Ejercicios de calculo diferencial

Ejercicios resueltos de cálculo diferencial. 2º Bachillerato
José M. Ramos González. Dpto. Matemáticas I.E.S. A Xunqueira I. Pontevedra
1
1) A la vista de la gráfica de la función f(x), ¿cuál es el valor de los límites
siguientes:
→ ; → ; → ; → ; → ;
→ ; → ; → ; → ;
→ ; → ; → ; → ; → ;
→ ; → ; →
lim → f x = 3; lim → f x = −∞; lim → f x no existe; lim → # f x =
1; limx→−2+fx=1; limx→−2fx=1;limx→0−fx=+∞; limx→0+fx=4;
limx→0fx=no existe; limx→2−fx=3; limx→2+fx=3; limx→2fx=3;limx→4−fx=0;
limx→4+fx=+∞; limx→4fx=no existe; limx→+∞fx=−∞; limx→−∞fx=0
2) A la vista de la gráfica de la función f(x), cuál es el valor de los siguientes
límites:
→) ; →) ; →) ; → * ; → * ;
→ * ; →* ; →* ; →* ;
→ + ; → + ; → + ; →, ; →, ;
→, ; → ; →
lim →- f x = 0; lim →- f x = 0; lim →- f x = 0;
lim → . f x = 0; lim → . f x = −2;
lim → . f x = no;lim →. f x 1; lim →. f x = 1; lim →. f x = 1;
lim → / f x = −∞; lim → / f x = +∞; lim → / f x = no;lim →0 f x =
+∞; limx→6+fx=+∞; limx→6fx=+∞; limx→+∞fx=2; limx→−∞fx=+∞

2
3) Dada la función = 2
−) − − 3 ≤ −*
− * 3 − * < 6 < 2
− , + 7 3 ≥
9 Representarla y
calcular los límites → ; → ; → ;
→ * ; → * ; → *
lim →# f x = 1; lim →# f x = 1; lim →# f x =
1; lim → . f x = 0; lim → . f x = −2;
lim → . f x = no existe
4) Calcular los siguientes límites:
aaaa →
) )
*
bbbb →
cccc →
) *
dddd → ) **
eeee →
>
)
ffff →
>
+ )
gggg →
) + *
)
hhhh →
) , *
, )
iiii →
) , ,
) *
jjjj → B −
*
C
kkkk → B . ) C
llll → * B
*
:
*
*
C
mmmm → B
)
:
)
) C
nnnn → B
)
.
*
)
C
oooo → B
) )
*
−
) *
C
pppp → B
*
)
.
>
)
C
qqqq →)
√ *
)
rrrr →>
√ )
7
ssss →)
, 7
* √
tttt → K√ − + + , − L
uuuu → K − √ − ) L
vvvv → B
)
*
C
*
wwww → B
)
)
C
)
xxxx → B
*
C
*
yyyy → B
*
C
)
zzzz → B
*
C
*
)
a) lim → #
R -
.
= 14
b) lim →S
#
T = ∞
c) lim → #
T - .S
# T #
=
-
#

3
d) lim →#
U # R #
R T .. #
= lim →#
# R .
# T 0 .
=
V
.W
e) lim →
W
# T -
= 0
f) lim →
# T W
/ T -
=
#
/
g) lim →
R / T .
- T #
= ∞
h) lim →
R 0 T .
0 R T #
=
#
-
i) lim →
R 0 T 0
# U R .
= 0
j) lim →S B
#
−
# .
T
C = lim →S
T -
T .
= ∞
k) lim →# B
#
.
T
R
C = lim →# B
#
.
# #
R
C = lim →#
#
T
= 1
l) lim → . B
#
.
:
T .
T .
C=lim → .
# T .
. T .
= lim → .
# .
T .
= − 1
m) lim → B
-
T #
:
# -
R #
C=lim →
- T T #
T # T
=lim →
- T
T #
= 3
n) lim → B
R # T
.
.
T -
C=lim →
U R # T
R -
=∞
o) lim → B
R -
T .
−
- T .
C=lim →
# U / T .
R
= −∞
p) lim → B
T .
- #
.
W #
T -
C = lim →
#X R X T W #
- R # T V 0
=
#X
-
q) lim →-
√ . #
-
= lim →-
√ . # √ . #
- √ . #
= lim →-
-
- √ . #
=
.
r) lim →W
# √ -
T V
=lim →W
K# √ -L # √ -
W W # √ -
=lim →W
W
W W # √ -
=
.
/0
s) lim →-
T 0 V
. √ #
=lim →-
- T . Y #
K. √ #L . Y #
= lim →-
- T . Y #
-
= 0
t) lim → K√x# − 5x + 6 − 2xL=
lim →
K√ T / 0 # LK√ T / 0 # L
K√ T / 0 # L
=lim →
K - T / 0L
K√ T / 0 # L
= −∞
u) lim → Kx − √x# − 3xL=lim →
K √ T - LK √ T - L
K √ T - L
= lim →
T
K √ T - L
= −∞
v) lim → B
- T #
T .
C
T[T
[T
=3#
= 9
w) lim → B
T -
- T #
C
- #
=B
.
-
C =0
x) lim → B
T #
.
C
U[
[
= ∞ = ∞
y) lim → B
#
.
C
# -
= lim → ^_1 +
.
[
R
`
[
R
a
R T[ R
[
=e 0
z) lim → B
T #
T .
C
T[T
R[
= lim → ^_1 +
.
[T
T[
`
[T
T[
a
T[T
R[
.
T[
[T
=e
T
R

4
5) Dada la función = b
+ + ) 3 < −1
,
+
3 − * ≤ ≤
3 > 4
9 Estudiar si es
continua en x = -1 y en x = 4. Representarla.
Continuidad en x = -1: f(-1) = -2. limd→ . e 6 = 0 y limd→ . e 6 = −2. No es
continua en x = -1, presentando una discontinuidad de salto finito igual a 2.
Continuidad en x = 4: f(4) = 2. limd→ e 6 = 2 y limd→ e 6 = 2. La función es
continua en x = 4.
6) Dada la función = 2
+ > 3 ≤ −
) − 3 – < < 3
) − 7 3 ≥ )
9 Estudiar si es continua en
x = -2 y en x = 3. Representarla.
Continuidad en x = -2: f(-2) = 3. limd→ # e 6 = 3
y limd→ # e 6 = −10. No es continua en x = -2,
presentando una discontinuidad de salto finito igual a
13.
Continuidad en x = 3: f(3) = 0. limd→- e 6 = 0 y
limd→- e 6 = 0. La función es continua en x = 3.
7) La función =
*
) *
no está definida para x = 1. ¿Cuál debe ser el valor de
f(1) para que la función completada con este valor sea continua para x = 1?.
e 1 = limd→.
dT .
dR .
= limd→.
d . d .
d . dT d .
=
#
W

5
8) Calcular el valor de k para que las siguientes funciones sean continuas en el
punto x = 1.
a) = g
h 3 = *
*
*
3 ≠ *
9 b) = j
+ * 3 ≤ *
) − h 3 * < 6
9 c) = g
3 = *
h
*
3 ≠ *
9
a) K = limd→.
dT .
d .
= limd→.
d . d .
d .
= 2
b) f(1) = 2. limd→. e 6 = 2 y limd→. e 6 = 3 − k. k = 1
c) limd→.
d l
−*
= 2; No existe ningún valor de k que haga continua la función en
x=1.
9) Dada la función = | |
calcula su dominio, dibuja su gráfica y razona si se puede
asignar un valor a f(0) para que la función sea continua en ℝ
Su dominio es ℝ − o0p. Es
discontinua en 0, con
discontinuidad de salto 2. No es
posible asignar un valor a f(0) para
hacerla continua puesto que no se
trata de una discontinuidad
evitable.
10) Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
q = 2
− ) 3 < 1
− + ) 3 * ≤ ≤ 2
− + , 3 > 2
9 b) = g
+
3 < 1
) − * 3 ≥ *
9
r = g
− ) 3 ≤ *
+
3 > 1
9 d) = s
3 < 0
3 ≤ < 3
)
+
3 ≥ )
9
t = b )
3 ≤
*
)
3 > 2
9 f) = g
*
*
3 ≤
ru3 3 > 0
9
a) En primer lugar estudiamos los dominios de las expresiones intervinientes en la
función: En este caso el dominio de las tres es ℝ, por lo que nos limitamos al estudio de
los puntos donde los dominios particulares presentan saltos, es decir en x = 1 y en x = 2.
Para x = 1: f(1) = 0; limd→. e 6 = −1 y limd→. e 6 = 0. La función no es
continua en x = 1.
Para x = 2: f(2) = -1; limd→# e 6 = −1 y limd→# e 6 = 2. La función no es
continua en x = 2. La función es continua en ℝ − o1,2p
b) En primer lugar estudiamos los dominios de las expresiones intervinientes en la
función: En este caso el dominio de la primera es ℝ − o1, −2p. Como es que en esta
expresión, el valor x= -2 forma parte de su dominio particular, la función f(x) no es
continua en -2 pues f(-2) no existe. El dominio de la segunda expresión es ℝ . A
continuación estudiemos los puntos donde los dominios particulares presentan saltos, es
decir en x = 1.
Para x = 1: f(1) = 2; limd→.
+ −+
+ −
= 4/3 y limd→. e 6 = 2. La función no es
continua en x = 1. La función es continua en ℝ − o−2,1p

6
c) En primer lugar estudiamos los dominios de las expresiones intervinientes en la
función: En este caso el dominio de la primera es ℝ. El dominio de la segunda
expresión es ℝ − o1,4p Como es que en esta expresión, el valor x= 4 forma parte de su
dominio particular, la función f(x) no es continua en 4 pues f(4) no existe. A
decir en x = 1.
Para x = 1: f(1) = -1; limd→. = −1 y limd→.
+ −
−+ +
= −1. La función es
continua en x = 1. La función es continua en ℝ − o4p
d) En primer lugar estudiamos los dominios de las expresiones intervinientes en la
función: En este caso el dominio de la primera es ℝ − o−2p. El dominio de la segunda
expresión es ℝ y el de la tercera es ℝ − o5p. Tanto en la primera como la tercera
expresión el -2 y el 5 entran en sus dominios parciales respectivamente, por lo
que f(-2) y f(5) no existen. La función no es continua en -2 ni en 5.. A
decir en x = 0 y x = 3
Para x = 0: f(0) = 2; limd→S = 2 y limd→S = 2. La función es
continua en x = 0. Para x = 3: f(3) = -9/2. limd→- = 2 y limd→- =
−9/2. La función no es continua en x = 3. La función es continua en ℝ−−2,3,5
e) En primer lugar estudiamos los dominios de las expresiones intervinientes en la
función: En este caso el dominio de la primera es ℝ − o1,2p. El 1 y 2 forman parte de
su dominio de definición, por lo que f(1) y f(2) no existen. El dominio de la segunda
expresión es ℝ − o1,3p. El 3 forma parte de su dominio de definición por lo que
f(3) no existe. La función no es continua ni en 1, ni en 2, ni en 3. A continuación
estudiemos los puntos donde los dominios particulares presentan saltos, es decir en x =
2
Para x = 2: f(2) no está definida. La función es continua en ℝ − o1,2,3p
f) En primer lugar estudiamos los dominios de las expresiones intervinientes en la
función: En este caso el dominio de la primera es ℝ − o−1,1p. -1 forma parte de su
dominio de definición, por lo que f(-1) no existe. El dominio de la segunda expresión es
ℝ. La función no es continua en -1. A continuación estudiemos los puntos donde los
dominios particulares presentan saltos, es decir en x = 0
Para x = 0: f(0) = 1. limd→S e 6 = 1 y limd→S e 6 = 1. Es continua en x =0. La
función es continua en ℝ − o−1p
11) Calcula los valores de a y b para que las siguientes funciones sean continuas en ℝ
q = 2
− * 3 < 2
q + * 3 ≤ < 5
+ x 3 ≥ +
9 b) = b
− 3ty 3 ≤ −z/
q3ty + x 3 −
z
< < {/2
ru3 3 ≥ z/
9
a) Solo hay que ver la continuidad en x = 2 y x = 5.
Continuidad en x = 2. f(2) = 2a+1; limd→# e 6 = 1 y limd→# e 6 = 2| + 1.
2a+1=1; a = 0. Continuidad en x =5. f(5) = 5+b; limd→/ e 6 = 5| + 1 y
limd→/ e 6 = 5 + }. 5a+1=5+b; como a = 0, b = -4
a) Solo hay que ver la continuidad en x = −
z
y x =
z
.

7
Continuidad en x = −
z
. f(−
z
) = 2; limd→#−
z e 6 = 2 y limd→−
z e 6 = } − |.
b – a = 2. Continuidad en x =
z
. f(
z
) = 0; limd→
z e 6 = | + } y
limd→−
z e 6 = 0. b + a = 0; de donde b = 1 y a = -1.
12) Estudiar la continuidad de las funciones:
a) ~ = •
*
7
b) ~ = Y ) − + − + + c) ~ = y B
+
C
a) Es continua en su dominio. Veamos el dominio:
dT .
dT V
≥ 0 Se anula para 1, -1 y no está definida para 3 y -3. En ℝ, el signo del cociente
es:
La función es continua en su
dominio que es:
(-∞, -3) ∪[-1,1] ∪(3, +∞).
b) Es continua en su dominio que son los valores de x tales que )
− + − + + ≥
Se anula para 1, -1 y 5. Su signo es:
La función es continua en su dominio que es: [-1,1] ∪ [5, +∞
c) Es continua en el dominio. Veamos el dominio:
d /
dT > 0 Se anula para -5 y no está definida para 2 y -2. En ℝ, el signo del cociente es :
La función es continua en su dominio que es: (-5, -2) ∪(2, +∞).
13) Se puede asegurar que la función y = x3
-3sen x + 4 toma el valor cero en algún punto
del intervalo [-2,2]? Razona la respuesta indicando el teorema utilizado
La función es continua en [-2,2], f(-2) <0, f(2) >0. Por el teorema de Bolzano, existe un punto
c en (-2,2) de modo que la función se anula.
14) ¿Se puede afirmar que la función f(x) = x3
+ x2
-7x +1 corta al eje de abscisas en al
menos un punto del intervalo (-1,0)? ¿Y del (0,1)?
Aplicando el Teorema de Bolzano:
f es continua en [-1,0] y f(-1) = 8 y f(0) = 1 que no tienen signo distinto, por tanto el teorema
no decide y no podemos afirmar la existencia de tal punto.
f es continua en [0,1] y f(0) = 1 y f(1) = -4 que tienen signo distinto, por lo tanto existe al
menos un punto xo en (0,1) tal que f(xo) = 0, es decir que corta al eje X.
15) Demostrar que existe un punto x del intervalo (0, π) tal que cos x = x. Razona la
respuesta.

8
Por el teorema de Bolzano aplicado a la función cos x – x. tenemos que es continua en [0, π].
Además f(0) = 1 y f(π) = -1 – { que tienen distinto signo. Por tanto existe xo en (0, π) / sen xo –
xo = 0; de donde sen xo = xo
16) Se considera la ecuación x3
+λx2
-2x = 1. Utilizando el teorema de Bolzano se pide:
a) Demostrar que si λ >2 la ecuación tiene una solución menor que 1.
b) Demostrar que si 0< λ <2 la ecuación tiene una solución mayor que 1.
a) Consideramos la función f(x) = x3
+λx2
-2x -1. Es continua en [0,1] y f(0) = -1 y f(1) = λ-2.
Si λ-2>0, es decir si si λ >2, por el teorema de Bolzano, existe un valor c en (0,1), es decir
menor que 1, que es cero de la función f(x) = x3
+λx2
-2x -1 o lo que es lo mismo, es una
solución menor que 1 de la ecuación x3
+λx2
-2x = 1.
b) Consideramos la función f(x) = x3
+λx2
-2x -1. Es continua en [1,2] y f(2) = 3+4 λ y f(1) =
λ-2. Si 0< λ <2, f(2)>0 y f(1)<0, por el teorema de Bolzano, existe un valor c en (1,2), es
decir mayor que 1, que es cero de la función f(x) = x3
+λx2
-2x -1 o lo que es lo mismo, es
una solución mayor que 1 de la ecuación x3
+λx2
-2x = 1.
17) Calcula, utilizando la definición, la derivada de las funciones en los puntos que se
indican:
a) f(x) = 3x – x2
para xo = 3, -1 b) =
*
) *
xo = 0,2 c) = √ + * xo =
1,4
a) f’(3)=lim‚→S
ƒ - ‚ ƒ -
‚
= lim‚→S
- - ‚ - ‚ T S
‚
= lim‚→S
-‚ ‚T
‚
=lim‚→S
‚ - ‚
‚
=-3
f’(-1)=lim‚→S
ƒ . ‚ ƒ .
‚
= lim‚→S
- . ‚ . ‚ T
‚
= lim‚→S
/‚ ‚T
‚
=lim‚→S
‚ / ‚
‚
=5
b) f’(0)=lim‚→S
ƒ S ‚ ƒ S
‚
= lim‚→S
T„
R„
.
‚
= lim‚→S
‚
‚ -‚ .
= -1
f’(2)=lim‚→S
ƒ # ‚ ƒ #
‚
= lim‚→S
T T „
R T „
…
†
‚
= lim‚→S
‚
W‚ -‚ W
= -1/49
c) f’(1)=lim‚→S
ƒ . ‚ ƒ .
‚
= lim‚→S
Y# . ‚ . √-
‚
=
lim‚→S
√- #‚ √- √- #‚ √-
‚ √- #‚ √-
=lim‚→S
#‚
‚ √- #‚ √-
=
.
√-
f’(4)=lim‚→S
ƒ ‚ ƒ
‚
= lim‚→S
Y# ‚ . -
‚
=
lim‚→S
Y# ‚ . - Y# ‚ . -
‚ Y# ‚ . -
=lim‚→S
#‚
‚ Y# ‚ . -
=
.
-
18) Para las funciones siguientes, estudia su derivabilidad en los puntos que se indican:
a) = g
−* − 3 ≤ *
3 > 1
9 en x = 1 b) = 2
3 ≤ −
√ + ) 3 > −2
9 en x=-2
a) Continuidad en x = 1: f(1) = -3; limd→. e 6 = −3 y limd→. e 6 = −3.
Continua en x =1.

9
Derivabilidad en x = 1: e‡
1 = −46 dˆ. = −4; : e‡
1 = B
d # T
C
dˆ.
= −4. Por
tanto f es derivable en x = 1.
b) Continuidad en x = -2: f(-2) = 1; limd→ # e 6 = 1 y limd→ # e 6 = 1.
Continua en x =-2.
Derivabilidad en x = -2: e‡
−2 = B
dT d
# d T
C
dˆ #
=
-
; : e‡
−2 = B
.
#√d -
C
dˆ #
=
1/2. Por tanto f no es derivable en x = -2.
19) Calcula la ecuación de las rectas tangente y normal a las gráficas de:
a) La función f(x) = x2
– 3x en los puntos de abscisa x = 1, x = -2
b) La función f(x) =
*
en el punto de abscisa x = 0.
a) En x=1: f’ (x) = 2x – 3. f(1) = -2 f’(1) = -1; tag: y +2 = -1(x-1) nor: y +2 = 1(x-1)
En x=-2: f’ (x) = 2x – 3. f(-2) = 10 f’(-2) = -7; tag: y -10 = -7(x+2) nor: y -10 =
.
W
(x+2)
b) f’ (x) =
.
d . T
. f(0) = 0 f’(0) = -1; tag: y = -x nor: y = x
20) Estudia la continuidad y la derivabilidad de las funciones siguientes :
a) e = 2
+ + 3 < −2
− 3 − ≤ ≤ 3
− + 3 > 3
9 b) = 2
− 3 ≤ −*
− ) 3 − * < ≤ 2
− 3 > 2
9
a) Continuidad en x = -2: f(-2) = -2; limd→ # e 6 = −2 y limd→ # e 6 =
−2. La función es continua en x = -2. Derivabilidad en x = -2: e−′−2=
26 + 4 dˆ # = 0; : e‡
−2 = 0 dˆ # = 0. Por tanto f es derivable en x = -
2. Continuidad en x = 3: f(3) = -2; limd→- e 6 = −2 y limd→- e 6 = −2.
La función es continua en x = 3. Derivabilidad en x = 3: e‡
3 = −2 dˆ- =
−2; : e‡
3 = 1 dˆ- = 1. Por tanto f no es derivable en x = 3.
b) Continuidad en x = -1: f(-1) = 4; limd→ . e 6 = 4 y limd→ . e 6 = 4. La
función es continua en x = -1. Derivabilidad en x = -1: e‡
−1 = −2 dˆ . =
−2; : e‡
−1 = 26 − 3 dˆ . = −5. Por tanto f no es derivable en x = -1.
Continuidad en x = 2: f(2) = -2; limd→# e 6 = −2 y limd→# e 6 = −2. La
función es continua en x = 2. Derivabilidad en x = 2: e‡
2 = 26 − 3 dˆ# =
1; : e‡
2 = 1 dˆ# = 1. Por tanto f es derivable en x = 2.
21) Calcula, usando la definición, la función derivada de las funciones siguientes:
a) = − ) b) = c) = √ − )
a) e‡
6 = lim‚→S
ƒ d ‚ ƒ d
‚
=
lim‚→S
d ‚ T - d ‚ )
‚
= lim‚→S
‚ #d - ‚
‚
= 26 − 3

10
b) e‡
6 = lim‚→S
ƒ d ‚ ƒ d
‚
= lim‚→S
Š „ T
Š „
Š T
Š
‚
= lim‚→S
#‚
‚d d ‚
=
#
dT
c) e‡
6 = lim‚→S
ƒ d ‚ ƒ d
‚
=
lim‚→S
Y# d ‚ - √#d -
‚
=
limℎ→0 26+ℎ−3−26−3 26+ℎ−3+26−3 ℎ 26+ℎ−3+26−3 =limℎ→02ℎ
ℎ 26+ℎ−3+26−3 = 2226−3 =126−3
22) Dada la función f(x) = − ) calcular, utilizando la definición, el valor de
f’’(2), f’’(1) y f’’(x) y comprobar que los resultandos son iguales:
En el apartado a) del ejercicio anterior calculamos f’(x) = 2x -3.
e‡
′ 6 = lim
‚→S
e′ 6 + ℎ − e′ 6
ℎ
= lim
‚→S
2 6 + ℎ − 3 − + )
ℎ
= lim
‚→S
2ℎ
ℎ
= 2
Por tanto, como f’’(x) no depende de x, f’’(2) = f’’(1) = 2.
23) Representar las funciones f, f’ y f’’, siendo = Œ 3 < 0
− 3 ≥
9
24) Calcula, usando las reglas de la derivación, la derivada de las funciones
siguientes:
1 • = 36 − 56-
+ 1 •‡
= 126-
− 156#
2 • =
36
5
−
56-
3
−
36#
14
+
7
3
•′ =
126-
5
− 56-
−
36
7
3
• = √6
R
+√2
R
•‡
=
1
3√6#R

11
4 • =
2
3
√6 +
3
2
√6 −
4
3
√2
U •‡
=
.
-√d
+
-
√d
=
/
0√d
5
• = 6-
− 36 + 2 6
+ 36#
•‡
= 36#
− 3 6 + 36#
+ 6-
− 36 + 2 46-
+ 66
6 • = K6 + √6L 6 − √6
R
) •‡
= B1 +
.
#√d
C 6 − √6
R
)+ K6 + √6L B1 −
.
-√dT
C
7 • =
6
6# + 1 •‡
=
1 − 6#
6# + 1 #
8 • =
1 + 6-
1 − 6-
•‡
=
36#
1 − 6-
+ 36#
1 + 6-
1 − 6- #
=
66#
1 − 6- #
9 • =
2
26- − 36# •‡
=
126 1 − 6
26- − 36# #
=
12 1 − 6
6- 26 − 3 #
10 • =
1 − 6-
√{
•‡
=
−36#
√{
11 • =
36#
− 26
5
+
5
36# − 26
•‡
=
0d #
/
+
/ 0d #
-dT #d T
12 • = 26 − 6# .S
•‡
= 10 26 − 6# V
. 2 − 26
13 • = 3√6 − 6#
+ 5 0
•‡
= 6 3√6 − 6#
+ 5 /
.B
-
#√d
− 26C
14 • = K36-
− 2√6
R
L
/
•‡
= 5K36-
− 2√6
R
L 96#
−
2
3√6#R
15 • = Y36# − 26 •‡
=
36 − 1
√36# − 26
16 • = •36 −
2
3
R
6-
•‡
=
.#dR #dT
- •B-dU T
R
dRC
TR
=
# 0d .
- •B-d
T
R
C
TR
17
• = 36#
-5√6# + 3
R
•‡
= 66 −
106
3Y 6# + 3 #R
18 • = _
1 + 6#
1 + 6
`
/
•‡
= 5 _
1 + 6#
1 + 6
` .
6#
+ 26 − 1
1 + 6 #

12
19 • = •
1 − 6#
1 + 6#
R •‡
=
1
3••
1 − 6#
1 + 6#‘
#R
.
−46
1 + 6# #
20 • = 6#
− 56 0
√36 + 1 •‡ = 3 6# − 56 / ’2 26 − 5 √36 + 1 +
6#
− 56
2√36 + 1
“
21 • =
1 + 6 #
√1 + 6
•‡
=
3
2
• 1 + 6
22 • =
”•– 6
6
+
6
cos 6
•‡
=
6—˜”6 − ”•–6
6#
+
—˜”6 − 6”•–6
—˜”#6
23 • =
6 − ”•–6
1 + ™š6 •‡
=
1 − —˜”6 1 + ™š6 − 6 − ”•–6 ”•—#
6
1 + ™š6 #
24 • =
1
3
™š 6 •‡
=
4
3
™š-
6 1 + ™š#
6
25 • =
6
—˜”#6
− ™š-
6 •‡
=
—˜”#
6 + 6”•–26
—˜” 6
− 3™š#
6. ”•—#
6
26 • = ”•– 26#
− 36 •‡
= 46 − 3 —˜” 26#
− 36
27 • = 3—˜” •
36 − 2
√6
‘ •‡
=
−96 − 6
26√6
”•– •
36 − 2
√6
‘.
28 • = ™š 6#
. √6) •‡
=
/dT
#√d
. ”•—#
6#
. √6)
29
• = Y™š 36 − 2
•‡
=
3”•—#
36 − 2
2Y™š 36 − 2
30 • = —˜”-
26#
− 6 •‡
= 3 46 − 1 —˜”#
26#
− 6 K−”•– 26#
− 6 L
31 • = ”•–-
_
6#
6 − 3
` •‡
= 3
6#
− 6
6 − 3 #
”•–#
_
6#
6 − 3
` —˜” _
6#
6 − 3
`
32 • = B6 − ”•–K√6LC
-
•‡
=3B6 − ”•–K√6LC
#
1 −
›œ•√d
#√d
33 • =
”•– 6-
− 36
—˜”-6
•‡
=
36#
− 3 —˜” 6-
− 36 —˜”6 + 3”•–6”•– 6-
− 36
—˜” 6
34 • = 6-
. log- 6 •‡
= 36#
log- 6 + 6#
. log- •
35
• = ž–-
6
•‡
=
3
6
ž–-
6

13
36 • = 6-
Ÿ–6 •‡
= 6#
3ž–6 + 1
37 • =
log# 6
6- − 36# •‡
=
6#
− 36 log# •
6- − 36# #
38 • =
26#
− 36
ž–#6
•‡
=
46 − 3 ž–6 − 2. 26 − 3
ž–-6
39 • =
1 − ž–6
1 + ž–6 •‡
=
−1
6
1 + ln 6 −
1
6
1 − ln 6
1 + ž–6 #
=
−2
6 1 + ž–6 #
40 • = ”•–#
6. ž–-
6 •‡
= ”•–26. ž–-
6 + 3ž–#
6. ”•–#
6. 1/6
41 • = log/ 6-
− 36#
•‡
=
-dT 0d
dR -dT
log/ • =
-d 0
dT -d
log/ •
42
• = ln 6-
− 46
•‡
=
36#
− 4
6- − 46
43 • = ln ”•– 6 •‡
= —˜™š 6
44 • = log# •
1
6
•‡
=
− log# •
26-
45 • = ž– ”•–6 •‡
= 4ž–-
”•–6 . —˜™š 6.
46 • = 2d
•‡
= 2d
. ž–2
47 • =
6
4d •‡
=
4d
− 64d
ž–4
4#d
=
1 − 6ž–4
4d
48 • = 6. 10d
•‡
= 10d
+ 610d
. ž–10 = 10d
1 + ž–10d
49 • = •d
. cos 6 •‡
= •d
. —˜”6 + •d
. ”•–6 = •d
—˜”6 + ”•– 6
50 • = 6-
− 3d
•‡
= 36#
− 3d
. ž–3
51 • = Y6# + •d
•‡
=
26 + •d
2√6# + •d
52 • = •#dR 0dT
•‡
= 66#
− 126 •#dR 0dT
53 • = 10dT -d
•‡
= 26 − 3 10dT -d
. ž–10
54
• = •√d .
•‡
=
•√d .
2√6 + 1
55 • = ”•–#
6 + 2d -
•‡
= 1 + 2d -
. ž–2 ”•–2 6 + 2d -

14
56 • = 3d. ¡d
•‡
= 3d. ¡d
. ž–3. ™š6 + sec#
6
57 • = 5¢£¤T d
•‡
= −5¢£¤T d
. ž–5. ”•–26
58 • = 2-Š
•‡
= 2-Š
ž–2. 3d
ž–3
59 • = •d¥¦√d
•‡
= ž–√6+
1
2
•d¥¦√d
60 • = cos-
6-
. 3d y‡
= −3cos#
x-
. 3 sen x-
. 3 . 3x#
. 3 + 3 ln3. x-
61
• = 6. |§— ”•– 6 y‡
= arc sen x +
x
√1 − x#
62
• = arccos#
6
•‡
= −2|§——˜”6.
1
√1 − 6#
63 • = |§—™š •
2
6
‘ •‡
=
.
.
U
ŠT
.
#
dT
=
#
dT
64 • = |§—™šY6# − 1 •‡
=
1
6#
.
1
2√6# − 1
. 26 =
1
6√6# − 1
65 • =
1
2
|§—”•–Y6# + 26 •‡
=
6 + 1
2√6# + 26 √1 − 6# − 26
66
• = ln |§—”•– 26
•‡
=
1
|§—”•– 26
.
2
√1 − 46#
67 • = |§—™š[lnK√6 + √3L] •‡
=
.
. ©ªTK√d √-L
.
.
√d √-
.
.
#√d
68 • = ln |§—™šY1 + 6#
•‡
=
1
|§—™š√1 + 6#
.
1
2 + 6#
.
6
√1 + 6#
69 • = |§—”•–#
ln 5 + 6-
•‡
= 2arcsen ln 5 + 6-
.
.
Y. ©ªT / dR
.
-dT
/ dR
25) Calcula la derivada de las funciones definidas implícitamente siguientes:
1) )
− )~ + ~ =
*
2) +
~
7
= * 3) √ + Y~ = √>
4) + ~
= ~ 5) ~ = * + . t~
6) . ~ + ~
. − =
1) 66#
− 6•. •‡
+ • + 6•‡
= 0; •‡
6 − 6• = −• − 66#
; •‡
=
« 0dT
0« d
2)
d
#
+
#«.«‡
V
= 0 ; •‡
=
Vd
«
3)
.
#√d
+
.
#√«
y’ = 0; •‡
= √«
√d

15
4) 2d
ž–2 + 2«
ž–2. •‡
= 2d «
. ž–2 1 + •‡
; •‡
=
#Š ¬ #Š
#¬ #Š ¬
5) •‡
= •«
+ •«
. •‡
. 6; •‡
=
-¬
. d-¬
6) 2d
ž–2. •#
+ 2d
. 2•. •‡
+ 2«
ž–2. •‡
. 6#
+ 2«
. 26 = 0; •‡
=
#¬#d #Š¥¦#.«T
#Š#« #¬¥¦#.dT
26) Halla el valor de la derivada de la función en elpunto que se indica:
a) − ~ + ~ = ) en el punto (2,1) b) ~)
− )~ + = en elpunto (1,2)
a) 2x – y – x.y’ + 2yy’ = 0 : •‡
2• − 6 = • − 26 ; •‡
=
« #d
#« d
y’(2,1) no
existe.
b) 3•#
•‡
− 3•‡
+ 2 = 0 ; •‡
3•#
− 3 = −2; •‡
=
#
- -«T y’(1,2) = -2/9
27) Halla la ecuación de la recta tangente a la fráfica de la función en el lpunto
que se indica:
a) )
+ ~)
− ) ~ = ® en el punto (0,2) b) y . ~ − t + t~
= en el
punto (1,1)
a) 36#
+ 3•#
•‡
− 3• − 36•‡
= 0. Sustituyendo por (0,2): 27 y’ – 6 = 0 ; y’ =
2/9. La recta tangente es y – 2 = 2/9 x
b)
« d«‡
d.«
− •d
+ •«
. •‡
= 0. Sustituyendo en (1,1) : 1 + y’ – e + e y’ = 0; y’ =
- .
- .
. La recta tangentes es y – 1 =
- .
- .
6 − 1
28) Calcula la derivada de las funciones potenciales-exponenciales siguientes
utilizando la derivación logarítmica:
a) ~ = x ~ = 3ty ru3
r ~ = y ¯ ~ = 3ty
t ~ = √ f)
~ = + * 3ty
a) ž–• = 6#
ln 6;
«°
«
= 26ž–6 − 6; •‡
= 6dT
26ž–6 − 6
b) ž–• = —˜”6. ln ”•–6 ;
«°
«
= −”•–6. ln ”•–6 + —˜™š6; •‡
=
”•–6 ›œ•d
(−”•–6. ln ”•–6 + —˜™š6
c) ž–• = 6. ln 6 ;
«°
«
= lnx + 1; •‡
= ž–6 d
ž–6 + 1
d) ž–• = ”•–6. ž–6;
«°
«
= —˜”6. ž–6 +
•-¦d
d
; •‡
= 6•-¦d
—˜”6. ž–6 +
•-¦d
d
)
e) ž–• = √6ž–26;
«°
«
=
.
#√d
ž–26 +
√d
d
; y’ = 26√d .
#√d
ž–26 +
√d
d

16
f) ž–• = ”•–6ž– 6 + 1 ;
«°
«
= —˜”6ž– 6 + 1 +
•-¦d
d .
;
•‡
= 6 + 1 •-¦d
(—˜”6ž– 6 + 1 +
•-¦d
d .
29) Derivar y simplificar las siguientes funciones:
1 • =
6#
− 2
6-
•‡
=
6 − 6#
6
2 • =
6-
− 26
6 − 1
•‡
=
26-
− 36#
+ 2
6 − 1 /
3 • =
6-
6# − 2 /
•‡
=
−6#
76#
+ 6
6# − 2 0
4 • =
4—˜”6
3”•–6
−
—˜”6
3”•–-6
•‡
=
−3”•–6 + 2 cos#
6
3”•–-6
5 • =
1
2
™š#
6 + ln —˜”6
•‡
= ™š-
6
6 • = 2 ln —˜”6 +
1
cos# 6
•‡
= 2™š6 sec#
6 + 1
7 • = −—˜”6 +
2 cos-
6
3
−
cos/
6
5
•‡
= ”•–/
6
8 • = ln Y 6# − 1 #R
•‡
=
46
3 6# − 1
9 • = ž–•
1 + 6
1 − 6
•‡
=
46-
1 − 6X
10 • = ž–•
1 + ™š6
1 − ™š6
•‡
= sec 26
11 • = ž–•
1 − —˜”6
1 + —˜”6
•‡
= —˜”•— 6
12 • =
6
1 + 6#
+ |§—™š 6 •‡
=
−6-
+ 6#
+ 2
6 + 1 1 + 6#
13 • = |§— —˜”
6
√1 + 6# •‡
=
−1
1 + 6#

17
14 • = |§— ™š
6 + 1
6 − 1
•‡
=
−1
1 + 6#
15 • = |§—™š•
1 − —˜”6
1 + —˜”6
•‡
=
1
2
30) Calcula la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función
f(x) = x2
-4x en el punto de abscisa x = 3.
f’(x) = 2x – 4; f’(3) = 2; f(3) = -3. La tangente es: y + 3 = 2 (x – 3).
La normal es: : y + 3 = -1/2 (x – 3).
31) Calcula la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función
f(x) = x3
+ 3x + 2 en el punto de abscisa x = -1.
f’(x) = 3x2
+ 3; f’(-1) = 0; f(-1) = -2. Recta tangente: y +2 = 0. Recta normal x = -
1
32) Hallar el ángulo que forma con el eje de abscisas la tangente a la curva
=
*
en el punto de abscisa x = 2.
e‡
6 =
dT .
. dT T
tag α = f’(2) = -3/25. El ángulo es arctg -3/25 = 174º aprox.
33) Halla la pendiente de la curva =
*
en el punto de abscisa x = 2
El ejercicio está resuelto en el ejercicio anterior. La pendiente es f’(2) = -3/25.
34) Halla el punto de la curva en el cual el valor de la pendiente de la tangente a la
curva f(x) = x2
-6x+5 es 4.
F’(x) = 2x + 6; 2x + 6 = 4; x = -1. El punto es (-1, 12)
35) ¿En qué puntos de la curva f(x) = x3
-2x2
-6x la pendiente es -2?
F’(x) = 3x2
– 4x – 6 = -2; 3x2
-4x -4 = 0; de donde x = 2 y x = -2/3
36) Calcula el punto de la curva =
+
en el que la tangente forma con el
eje OX un ángulo de 45º.

18
Como tag 45º = 1, tenemos que f’(x) = 1, por tanto e‡
6 = 5 − dT 5 − dT =
1; 6 = ±1
37) Dada la función f(x) = x3
+ px donde p es un número real, escribe en función
del valor de p la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto
de abscisa x = 1. Calcula el valor de p de forma que la tangente anterior pase
por el punto (2,0)
• − 1 − ² = 3 + ² 6 − 1 ; • = 3 + ² 6 − 2. Para que pase por (2,0), 0 =
(3+p)2 – 2, de donde p = -2.
38) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función
= 2
) + + 3 ≤ −*
3 − * < 6 ≤ 1
− ) + * 3 > 1
9
Continua y derivable para todo real que no sea el -1 y 1 que estudiaremos aparte:
Estudio en x = -1
Continuidad: f(-1) = 2; y limd→ . e 6 = 2. limd→ . e 6 = 2. La función es
continua en x = -1.
Derivabilidad: e‡
−1 = 3 dˆ . = 3; : e‡
−1 = 0 dˆ . = 0. No es derivable
Estudio en x = 1
Continuidad: f(1) = 2; y limd→. e 6 = −1. limd→. e 6 = 2. La función no es
continua en x = 1.
Derivabilidad: No es derivable en 1, por no ser continua.
Conclusión: f es continua en ℝ − o1p f es derivable en ℝ − o−1,1p
39) Se sabe que la función f: [0,5] →ℝ dada por
= Œ
q + x 3 ≤ < 2
r + √ − * 3 ≤ ≤ +
9 es derivable en el intervalo (0,5) y verifica
que f(0) = f(5). Hallar las constantes a, b y c.
Si es derivable en (0,5), es continua y derivable en x = 2.
Por ser continua en x = 2: f(2) = c +1; y limd→# e 6 = c + 1. limd→# e 6 =
2a+4b. Esto implica que 2a + 4 b = c + 1
Por ser derivable en x = 2: e‡
2 = | + 26} dˆ# = | + 4}; :
e‡
2 = B
.
#√d .
C
dˆ#
= 1/2. De donde | + 4} =
.
#
f(0) = f(5) implica que 0 = c + 2, de donde c = -2. Basta resolver Œ
2| + 4} = −1
| + 4} = 1/2
9
a = -3/2 y b = 1/2
40) Calcular a y b para que = 2
t + q 3 ≤
q + 3 < 6 ≤ 1
x/ 3 > 1
9 sea continua en x = 0 y
en x =1. Para esos valores de a y b estudia la derivabilidad en x = 0.
Continuidad en x = 0: f(0) = 1+ a ; limd→S e 6 = 2. limd→S e 6 = 1 + a ; 1+a
= 2, a = 1.
Continuidad en x = 1: f(1) = a + 2; limd→. e 6 = a + 2. limd→. e 6 = b/2, es
decir b/2 = 3, b = 6.

19
0 = •d
dˆS = 1; : e‡
0 = 26 dˆS = 0. No es
derivable en x = 0.
41) Sea = 2
ru3 − * 3 < 0
+ q 3 ≤ < 2
x/ − * 3 ≥
9 estudia su derivabilidad en función de los
valores de a y b.
Continuidad en x = 0: f(0) = a; limd→S e 6 = a. limd→S e 6 = 0 ; a = 0.
Continuidaa en x = 2: f(2) = b; limd→# e 6 = b. limd→# e 6 = 4 + a ; 4+a = b,
b = 4.
0 = −”•– 6 dˆS = 0; : e‡
0 = 26 dˆS = 0. Es
derivable en x = 0 y su derivada es 0.
2 = 26 dˆ# = 4; : e‡
2 = B
d . TC
dˆ#
= −4. No es
derivable en x = 2.
42) Verificar que la función f(x) = x – x3
satisface las condiciones del teorema de
Rolle en los intervalos [-1,0] y [0,1]. Hallar los correspondientes valores “c”
tales que f’(c) = 0.
9
e •” —˜–™³–´| •– [−1,0]
e •” µ•§³¶|}ž• •– −1,0
e −1 = e 0 = 0
· ⟹ ∃— ∈ −1,0 | e‡(—) = 0
1 − 3—#
= 0; — =
−√3
3
9
e •” —˜–™³–´| •– [0,1]
e •” µ•§³¶|}ž• •– (0,1)
e(1) = e(0) = 0
· ⟹ ∃— ∈ (0,1)| e‡(—) = 0
1 − 3—#
= 0; — =
√3
3
43) La función ( ) = * − √
)
es continua en [-1,1] y f(-1) = f(1), pero su
derivada no se anula en ningún punto del intervalo (-1,1) ¿No se cumple el
teorema de Rolle para esta función?
Si ocurre lo indicado en el enunciado, el teorema de Rolle no se verifica, por lo que
tiene que fallar en alguna de sus hipótesis, en este caso en la derivabilidad en (-1,1). En
efecto, e‡(6) = −
#d
- √dUR =
#
- √d
R que es obvio que no existe para x = 0. La función f no
es derivable en x = 0, por lo tanto no lo es en (-1,1). Falla la segunda hipótesis del
Teorema de Rolle.
44) Dada la función ( ) = Œq − 3 − * ≤ ≤ )
r + x 3 ) < 6 ≤ 5
9 hallar a, b y c para que se
cumplan las condiciones del teorema de Rolle en [-1,5]. Calcula el punto cuya
existencia asegura el teorema.

20
a) f continua en x = 3: f(3) = 3a - 9 ; limd→- e 6 = c + 3b. limd→- e 6 =
3a−9
b) f derivable en x = 3: e‡
3 = | − 26 dˆ- = | − 6; : e‡
3 = } dˆ- = }
c) f(-1) = f(5); a – 1 = 5b + c
Tengo que: j
3| − 3} − — = 9
| − 5} − — = 1
9 Œ
3| − 3 | − 6 − — = 9
| − 5 | − 6 − — = 1
9 j
— = 9
| = 5
9 o} =9 − 1
45) Comprobar la verificación de la tesis del teorema del valor medio del cálculo
diferencial para la función f(x) = x3
-2x – 2 en el intervalo [1,2]
f continua en [-1,2]
f derivable en (1,2) Existe c en (1,2) / f’(c)(3) = f(2)-f(1); 3f’(c) = 5 f’(c)=5/3
3c2
– 2 = 5/3; c = •
..
V
ϵ 1,2
46) ¿Puede cumplirse el teorema del valor medio del cálculo diferencial para la
función ~ = *
en el intervalo [-2,5]
No, porque la función no es continua en x = -1, por tanto no lo es en [-2,5]
47) Razonar que en el trozo de la parábola y = x2
comprendido entre A (-1,1) y B
(3,9) hay un punto en elcual la tangente es paralela a la cuerda AB. Calcular
dicho punto.
Aplicando el teorema del valor medio del cálculo diferencial a la función y = x2
en el
intervalo [-1,3], resulta que existe c en (-1,3) tal que 4f’(c) = 8; f’(c) = 2; 2c = 2;
c = 1.
48) De una función f sabemos que f(1) = 1, que es derivable en todo R y para los
valores de x positivos f’(x) ≥ ). Razona, utilizando el teorema del valor medio
del cálculo diferencial, que * ≥ ,*. Con un razonamiento similar que se
puede afirmar para f(40).
Consideremos la función f en el intervalo [1,21], puesto que f es continua y derivable en
dicho intervalo, por el teorema del valor medio del cálculo diferencial, tenemos que:
Existe un punto c en el intervalo (1, 21) de modo que f’(c) (b –a ) = f(b) – f(a), es decir:
20f’(c) = f(21)-f(1), 20 f’(c) = f(21) – 1; de donde f(21) = 20 f’(c) +1 ≥ 60 + 1 =
61, puesto que f’(c) ≥ 3, ya que c es positivo por estar en (1, 21).
Por un razonamiento análogo se deduce que f(40) ≥ 118.
49) Se considera la función = Œy + 3 < −2
)
+ 3 ≥ −
9 hallar m y n para que
se verifiquen las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [-4,2].
Halla los puntos del intervalo cuya existencia garantiza el teorema.
a) Continua en x = -2: f(-2) = 4 – 2n; limd→ # e 6 = m − 8.
limd→ # e 6 = 4 − 2n

21
b) Derivable en x = -2: e‡
−2 = – + 26 dˆ # = −4 + –; : e‡
−2 =
36#
dˆ # = 12; n = 16 y m = -20.
f’(c) (6) = f(2) – f(-4) ; 6f’(c) = -12 +48 = 36; f’(c) = 6
e‡
— = j
16 + 2— ”³ — < −2
3—#
”³ — ≥ −2
9
16 + 2c = 6 ; c = -5 No vale pues no está en el intervalo de estudio [-4,2]
3c2
= 6; c = ±√2. Ambos valores de c nos valen como puntos tesis del teorema.
50) Dada la función = Œ + + ) ≤
− + q + x > 0
9 hallar los puntos de la curva
en los que la recta tangente es paralela a la cuerda que une los puntos A = (-3,
f(-3)) y B=(2,f(2))
F continua en x = 0: f(0) = 3; limd→S e 6 = b. limd→S e 6 = 3. b = 3
F derivable en x = 0: e‡
0 = 4 + 26 dˆS = 4; : e‡
0 = −26 + | dˆS = | ; a=4.
Aplicando el teorema del valor medio del cálculo diferencial en el intervalo [-3,2],
existe un punto c en (-3,2) / 5f’(c) = f(2)-f(-3) = 7 – 0; f’(c) = 7/5
Tenemos:
e‡
— = j
4 + 2— ”³ — ≤ 0
−2— + 4 ”³ — > 0
9
4 + 2c = 7/5; c = -13/10 = -1’3 que está en el intervalo (-3,2)
-2c+4 = 7/5; c = 1,3 que también está en el intervalo (-3.2). Por tanto ambos valen.
51) Calcular, usando la regla de L’Hôpital, los siguientes límites:
1
lim
d→-
6-
− 36#
+ 96 − 27
6# − 9
= lim
d→-
36#
− 66 + 9
26
= 3
2
lim
d→.
6 − 1
√6 − 1
= lim
d→.
2√6
1
= 2
3
lim
d→#
√56 − 6 − 2
6 − 2
= lim
d→#
5
2√56 − 6
1
= lim
d→#
5
2√56 − 6
=
5
4
4
lim
d→S
•d
− 1
6
= lim
d→S
•d
1
= 1
5
lim
d→
•d
6
= lim
d→
•d
1
= ∞
6
lim
d→
ž–6
6
= lim
d→
1
6
= 0
7 lim
d→S
”•– 6
6#
= lim
d→S
cos 6
26
= ∞
8
lim
d→S
”•– 6 1 − cos 6
6#
= lim
d→S
—˜”6 − —˜”26
26
= lim
d→S
−”•–6 + 2”•–26
2
= 0
9
lim
d→S
6 − |§—™š6
6#
= lim
d→S
1 −
1
1 + 6#
26
= lim
d→S
6
2 1 + 6#
= 0
10
lim
d→S
6 − ”•–26
6 + ”•–36
= lim
d→S
1 − 2—˜”26
1 + 3—˜”36
=
−1
4

22
11
lim
d→.
ž–6
6 − √6
= lim
d→.
1/6
1 −
1
2√6
= lim
d→.
2√6
6 2√6 − 1
= 2
12
lim
d→S
•d
− • d
− 26
6 − ”•–6
= lim
d→S
•d
+ • d
− 2
1 − —˜”6
= lim
d→S
•d
− • d
”•–6
= lim
d→S
•d
+ • d
—˜”6
= 2
13
lim
d→S
•
1
6
−
1
•d − 1
‘ = lim
d→S
•d
− 1 − 6
6 •d − 1
= lim
d→S
•d
− 1
•d − 1 + 6•d
= lim
d→S
•d
•d 2 + 6
=
1
2
14
lim
d→S
•
1
”•–6
−
1
6
‘ = lim
d→S
6 − ”•–6
6”•–6
= lim
d→S
1 − —˜”6
”•–6 + 6—˜”6
= lim
d→S
”•–6
2—˜”6 − 6”•–6
= 0
15
lim
d→.
•
1
ž–6
−
1
6 − 1
‘ = lim
d→.
6 − 1 − ž–6
6 − 1 ž–6
= lim
d→.
6 − 1
6ž–6 + 6 − 1
= lim
d→.
1
ž–6 + 2
=
1
2
16
lim
d→.
½•
36
6 − 1
‘ ž–6¾ = lim
d→.
36ž–6
6 − 1
= lim
d→.
3ž–6 + 3
1
= 3
17
lim
d→S
•
1
6
ln 6 + •/d
‘ = lim
d→S
ln 6 + •/d
6
= lim
d→S
1 + 5•/d
6 + •/d
= 6
18
lim
d→
6. • d
= lim
d→
6
•d
= lim
d→
1
•d
= 0
19
lim
d→S
6. ž–6 = lim
d→S
ž–6
1
6
= lim
d→S
1
6
−1
6#
= lim
d→S
−6 = 0
20
lim
d→
_6#
. ”•– •
3
6#
‘` = lim
d→
6#
”•– B
3
6#C
= lim
d→
26
—˜” B
3
6#C
−6
6-
= lim
d→
−6
3—˜” B
3
6#C
= −∞
21
lim
d→S
™š6. ž–6 = lim
d→S
ž–6
—˜™š6
= lim
d→S
1
6
−
1
”•–#6
= lim
d→S
−”•–#
6
6
= lim
d→S
−”•–26
1
= 0
22
lim
d→S
6•-¦d
= 1; lim
d→S
”•–6. ž–6 = lim
d→S
ž–6
—˜”•—6
= lim
d→S
1
6
−
—˜”6
”•–#6
= lim
d→S
−”•–#
6
—˜”6
= 0
23 lim
d→S
—˜”26
-
dT
= • 0
; lim
d→S
3ln —˜”26
6#
= lim
d→S
−6™|š26
26
= lim
d→S
−12 ™|š#
26 + 1
2
= −6
24
lim
d→
¿
#
B™š
6
2
C
À¡d
= • .; lim
d→
¿
#
™|š6. ž– B™š
6
2
C = lim
d→
¿
#
”•–6. ž– _• 1 − —˜6
1 + —˜”6
`
—˜”6
= lim
d→
¿
#
”•–6.
1
2
[ ln 1 − —˜”6 − ln 1 + —˜”6 ] + ”•–6
1
2
Á
”•–6
1 − —˜”6
+
”•–6
1 + —˜”6
Â
−”•–6
= -1
25
lim
d→
.
#
1 + ™š2{6 •-›¿d
= •#
; lim
d→
.
#
ln 1 + ™š2{6
—˜”{6
= lim
d→
.
#
2 1 + ™š#
2{6
”•–{6 1 + ™š2{6
= 2
26
lim
d→#
B2 −
6
2
C
¡
¿d
= •
.
#¿; lim
d→#
”•–
{6
4
ln B2 −
6
2
C
—˜”
{6
4
= lim
d→#
{
4
cos
{6
4
ln B2 −
6
2
C −
1
4 − 6
”•–
{6
4
−
{
4
”•–
{6
4
=
1
2{
27 limd→S •d
− 6

Š = 1; limd→S
©ª -Š d
d
= limd→S
-Š .
-Š d
= 0

23
52) Definir, si es posible, f(0) para que la función =
t t
sea continua en
todo ℝ
e 0 = lim
d→S
•d
− • d
6
= lim
d→S
•d
+ • d
1
= 2
53) Dada la función = g
*
*
−
*
y
3 ≠ *
* 3 = *
9 estudiar si es continua en x = 1
f(1) = 1; limd→.
*
*
−
*
y
= lim
d→.
¥¦d d .
d . ¥¦d
= lim
d→.

Š
.
¥¦d
Š
Š
= lim
d→.
. d
d¥¦d d .
= lim
d→.
.
¥¦d #
= -1/2. Al no coincidir con f(1), la función no es continua en x = 1.
54) Dada la función = g
tÃ t
3 ≠
q 3 =
9 Calcular los valores de λ y a
para que f sea continua en x = 0
f(0) = limd→S
tÃ t
= limd→S
ÃtÃ t *
=
Ã
, para que el valor sea real λ=2
con lo cual limd→S
ÃtÃ t *
= limd→S
Ã tÃ t
=
Ã *
=
)
Por tanto λ = 2 y a = 3/2.
55) Estudiar la continuidad de la función
56) . limd→S e 6 = 1. Es continua en x = 0. La función es continua en ℝ − o−1p
57)
58) = g
*
*
3 ≤
ru3 3 > 0
9
No es continua en x = -1 por no estar definida en dicho punto.
Para x = 0, tenemos: f(0) = 1; limd→S e 6 = 1
59) Sea la función = s
− 3ty ≤ −z/
q 3ty + x −
z
< 6 <
z
ru3 ≥
z
9 Calcular a y b para que
f(x) sea continua
Continuidad en x = -π/2 : f(-π/2) = 2 ; lim
d→
Ä
T
e 6 = b − a. limd→
Ä
T
e 6 = 2;
b-a = 2.
Continuidad en x = π/2 : f(π/2) = 0 ; lim
d→
Ä
T
e 6 = 0. limd→
Ä
T
e 6 = a + b;
a+b= 0.
De ambas condiciones se desprende que b = 1 y a = -1.
60) Sean f y g dos funciones continuas en [a,b] y tales que f(a)>g(a) y g(b)>f(b).
Demostrar que sus gráficas se cortan.

24
Para demostrar que sus gráficas se cortan debe existir un c en (a,b) de modo que
f(c) = g(c) .
Sea la función h(x) = f(x) – g(x). h(x) es continua en [a, b]. h(a) = f(a) – g(a) > 0,
h(b) = f(b) – g(b) < 0.
h (x) verifica las hipótesis del teorema de Bolzano en [a, b], lo cual quiere decir que
existe un punto c en (a, b) de modo que h(c) = 0, es decir f(c) – g(c) = 0, f(c) = g(c).
Por tanto las gráficas de f y g se cortan.
61) Calcular el conjunto donde son derivables las funciones ~ = √ − )
~ = √ ) − )
)
~ = y −
• = Y6# − 36 ; •′ =
26 − 3
2√6# − 36
El dominio de y es: o6 ∈ ℝ ⋰ 6#
− 36 ≥ 0 p =(-∞,0]∪[3,+∞)
El dominio de y’ es: o6 ∈ ℝ ⋰ 6#
− 36 > 0 p =(-∞,0)∪(3,+∞)
La función es derivable en la intersección de los dominios: (-∞,0)∪(3,+∞)
• = √6- − 36
R
; •‡
=
-dT -
- √dR -d
R
Dominio de y: ℝ
Dominio de y’: o6 ∈ ℝ ⋰ 6#
− 36 ≠ 0 p = ℝ − Æ0, √3, −√3Ç
La función es derivable en ℝ − Æ0, √3, −√3Ç
• = ln 6#
− 4 ; •‡
=
26
6# − 4
Dominio de y: o6 ∈ ℝ ⋰ 6#
− 4 > 0 p =(-∞,-2)∪(2,+∞)
Domino de y’: ℝ − o0,2, −2p
La función es derivable en la intersección de ambos dominios: (-∞,-2)∪(2,+∞)
62) Estudiar la derivabilidad de la función = g
3 ≥
*
3 < 0
9 en el punto 0.
Continuidad en x = 0.
f(0) = 0; limd→S e 6 = 0. limd→S e 6 = 0.
Derivabilidad en x = 0. e‡
0 = B
.
. d TC
dˆS
= 1; : e‡
0 = 26 dˆS = 0. La función
no es derivable en x = 0.
63) Sea = j
|) − | 3 < 7
q + 3 > ≤ < 10
9. Determinar:
a) Valor de a para que f sea continua en 7.
b) Gráfica de f.
c) Dominio y recorrido de f
d) Derivada de f en 7 y en 9
a) f(7) = 7a +4; limd→W e 6 = 7a + 4. limd→W e 6 = 4; a = 0.

25
b)
c) Dominio (- ∞, 10) Recorrido [0, +∞)
d) e‡
7 = 1 dˆW = 1; : e‡
7 = 0 dˆS = 0. No es derivable en 7.
e‡
9 = 0 dˆV = 0; : e‡
9 = 0 dˆW = 0. f’(9) = 0
64) Dada la función = qÈr ÉÊ + qÈr ÉÊ
*
. Comprobar que para cada x≠0,
f’(x)=0. Calcular f(1), f(-1).
e‡
6 =
1
1 + 6#
+
−1
6#
1 + B
1
6C
# =
1
1 + 6#
−
1
1 + 6#
= 0
e 1 = 2|§— ™š 1 = 2.
{
4
=
{
2
e −1 = 2|§— ™š −1 = 2.
−{
4
= −
{
2
65) Obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos
de la función ~ = y t + t .
Dominio: ℝ
•‡
=
•d
− • d
•d + • d
•‡
= 0; •d
− • d
= 0; •d
= • d
; 26 = 0; 6 = 0
Decrece en (-∞ , 0) y crece en (0, +∞). Tiene un mínimo relativo en (0, 0)

26
66) Si f es una función definida en D = o ∈ ℝ ⋰ < 6 < 2zp de modo que
∀ ∈ Ì, ‡
=
ru3
. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y
los extremos relativos de f.
—˜”6
−6
= 0; —˜”6 = 0; 6 =
{
2
,
3{
2
Decrece en (-∞, π/2)∪(3π/2, +∞). Crece en (π/2, 3π/2)
Presenta un mínimo relativo en (π/2, 0) y un máximo relativo en (3π/2, 0)
67) Calcular el dominio, extremos relativos y la ecuación de la tangente a la curva
~ = y
en su punto de inflexión
Dominio: (0, 1) ∪ 1,+∞); •‡
=
¥¦d .
©ªT d
; •‡
= 0 ”³ ž–6 = 1, 6 = •
Decrece en (0, e) y crece en (e, +∞). Presenta un mínimo relativo en (e, e)
Averigüemos los puntos de inflexión: •‡‡
=

Š
©ªT d

Š
#¥¦d ¥¦d .
©ªU d
=
# ¥¦d
d¥¦Rd
= 0;
lnx = 2; x = e2
. Presenta un punto de inflexión en B•#
,
-T
#
C.
La ecuación de la recta tangente en su punto de inflexión es:
• −
•#
2
= •
ž–6 − 1
ln# 6
‘
dˆ-T
6 − •#
; • −
•#
2
=
1
4
6 − •#
68) Calcular el dominio y los extremos de la función ~ = . y

27
Dominio: (0, +∞); •‡
= ln#
6 + 2ž–6 •‡
= 0 ; ž–6 ž–6 + 2 = 0
ž–6 = 0 ⇒ 6 = 1
ž–6 = −2 ⟹ 6 = • #
Máximo relativo • #
, 4• #
mínimo relativo (1, 0)
69) Calcular los extremos de ~ = − + ® )
− * + ® + )
•‡
= −86-
+ 246#
− 246 + 8
•‡
= 0; 6-
− 36#
+ 36 − 1 = 0; 6 = 1
Presenta un máximo relativo en (1, 5)
70) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y
convexidad y máximos, mínimos y puntos de inflexión de la curva ~ =
√, − ))
Dominio: R
•‡
=
46 − 6#
Y 66# − 6- #R
•‡
= 0; 46 − 6#
= 0; 6 4 − 6 = 0; 6 = 0, 6 = 4
Decrece en (-∞, 0) ∪(4,6) ∪(6,+∞). Crece en (0,4) Máximo relativo en (4, 2√4
R
)
•‡‡
=
4 − 26 Y 66# − 6- #R
−
2 46 − 6# #
Y 66# − 6-R
Y 66# − 6-R

28
•‡‡
=
−86#
Y 66# − 6- /R
•‡‡
= 0; 6 = 0
Cóncava en (-∞,0) ∪(0,6). Convexa en (6,+∞). No hay puntos de inflexión.
71) Dada la función f: [0, 2π]→ ℝ definida por f(x) = x + 5 – 2senx. Hallar los
intervalos de crecimiento y decrecimiento
e‡
6 = 1 − 2—˜”6 = 0; —˜”6 =
1
2
; 6 =
{
3
, 6 =
5{
3
Decreciente en (0,
¿
-
∪
/¿
-
, 2{
Creciente en (
¿
-
,
/¿
-
Máximo relativo en x =
/¿
-
. Mínimo relativo en 6 =
¿
-
72) Dada la función f: (0,+∞) → ℝ definida por = √ . Hallar sus máximos
y mínimos:
ž–• =
1
6
ž–6; •‡
= • •−
1
6#
ž–6 +
1
6#
‘ =
√6
Š
1 − ž–6
6#
Y’ se anula para x = 0 (no está en el dominio) y para x = e. Para los valores 0<x<e
f’(x)>0. Crece en (0,e) y decrece en (e, +∞). La función presenta un máximo relativo en
(e, √t
t
)

29
73) En una carrera a través del desierto un automóvil debe ir desde la ciudad A
hasta el oasis P situado a 500 Km de distancia de A. Puede aprovechar para
ello una carretera recta que una las ciudades A y B y que le permite ir a una
velocidad de 100 Km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 60
Km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las
ciudades A y B es de 300 Km, determinar la ruta que deberá usar para ir de A a
P en el menor tiempo posible.
Hay que hacer mínima la función tiempo que es: Î 6, • =
SS d
.SS
+
«
0S
Ahora bien: • = √300- + 6#, podemos escribir la función T en función de una sola
variable ( en este caso x), es decir: Î 6 =
SS d
.SS
+
√-SSR dT
0S
.
Calculemos los extremos de esta función, para lo que tendremos que hacer la derivada:
Î‡
6 =
−1
100
+
6
60√300- + 6#
Î‡
6 = 0;
1
10
=
6
6√300- + 6#
; 256#
= 9 90000 + 6#
166#
= 810000; 6 =
900
4
= 225 ÏÐ. ;
El recorrido que hace el tiempo mínimo es 400-225= 175 kÐ por carretera y 375 Km
por el desierto.
Veamos en efecto que para x = 225, se obtiene un mínimo relativo de T(x)
En 225 hay un mínimo.

30
74) Un triángulo isósceles de perímetro 10 m. gira alrededor de la altura relativa al
lado no igual engendrando un cono. Hallar sus lados para que el cono tenga
volumen máximo.
Ñ 6, • =
{6•#
3
2• + 2Y6# + •# = 10; Y6# + •# = 5 − •
6#
+ •#
= 25 − 10• + •#
• =
25 − 6#
10
Ñ 6 =
{6 25 − 6# #
3000
Ñ‡
6 =
{ 25 − 6# #
− 2{6#
25 − 6#
3000
¶‡
6 = 0; { 25 − 6#
25 − 36#
= 0
Las soluciones para x son ±5 y ±
/√-
-
. La única solución que nos vale es
/√-
-
m e y =
/
-
75) Se desea construir una lata de conservas en forma de cilindro circular recto de
área total 150 cm2
y volumen máximo. Determinar su generatriz y su radio.
Ñ 6, • = {6•#
2{• 6 + • = 150;
{• 6 + • = 75;
6 + • =
75
{•
; 6 =
75
{•
− •
Ñ • = { •
75•
{
− •-
‘
Ñ‡
• = 75 − 3{•#
; 75 = 3{•#
; • =
/
√¿
x =
.S
√¿

31
76) Calcular el radio de la base de un cilindro de superficie lateral πm2
para que
sea mínimo el diámetro de la esfera donde pueda inscribirse el cilindro.
{Ð#
= 4{6•; • =
ÒT
d
D(x) = Y6# + •# = •6# +
ÒU
.0dT
D’(x) =
#d
ÓU
ÔŠR
#•dT ÓU
ÕŠT
= 0
26 −
Ð
86-
= 0; 26 =
Ð
86-
; 166 = Ð
6 =
Ð
2
77) Dada la función = q )
+ x + r + ¯, hallar los coeficientes a, b, c y d
sabiendo que la ecuación de la tangente a la curva en el punto de inflexión (1,
0) es y = -3x + 3 y que la función presenta un extremo en el punto de abscisa x
= 0.
Datos: La curva pasa por el punto (1, 0): f(1) = 0: a + b + c + d = 0
La curva presenta un punto de inflexión en (1, 0): f’’(1) = 0: 6a+2b = 0
La curva presenta un extremo en x = 0: f’(0) = 0: c = 0
La pendiente de la tangente en (1,0) es -3: f’(1)=-3 : 3a +2b + c = -3
Se trata de resolver: b
| + } + — + µ = 0
6| + 2} = 0
— = 0
3| + 2} + — = −3
9→2
| + } + µ = 0
6| + 2} = 0
3| + 2} = −3
9 → j
} + µ = 1
2} = 6
9
Ö×××Ø×××Ù
Àˆ .
b=3; d= -4
78) Dada la función = q )
+ x + r + ¯, hallar los coeficientes a, b, c y d
sabiendo que la función tiene un máximo en el punto (0,3), un mínimo para
x=2 y un punto de inflexión en el punto (1, 1).
Datos:
La curva pasa por (0,3): f(0) = 3
La curva pasa por (1,1): f(1) = 1
Tiene un máximo en (0,3): f’(0) = 0
Tiene un p. inflexión en (1,1): f’’(1) = 0
Ú
Û
Ü
e 0 = 3 ⇒
e 1 = 1 ⇒
µ = 3
| + } + — + µ = 1
e‡
0 = 0 ⇒
e‡‡
1 = 0 ⇒
— = 0
6| + 2} = 0
9 ⇒ j
| + } = −2
6| + 2} = 0
9 a = 1; b = -3

32
79) Sea f(x) = j
3ty ≤
− + q + x > 0
9. Hallar a y b para que f sea continua y
derivable en x = 0. Para los anteriores valores de a y b analizar si la función f
tiene inflexión en el punto x = 0.
Continua en x = 0: f(0) = 0; limd→S e 6 = b. limd→S e 6 = 0 ; b = 0
Derivabilidad en x = 0 e‡
0 = —˜”6 dˆS = 1; : e‡
0 = −26 + | dˆS = |; a = 1.
f’(x) = j
—˜” 6 6 ≤ 0
−26#
+ 1 6 > 0
9 esta función es continua en 0 y derivable en 0. Entonces
f’’(x) = j
−”•– 6 6 ≤ 0
−46 6 > 0
9 es continua en 0 y f’’(0) = 0. Por tanto tiene un punto de
inflexión en x = 0.
80) Consideremos la función f(x) = |x2
-4|. Se pide: a) Representarla gráficamente
b) en qué puntos es derivable y en cuáles no. c) Máximos y mínimos relativos y
absolutos.
e 6 = 2
6#
− 4 ”³ 6 ≤ −2
4 − 6#
”³ − 2 < 6 < 2
6#
− 4 ”³ 6 ≥ 2
9
Partiendo del hecho de que es continua
en todo ℝ, que ya no demostraremos.
Veamos que ocurre con la derivabilidad
en x = 2 y x = -2
e‡
2 = 26 dˆ # = −4; : e‡
2 =
−26 dˆ # = 4. No es derivable en -2
e‡
2 = −26 dˆ# = −4; : e‡
2 =
26 dˆ# = 4. No es derivable en 2.
Tiene un máximo relativo en (0,4) y
presenta dos mínimos relativos que
también son absolutos en (-2,0) y (2,0)
81) Sea = )
+ q + x + >. Hallar a y b de manera que la curva y = f(x)
tenga para x = 1 una inflexión con tangente horizontal.
Por presentar una inflexión en x = 1, entonces f ‘’(1)=0; 6x + 2a ˆ. = 0;
2a + 6 = 0; a = -3.
Si la recta tangente es horizontal, f’(1) = 0; 3x#
+ 2ax + b ˆ. = 0;
3-6+b=0; b = 3.

33
82) Calcular el dominio y los extremos de ~ = y )
+ ,
Dominio de y: o6 ∈ ℝ ⋰ 6-
+ 66#
> 0 p 6#
6 + 6 = 0; 6 = 0 • 6 = −6
Si x<-6 6-
+ 66#
< 0, si -6<x<0 6-
+ 66#
> 0, si x>0 6-
+ 66#
> 0
Dominio: (-6,0) ∪ (0,+∞)
Cálculo de extremos:
~‡
=
) + *
) + ,
=
) + *
+ ,
Presenta un máximo relativo en x = -4. En el punto (-4, ln32)
Nota.- Los dibujos, esquemas y gráficos fueron realizados con Paint.Net v4.03
Las gráficas de algunas funciones fueron realizadas con el evaluador y graficador de
funciones (v 3.4) (http://www.zweigmedia.com/MundoReal/functions/func.html)

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