1. ESTUDIO ESTADÍSTICO SOBRE
LOTERÍA DE NAVIDAD
LOTERÍA DEL NIÑO
LOTERÍA DEL JUEVES
IES A Xunqueira I Clase de Métodos Estadísticos y Numéricos. José M. Ramos
2. En la clase de Métodos Estadísticos y Numéricos, hemos realizado un estudio
estadístico acerca del juego de la Lotería Nacional, centrándonos en tres sorteos: La
Lotería de Navidad, La Lotería del Niño y la Lotería ordinaria del Jueves.
Partimos de que en las tres vamos a jugar un décimo de un número comprendido
entre el 00000 y 99999, ambos inclusive, con lo que los casos posibles, a la hora de
extraer un número cualquiera, es 100000.
El espacio muestral es equipobrable, es decir que la probabilidad de que salga un
número es igual para los 100000, es decir 10-5
, por lo que todas las probabilidades
calculadas se realizan aplicando la regla de Laplace.
De la información obtenida de la página oficial de la Sociedad Loterías y Apuestas
del Estado hemos obtenido la distribución de premios de cada una de las Loterías
estudiadas.
Partiendo de estos datos, definimos la variable aleatoria discreta X (cantidad
premiada a un décimo, expresada en euros).
El recorrido de esta variable aleatoria va a depender de los premios de las Loterías
estudiadas, que no son los mismos en los tres casos.
Así, por ejemplo, en la lotería de Navidad, el recorrido de la variable viene
determinado por los valores que figuran en la 4ª columna de la tabla expresada a
continuación, bajo el epígrafe cantidad (x). Una vez definida la variable aleatoria
discreta, procedemos a averiguar su función de masa de probabilidad que viene
determinada por la columna 3ª de la tabla, bajo el epígrafe Probab (p). Así pues, por
ejemplo, la probabilidad de que no nos toque nada (x = 0), jugando un décimo, viene
dado por f(0) = 0,84696. La probabilidad de que nos toque nuestro décimo en la pedrea
es de 1794 casos favorables entre los 100000 posibles, es decir 0,01794.
Las columnas de las tablas que expresan los datos son, por este orden, las
siguientes:
1ª Premios.- Expresa la denominación del premio. (Premios)
2º Números.- Indica el número de premios con la denominación expresada en la
columna lº (El gordo es un solo número; hay ocho números para lograr el quinto
premio; los números ganadores a las centenas del gordo son 99; la pedrea son los 1794
números que cantan los niños en el sorteo con la coletilla “1000 euros”, etc.) (Números)
3ª La probabilidad de que se tenga el décimo que proporcione el premio expresado
en la columna 1ª. (Probab (p))
4º La cantidad ganada por el jugador por décimo. (Si fuese por billete, habría que
multiplicar por 10 ese valor). (cantidad (x))
5ª Obtención de los productos de los valores de la columna 3ª por la columna 4ª al
objeto de averiguar la Esperanza matemática de la variable “cantidad premiada a un
décimo”. (p.x)
6ª Probabilidad acumulada. (F.distrib)
7º Obtención de los valores conducentes a averiguar la varianza de la variable
“cantidad premiada a un décimo”. (p(x-esp)2
)
8º Ejemplo que ilustra el formato de los premios expresados en la columna 1º con
un supuesto. (Ejemplo)
Los datos que figuran debajo de la tabla son: El total de números premiados, la
probabilidad de que el décimo jugado sea premiado, La esperanza del juego, la varianza,
el valor del décimo y la desviación típica.
Estudiemos ahora las tablas de forma individual:
3. De esta tabla se desprende lo siguiente:
La probabilidad de que toque algún premio (desde el Gordo hasta el reintegro) al
décimo que jugamos, es 0,15304, es decir un 15,3%. Esto implica que la probabilidad
de que no nos toque nada en nuestro décimo es de 0,84696, casi un 85%. Ahora bien, si
no consideramos el reintegro como una ganancia, este porcentaje asciende a un 94,7%
La esperanza del juego es de 14 €. Esto quiere decir que, a priori, vamos a perder 6 €
por décimo comprado ya que este último vale 20 €. La Lotería no es un juego que
beneficie al jugador sino que siempre va a beneficiar al organizador (en este caso el
Estado) que va a obtener un beneficio teórico de 6 € por cada décimo vendido. En otras
palabras, el Estado se queda con el 30% de lo que se juega, destinando el 70% restante a
premios.
Como los premios están muy dispersos en cuanto a su cantidad (desde 20 euros a
400000) la desviación típica es alta, pese a que la mayoría se concentren en los 20 y 100
€.
CONCLUSIÓN: Es un juego que enfrenta un 94,7% de fracaso (perder 20 €) contra un
5,3% de éxito (ganar al menos 80 € limpios porque el menor premio con beneficios para
el jugador es de 100 €).
.
4. De esta tabla se desprende lo siguiente:
La probabilidad de que toque algún premio (desde el Primero hasta el reintegro) al
décimo que jugamos, es 0,3792, es decir un 37,9 %. Esto implica que la probabilidad de
que no nos toque nada en nuestro décimo es de 0,6208, un 62%.
La probabilidad de ganar es un poco más del doble que en la Lotería de Navidad. Ahora
bien, si no consideramos el reintegro como una ganancia, el porcentaje de perder
aumenta a 92%, porque esta lotería tiene 3 reintegros (la última cifra del primer premio,
y dos reintegros añadidos especiales). Aun así es dos puntos, casi tres, inferior a la
Lotería de Navidad.
La esperanza del juego es de 14 €. Exactamente igual que en La Lotería de Navidad. La
dispersión de los premios es inferior a la de la Lotería de Navidad (680,33 €, frente a
1338,89 € de desviación típica). Esto último se debe también a que los premios altos son
inferiores, por lo que el rango de la distribución se reduce y por tanto la dispersión es
menor.
CONCLUSIÓN: Es un juego que enfrenta un 92% de fracaso (perder 20 €) contra un
8 % de éxito (ganar al menos 20 € limpios, porque el menor premio con beneficios para
el jugador es de 40 €).
Entre ambos juegos se produce una compensación en el sentido de lo que pierde la
Lotería de Navidad en probabilidad de ganar, lo gana en cuanto sus premios grandes son
mayores que en la Lotería del Niño, y en consecuencia más atractivos.
5. La primera gran diferencia con respecto a las dos anteriores es que esta se celebra todo
el año, lo que le hace ser un sorteo con premios más pequeños, puesto que su décimo
solamente cuesta 3 euros.
La probabilidad de que toque algún premio (desde el Primero hasta el reintegro) al
décimo que jugamos, es 0,4105, es decir un 41 %, lo que la hace más “fácil”. Esto
implica que la probabilidad de que no nos toque nada en nuestro décimo es de un 59 %.
Ahora bien, si no consideramos el reintegro como una ganancia, el porcentaje de perder
aumenta a 88.9 %, porque esta lotería tiene 3 reintegros (la última cifra del primer
premio, y dos reintegros añadidos especiales). Inferior en 4 y 2 puntos respectivamente
a la Lotería de Navidad y del Niño.
La esperanza del juego es de 2,1 €, que supone el 70% exacto de lo jugado (3 € por
décimo), siguiendo la misma proporción que en las otras dos Loterías. La dispersión de
los premios es inferior a las otras dos Loterías, tal y como se desprende del valor de la
desviación típica, como resultado de acortarse el margen entre los premios menores y
mayores.
CONCLUSIÓN: Es un juego que enfrenta un 88,9 % de fracaso (perder 3 €) contra un
9,1 % de éxito (ganar al menos 3 € limpios, porque el menor premio con beneficios para
el jugador es de 6 €).
A continuación vemos algunos gráficos relacionados con lo expuesto:
6. En el gráfico anterior se observa que la lotería de Navidad reparte premios más
cuantiosos que la del Niño y muy superiores a los de la Lotería de los jueves.
Sin embargo en el gráfico siguiente se destaca que la Lotería del Jueves reparte más
números premiados, pese a su menor cuantía, Le sigue el Niño y por último la de
Navidad.
7. Gráficos de la probabilidad de que toque algo, incluido el reintegro. Como se puede ver,
la mejor a efectos de probabilidad (no de cantidad en los premios) es la del Jueves, con
3 puntos porcentuales de diferencia sobre la Lotería del Niño y 16 puntos porcentuales
sobre la de Navidad.
El gráfico que sigue muestra la probabilidad de Ganar/Perder; es decir que no se
incluyen los reintegros. La diferencia porcentual entre la del Jueves y el Niño se
mantiene, pero disminuye mucho en relación a la de Navidad.
Esto quiere decir que la Lotería del Jueves es “más atractiva” porque nos ofrece una
mayor posibilidad de recuperar lo jugado, es decir el reintegro, pero ese hecho no
provoca ganancia alguna. En el momento que los reintegros no se consideren premios,
si bien sigue siendo más probable ganar en la lotería del Jueves, las diferencias se
acortan sustanciosamente. Lo mismo ocurre entre la lotería del Niño y la de Navidad.
Este último hecho también puede desprenderse de los dos gráficos de sectores circulares
que se muestran a continuación con la proporción del número de premios que se
obtienen en las tres loterías a estudio.
