trabajo de estaciones en el tema sistema de ecuaciones

1. CAPACIDADES A TRABAJARSE EN ESTAS SESIONES
 Determinan cual es el método que deben emplear para resolver un sistema de ecuaciones.
(RyD)
 Resuelve sistemas de ecuaciones mediante dos métodos. (RP)
 Resuelve problemas que implican sistemas de ecuaciones con dos (RP)
Indicadores
 Reconoce ecuaciones lineales con dos variables y lo comunica en forma oral
 Conoce las propiedades de un sistema de ecuaciones con dos variables en forma escrita
 Resuelve ejercicios de sistema de ecuaciones empleando un método en una hoja de
ejercicios.
 Conoce métodos de igualación y sustitución de sistemas en forma grupal
 Conoce el método de sumas (reducción) en una práctica dirigida
 Resuelve situaciones de la vida cotidiana en las que se emplee sistema de ecuaciones una
práctica calificada
Reglas prácticas para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Si una o las dos ecuaciones del sistema tienen un aspecto externo complicado, se empieza por “arreglarlas” hasta llegar a
la expresión ax+by=c.
Recordemos las ventajas de cada uno de los tres métodos aprendidos:
 El método de sustitución es especialmente útil cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1 ó -1 en alguna
de las ecuaciones.
 El método de reducción es muy cómodo de aplicar cuando una de las incógnitas tiene el mismo coeficiente en
las dos ecuaciones o bien sus coeficientes son uno múltiplo del otro.
 Si queremos evitar las operaciones con fracciones, podemos conseguirlo aplicando dos veces el método de
reducción para despejar, así, una y otra incógnita. Este consejo es especialmente útil cuando los coeficientes
de las incógnitas son números grandes.

2. Estación 1
Gráfica las 3 posibilidades que existe al graficar en un plano un par de rectas
Estación 2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
El problema que origina el nacimiento del álgebra lineal es la resolución ecuaciones y de sistemas de ecuaciones.
De hecho, según diversos historiadores, la historia del álgebra nace en el Antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron
capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx + c = 0), así como ecuaciones indeterminadas
como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando
esencialmente los mismos métodos que hoy en día.
Nosotros nos vamos a centrar en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, y el más simple es aquel en que
el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones.
Ya desde los textos de secundaria se proponen, casi en una especie de competencia, dos métodos para resolver
sistemas de ecuaciones. El primero es el método de eliminación: consiste en reemplazar el sistema dado por uno nuevo que
tenga el mismo conjunto solución, pero que sea más fácil de resolver. En general este sistema nuevo se obtiene siguiendo
una serie de pasos, que más adelante ya explicitaremos. La idea es aplicar el proceso una y otra vez hasta que sólo nos
queda una ecuación con una incógnita, que se podrá resolver inmediatamente. No es difícil recorrer los pasos en sentido
contrario y encontrar la solución de las otras incógnitas; más adelante daremos algún ejemplo.
El segundo método, más complicado, introduce el concepto de determinante. Hay una fórmula exacta, llamada
regla de Cramer, que nos da la solución al sistema, como la razón entre dos determinantes de orden n por n. De hecho, la
fórmula más complicada que involucran los determinantes es un desastre, mientras que la eliminación es el algoritmo que
se usa constantemente para resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales.
Empezaremos dando los conceptos necesarios para poder ir conociendo poco a poco la teoría de resolución de sistemas de
ecuaciones lineales.
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.
Existen varios métodos:
Método gráfico Método de reducción o de eliminación (suma y resta).
Método de sustitución. Método de Gauss
Método de igualación. Regla de Cramer
Las soluciones de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas son únicas, son infinitas o no existen.
 Si la solución es única, el sistema se llama compatible determinado.
 Si hay infinitas soluciones se llama compatible indeterminado.
 Si no existe solución se llama incompatible.
No te apures, ahora veremos un ejemplo de cada para que te quedes tranquilo.
x+y=4 Incompatible, porque no tiene solución. Las ecuaciones determinan 2
2x + 2y = 7 rectas paralelas, por lo que no tienen ningún punto en común.
x+y=5 Compatible determinado, ya que tiene una única solución. Las gráficas
x–y=1 de las 2 ecuaciones se cortan en único punto.
x+y=7 Compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Las gráficas de
2x + 2y = 14 las 2 rectas pasan por los mismos puntos (superpuestas)

3. Sistema de ecuaciones
Método reducción
 Pasos a seguir para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
1. Se ordena las ecuaciones de tal manera que se encuentre los semejantes en la misma columna y al mismo lado de
la igualdad.
2. Decidimos que variable vamos a eliminar. Para que pueda eliminarse la variable escogida tienen que tener como
coeficientes números opuestos, para ello a veces una de las ecuaciones debe ser multiplicada por un número que
iguale el coeficiente de de la variable. En otras ocasiones debe multiplicarse a las dos ecuaciones para que las
variables tengan coeficientes opuestos.
3. Juntamos las dos ecuaciones y se deberían de eliminar la incógnita elegida, ya que tienen coeficientes opuestos.
4. Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior.
5. Para hallar la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en los pasos anteriores, en cualquiera de las
ecuaciones del sistema.
Recomendación: siempre buscar el más conveniente, el que se pueda hacer con más facilidad.
Ejemplo:
Ordenamos las ecuaciones
3x = 11 + 2y………….(a) En (a) restamos a ambos lados – 2y.
14 = 4x – 3y …………(b) En (b) aplicamos propiedad si a = b  b = a (propiedad simétrica de la
igualdad
Podemos eliminar la x o la y.
3x – 2y = 11………….(c)
Decidimos eliminar la x.
4x – 3y = 14………….(d) Entonces multiplicamos la ecuación (c) por 4 y la ecuación (d) por – 3
12x – 8y = 44 ------(e) Como ahora las x tienen valores opuestos, al juntar las ecuaciones se
-12x + 9y = - 42 ------(f) eliminan las que tienen variable x
12x – 8y = 44
-12x + 9y = - 42
_________________________________________________________________________________________________
Despejamos la incógnita
y= 2
Reemplazamos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones (a, b, c, d, e, f)
y=2
así conseguiremos el valor de la otra incógnita.
Reemplazando y = 2 en la
ecuación (a) Entonces el conjunto solución es
3x = 11 + 2y x=2
3x = 11 + 2 (2) y=5
3x = 11 + 4
3x = 15
x=5 (5; 2)
RECOMENDACIÓN: Si al resolver la primera variable te da una fracción y te es dificultoso sustituirlo en una de las
ecuaciones para obtener el valor de la otra variable entonces puedes resolver la segunda variable otra vez por reducción
siguiendo todo el proceso, pero eliminando la otra variable.

4. Sistema de ecuaciones
Método gráfico
 Pasos a seguir para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
o Representar ambas rectas en una plantilla de papel milimetrado y ver si se cortan en un punto,
las coordenadas del punto de corte es la solución del sistema.
 Ejemplo:
x + y = 4………………(1)
-2x + y = -2……………... (2)
o Cada una de las ecuaciones las convertimos a la forma general
y = mx + b
De (1)
De (2)
-2x + y =-2
x+y=4
Sumamos a ambos miembros 2x
Restamos a ambos miembros x
-2x + y + 2x= -2 + 2x
x+y–x=4–x
y = 4 -x y = -2 + 2x
Damos ahora valores a la variable x, para obtener valores de la variable y, en
cada una de las ecuaciones:
Ecuación (1) Ecuación (2)
x y x y
4 0 1 0
1 3 3 4
Observemos que en las dos ecuaciones hay una pareja de puntos que satisfacen los valores de las
variables para las dos ecuaciones. Al hacer la gráfica de cada una de las ecuaciones iniciales nos
damos cuenta que estas rectas se cortan en un punto común (2, 2).
Este punto de corte será la solución del sistema de ecuaciones propuesto.
Es decir:
x=2
y=2

5. Sistema de ecuaciones
Método sustitución
 Pasos a seguir para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
1. Se despeja una variable por algún termino común en ambas ecuaciones (o se utiliza si alguna de las ecuaciones
ya tiene la forma).
2. Sustituye el lado derecho obtenido en la otra ecuación y despeja la única variable que aparce en esta nueva
ecuación.
3. Sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones originales y despeja para hallar la variable que falta.
Despejamos una de las 2 incógnitas en cualquiera de las 2 ecuaciones.
{
Para nuestro caso nos conviene la primera ecuación. Y decidamos
Despejando la 1ra ecuación despejar x (significa que x debe quedar solita).
Para eso restamos ambos miembros de la igualdad y
Lo que nos da
Ahora sustituimos el valor de x que hemos obtenido en la segunda
ecuación.
( ) Nos da una sola ecuación con una sola variable y que podemos
obtener su valor
( ) Eliminamos paréntesis no olvidándonos del signo negativo, (que todo
lo cambia dentro del paréntesis).
⏟ Reducimos términos semejantes. (aquello que podemos juntar)
Ahora para despejar y debemos sumar 5 a ambos miembros de la
igualdad.
Dividimos entre 3 a ambos miembros de la igualdad.
Quedaría
Operamos.
en la ecuación Ahora que ya conocemos el valor de y podemos reemplazarlo en
cualquiera de las ecuaciones en la que aparecen las 2 variables y así
conocer el valor de la otra variable. Para nuestro caso emplearemos
la ecuación despejada
La solución del sistema es, por tanto:
Naturalmente habríamos llegado a la misma solución, despejando tanto la x como la y en cualquiera de las dos
ecuaciones y sustituyéndola en la otra ecuación. El sistema solo tiene una solución (si es que la tiene) y todos los
caminos nos llevan e ella, porque el método de resolución no afecta el resultado, sólo a las operaciones que hay que
hacer para encontrarla.

6. Sistema de ecuaciones
Método igualación
 Pasos a seguir para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
1. Despeja la misma variable en ambas ecuaciones
2. Sea cual sea el valor de esta incógnita o variable, ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por tanto podemos
igualar las dos expresiones obteniendo una ecuación con una incógnita, que podemos resolver con facilidad.
3. Una vez conocido el valor de una de las dos incógnitas lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y
calculamos la segunda.
( ) A nuestras ecuaciones la hemos
{
( ) denotado, a la 1racomo α y a la
2da como β.
Sumamos Restamos y
3y Vamos a despejar x en las 2
ecuaciones
Resolvemos Resolvemos.
Dividimos Dividimos
ambos por ambos por 4
2
La La llamaremos
llamaremos
(δ)
(γ)
Ahora igualamos las ecuaciones
(γ) y (δ)
Aplicando propiedad de la igualdad
a =b ˄ a = c  b = c
( ) ( ) Multiplicamos todo por 4 para
evitarnos las fracciones.
( ) Aplicamos propiedad
distributiva en el primer
miembro de la igualdad
Sumamos y a ambos miembros y
restamos 12 a ambos miembros
Ordenamos convenientemente ⏟ ⏟ ⏟ ⏟
Operamos
Dividimos ambos por 7
Efectuamos.
lo reemplazamos en lo reemplazamos en
cualquiera de las 2 ecuaciones
( ) ( ) (γ) o (δ)
operamos
El conjunto solución es:
( )

7. Sistema de ecuaciones
Método gauss
El método de Gauss consiste en convertir un sistema "normal" por ejemplo de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado, o
también llamado triangular, en el que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas, la 2ª tiene 2 incógnitas y la tercera 1 incógnita. De esta forma
será fácil a partir de la última ecuación y subiendo hacia arriba, calcular el valor de las 3 incógnitas.
Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones entre sí (sumándolas , restándolas ,
multiplicándolas por un número , etc.)
El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en
la ecuación precedente.
Ejemplo: hallar el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones:
{
( ) ( ) En primer lugar buscamos que la
Es la ecuación que no { ( ) ecuación que se encuentre en la parte
modificaremos. ( ) superior sea la más conveniente.
Vamos a denotar nuestras ecuaciones
( ) Ahora decidimos trabajar con las
{ ( ) ecuaciones (a) y (b).
Reducimos la ecuación (b)con la
( ) ( ) ecuación (a) multiplicada por – 5.
( ) { ( )
Ya tenemos 2 ecuaciones ( )
( ) Ahora trabajaremos con las
{ ( ) ecuaciones (a) y (c)
( ) Reducimos la ecuación (c) con la
{ ( ) ( ) ecuación (a) multiplicada por – 3.
( ) { ( )
( )
( )
{ ( )
( )
Mantenemos fijo las 2 primeras Ahora trabajamos con este nuevo
{
ecuaciones sistema de ecuaciones buscando que
( ) una variable de elimine par nuestro
{ ( ) { caso vamos a trabajar con la
ecuación (e) y (g) para encontrar una
Esa es la que vamos a hallar sola ecuación con una única variable
{ La segunda ecuación la hemos
( ) multiplicado por – 2
{ ( )
( )
{ ( )
en Partimos la solución desde abajo
( ) En este caso resulta sencillo.
Operando multiplicando por -1 reemplazamos este valor en la
} da ecuación siguiente
Ahora sumamos 9 a ambos ⏟ ⏟
Dividimos por 2
Encontramos el valor de
Solución , en Ahora reemplazamos los valores
⏟ obtenidos en la primera ecuación (a)
Resolvemos entonces

8. Sistema de ecuaciones
Método cramer
La Regla de Cramer es un método de álgebra lineal para resolver sistemas de ecuaciones. Su base teórica no es tan
sencilla como los métodos vistos hasta ahora y emplea el cálculo de determinantes de matrices matemáticas, y da lugar a
una forma operativa sencilla y fácil de recordar, especialmente en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Aquí sólo veremos su forma de uso para resolver dos ecuaciones con dos incógnitas, sin entrar a discutir el origen de este
método. Primero veremos un caso general y luego resolveremos un ejemplo.
Partiendo de un sistema general de dos ecuaciones con dos incógnitas:
{
El coeficiente de una incógnita en una ecuación ocupa una fila y columna determinadas; el
( ) cambio en el orden dentro de la matriz supone la modificación del sistema de ecuaciones, las
matrices se representan entre paréntesis, como en el ejemplo:
El determinante de una matriz es una operación sobre esa matriz que da como resultado un
| | “valor” E, que depende de los términos de la matriz y el lugar donde estén situados:
Para este caso que es una matriz donde tenemos 2 columnas y 2 filas
| | que es el producto de los términos de la diagonal principal menos el producto de los de la
diagonal secundaria
Esta regla tan sencilla no se cumple en matrices de mayor dimensión y para su cálculo hay
que tener ciertos conocimientos de álgebra lineal.
Partiendo de todo esto tenemos que la Regla de Cramer dice que, en un sistema de ecuaciones lineales, el valor de cada
incógnita es la relación que existe entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas, donde se ha
sustituido la columna de la incógnita a resolver por la columna de términos independientes, entre el determinante de la
matriz de los coeficientes de las incógnitas.
Así si partimos del sistema:
Podemos obtener las incógnitas de la siguiente manera
{
| | | |
Desarrollando los determinantes tendremos las operaciones
a realizar para calcular la x e y
| | | |
Hay que señalar que si el determinante de los coeficientes
| | | | de las incógnitas vale cero:
| | | | | |
el sistema es incompatible o compatible indeterminado, y
sólo será compatible determinado si este determinante es
distinto de cero.
Como ejemplo vamos a resolver el sistema:
{
Calculamos primero la x:
| | ( )( ) ( )( )
| | ( )( ) ( )( )
y ahora calculamos la y:
| | ( )( ) ( )( )
| | ( )( ) ( )( )
Con lo que tenemos la solución al sistema que,
naturalmente, es:
c. s. ( )