TIiy-2 ..!.'I); 5) -x-I-2.=O; 6) :c-2=0; 7) ~:+2=O; 8) -y-2=O, 310, Reducí.r, en los casos siguientes. la ecuación genernl oc la recta a la Iurrnu normal 1) 4,¡:-31/-10=0; 2) ~x-i-y+1O-0; ::1) 12:¡;-;,y+13=O; 4) .~~+2=O; 5) 2:I'-y-l/5~~(I. ;,111. Dadas las ecuaciones de las i-ectns 1) x-2=0; 2) x+2=0; :3) y-3=O; 4) y+3=0; 5) xV"g'l-y-6=O; 6) ,2'-y+2=0; 7) x+y"V3+2=O; 8) xcos~-ysell~-CJ=O. q>O; ~ es UJl {il1gulo agudo: {l) ,2:cos~+ysen~+q=O, q>O; ~ es UH ángulo agudo: determinar el áug'ulo polar a de la normal y el segmento JI pal;a cada una de las rectas dadas. Construtr estas rectns en el plano "oliéndose de los valores obtenidos do los parámetros a y p (en Jos dos últlrnos casos, verificar Jn construcción do la recta lomando I~= 30" y q = 2). 312. Calcular la magnitud de la desviación 6 y la distancia d del punto n la recta en cado uno de los casos siguientes: i) A (2; -1), 2) B (O; -3), il) P (-2; 3), oi) Q (1; -2). qX 1, 3y -1- tO = O; 5x - 12!f - 23 = O; 3x - 4y - 2 = O; ;¡: - 2.l1 - 5 := O. 5V
  58. 58. 313. Determi llar si el punto lyI (1; -3) y el origen de coordenadas están a un mismo lado o a diferentes lados de cada uno de Ias siguientes rectas: 1) 2x - y + 5 = O; 2) x - 3y - 5 = O; 3) 3x + 2y - 1 = O; 4) a: - 3y + 2 = O; 5) 10x + 24y + 15 = O. 314. El punto A (2; -5) es un vórtico de un cuadrado, uno do cuyos Iados estó OH la recta x - 2y - 7 = O. Calculal' el área de este cuadrado. 315. Dadas las ecuaciones de dos Indos de un rectángulo 3x - 2y - r.; = 0, 2z + 3y + 7 = O y uno de sus véruces A (-2; 1), calcular el área de esto rectángulo. 316. Demostrar que In recta 2x + y + 3 = O corta 01 segmento limitado por los puntos A (-5; 1) y B (3; 7). 317. Demostrar quo la recta 2.x - 3y + 6 = O no corta el segmento limitado por los puntos M¡ (-2; -3) y M: (1; -2). 318. Los vértices consecutivos de un cuadrilátero son los puntos A (-3; 5), B (-1; -4), e (7; -1) y D (2; 9). Detecruiuar si esto cuadrilátero es convexo. 3-J 9. Los vértices consecutivos de un cuadrilátero son los puntos A (-1; 6), B (t; -3), e (4; 10) y D (9; O). Determinar si este cuadrilátero es convexo. 320. Dados los vérticos de un tri ángu lo: A (-10; -13), B (-2; 3) y e (2; 1), calcular la longitud de la pcrpendí- cular bajada desde el vértice B a la mediana trazada desde el vértice C. 321. Los lados A 8, Be y CA del triángnlc A BC vienen dados respectí vumcnto por Ias ecuncíonos x + 21y - 22 = O, !ix - 12y + 7 = O, 4x - 33y + 146 = O. (0
  59. 59. Calcular In distancia desdo 01 centro de gr'ovo(lad d(l esto triángulo hasta el lado BC. a22. Calcular la distancia d entro las rectas paralelas en cada uno de los casos siguientes: 1) ;:h:-~y-l0=O, 2) 5x-12Y-I-26=0, 6x-8y+5=O; 5x-12y-13=0; 3) 4x-3y+15=0, 4) 24x-10y+39=O, 8~-(ly+ 25 = O; 12x- 5y- 2(3= O. 1123. Dos lados de un cuadrado están en las rectas 5,:¡; - 12y - 65 = 0, 5x-12y+2B=0. Calculo!' su área. 324. Demostrar que lo. recta 5x - 2y - 1 = O es paralela R las rectas 5x - 2y + 7 = 0, 5x - 2y - Id = O y divide por la mitad la distancia entro ellas. 325. Dadas tres rectas paralelas 10x -1- 15y - 3 = 0, 2x + 3y + 5 = O. 2x + 3y - 9 = 0, determinar si Ia primera de ellas está entre las otras dos y calcular la razón en que divide la distancia entre ellas. 326. Demostrar que se pueden trazar por el punto P (2; 7) dos rectas de manera q uo sus distancias al punto Q (1; 2) sean iguales a 5. Hallar las ecuaciones de estas rectas. 327. Demostrar que se pueden trazar por el punto P (2; 5) dos rectas de manera que sus dtstanctas al punto Q (5; 1.) sean iguales a 3. Hallar las ecuaciones de estas rectas. 328. Demostrar que sólo se puede trazar una recta por el punto C (7; -2) do manera que su distancia al punto A (4; -(» see igual a 5. Hallar Sil ecuación. 329. Demostrar que no so puedo trnz ar por el punto B (4; -5) una recta de manera que su distancia al punto e (-2; 3) sea igual a 12. 330. Deducir la ecuación del lugar geométrico de Jos puntos, si sus desviaciones de la recta 8x - 15y - ~5 = O son iguales a -2. (ji
  60. 60. 331. HaBar. las écuaciunes de las rectas paralelas a la recta 3:t. - 'IY - 10 .;..._0, que so encuentran a unn dístanciu de ella de d = 3. 332. Dados dos vértices adyacentes de un cuadrado A (2.; O) y B (-1; 4), hallar las ecuaoiones ele sus lados. 333. El punto A (5; -1) es un vértice de un cundrado, uno de cuyos lados e!ltú en la recta 4x - 3.1/ - 7= O. Hnl lar las ecuaciones de las ro('·Las en las que ('stin los otros lados do este cuadrado. 334. Dadas las ecuaciones de dos lados de un cuadrado 4x - 3y + 3 = O, 4x - 3y - 17 = O y uno de sus vértices A (2; -3), halla!' las ecuaciones de los otros dos Indos de este cuadrado. 335. Dadas las ecuaciones de dos lados de un cuadrado 5.1'+ 12y - 10 = 0, 5;);+ 12y + 29 = 0, hallar las ecuaciones de los otros dos lados, si el punto 111'.(-3; 5) está en un lado do este cuadrado. 336. Las dcsvl acloncs del punto NI de las roctas 5:1: - 12,1/ - 13 = O y 3:1; - 4y - 19 = O son iguales rcspectiva mente a -3 y -5. Determina!' las coordenadas del punto ]1.[. 337. Haltar la ecuación do' la recta que pasa por el punto P (-2; 3) a igual distancia de los puntos A (5; -1.) y B (3; 7). 338. Hallar la ecuación del Iugar geométrico de los puntos equidistantes de las rectas paralelas: 1) 3:c-y+7 =0, 2) x-2y-H = O, :3;¡;- y-;{=O; ;1:-2y+ 7 =0; 3) 5z - 2y -Ii = 0, :I0x-4y+:1=O. 339. Hallar las ecuaciones de las hisoctrícos de los ángulos Iorrnados pOI' dos rectas concurrentes: 1) x-3y+5=O, 2) :c-2y-;~-O, 3x-y-2=0; 2:c+4y +7 = O; 3) 3x+4y- t =0, 5x +12y-2=O, ü2
  61. 61. Mo. HalÍar las ecuaciones de las recias que pnsan por el punto P (2: -'1.) y junto con las rodas 2x - y + 5 = 0, 3x + l3y - 1 = O Iorman t"i{¡Tlgulos isósceles. 341. Determinar I>i el plinto 111{' (1; -2) y el origeu de coordenadas están en lH1 :íllgll.lo, en ángulos adyacentes () en iíllglllos 0])1Iest08 formados por In tntcrsocoíón de dos rectas: '1) 2x-y-!í=o, 2) 4x+3y-10=O, 3;r.+¡¡+10=O; 12x-5¡¡-5=O; 3) x-2y-1.=O, 3x-y-2=O. 342. Averiguar si los puntos 11[ (2; 3) y N (5; -"1) están en. un ángulo, en ángulos adyacentes o en ángulos opues- tos formados pOI" la in torsecctón do dos rectas: 1) x-3y-5=O, 2) 2x+7y-5=O, 2a:+9y-2=O; x 1-3u+7=O; 3) 1.2x+y-1. =0, 13x+2y-5=O. 343. Averiguar si el origen de coordenadas esta dentro ()fuera del tríúngulo , cuyos lados son dados por las ecuaciones 7x - 5y - 11 = O, &1: + 3y + 31 '-= 0, x -1- 8y - 1!~= O. 344. Averiguar si el punto .Af (-3; 2) estú dentro o lucra del triángulo, cuyos lados son dados por las OCl1a- cíones x + y - II = O, 3$ - 7y -1- 8 =.. 0, 4;r. - y - 31 = O. 345. Averiguar qué ángulo (agudo u obtuso) Jormado por las rectas 3x - 2y + 5 = O y 2x + y - 3 = 0, contiene el origen do coordenadas. 63
  62. 62. 846. Averiguar qué áuguf o (agudo ti obtuso) Inrmudo por las rectas 3x - 5y - 4 = O y a: + 2y + 3 = O, contiene el punto M (2; -5). 347. Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo for- mado por las rectas . 3x - y - 4 = O y 2x + 6y + 3 = O, que contiene el origen de coordenadas. 348. Hallar la ecuación do la bisectriz del ángulo for- mado por las rectas x - 7y + 5 = O, 5x + Sy - 3 = O, que es adyacente al án:;ulo que contiene el origen de coor- denadas. ,1 349. Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo ffit:.t mado por las rectas x + 211 - 11 = O Y ~.l. - 6y - 5 = O, '.~ en 01 que está el pupto M (1; -3), 350. Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo for- mado por las rectas 2x - Sy - 5 = O, 6x - 4y -+ 7 = O, que es adyaconte al ángulo que contiene el punto e (2; -1). 351. Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado pOI' las dos rectas 3x + 4y - 5 = O, 5x - 12y + 3 = O, 352. Hallar la ecuación do la bisectriz del ángulo obtuso formado pOI' las dos rectas x - 3y + 5 = O, 3x - y + 15 = O, § 15. Ecuación de un haz de rectas El cenjunto de reatas Cilla pasan por un punto S so llama hu do rectas con el conteo S, Si A1%+lJ,U+C¡=O y Az:t+B2y+C2=O son las cuaclonos do dos rectas (IUe se cortan on el punto S, Ia ecuación ex (At.:+Bly+C,}+P CAz.%:+B2V+C2) = O, (t) on la que Ct y P son unos números cualesquiera, pero no aimultáneamen- te iguales a cero, dotcrmtnn una recta que pasa también por el pun lo S, G4
  63. 63. Es 100S, slempre so pueden e.1l'gir loe números CI. y P do manera que la ccuactén (1) represento una recta cualqulern (Isigll!lda pro- viamente) que pase por 01 punto S. 08 decir. una recta arhitrnrta dol haz con el centro en S. POI' eso, In ecuaclón (1) 80 Ilamu ecunción del haz (con el centro en S). Si (% "" 0, div:idieudo los dos miembros do la ecuneién (1) por a y suponiendo que! =). tendremos: a. A1z+B1V+Ci+). (A2%+B2U+C2) =0. (2) Por medio de esta ecuación se puede determinar cualquier recta del ha? C01l el centro en S, excluyendo la que corresponde a ct = 0, e" decir, excluyendo la recta A:x +- BzV + C2 = O. 353. Hallar el centro del JIIZ de rectas dado por la ecuación . ct (2x + 3y - 1) + j3 (x - 2y - 4) = O. 354. Hallar 'a ecuación de la recta que portenece al 1.." de rectas CG (x + 2y - 5) + j3 (3x - 2y + 1) = O y que: 1) pasa por el punto A (3; -1); 2) pasa por el origen de coordenadas; 3) es paralela al eje Ox; 4) es paralela al eje Oy; 5) es paralela a la recta 4x + 3y - 5 = O; 6) es perpendicular a la recta 2x + 3y + 7 = O. 355. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x - 2y + 5 = O, 4x + 3y - 1 <= O e intercepta en el eje -do ordenadas un segmento b = - 3. Resolver el problema sin hallar las coordenadas del punto de intersección de las rectas dadas. ~;:;j356. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x + y - 2 ... O, x - 5y - 23 = O y divide por la mitad el segmento limitado por los puntos MI (5; -6) y M2 (-1; -4). Resolver el problema sin cal- cular las coordenadas del punto de intersección de las rectas dadas. 357. Dada la ecuación de un baz de rectas ce. (3z - 4y - 3) + P (2x + 3y - 1.) = O, 5-352 65
  64. 64. escribir la ecuacion de la recta de este haz que pasa por el centro de gravedad do una lámina trjangular homogénea, cuyos vértices sean los puntos A (-1; 2), B (4; -4) y C(6; -1). 358. Dada la ecuación de un haz de rectas ex (3x - 2y - 1) + ~(4x - 5y + 8) = O, hallar la recta de este haz que pasa por la mitad del seg- mento de la recta x + 2y + 42: O, comprendido entre las rectas 2x + 3y + 5 = O, x + 7y - 1 = O. 359. Dadas las ecuaciones de los lados de un triángulo x + 2y - 1 = O, 5x + 41/ - 17 = O, x - 4y + 11 = O, hallar las ecuaciones de las alturas de este triángulo sin determinar las coordenadas de sus vértices. 360. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x + 7y - 8 = O, 3x + 2y + 5 = O con una iJlc,linación de 45° respecto a la recta 2x + 3y - 7 = O. Resolver el problema sin calcular las coordenadas del punto de intersección de las rectas dadas. 361. En el triángulo ABC se dan la ecuación de la altu- ra AN: x + 5y - 3 = O; la de la altura BN: x + 11- - 1 = O y la del lado AB: x + 3y - 1. = O. Hallar las ecuaciones de los otros dos lados y de la tercera altura sin determinar las coordenadas de los vórtices y de los puntos de intorsocción do las alturas do esto triángulo. 362. Hallar las ecuaciones de los lados del triángulo A BC I connclondo uno de sus vértices A (2; -1) Y las ecuaciones de la altura y de In bisectriz 7x -10y + 1 = O 3x - 2y + 5 = O, trazadas desde: un vértice. Resolver el problema sin cal- cular las coordenadas de' los vérticos B y C. 66

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