1. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
11111
Demostrar que los puntos ( )A 0,1= y ( )B 3,5= ; ( )C 7,2= y ( )D 4, 2= −
son los vértices de un cuadrado.
Solución:
LQQDcuadrado.unesABCD
5CDADBCAB:Como
525916CD
525169AD
525916BC
525169AB
ˆ
====
==+=
==+=
==+=
==+=
!
!
!
!
11111Capítulo
SISTEMA DE COORDENADAS

2. 22222
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos ( )A 1,1= − y
( )B 3,1= . Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos casos).
Solución:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )321,1C
321y
1x
:yDe
161y3x
ABBC
1y1x
1y3x
ACBC
vértice.tercerelx,yCSea
22
22
22
±=



±=
=
→=−+−
=
→−++=
=−+−
=
=
ˆ
!"
!
"
!
!
!
!
Dados los puntos ( )P 2, 31 = − y ( )P 1,22 = − encontrar sobre 21PP el
punto que diste doble de 1P que 2P .
Solución:
( )
( )
0x0
3
0
3
22
21
122
r1
xrx
x
2
1
2
PP
PP
r
pedido.puntoelx,yPSea
21
2
1
===
−
=
=
+
−+
=
+
+
=
===
=
!
!
!

3. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
33333
( )
( ) 





==
==
+−
=
+
+−
=
+
+
=
3
1
,0y,xP
3
1
y
3
1
3
43
21
223
r1
yry
y 21
ˆ
!!
El lado de un rombo es igual a 105 y dos de sus vértices opuestos son
los puntos ( )4,9P = y ( )2,1Q −= . Calcular el área de este rombo.
Solución:
101006436PQ ==+=
( )
2
2222
m150A150
2
1030
2
dD
A
:Luego
15x225x252505105x
==
×
=
×
=
==−=−=
!
!!!
:

4. 44444
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es
dividido en tres partes iguales por los puntos ( )2,2P = y ( )1,5Q = .
Solución:
( )
( )13,A
1y
2
5y
2
3x
2
x1
2
1
PQ
AP
r
:,yxAdeCálculo
1
1
1
1
11
−=







−=
+
=
=
+
=
==
=
ˆ
!
!
!
!
!
( )
( )0,8B
8y
2
y2
5
0x
2
x2
1
1
QB
PQ
r
:,yxBdeCálculo
2
2
2
2
22
=







=
+
=
=
+
=
==
=
ˆ
!
!
!!
!
La longitud del segmento MN es igual a 13; su origen está en el punto
( )23,M −= ; la proyección sobre el eje de abscisas es igual a 12− . Hallar
las coordenadas del otro extremo del segmento, si forma con el eje de
ordenadas un ángulo dado.

5. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
55555
Solución:
( ) ( )
( ) ( )79,y,xN
7y132y3x13MNSi
9x123x12ABSi
22
−−==
−==++−=
−=−=−−=
ˆ
!!
!!
!
!
Tres de los vértices de un paralelogramo son ( )1,4A −= , ( )11,B −= y
( )6,1C = . Si la ordenada del cuarto vértice es 6. ¿Cuál es su abscisa?
Solución:
( )
( ) ( ) ( ) ( )2222
1116461xBCAD
pedido.puntoel,6xDSea
++−=−++=
=
!!

6. 66666
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
( ) ( )4,6D,6xD
:Luego
6x
4x
024x2x
es:operacionEfectuando
2
1
2
==




−=
=
=−+
!
!
!
!
El punto medio de cierto segmento es el punto ( )1,2M −= y uno de sus
extremos es el punto ( )2,5N = . Hallar las coordenadas del otro extremo.
Solución:
( )
( ) ( )14,yx,P
1y
2
5y
2
2
yy
y
4x
2
2x
1
2
xx
x
pedido.puntoelyx,PSea
N
M
N
M
−−==
−=
+
=
+
=
−=
+
=−
+
=
=
ˆ
!!
!!
!
!
Los vértices de un triángulo ABC son ( )12,A −= , ( )4,7B −= y ( )8,0C = .
Calcular las coordenadas del baricentro de dicho triángulo.
Solución:
:queSabemos

7. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
77777
( ) ( )2,2yx,G
2
3
6
y
3
071
y
3
yyy
y
2
3
6
x
3
842
x
3
xxx
x
321
321
==
==
++−
=
++
=
==
+−
=
++
=
ˆ
!!
!!
!
!
¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une los puntos
( )11,A −= y ( )4,5B = en la dirección AB, para que su longitud se triplique?
Solución:
( )
AB2BP
2
1
BP
AB
:Sabemos
pedido.puntoelyx,PSea
==
=
!!

8. 88888
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
!
"
→=+−−+
++−=−+−+++−
=+
→=−−−+
++−=−+−
014y10x8yx
:soperacioneEfectuando
1y1x5y4x1514
APBPAB:También
0139y10x8yx
:soperacioneEfectuando
151425y4x
22
222222
22
2222
!
!
!
!
!
( ) ( )10,17yx,P
7y;2x
17y;10x
:yDe
22
11
==




−=−=
==
ˆ
!"

9. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
99999
Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son:
0yx16 2
=−
Solución:
( ) !→=− 0yx16:x,yE 2
1º. Intercepciones con los ejes:
( )0,0O
0y0x:YEje
0x016x0y:XEje 2
=




==
===
!
!
!!
22222Capítulo
GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN
Y LUGARES GEOMÉTRICOS

10. 1010101010
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
2º. Simetría:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Xejeelcon
sólosimétricaCurva
yx,Eyx,E:Origen
yx,Eyx,E:YEje
yx,Eyx,E:XEje






≠−−
=−
≠−
3º. Extensión:
ú∈= ∀ x;16xy:De 2
!
4º. Asíntotas:
No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales.
5º. Cuadro de valores:
....4416160y
....2121110x −−
6º. Gráfico:

11. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
1111111111
012xxy =−−
Solución:
( ) !→=−− 012xxy:yx,E
1º. Intercepciones con los ejes:
( )
Xejeelconónintercepci0x:YEje
,021A;21x0y:XEje
ò!
!
=
−=−==
2º. Simetría:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
origenelconniejeslos
connisimétricanoCurva
yx,Eyx,E:Origen
yx,Eyx,E:YEje
yx,Eyx,E:XEje






≠−−
≠−
≠−
3º. Extensión:
0x;
x
x21
y01x2xy
:De
≠
+
==−− ∀!
!
4º. Asíntotas:
2y02y;
2y
1
x
0x
x
x21
y
:De
==−
−
=
=
+
=
!
!
!
!
!
5º. Cuadro de valores:
....231253y
....2121x −−

12. 1212121212
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
6º. Gráfico:
04y4yx 23
=+−+
Solución:
( ) !→=+−+ 04y4yx:yx,E 23
1º. Intercepciones con los ejes:
( )
( )0,2B;2y0x:YEje
1.6,0A;6.1x0y:XEje
===
−=−==
!
!
2º. Simetría:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
origenelconniejeslos
connisimétricanoCurva
yx,Eyx,E:Origen
yx,Eyx,E:YEje
yx,Eyx,E:XEje






≠−−
≠−
≠−

13. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
1313131313
3º. Extensión:
0x;x2y
:De
3
≤−±= ∀
!
4º. Asíntotas:
No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales.
5º. Cuadro de valores:
....54,524101302y
....21580x
−
−−−
6º. Gráfico:

14. 1414141414
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
4x
1x
y 2
2
2
−
−
=
Solución:
( ) !→
−
−
=
4x
1x
y:yx,E 2
2
2
1º. Intercepciones con los ejes:
( )
( )210,B;21y0x:YEje
1,0A;1x0y:XEje
±=±==
±=±==
!
!
2º. Simetría:
Curva simétrica con los ejes y con el origen.
3º. Extensión:
[ ] ∞+∪−∪−∞−∈
−
−
±= ∀ 2,1,12,x
4x
1x
y
:De
2
2
!
4º. Asíntotas:
1y01y
1y
1y4
x
2x04x
4x
1x
y
:De
2
2
2
2
2
2
±==−
−
−
±=
±==−
−
−
±=
!!
!!
!
!
!
5º. Cuadro de valores:
....5241011312100y
.....2143011x
±±±±
±±±−

15. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
1515151515
6º. Gráfico:
( ) 41xy 2
=+
Solución:
( ) ( ) !→=+ 41xy:yx,E 2
1º. Intercepciones con los ejes:
( )0,4A;4y0x:YEje
Xejeelconónintercepci0y:XEje
===
=
!
! ò
2º. Simetría:
Curva simétrica sólo con el eje Y.

16. 1616161616
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
3º. Extensión:
ú∈=+
+
= ∀ x;01x
1x
4
y
:De
2
2
!
!
4º. Asíntotas:
( )XEje0y0y
y
y4
x
x01x
1x
4
y
:De
2
2
==
−
±=
∉=+
+
=
!!
!!
!
! ú
!
5º. Cuadro de valores:
....525424y
....3210x ±±±
6º. Gráfico:

17. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
1717171717
Una recta pasa por los dos puntos ( )32,A −−= y ( )4,1B = . Si un punto
de abscisa 10 pertenece a la recta. ¿Cuál es su ordenada?
Solución:
( )
( )
( ) ( )
5y
:soperacioneEfectuando
3y210
1y361636
ACBCAB:queDado
pedido.puntoely10,CSea
22
2
=
+++=
=−+++
=+
=
!
!
Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal
manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos
puntos ( )2,2A −= y ( )4,1B = es siempre igual a 12.
Solución:
( )
( ) ( )
( ) ( )
036y4x
:soperacioneefectuandoLuego,
122y2x
1y4x
:dondeDe
12APBP
:tenemosproblemadelcondiciónladeEntonces
pedido.puntoely,xPSea
2
22
2
22
22
=++
=




 ++−−
−




 −+−
=−
=
!
!
!

18. 1818181818
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
Un segmento rectilíneo de longitud 4 se mueve de tal manera que uno de
los puntos extremos permanece siempre sobre el eje X y el otro permanece
siempre sobre el eje Y. Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto
medio del segmento.
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
16yx
:soperacioneEfectuando
4y2y2x
2y2xx
4PBPA
:condiciónlaDe
22
22
22
=+
=−++
+−+−
=+
!
!
!
Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto ( )y,xP = , tal que la
distancia de P al punto ( )0,6A = es igual a la mitad de la distancia de
P al eje X.
Solución:
( )
0144y48y34x
:soperacioneefectuandoLuego,
y
2
1
6yxy
2
1
AP
:condiciónlaDe
22
22
=+−+
=−+=
!
!!

19. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
1919191919
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos ( )4,2A = y
( )7,5B −= .
Solución:
( )
( )
( ) 038y9x5:4x
9
5
2y:
9
5
45
27
mm
7,5B
2,4A
:
pendiente.suconocerpuedese
recta,ladepuntosdosconocensequeDado
buscada.rectalaSea
AB
=−+−−=−
−=
−−
−
==




−=
=
‹‹
‹
‹
‹
!"
!
ˆ
33333Capítulo
LA LÍNEA RECTA

20. 2020202020
Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA
Calcular el área del triángulo que forma la recta 012y4x3 =−− con los
ejes coordenados.
Solución:
( ) 2
u6A
2
12
2
34
A
3b
4a
1
3
y
4
x
:
:2ividiendoD
12y4x3:
:Luego
012y4x3:
==
−×
=



−=
=
=
−
+
×
=−
=−−
∆∆ !"
!
ˆ
‹
‹
‹
!
!
!
Los vértices de un triángulo son ( )0,0A = , ( )4,2B = y ( )6,2C −= . Obtener
las ecuaciones de las rectas que contienen los lados del triángulo.
Solución:
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 014y3x24x
3
2
2y
3
2
m
6,2C
2,4B
:BC
:BCdeEcuación
0y2x0x
2
1
0y
2
1
m
2,4B
0,0A
:AB
:ABdeEcuación
BC
AB
=−+−−=−
−=




−=
=
=−−−=−
−=




=
=
!"
!
!"
!
ˆ
ˆ
!
!

21. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
2121212121
( )
( )
( ) 0yx30x30y
3m
6,2B
0,0A
:AC
:ACdeEcuación
AC
=+−−=−
−=




−=
=
!"
!
ˆ
!
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por ( )38,4A = y por la
intersección de las rectas 02y4x3 =−− , 06y11x9 =−−
Solución:
( )
( )
( )
( ) 08y15x12:4x
5
4
3
8
y:
:Finalmente
5
4
432
380
mm:Dondexxmyy:
:Luego
,032B
06y11x9:
02y4x3:
rectaladepuntoUn38,4A
:
AB
11
21
2
1
=−−−=−
=
−
−
==−=−







==∩




=−−
=−−
=
‹‹
‹
‹‹
‹
‹‹
‹
!"
!
Si la recta 0cbyax =++ pasa por el punto ( )q,pP = , escribir una
ecuación en forma de:
a) pendiente y ordenada en el origen.
b) punto - pendiente.
c) simétrica.
Solución:
)
b
c
x
b
a
y0cbyax:a −−==++ !‹

22. 2222222222
Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA
) ( )
( )px
b
a
qy:
q,pP;
b
a
m:Donde;0cbyax:b
−−=−
=−==++
‹
‹ ‹
!
)
1
b
c
y
a
c
x
:
cbyax:0cbyax:c
=
−
+
−
−=+=++
‹
‹‹
!
!
Encontrar la ecuación de una recta que tiene intercepciones iguales y que
pasa por el punto ( )6,8A −=
Solución:
( )
02yx:1
2
y
2
x
:
2a1
a
6
a
8
:Luego
6,8A:Pero1
a
y
a
x
::Sea
=−+=+
==
−
+
∈−==+
‹‹
‹‹
!"
!
ˆ
Desde el punto ( )3,2M0 −= se ha dirigido hacia el eje OX un rayo de luz
con una inclinación de un ángulo α , se sabe que 3tg =α . El rayo se ha
reflejado del eje OX. Hallar las ecuaciones de las rectas en las que están
los rayos incidente y reflejado.
Solución:
( ) 09yx32x33y
3tgm:pendiente
:incidenterayodelEcuación
=+−+=−
=α=
!"!
!
d

23. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
2323232323
( )
( )
( ) 09yx33x30y
3tgº180tgm:pendiente
3,0P;3x0ySi
:reflejadorayodelEcuación
0
=+++−=−
−=α−=α−=
−=−==
!"!
!
!
Dados los puntos ( )2,2M = y ( )2,5N −= . Hallar en el eje de abscisas un
punto P de modo que en el ángulo NPˆM sea recto.
Solución:
( ) ( )1,0P;6,0P
1x
6x
06x7x
:soperacioneEfectuando
1
5x
2
2x
2
1mmNPMP
:queDado
21
2
12
NPMP
==




=
=
=+−
−=





−
⋅





−
−
−=⋅⊥
ˆ
!
!
!"

24. 2424242424
Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA
Los puntos ( )2,3A −= , ( )4,1B = y ( )5,3C −= son los vértices de un
triángulo. Demostrar que la recta que pasa por los puntos medios de los
lados AB y CD es paralelo a la base BC del triángulo.
Solución:
( )
( )






=






=
+
=
=
+
=
=






−=






−=
+
=
=
+
=
=
2
3
0,M
2
3
2
yy
y
0
2
xx
x
y,xMdeCálculo
2
1
,
2
7
M
2
1
2
yy
y
2
7
2
xx
x
y,xMdeCálculo
2
CA
2
CA
2
222
1
BA
1
BA
1
111
!!
!!
!
!

25. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
2525252525
LQQDMMBC:nteefectivameLuego
7
4
7
4
mmMMBC:queSabemos
21
21
2M1MBC
*
* −=−= !"!"
Calcular la distancia entre las rectas paralelas: 04y2x =++ y
05y4x2 =−+
Solución:
( )
( )( ) ( )( )
90.2
20
13
d
20
58
42
52402
d
:Luego
20,P2y0xPara
.rectalade,PracualesquiepuntounHallamos
05y4x2:04y2x:
:queDado
22
1
21
≈=
−−
=
+
−−+
=
−=−==
=−+∧=++
!"
!
ˆ
ˆ
‹
‹‹

26. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
2727272727
Encontrar la ecuación de la circunferencia sabiendo que sus extremos de
un diámetro son los puntos ( )3,2A −= y ( )1,4B −= .
Solución:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
036y12x122y2x:
131y1x
rkyhx:
13r
2
52
2
AB
r:Luego
1,1C
1k
1h
ABdemediopuntoeskh,C
22
222
2
=+−++
=−+−
=−+−
===
=



=
=
=
C
Cˆ
!
!!
44444Capítulo
LA CIRCUNFERENCIA

27. 2828282828
Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA
Obtener la ecuación de la circunferencia tangente a los dos ejes, radio 6,
en el segundo cuadrante.
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
036y12x12yx:
366y6x
rkyhx:
6.rradiosuy
nciacircunferelade
centroeles6,6h,kC
quededucesegráfico,Del
22
22
222
=+−++
=−++
=−+−
=
−==
C
Cˆ
Dada la ecuación de la circunferencia 07y4y3x3 22
=−++ , encontrar
el centro y el radio.
Solución:
3
5
r;
3
2
,0C
3
2
k,0h:dondeDe;
9
25
3
2
yx
3
25
3
2
y3x3
3
4
7
9
4
y
3
4
y3x3
07y4y3x3
:cuadradosoCompletand
2
2
2
2
22
22
=





−=
−===





++
=





++
+=





+++
=−++
ˆ
!
d

28. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
2929292929
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto ( )1,4C −−=
y que es tangente a la recta: 012y2x3 =−+ .
Solución:
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) 521y4x:
:doReemplazan
rkyhx:
52r
13
26
13
26
13
12212
23
121243
r
:Luego
012y2x3:aCdeDistanciar:Sea
22
222
2
22
=+++
=−+−
==
−
=
−−−
=
+
−−+−
=
=−+=
C
Cˆ
!
!
‹
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( )4,0A = ,
( )0,3B = y ( )2,2C −−= .
Solución:
( )
( )
( )
13
132
F;
13
5
E;
13
19
D:y,deLuego,
8FE2D22,2C
0FE390,3B
0FD4164,0A
0FEyDxyx:Sea 22
−==−=
→=+−−∈−−=
→=++∈=
→=++∈=
→=++++ ⊗
!"#
!
"
#
!
!
!
C
C
C
C
!
!
!

29. 3030303030
Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA
0132y5x19y13x13
0
13
132
y
13
5
x
3
19
yx:
:En
22
22
: =−+−+
=−+−+
⊗
C
Cˆ
Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 10, tangente en el eje X,
cuyo centro está sobre la recta y2x = .
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0400y20x40yx
10010y20x
rkyhx:
20,10C;20h,10hCperoy2x:
casoPrimer
22
22
22
1
2
1
11
=+−−+
=−+−
=−+−
==∈==
C
!‹‹
!

30. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
3131313131
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0400y20x40yx
10010y20x
rkyhx:
1020,C;20h10,hCperoy2x:
casoSegundo
22
22
22
2
2
2
22
=++++
=+++
=−+−
−−=−=∈−==
C
!‹‹
!
La ecuación de una circunferencia es 50yx 22
=+ . El punto medio de
una cuerda de esta circunferencia es el punto ( )4,2P −= . Hallar la ecuación
de la cuerda.
Solución:
( )
( )
010y2x:
2x
2
1
4y:
:Luego
2
1
m
1m2
1mm
:Luego
2
02
04
m:dePendiente
ncia.circunfereladecentroelyPpuntoelporpasaquerectalay
referidacuerdalaacontienequerectalaSea
2
2
2
2
21
1
21
1
1
2
=+−
+=−
=
−=⋅−
−=⋅
−=
−−
−
=
⊥
‹
‹
‹‹
‹
‹
‹
‹
‹
‹‹
‹
!
!"
!"
!"
!

31. 3232323232
Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA
Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en ( )34,4C = y
que pasa por ( )34,1Q −−= .
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
9
289
3
4
y4x:
9
289
rr
3
4
3
4
4134,1Q
r34y4x
rkyhx:
:tenemosdatos,losDe
2
2
22
2
2
222
222
=





−+−
==





−−+−−∈−−=
=−+−
=−+−
C
C
C
ˆ
!!!
Hallar el área del círculo cuya ecuación es:
0103y12x72y9x9 22
=+−++
Solución:
( )
( )
( )
22
2
2
2
2
2
22
22
22
u5A5rA
5r:Donde5
3
2
y4x
45
3
2
y94x9
4144103
9
4
y
3
4
y916x8x9
103y12x72y9x9:
cuadradosocompletandynteindependietérminoelDespejando
0103y12x72y9x9:
:nciacircunfereladeecuaciónlaTenemos
π=×π=π=
==





−++
=





−++
++−=





+−+++
−=−++
=+−++
!"
!
ˆ
C
C

32. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
3333333333
Por una traslación de ejes, transformar la ecuación:
0133y4x42y2x3 22
=+−−−
en otra que carezca de términos de primer grado.
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
12y2x3
1yy
7xx
:Siendo
121y27x3
21471331y2y249x14x3
0133y4x42y2x3
:cuadradosoCompletand
22
22
22
22
=−



+=
−=
=+−−
−+−=++−+−
=+−−−
NN
N
N
!
55555Capítulo
TRANSFORMACIÓN
DE COORDENADAS

33. 3434343434
Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Simplificar la ecuación:
055y36x48y36x72 22
=−+−+
por una traslación de los ejes coordenados.
Solución:
( )







=+
+=
−=
=





++





−
=





++





−
++=+++





+−
=−+−+
2yx2
2
1
yy
3
1
xx
:Siendo
2
2
1
y
3
1
x2
72
2
1
y36
3
1
x72
98551yy36
9
1
x
3
2
x27
055y36x48y36x72
:cuadradosoCompletand
22
22
22
22
22
NN
N
N
!
Por una traslación de ejes, simplificar la ecuación:
03y4x8y2x 22
=−++−
Solución:
( ) ( )
( ) ( )



=−
−=
−=
=−−−
−+=+−−+−
17y2x
1yy
4xx
:Siendo
171y24x
21631y2y216x8x
:tieneseexpresión,laencuadradosoCompletand
22
22
22
NN
N
N
!

34. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
3535353535
Por medio de una traslación de ejes, eliminar los términos de primer grado
de la ecuación: 04yxxy2 =+−−
Solución:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
07yx404
2
1
2
1
2
1
2
1
2yx2
enLuego
2
1
kh
01h2
01k2
:dondeDe
04khhk2y1h2x1k2yx2
4kyhxhk2yk2xk2yx2
kyhxkyhx2
:en
kyy
hxx
04yxyx2
:
=+=+−−











+
==



=−
=−
→=+−−+−+−+
+−−−−+++
+−+−++
→



+=
+=
→=+−−
NNNN
NNNN
NNNNNN
NNNN
N
N
!
!
!
!
!
"#
#
"
Por una rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación:
0x25y9xy24x16 22
=+++
en otra que carezca del término en xy.
Solución:
#
"
→




θ+θ=
θ−θ=
→=+++
cosysenxy
senycosxx
:Luego
0x25y9xy24x16 22
NN
NN

35. 3636363636
Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
( )
( )
( )
⊗→=θ−θ+
+θθ+θ−θθ−θ+
+θ+θθ−θ+
+θ+θθ+θ
0seny25cosx25
yxcossen18sen24cossen32cos24
ycos9cossen24sen16
xsen9cossen24cos16
:enAhora
22
222
222
NN
NN
N
N
"#
( )
7
24
2tg02tg724
:2cosDividiendo
02sen72cos24
0cossen272cos24
0cossen14sencos24
0cossen14sen24cos24
0cossen18sen24cossen32cos24
.yextérminoeleliminarparaLuego
22
22
22
=θ=θ−
θ×
=θ−θ
=θθ×−θ
=θθ−θ−θ
=θθ−θ−θ
=θθ+θ−θθ−θ
!!
!
NN
5
4
cos
25
16
2
25
7
1
2
2cos1
cos
5
3
sen
25
9
2
25
7
1
2
2cos1
sen
:Además
25
7
2cos
:figuraladeLuego
=θ=
+
=
θ+
=θ
=θ=
−
=
θ−
=θ
=θ
!
!
!
!
!

36. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
3737373737
( ) ( )
0y3x4x5
0y15x20x25
0y
5
3
25x
5
4
25y
5
4
3
5
3
4x
5
3
3
5
4
4
0seny25cosx25ycos3sen4xsen3cos4
En
2
2
22
2
222
:
=−+
=−+
=⋅−⋅+





⋅+⋅+





⋅+⋅
=θ−θ+θ+θ+θ+θ
⊗
NNN
NNN
NNNN
NNNN
!
!
Simplificar la ecuación:
013y2x10yxy10x 22
=++−+−
por transformación de coordenadas.
Solución:
( ) ( )
⊗→=++−−+
+−++−−++
=+++−−
−+++−−−−++




→
+=
+=
→=++−+−
013k2h10hk10k
yh10k22x10k10h2yx
013k2y2h10x10
kky2yhk10yh10xk10yx10hhx2x
:en
kyy
hxx
:Luego
013y2x10yxy10x
2
22
2222
22
NNNN
NN
NNNNNNNN
N
N
"#
#
"
1k;0h
0h10k22
010k10h2
quecumplirsedebe;yextérminosloseliminarPara
−==




=−+
=−−
!
NN

37. 3838383838
Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
02cos0sencos
0sencos10
0sen10cos10
:yxtérminoeleliminarparaAhora
......012yxsen10cos10
ycossen101xcossen101
012yxsen10cos10cossen2cossen2
ycossen10cossen
xcossen10sencos
012cosseny10senyx10cosyx10
cossenx10cosycossenyx2
senxsenycossenyx2cosx
:en
......
cosysenxy
senycosxx
:Pero
......012yx10yx
01321yx10yx
:En
22
22
22
22
22
22
222
222
22
222
222222
22
22
=θ=θ−θ
=θ−θ−
=θ+θ−
=+θ+θ−+
+θθ++θθ−
=+θ+θ−θθ−θθ+
+θθ+θ+θ
+θθ−θ+θ
=+θθ+θ+θ−
−θθ+−θ+θθ+
+θ+θ+θθ−θ




θ+θ=
θ−θ=
=+−+
=+−+−+
⊕
⊗
!!
!
!
!
!
!
NNNN
NNNN
NNNN
NNNN
NN
NN
NNNNNNNNNN
NNNNNNNN
NNNNNNNNNN
NNNNN
NNNNN
NNNN
NNNN
!$
$
!
Ahora para eliminar el término x´´y´´:

38. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
3939393939
( ) ( )
06y3x2
:2Dividiendo
012y6x4
012y51x51
012y
2
2
2
2
101x
2
2
2
2
101
:endoReemplazan
2
2
2
1
2
2cos1
cos
2
2
2
1
2
2cos1
sen
:Además
22
22
22
22
=−−
×
=++−
=+++−
=+







⋅⋅++







⋅⋅−
==
θ+
=θ
==
θ−
=θ
⊕
NNNN
NNNN
NNNN
NNNN
!
!
!
!
Un punto P se mueve de tal modo que la diferencia de sus distancias a los
dos puntos ( )1,4A = y ( )2,1B −= es siempre igual a 3. Hallar la
ecuación del lugar geométrico y simplificarla por transformación de
coordenadas.
Solución:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 31y2x4y1x
3PBAP
:condiciónlaDe
mueve.sequepuntoelyx,PSea
2222
=−++−−+−
=−
=
!

39. 4040404040
Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
( ) ( )
09yx8
019101010yx8
019
2
5
2
1
8
2
5
4
2
1
10yx8
:en
2
1
k;
2
5
h
0h84
0k820
:yextérminosloseliminarparaAhora
019kh8k4h20yx8yh84xk820
:Luego
kyy
hxx
:Pero
09yx8y4x20
:tienesesoperacioneEfectuando
=−−
=++−−−
=+











−−





−





−+−
−==




=+
=−
→=+−−+−+−−
→




+=
+=
→=+−−
NN
NN
NN
NN
NNNN
N
N
!
!
!!
!
!
!
!#
!
#
"

40. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
4141414141
66666Capítulo
LA PARÁBOLA
Obtener la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuya directriz
es 2y = .
Solución:
y8x:
:En
2p
py4x:
:tienesegráfico,Del
2
2
−=
=
→−=
!
!
!

41. 4242424242
Capítulo 6. LA PARÁBOLA
Hallar la ecuación de la parábola cuya directriz es la recta 6x −= y su
foco es ( )0,0F = .
Solución:
( ) ( )
( )
( )
36x12y:
3x12y:
:En
3FVpy3,0V:Como
hxp4ky:
:gráficoDel
2
2
2
+=
+=
==−=
→−=−
!
!
!
Calcular el radio focal del punto M de la parábola x20y2
= si la abscisa
del punto M es igual a 7.
Solución:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
12144FM
570140FM
:tantoloPor
1407,M
140y720y
:En
y7,M
5,0F:dondede
5p204p:De
x20y:
22
1
2
1
1
2
==
−+−=
±=
±==
∈=
=
==
→=
!
!!
!
!
!
!

42. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
4343434343
Dada la ecuación de la parábola 7x2y8x2
=−+ . Hallar el vértice, eje,
foco y directriz. Trazar la curva.
Solución:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3y:directrizladeEcuación
1x:ejedelEcuación
11,pkh,F:focodelscoordenadalasAhora,
2p84p:teSeguidamen
1,1kh,V:parábolaladevérticedelscoordenadalasLuego,
1y81x:8y81x:
17y81x2x:7x2y8x:
cuadradosoCompletand
7x2y8x:
22
22
2
=
=
−=+=
−=−=
==
−−=−+−=−
++−=+−=−+
=−+
!
!
!
!
!

43. 4444444444
Capítulo 6. LA PARÁBOLA
Encontrar la ecuación de la parábola, cuyo vértice es el punto ( )3,2V = y
el foco es ( ),24F = .
Solución:
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
16x4y4y:
3x42y
3x142y:
:envaloreslosdoReemplazan
1VFp
:focoelyvérticeelconocesequeDado
hxp4ky:
2
2
2
2
−+=
−=−
−=−
==
→−=−
!
!
!
Obtener la ecuación de la parábola con foco en ( )2,3F = y cuya ecuación
de la directriz es 6x −= .
Solución:
( )
( ) ( )
023y6x16y:
:soperacioneEfectuando
6x3y2x
definicióna
PdeDistanciaFP
:gráficoDel
2
22
=−−−
+=−+−
=
‹
!
!
!

44. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
4545454545
Determinar la longitud del segmento determinado por la ecuación x4y2
= ,
con la recta de ecuación 3y2x −= .
Solución:
( )
( )
( ) ( ) 94,854PP16642619PP
:Luego
:gráficasdoslasdeónintersecciPyP
9,6P
1,2P
puntoslosobtenemosyDe
3y2x:
x4y:
:Tenemos
21
22
21
21
2
1
2
≈=+=−+−=




=
=




→−=
→=
!"
"!
"
!
‹

45. 4646464646
Capítulo 6. LA PARÁBOLA
Determinar la ecuación de una circunferencia que tiene por diámetro la
cuerda normal de la parábola, cuya ecuación es x16y2
= .
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
048x8yx:
64y4x:
:tantoloPor
4,0CFC
nciacircunfereladecentroCSiendo
64r8FPFPr
8,4P
8,4P
:yDe
4x:NC
rectoladonormalcuerdalaLuego,
4,0p,khF:Tambien
0,0kh,Vvérticeelquededucese
x16y:
22
22
2
21
2
1
2
=−−+
=+−
==
====




−=
=
→=
=+=
==
→=
C
C
!"!
!"
!
!
!
"!
"
!
Una recta que pasa por el foco de una parábola con el vértice en el origen
y con el eje horizontal, corta a la directriz en el punto ( )8,3A −= . Calcular
las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola y la recta.
Solución:
( ) ( )0,0k,hVvérticesuy
px4y: 2
==
→= !!
é

46. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
4747474747
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )12,12P
3,43P
012y3x4:
x12y:
:P:yDe
012y3x4:3x
3
4
y
3xm0y:
3
4
mm
3,0k,phF
3,8A
:
x12y::en
3p:Además
2
1
2
2
AF
−=
=




=−+
=
→=−+−−=
−=−
−==




=+=
−=
→=
→=
!"
!"
!
‹
‹
‹
‹
‹
‹
#$
#
$!"
"
!

47. 4848484848
Capítulo 6. LA PARÁBOLA
Las dos torres de suspensión de un puente colgante distan entre sí 300 m.
y se extienden 80 m por encima de la calzada. Si el cable (que tiene la
forma de una parábola) es tangente a la calzada en el centro del puente,
determinar la altura del cable por encima de la pista a 50 m y también a
100 m del centro del puente. (Asumir que la pista es horizontal).
Solución:
( )
( )
( )
( ) .m55,35
9
320
yy
4
1575
100y,100P
.m88,8
9
80
yy
4
1575
50y,50P
:Luego
y
4
1575
x::En
4
1575
p480p4150
.150,80P
py4x:queobservasegráfico,Del
22
2
22
11
2
11
2
2
2
≈=
×
=∈=
≈=
×
=∈=
×
=
×
==
∈=
→=
!!
!!
!"!
!
!
!
!
!

48. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
4949494949
77777Capítulo
LA ELIPSE
Hallar la ecuación de la elipse cuya longitud de la cuerda normal (lado
recto) es 5 vértices ( )10,0± .
Solución:
1
25
y
100
x
::entantoloPor
100a10a
25b5
a
b2
CN
:enunciadodelLuego
1
b
y
a
x
::Sabemos
22
2
2
2
2
2
2
2
=+
==
===
→=+
õ
õ
!
!
!
!"
!
!

49. 5050505050
Capítulo 7. LA ELIPSE
Hallar la ecuación de la elipse, cuyo eje es coincidente con 1x = , ( )1,5C = ,
( )1,8F = ; suma de las distancias focales de un punto de la elipse es 12.
Solución:
( ) ( )
( ) ( ) 1
36
5y
27
1x
::tantoloPor
27b27936bcab:Sabemos
9c3CFc:Luego
36a6a12a2:Pero
1
a
ky
b
hx
::deducimosenunciadoDel
22
22222
2
2
2
2
2
2
=
−
+
−
==−=−=
===
===
=
−
+
−
õ
õ
!"!"
!"
!"!"

50. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5151515151
Reducir la ecuación 021y16x6y4x 22
=++−+ a la forma ordinaria de
la ecuación de una elipse y determinar las coordenadas del centro, vértices
y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, y la cuerda normal; y la
excentricidad.
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1
1
3
a
c
e:dadExcentrici
1
2
12
a
2b
NC:NormalCuerda
2122b:menorEje4222a:mayorEje
3c3cc14cba
1b1b2a4a
:También
2,1V
2,5V
2,23ka,hV
:deobtienenseelipseladevérticeslosLuego
2,3kh,C:tenemosecuaciónlaDe
1
1
2y
4
3x
:
42y43x
169214y4y49x6x
:yexparacuadradosoCompletand
021y16x6y4x
2
222222
22
2
1
22
22
22
22
<==
=
×
==
=×==×=
±==+=+=
±==±==




−=
−=
−±=±=
−==
=
+
+
−
=++−
++−=++++−
=++−+
!
!
!!
!
!!
!!!
!!
!!
õ

51. 5252525252
Capítulo 7. LA ELIPSE
Por el foco de la elipse 115y25x 22
=+ se ha trazado una perpendicular
a su eje mayor. Determinar las distancias de los puntos de intersección de
esta perpendicular con la elipse hasta los focos.
Solución:
( ) ( )
"
!
→=
±=±=
±=−±=−=−=
→=+
10x:esfocoprimerelentrazada
larperpendiculadeecuaciónLa
,010Fc,0F
:sonelipseladefocoslosLuego,
101525cbaccab:Sabemos
1
15
y
25
x
:
:elipseladeecuaciónlaTenemos
222222
22
!!
!!
! õ

52. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5353535353
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 7301010CF
3301010CF
:tantoloPor
3,10yx,C:aquíDe
3y9y1
15
y
25
9
:yDe
22
2
22
1
2
2
=−+−−=
=−+−=
==
±===+
!
!
!!"!
Búsquese la ecuación de la elipse que tenga como centro ( )2,4C −= y
sea tangente a los dos ejes de coordenadas.
Solución:
( ) ( )
( ) ( ) 1
16
4y
4
2x
:
4b2b
YejealCdeDistancia:b
16a4a
XejealCdeDistancia:a
:casoestePara
1
a
ky
b
hx
::Sea
22
2
2
2
2
2
2
=
−
+
+
==
==
=
−
+
−
õ
õ
!
!!
!!
!
!

53. 5454545454
Capítulo 7. LA ELIPSE
Hallar la ecuación canónica de la elipse, si uno de los vértices está en
( )5,0V1 = y pasa por el punto ( )2,3P = .
Solución:
( )
( )
75y7x3:1
775
y
25
x
:
:tantoloPor
7
75
b1
b
3
25
4
2,3P:Como
1
b
y
25
x
::Luego
25a5a5,0V:queDado
1
b
y
a
x
:
22
22
2
2
2
22
2
1
2
2
2
2
=+=+
==+∈=
=+
===
=+
õõ
õ
õ
õ
!
!!
!!
!
La base de un auditorio es de forma elíptica, tiene 20 m. de longitud y 16 m
de ancho. Si cae una aguja sobre un foco el ruido que produce se escucha
claramente cerca del otro foco. ¿A qué distancia está un foco del otro
foco?
Solución:
12c22F1F:tantoloPor
6c36ccab:dondeDe
64b8b
100a10a
:enunciadodeldatoslosSegún
2222
2
2
==
±==−=
==
==
!!
!
!
!
!
Según los datos del enunciado:
Por lo tanto:

54. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5555555555
Usando la definición de elipse, obtener la ecuación de la elipse con focos
en ( )3,4F −= y ( )5,4F2 = eje mayor 12.
Solución:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
031y72x10y9x5:
:soperacioneEfectuando
124y5x4y3x
:dondeDe
12a2PFPF
:quetieneseelipse,dedefiniciónlaPor
mueve.sequepuntoelyx,PSea
22
2222
21
=+++−
=−+−−−++
==−
=
õ
!
!

55. 5656565656
Capítulo 7. LA ELIPSE
Demostrar que para todo elipse que tenga su centro en el origen, la distancia
de cualquiera de los extremos del eje menor a cualquiera de los focos es la
mitad de la longitud del eje mayor.
Solución:
aaFB:tantoloPor
bca:quedefiniciónporsabemospero,
bcFB:figuraladeLuego,
a
2
a2
2
VV
FB
:queProbar
origen.elenvérticeconelipsela1
b
y
a
x
:Sea
2
11
222
22
11
21
11
2
2
2
2
==
+=
+=
===
=+
!
õ

56. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5757575757
Un punto se mueve de tal modo que la suma de las distancias de los
puntos ( )2,0A −= y ( )2,6B −= es 8. Hallar la ecuación del lugar
geométrico de P .
Solución:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 1
16
3y
7
2x
:
015y42x64y7x16:
:tieneses,operacioneEfectuando
86y2xy2x
:dondeDe
8BPAP
:problemadelcondiciónlaPor
mueve.sequepuntoelyx,PSea
22
22
2222
=
−
+
+
∴
=+−++
=−+++++
=+
=
õ
õ
La órbita que describe la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente una
elipse, con el Sol en uno de los focos. Si el eje mayor de la órbita elíptica
es de .km000300 y la excentricidad es de 017,0 aproximadamente.
Hallar la distancia máxima y mínima de la Tierra al Sol.
Solución:
5502c0001500,017a0,017c0,017
a
c
e
:elipseladedadexcentriciladeaproximadovalorDel
000150a0003002a
:quetenemosgráfico,elsegúnydatoslosDe
=×=×===
==
!!
!
!
!
Por la condición del problema:

57. 5858585858
Capítulo 7. LA ELIPSE
450147ca5502000150ca:Minimo
550152ca5502000150ca:Máximo
:Luego
=−−=−
=++=+
!
!
!
!
´

58. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5959595959
88888Capítulo
LA HIPÉRBOLA
Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto ( )2,3A = , tiene
su centro en el origen, su eje transverso está sobre el eje Y, y una de sus
asíntotas es la recta 0x7y2 =− .
Solución:
( )( )
( )
1
78
x
2
y
:8x7y4::En
8kk28362,3A:Pero
kx7y4:kx7y2x7y2:
:Luego
0x7y2:0x7y2:Si
.hipérbolaladeasíntotasySean
22
22
22
21
21
=−=−
==−∈=
→=−=+−
=+=−
HH
H
HH
H
!
!!
!
!
!
!!
‹‹
‹‹

59. 6060606060
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
Hallar la ecuación de la hipérbola, con vértices en ( )70,V ±= y 34e = .
Solución:
( ) ( )
343y79x:
1
9343
x
49
y
::tantoloPor
9
343
b49
9
784
acb:Luego
9
784
ca
3
4
c
3
4
a
c
e:Además
7aa0,70,V:Si
1
b
x
a
y
::deducesedatoslosDe
22
22
2222
2
2
2
2
2
=−
=−
=−=−=
=×===
±=±=±=
=−
H
H
H
!
!!
!
Dada la ecuación de la hipérbola 4y4x 22
=− , hallar las coordenadas de
los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la
excentricidad y la longitud de la cuerda normal (lado recto).
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
2
5
e
a
c
e:dadExcentrici
,05c,0F:Focos
2,0a,0V:Vértices
5c514bac
1b1b2a4a
:dondeDe
1
1
y
4
x
:4y4x::Sabemos
222
22
22
22
==
±=±=
±=±=
±==+=+=
±==±==
=−=−
!
!
!!
!
!
!!
HH

60. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6161616161
2b2:ConjugadoEje
4a2:TransversoEje
1
2
12
a
2b
CN:NormalCuerda
2
=
=
=
×
==
Encontrar la ecuación de la hipérbola de focos ( )1,1F1 −= y ( ),15F2 =
y un vértice en ( )0,1V = .
Solución:

61. 6262626262
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 1
5
1y
4
2x
:
1
b
ky
a
hx
::tantoloPor
5bb49bac
4a2CVa
:Ahora
2,1C
1k
2h
kh,C
9c3c6c2FF:Sabemos
22
2
2
2
2
22222
2
2
21
=
−
−
−
=
−
−
−
=+=+=
===
=



=
=
=
====
H
H
!!
!
!!
!!
!
!
!
Determinar la ecuación de la hipérbola, sabiendo que sus focos son los
puntos ( )3,4F1 = y ( )23,F2 −= y su excentricidad es igual a 2.
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 1
427
3x
49
1y
:
1
b
hx
a
ky
::tantoloPor
4
27
b
4
9
9acb:queSabemos
4
9
a
2
3
a2
a
c
e:Además
3CFCFc:Luego
,13C
1k
3h
kh,C
22
2
2
2
2
2222
2
21
=
−
−
−
=
−
−
−
=−=−=
====
===
=



=
=
=
H
H
!
!!
!!!

62. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6363636363
Hallar la ecuación de la hipérbola, cuyos focos están en los vértices de la
elipse: 164y100x 22
=+ . Y las directrices pasan por los focos de esta
elipse.
Solución:
( ) ( )
100c10c
elipse.laenadevalordelpartira
hipérbolalaencdevalorelobtenemosproblema,delcondiciónPor
1
b
y
a
x
::hipérbolalaEn
6,0c,0F:dondeDe
6c3664100baccab
8b64b10a100a
1
64
y
100
x
::elipselaEn
2
2
2
2
2
222222
22
22
=±=
=−
±=±=
±==−=−=−=
±==±==
=+
!
!!
!!
!
!
!!
H
õ

63. 6464646464
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
1
100
y
60
x
:
1
b
y
a
x
::tantoloPor
40b60100bcab:Seguido
60a:enLuego
elipse.laen
obtenidovalorunescdonde;cx:problemadelcondiciónPor
10
a
c
a
ac
a
x
e
a
x:hipérbolaladedirectrizladeecuaciónLa
22
2
2
2
2
22222
2
22
=−
=−
=−=−=
=
=
→±==±=
±=
H
H
!!
!
!
!

64. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6565656565
Dada la ecuación de la hipérbola: ( ) 1128y164x 22
=−− , encontrar las
coordenadas del centro, vértices y focos; la excentricidad; las ecuaciones
de las directrices y asíntotas; y la longitud de la cuerda normal (lado recto).
Solución:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )[ ] ( )[ ]
( )
( )




=−−
=+−
=−−⋅+−
=−−−



=
=
±=±=




−=
=
±=±=




=
=
±=±=
±==+=+=
±==±==
==
→=−
−
0y4x22:
0y4x22:
0y4x22y4x22
k128y4x8
:en;asíntotaslasdeEcuaciones
38x
316x
3
4
4
e
a
hx
:sdirectricelasdeEcuaciones
0,8F
0,16F
,0124c,khF:Focos
0,0V
0,8V
4,04a,khV:Vértice
12c14412816bac
28b128b4a16a
:Además
4,0kh,Cquededucese
1
128
y
16
4x
:Si
2
1
2
2
1
2
1
222
22
22
‹
‹
!
!
!
!
!
!
!!
!
!
!
!!
H
s:

65. 6666666666
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
6464
4
1282
a
2b
CN:NormalCuerda
2
==
×
==

66. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6767676767
Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos ( )2,3A −= y
( )7,6B = , tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el
eje X.
Solución:
( )
( )
16y5x4:
1
516
y
4
x
::Luego
516b;4a:yDe
1
b
36
a
49
:6,7B
1
b
4
a
9
:23,A
1
b
y
a
x
:
22
22
22
22
22
2
2
2
2
=−∴
=−
==
→=−∈=
→=−∈−=
=−
H
H
H
H
H
"!
"
!
!
!
!
!
Un observador estacionado en el punto P oye el estampido de un rifle y el
golpe de la bala sobre el objetivo en el mismo instante. Demostrar que el
lugar geométrico de P es una hipérbola.
Solución:
v
e
ttve:Además
sonidodelVelocidad:V
balaladeVelocidad:V
:Sean
s
b
=⋅= !
!
!

67. 6868686868
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
!→+=
sbs V
BP
V
BR
V
RP
:problemadelcondiciónPor
( )
LQQD
hipérboladeDefinición
kBPRP
k
V
BR
VBPRP
V
BR
V
BP
V
RP
:De
b
s
bss
=−
=×=−
=−
!
!
!
!

68. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6969696969
99999Capítulo
CURVAS PLANAS
DE GRADO SUPERIOR
Trazar la curva potencial, cuya ecuación es: 32
xy = .
Solución:
...1.58.210y
...3210x
:valoresdeCuadro
0x;xxyxyxy 332
±±±
≥±=±== ∀!!!

69. 7070707070
Capítulo 9. CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR
Trazar la curva logarítmica, cuya ecuación es: xlogy 10=
Solución:
...21147.0301.00y
...1.0100941x
:valoresdeCuadro
0x;xlogy 10
−
>= ∀!

70. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
7171717171
Trazar la curva exponencial, cuya ecuación es: 1x
e4y −
=
Solución:
...5.08.1044.1y
...1210x
:valoresdeCuadro
x;e4y 1x
−
∈= ∀−
ú!

71. 7272727272
Capítulo 9. CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR
Trazar la curva, cuya ecuación es: 





=
3
x
cosy .
Solución:
12186.002186.01y
32522320x
:valoresdeCuadro
−−−
ππππππ
La ley de Boyle - Mariotte establece que a una temperatura constante de
presión p y el volumen v de un gas satisfacen la ecuación cvp =⋅ , para
algún número real fijo c. Un cierto gas por debajo de una presión de 20
libras por pulgada cuadrada tiene un volumen de 300 pulgadas cúbicas.
Hallar c de la ecuación: cvp =⋅
Solución:
0p;
p
6000
v6000vp
:Luego
6000c30020ccvp
≠∀==⋅
=×==⋅
!
!!
!
!

72. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
7373737373
...1600016000y
...6000160001x
:valoresdeCuadro
−−
−−

73. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
7575757575
1010101010Capítulo
PROBLEMAS
SUPLEMENTARIOS
¿Para qué valor de h estará el punto ( )3h,P −= en la recta determinada
por ( )1,1A −= y ( )4,7B = ?
4
1
:Rpta.
Demostrar que el triángulo cuyos vértices son ( )10,5A = , ( )3,2B = y
( )5,6C −= es rectángulo. Hallar el área.
2
u29:Rpta.
Si ( )5,12A = es el punto medio del segmento BC y ( )37,B −−= .
¿Cuáles son las coordenadas de C ?
( )17,27C =:Rpta.
Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son:
)
) ( ) x104xyb
04x2yxa
2
222
=+
=−+

74. 7676767676
Capítulo 10. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distancia de
( )6,0A −= es dos veces su distancia de ( )6,0B = . Trazar la curva.
036x20yx 22
=+−+:Rpta.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( )5,3P = y su X-interceptor
es 10.
030y5x3 =−−:Rpta.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )7,4P1 = y forma un
ángulo de 120º con la parte positiva del eje X.
0374yx3 =−−+:Rpta.
Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de intersección
de las rectas 04y2x =−+ y 02yx4 =−− , tal que forman con el
primer cuadrante un triángulo de área 2
u25 .
030y2x9,010yx2 =−+=−+:Rpta.
Los puntos ( )2,3X −= , ( )4,1Y = y ( )5,3Z −= son los vértices de un
triángulo. Hallar la ecuación de la recta perpendicular al lado XZ que pasa
por Y .
017y7x6 =−−:Rpta.
Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a ambos ejes, y su centro
está en el cuarto cuadrante.
( ) ( )
34
1
1y4x 22
=++−:Rpta.

75. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
7777777777
La ecuación de la circunferencia es 28x10yx 22
=−+ . Hallar la ecuación
de la recta tangente a la circunferencia en el punto ( )3,7A = .
043y7x2 =+−:Rpta.
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por las intersecciones de
las circunferencias: 01yx2yx 22
=−+++ y 04y2x2yx 22
=−+++
y por el punto ( )0,3P −= .
03yx10y3x3 22
=++++:Rpta.
Por una traslación de ejes, simplificar la ecuación:
01y7x3yx2 22
=−−++
115y8x16 22
=+ NN:Rpta.
La parábola xp2y2
= tiene un extremo de la cuerda focal en el punto
( )8,8A = . Hallar las coordenadas del otro extremo.






−2,
2
1
:Rpta.
Un cable suspendido se carga de tal manera que toma la forma de una
parábola. Los extremos tienen una separación de 400 pies y tienen una
altura de 100 pies del centro. Hallar la altura del cable a 50 pies desde el
centro.
pies25.6:Rpta.

76. 7878787878
Capítulo 10. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Hallar la ecuación de la elipse con focos en ( )0,7F1 = y ( )120,F2 = , un
vértice en ( )160,V = .
( ) 1
4169
219y
36
x 22
=
−
+:Rpta.
Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje menor sobre el
eje Y, 54e = , cuerda normal (lado recto) 518 .
1
2
y
6
x 22
=+:Rpta.
Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, eje principal
(real) sobre el eje X; pasa por los puntos ( )3,1S = y ( )5,9T = .
1
2
y
6
x 22
=−:Rpta.
Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en ( )1,8C −= , con vértice en
( ),83V1 = , 3e = .
( ) ( ) 1
128
8y
16
1x 22
=
−
−
+
:Rpta.
Trazar la curva, cuya ecuación es: 22
exy ⋅=