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Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones.

UNIDAD 9.- SISTEMAS DE DOS
ECUACIONES CON DOS
INCÓGNITAS

Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales
llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin
que tuvieran relación con problemas de medida.

Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de
ecuaciones en los siguientes términos:


                1/4 anchura + longitud = 7 manos
                     longitud + anchura = 10 manos




                                                                                        1
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1.- Definición. Soluciones.

1.1.- Definición

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de expresiones
algebraicas que se suelen representar de la siguiente forma:


                                    ax + by = p
                                    cx + dy = q


donde x e y son las incógnitas, a, b, c y d son los coeficientes y p y q son los términos
independientes.

Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas puede ser:


                                     x + y = 10
                                     x-y=2


Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, por separado, tendrían infinitas
soluciones, ya que hay infinitas parejas de números que sumen 10 y, por otro lado,
infinitos pares de números cuya resta sea 2. Sin embargo, al considerar juntas ambas
ecuaciones para formar el sistema, estaremos buscando un par de números (x, y) que
cumplan a la vez las dos.

Los sistemas de ecuaciones responden a planteamientos de problemáticas muy diversas.
Por ejemplo, el sistema que hemos propuesto más arriba, podría ser el planteamiento para
resolver un problema de este tipo:

Entre lápices y gomas tengo diez piezas de material escolar. Tengo dos lápices más que
gomas. ¿Cuántos lápices y cuántas gomas tengo?

Los sistemas de ecuaciones nos ayudan, por tanto, a plantear y resolver problemas
parecidos al redactado en el párrafo anterior. Vamos pues, en esta Unidad, a profundizar
en el conocimiento y manejo del planteamiento y la resolución de estos problemas
utilizando como herramienta los sistemas de ecuaciones.

1.2.- Soluciones

En el ejemplo anterior, decíamos que buscábamos un par de números que cumplieran las
dos ecuaciones del sistema. Pues bien, ese par de números (x, y) que satisface ambas
ecuaciones de un sistema se llama solución del sistema de ecuaciones.

En el caso del problema que utilizamos como ejemplo, la solución vendría dada por el par
de números (6, 4), es decir, x = 6 e y = 4. Por tanto, la respuesta del problema planteado


                                                                                            2
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sería que tengo seis lápices y
cuatro gomas. Debemos insistir
en que 6 y 4 no son dos
soluciones del sistema, sino que
es una solución y ésta está
formada por dos números.

¿Quiere decir esto que siempre un sistema de ecuaciones tiene un par de números por
solución? Pues no. En realidad, un poco más adelante en la Unidad veremos que un
sistema de ecuaciones puede que no tenga solución, e, incluso, puede que tenga infinitas
soluciones. Esto dependerá del tipo de sistema de que se trate.

2.- Clasificación de sistemas

En realidad, los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar por diversos motivos, es
decir, atendiendo a diversas propiedades de los mismos. Por ejemplo, se pueden clasificar
según el grado de las ecuaciones. Tendríamos entonces:

           Sistema lineal: si todas las ecuaciones son lineales.
       
           Sistema no lineal: si no todas las ecuaciones son lineales.
       

De estos dos tipos de sistemas, nosotros estamos tratando en esta Unidad los sistemas
lineales.

Por otro lado, también se pueden clasificar los sistemas según el número de ecuaciones o
de incógnitas que tengan, es decir, podríamos hablar entonces de:

           Sistemas de dos ecuaciones.
       
           Sistemas de tres ecuaciones.
       
           etc. . . . .
       

O bien de:

           Sistemas de una incógnita.
       
           Sistemas de dos incógnitas.
       
           Sistemas de tres incógnitas.
       
           etc. . . . .
       

En estos casos, debemos dejar claro de nuevo que, en esta Unidad, estamos estudiando los
sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. Por tanto, cuando hacemos
referencia a una clasificación de los sistemas, estamos aludiendo a aquella que los
etiqueta y distingue según la existencia o no de soluciones y, en el primer caso, el
número de ellas. Esta, la más importante, clasificación de los sistemas es la siguiente:

  I.       Sistema compatible: es el que tiene solución. Dependiendo del número de
           soluciones puede ser:

             i.   Sistema compatible determinado si tiene una única solución.

            ii.   Sistema compatible indeterminado si tiene múltiples soluciones.


                                                                                           3
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 II.      Sistema incompatible: es el que no tiene solución.



Más adelante, cuando veamos la interpretación gráfica o geométrica de los sistemas de
ecuaciones y, por tanto, el método gráfico para resolverlas, seremos conscientes de que
cuando hablamos de múltiples soluciones, en realidad, estamos hablando de infinitas
soluciones. Es decir, un sistema compatible indeterminado es aquel que tiene infinitas
soluciones.

Antes de desarrollar en el siguiente punto los distintos métodos de resolución de los
sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, vamos a ver algunos ejemplos de
los tipos de sistemas que hemos mencionado en esta sección:




       Sistema no lineal de dos ecuaciones con Sistema no lineal de tres ecuaciones con
                    dos incógnitas                          una incógnita




        Sistema lineal de dos ecuaciones con      Sistema lineal de tres ecuaciones con
                   dos incógnitas                            tres incógnitas

          ACTIVIDADES

       1. ¿De cuáles de estos sistemas es solución el par x = 1, y = -3?




       2. Escribe otro sistema que tenga la misma solución.
       3. Completa los siguientes sistemas para que la solución de todos ellos sea:
          x=2
          y = -1




                                                                                          4
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3.- Métodos analíticos de resolución: Sustitución

Antes de centrarnos en el método de sustitución, vamos a hablar de algunas generalidades
sobre la resolución de los sistemas de ecuaciones. En primer lugar, hay que saber que, en
realidad, resolver adecuadamente un sistema es un proceso que consta de dos fases:
discusión y resolución. La discusión consiste en clasificar el sistema según el esquema
visto en la sección anterior, es decir, analizar si el sistema tiene o no solución y, en caso
de tenerla, cuántas soluciones. Por otro lado, para la resolución, una vez comprobado que
el sistema tiene solución, se utilizará uno de los métodos que en esta Unidad se describen.

En principio, por tanto, la discusión es un proceso anterior al de resolución. Ahora bien,
estas fases sólo se realizan en ese orden cuando se utilizan métodos para la resolución de
los sistemas distintos de los que veremos en este nivel y que, por tanto, quedan fuera del
ámbito de este curso. Por ello, en este momento, ambos procesos, la discusión y la
resolución del sistema, se harán de manera simultánea.

En cuanto a la resolución, los métodos que veremos en esta Unidad, que no son todos
como ha quedado indicado más arriba, se dividen en dos grupos: métodos analíticos y
método gráfico. Los métodos analíticos son los que permiten la resolución (y discusión)
del sistema sin necesidad de recurrir a su representación gráfica, es decir, mediante la
utilización de la equivalencia de sistemas, ya vista anteriormente, y simples operaciones
aritméticas. Los métodos analíticos, que iremos viendo uno a uno, son tres: sustitución,
igualación y reducción. Por contra, el método gráfico (sólo hay uno), consiste, como su
propio nombre indica) en resolver (y discutir) el sistema mediante la representación
gráfica de sus ecuaciones.

De ahora en adelante, iremos viendo, uno por uno, los diferentes métodos de resolución
de los sistemas de ecuaciones y, al mismo tiempo, cómo, simultáneamente, se puede ir
haciendo, en cada caso, la discusión del sistema. Vamos a empezar pues con el método
de sustitución:

De manera esquemática, para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos
incógnitas por el método de sustitución hay que seguir las siguientes fases:

   i.   Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones.
  ii.   Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de
        primer grado en una incógnita que resulta de esta sustitución.
 iii.   Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación despejada
        obtenida en el primer paso.

Evidentemente, aún cuando la incógnita que se va a despejar en el primer paso puede ser
cualquiera y de cualquier ecuación, es mejor, por la facilidad de los cálculos posteriores,
hacer una buena elección de ambas, incógnita y ecuación. Queremos decir que será más
fácil operar después si, por ejemplo, se elige una incógnita en una ecuación en la que quot;no



                                                                                              5
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Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones.
tengaquot; coeficiente (es decir, que su coeficiente sea 1), ya que, en ese caso, podremos
evitar el cálculo con fracciones.

Hemos mencionado, en los párrafos anteriores, que, de manera simultánea, se puede ir
haciendo la discusión del sistema. ¿Cómo?. Pues bien, si en el proceso de sustituir la
incógnita despejada en el primer paso en la otra ecuación e intentar resolverla nos
quedase una expresión del tipo quot;0 = 0quot;, o quot;K = Kquot;, siendo K un número cualquiera (por
ejemplo, 4 = 4), tendremos que el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas
soluciones. Esto se debe a que, en ese caso, una de las ecuaciones es múltiplo de la otra y
el sistema quedaría reducido a una sola ecuación, con lo que habría infinitos pares de
números (x, y) que la cumplirían. Este tipo de ecuación (0 = 0) se llama ecuación trivial.

Por otro lado, si la ecuación que nos resultase en el proceso anteriormente explicado fuera
de la forma quot;K = 0quot;, siendo K cualquier número distinto de 0, tendremos que el sistema es
incompatible por lo que, en ese caso, no tiene solución. Esto es claro por la imposibilidad
de la expresión aparecida. Este tipo de ecuación (K = 0) se llama ecuación degenerada.
No habría, por tanto, ningún par de números (x, y) que cumplieran ambas ecuaciones del
sistema.

Por último, si no nos encontramos, al resolver el sistema, ninguna de los tipos antes
descritos de ecuaciones (triviales y degeneradas) y llegamos, al final de su resolución, a
un valor para la incógnita x y a otro para la y, estos dos valores formarán el par (x, y) que
nos da la solución del sistema y éste tendrá, por tanto una única solución y será un
sistema compatible determinado.

Todas las aclaraciones de los párrafos anteriores sobre la discusión de los sistemas son
válidas, no sólo para el método de sustitución, sino también para los otros dos métodos de
tipo analítico, igualación y reducción, que veremos en las secciones siguientes.

Veamos ahora un ejemplo de resolución de un sistema
mediante el método de sustitución:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene                                      el
doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada
uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de
Sergio. Vamos a expresar las condiciones del
problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600
euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si
Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas
forman el siguiente sistema:


                                     x + y = 600
                                         y = 2x

Vamos a resolver el sistema por el método de sustitución, ya que en la 2ª ecuación hay
una incógnita, la y, ya despejada. Sustituimos el valor de y = 2x en la primera ecuación,
con lo que tendremos:


                                                                                                6
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    x + 2x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200

Ahora sustituimos x = 200 en la ecuación en la que estaba despejada la y, con lo que
tendremos:


                              y = 2x ⇒ y = 400

Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene
400 euros

ACTIVIDADES

   4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de
      sustitución:
          1.



           2.



           3.



   5. Los sistemas de ecuaciones del ejercicio anterior, ¿de qué tipo son?. Clasifícalos.
   6. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones. Clasifica el sistema según sus
      soluciones.




   7. Alberto cambia 1940 ptas. en dólares y euros. Le dan 8 euros y 4 dólares.
      Después, cambia para un amigo 3190 ptas. y le dan 10 euros y 10 dólares. ¿A qué
      cambio, en pesetas, se han cotizado el euro y el dólar?



4.- Métodos analíticos de resolución: Igualación




                                                                                            7
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Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones.
El método de igualación consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución.
Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la
misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se
obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:

   i.    Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
  ii.    Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una
         incógnita que resulta.
 iii.    Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las
         ecuaciones despejadas de primer paso.

Evidentemente, todas las aclaraciones hechas en la sección anterior sobre la elección de la
incógnita que queremos despejar, así como sobre la discusión del sistema en orden a saber
si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este
método.

A continuación, vamos a resolver el mismo ejercicio de la sección anterior mediante el
método de igualación. Recordamos el enunciado del ejercicio, así como el sistema de
ecuaciones al que daba lugar su planteamiento:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana.
¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las
condiciones del problema mediante
ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros,
esto nos proporciona la ecuación x + y =
600. Si Sergio tiene el doble de euros que
Ana, tendremos que y = 2x. Ambas
ecuaciones juntas forman el siguiente
sistema:


             x + y = 600
                                            y = 2x

Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay
una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación,
con lo que tendremos:

y = 2x
          ⇒ 2x = 600 - x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200
y = 600 - x

Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con
lo que tendremos:


                                y = 2x ⇒ y = 400


                                                                                             8
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Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones.
Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene
400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con el
método de sustitución.

ACTIVIDADES

    8. Un grupo de amigos tuyos alquila una casa rural para pasar un quot;puentequot;. Le
       preguntan al dueño si hay animales en la casa, cuántos y de qué tipo. El dueño,
       dándoselas de quot;graciosoquot; delante de los, según él, tontos de la capital les
       responde:

                    quot;Tenemos 22 cabezas y 70 patas entre conejos y pájarosquot;.

        Ayuda a tus amigos para que no queden como quot;pardillosquot; y averigua cuántos
        conejos y cuántos pájaros hay en la casa que han alquilado.

                      5x + y = 6
        9. Resuelve: 
                     3 x + 4 y = 7

                      2 x − 3 y = 7
        10. Resuelve: 
                       3x + y = 5

5.- Métodos analíticos de resolución: Reducción



El último de los métodos analíticos que vamos a aprender a utilizar en esta Unidad para
resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas es el método de
reducción. En resumen, consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os)
número(s) de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los
coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signo contrario. A continuación se
suman las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una
incógnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incógnita: una
consiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción); la
otra es sustituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la
otra. Veamos el proceso por fases.

   i.   Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las
        incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,
  ii.   Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.
 iii.   Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.
 iv.    Para este paso hay dos opciones:
          a.    Se repite el proceso con la otra incógnita.
          b. Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y
                se despeja la otra.

De nuevo es evidente que todas las aclaraciones hechas en la sección del método de
sustitución sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas
(en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.


                                                                                           9
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Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones.
Veamos de nuevo el mismo ejemplo de los métodos anteriores resuelto por el método de
reducción:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros,
pero Sergio tiene el doble de euros que
Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e
y al de Sergio. Vamos a expresar las
condiciones del problema mediante
ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros,
esto nos proporciona la ecuación x + y =
600. Si Sergio tiene el doble de euros que
Ana, tendremos que y = 2x. Ambas
ecuaciones juntas forman el siguiente
sistema:


             x + y = 600
            2x - y = 0

Vamos a resolver el sistema por el
método de reducción. Para ello, teniendo en cuenta que, en ambas ecuaciones, la y tiene
coeficientes opuestos, podemos pasar a sumar directamente ambas y nos quedará:


                  3x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200

A partir de este momento es cuando se pueden aplicar cualquiera de las dos posibilidades
descritas más arriba. Como en secciones anteriores ya hemos resuelto esta parte del
problema sustituyendo la x para despejar la y, vamos ahora a utilizar la otra posibilidad, es
decir, vamos a terminar el ejercicio con la forma más pura posible de aplicación del
método de reducción. Para ello, vamos a volver a aplicar el método para hallar la y sin
tener que recurrir a ninguna sustitución.

Multiplicamos la primera ecuación por -2 y obtendremos el siguiente sistema, equivalente
al inicial:


                                 -2x - 2y = -1200
                                   2x - y = 0

Si sumamos ambas ecuaciones de este sistema tendremos:


              -3y = -1200 ⇒ y = 1200/3 ⇒ y = 400




                                                                                          10
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Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones.
Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene
400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los
métodos de sustitución e igualación.

En la próxima sección analizaremos el último método que nos queda por ver para resolver
los sistemas de ecuaciones y que, además, es el único que no es analítico, sino gráfico.

ACTIVIDADES

       10. Resuelve:
                  4 x − 5 y = −1
              1. 
                   2 x − y = −4
                  5 x − 2 y = 0
              2. 
                   2x + y = 9
                  − 3 x − y = 8
              3. 
                   x− y =0
                 1
                  x + 4 y = 15
              4.  3
                  x − 6y = 0
                 



7.- Resolución de problemas mediante sistemas de
ecuaciones

La resolución de problemas en general, y mediante sistemas de ecuaciones en este caso
particular, es un proceso complejo para el que, desgraciada o afortunadamente (según se
mire), no hay reglas fijas ni resultados teóricos que garanticen un buen fin en todas las
ocasiones.

De todas formas, si hay algo que ayuda en cualquier caso a llevar a buen puerto la
resolución de un problema es el orden. Por ello, hay que ser metódico y habituarse a
proceder de un modo ordenado siguiendo unas cuantas fases en el desarrollo de dicha
resolución.

Las cuatro fases que habrá que seguir para resolver                                 un
problema son:

  I.      Comprender el problema.
 II.      Plantear el problema.
III.      Resolver el problema (en este caso, el
          sistema).
IV.       Comprobar la solución.

Todo ello quizás quede más claro si se observa el siguiente cuadro que detalla, una a una,
las cuatro fases de este proceso:




                                                                                         11
C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A.
Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones.

   1. Comprender el problema.                2. Plantear el problema.

           Leer detenidamente el                    Pensar en las condiciones del
       •                                        •
           enunciado.                               problema y concebir un plan de
           Hacer un gráfico o un                    acción,
       •
           esquema que refleje las                  Elegir las operaciones y anotar el
                                                •
           condiciones del problema.                orden en que debes realizarlas.

           Identificar los datos conocidos          Expresar las condiciones del
       •                                        •
           y las incógnitas.                        problema mediante ecuaciones.
   3. Resolver el problema.                  4. Comprobar la solución.

           Resolver las operaciones en el           Comprobar si hay más de una
       •                                        •
           orden establecido.                       solución.
           Resolver las ecuaciones o                Comprobar que la solución
       •                                        •
           sistemas resultantes de la fase          obtenida verifica la ecuación o el
           2.                                       sistema.

           Asegurarse de realizar                   Comprobar que las soluciones son
       •                                        •
           correctamente las                        acordes con el enunciado y que se
           operaciones, las ecuaciones y            cumplen las condiciones de éste.
           los sistemas.

Veamos ahora con un ejemplo práctico el desarrollo de estas cuatro fases de la resolución
de un problema mediante el uso de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos
incógnitas. El enunciado del problema puede ser el siguiente:

En una examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto
vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado
Juan?, ¿cuántas ha fallado?.

Pasemos de inmediato a la primera fase. Una vez leído detenidamente el enunciado del
problema y entendido éste, hay que tener claro qué es lo que se pregunta y cómo vamos a
llamar a las incógnitas que vamos a manejar en la resolución del problema.

Está claro que las preguntas que hay que contestar son las del final del enunciado, es
decir, cuántas preguntas ha fallado y cuántas ha acertado Juan. Llamemos entonces x al
número de respuestas acertadas e y al de falladas.

En la segunda fase, hay que efectuar el planteamiento del problema. Atendiendo a las
condiciones que nos propone el enunciado y a cómo hemos nombrado las incógnitas,
tendremos las siguientes ecuaciones:


El número total de preguntas es 20, luego:     x + y = 20
La nota es un 8 y cada fallo resta dos puntos:        x - 2y = 8




                                                                                         12
C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A.
Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones.
Ya tenemos el sistema planteado, por tanto, pasamos a la tercera fase, es decir, la
resolución del sistema. Para ello, podemos utilizar cualquiera de los métodos vistos en las
secciones anteriores. Si aplicamos, por ejemplo, el método de sustitución tendremos:


           De la segunda ecuación:                           x = 2y + 8 ;

                      sustituyendo en la primera:

   2y + 8 + y = 20 ⇒ 3y = 12 ⇒ y = 12/3 ⇒ y = 4 ;

sustituyendo en la ecuación del principio:                                     x = 16 .


Una vez halladas las soluciones del sistema, las traducimos a las condiciones del
problema, es decir, tal y como habíamos nombrado las incógnitas, Juan ha acertado 16
preguntas y ha fallado 4. Podemos pasar pues a la cuarta fase que consiste en comprobar
si la solución es correcta.

Si ha acertado 16 preguntas, Juan tendría en principio 16 puntos, pero, al haber fallado 4,
le restarán el doble de puntos, es decir 8. Por tanto, 16 - 8 = 8 que es la nota que, según el
enunciado del problema, ha obtenido. Luego se cumplen las condiciones del problema y
la solución hallada es correcta y válida.



ACTIVIDADES
    12. En un bar hemos pagado 5,40 € por dos refrescos y dos bocadillos. Al día
        siguiente hemos pagado 9,60 € por tres refrescos y cuatro bocadillos. ¿Cuál es el
        precio de cada refresco y de cada bocadillo?
    13. Para ahorrar un poco en casa, he decidido mezclar aceite de oliva virgen a 5 €/L
        con otro de inferior calidad a 2 €/l. ¿Qué cantidad debo comprar de cada aceite si
        consumimos 8 litros al mes y mi presupuesto para aceite es de 25 euros/mes?
    14. Un videoclub alquila películas a precio fijo por dos días. Si el cliente las devuelve
        pasado ese tiempo se le sanciona con una cantidad fija por día transcurrido. Juan
        pagó 9,50 € por tener 7 días una película y María 5 euros por otra que tuvo 4 días.
        ¿Cuál es el precio fijo por los dos primeros días? ¿Cuál es la sanción por cada día
        de retraso?
    15. Un rectángulo tiene 360 cm de perímetro. Si tuviese 60 cm menos de largo y la
        mitad de ancho sería cuadrado. Calcula sus dimensiones.
    16.
Por presumir de certero                 Dieciséis veces tiró
un tirador atrevido                     el tirador afamado
se encontró comprometido                al fin dijo, despechado
en el lance que os refiero:             por los tiros que falló:

Y fue, que ante una caseta             quot;Mala escopeta fue el cebo
de la feria del lugar                  y la causa de mi afrenta
presumió de no fallar                  pero ajustada la cuenta


                                                                                            13
C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A.
Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones.


ni un tiro con la escopeta,             ni me debes ni te deboquot;.

y el feriante alzando el gallo          Y todo el que atentamente
un duro ofreció pagarle                 este relato siguió
por cada acierto y cobrarle             podrá decir fácilmente
a tres pesetas el fallo.                cuántos tiros acertó.

                                                    Rafael Rodríguez Vidal. Enjambre matemático

      17. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco
          litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?
      18. En una pastelería se fabrican dos clases de tartas. La primera necesita 2'4 Kg de
          masa y 3 horas de elaboración. La segunda necesita 4 Kg de masa y 2 horas de
          elaboración. Calcula el número de tartas elaboradas de cada tipo si se han
          dedicado 67 horas de trabajo y 80 Kg de masa.
      19. Un número está formado por dos cifras cuya suma es 15. Si se toma la cuarta parte
          del número y se le agregan 45 resulta el número con las cifras invertidas. ¿Cuál es
          el número?
      20. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor que el otro.
          ¿Cuánto mide cada ángulo del triángulo?
      21. En un pueblo, hace muchos años, se utilizaba, como unidades de medida de peso,
          la libra y la onza. Recientemente se encontró un documento del siglo pasado en el
          que aparecían los siguientes pasajes: quot;... pesando 3 libras y 4 onzas, es decir 1495
          gramos...quot; y quot;... resultando 2 libras y 8 onzas, cuando el extranjero preguntó por
          el peso en gramos le contestaron 1150 gramosquot;. ¿Sabrías calcular el valor, en
          gramos, de la libra y la onza?

ACTIVIDADES

1.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que prefieras
01)        x + y = 14
           x-y=6

02)        2x - 3y = - 14
           3x + 3y = 39

03)        - 4x - 4y = 30
           4x + 5y = - 44

04)        5x + y = 8
           4x + y = 6

05)        6x + 4y = 14
           6x - 3y = - 21

06)        3x + 5 = y
           y - 11 = 6x


                                                                                            14
C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A.
Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones.
07)


08)



09)     4x + 0.3y = 16.9
        0.5x - 3y = - 7

10)     0.2x + 5y = 7
        0.3x + 0.4y = 3.4

11)     2(x + y) - 4 = 10 - x
        0.3x + 0.4y = 3.4

12)     4x - 2y + 8 = 8y - 6x - 2
        3(x - y +1) = 3y - 2x - 9

13)     2(x + y) = 3(x - y)
        3y = x + 2

14)     2(3x - 4y) = 38
        3(2x + 3y) + 4 = 5x

15)

        (x - y) - (6x + 8y) = - (10x + 5y + 3)
16)
        (x + y) - (9y - 11x) = 2y - 2x

17)     x(y - 2) - y(x -3) = - 14
        y(x - 6) - x(y + 9) = 54

18)



19)     3x - 4y - 2(2x - 7) = 0
        5(x - 1) - (2y - 1) = 0




                                                 15
C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A.
Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones.
20)      5x - 0.5 = 5y + 0.5

         8y + 3 = 4x + 9

2.- Escribe varias soluciones de la ecuación 7 x + 3 y = 10
                                      3
3.- Ordena la ecuación 2(3x + 4) − (2 y + 4) = 5 y encuentra alguna solución.
                                      4
4.- Halla a para que x = 1 e y = 2 sean solución del sistema
ax − 3 y = 5

 4x + y = 6
                                                                      2 x + 3 y = 6.4
5.- Redacta un enunciado que se pueda representar con el sistema                      siendo
                                                                       x − y = 0,2
x el precio del kilo de arroz e y el precio del kilo de azúcar y calcúlalos.
6.- Clasifica los siguientes sistemas según tengan o no solución y encuéntrala en caso de
que la haya.
         2 x + 4 y = 6
    a) 
          x − 3 y = −2
          x + 2y = 3
    b) 
         3 x + 6 y = 4
          5x + 2 y = 7
    c) 
         15 x + 6 y = 21
          2x = 4 − y
    d) 
         3 x + 2 y = 7

7.- En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos
luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8
patas).

8.- Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30
cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5
puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno
obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente?

9.- Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma
es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174.

10.- En la fiesta de una amigo se han repartido entre los 20 asistentes el mismo número de
monedas. Como a última hora ha acudido un chico más nos han dado a todos 1 moneda
menos y han sobrado 17. ¿Cuantas monedas para repartía se tenía?

11.- Un crucero tiene habitaciones dobles (2 camas) y sencillas (1 cama). En total tiene 47
habitaciones y 79 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?

12.- Dos grifos han llenado un depósito de 31 m3 corriendo el uno 7 horas y el otro 2
horas. Después llenan otro depósito 27 m3 corriendo el uno 4 horas y el otro 3 horas.
¿Cuántos litros vierte por hora cada grifo?


                                                                                            16
C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A.
Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones.

13.- Resuelve los siguientes sistemas:
                    x 2 + y 2 = 61
                                  
                a.
                     2x − y = 4 
                     x 2 + y 2 = 25
                                    
                b.
                     4 y + 12 = 6 x 
                   x 2 + 3 xy = 22
                                  
                c.
                      x+ y =5 
                     x 2 + y 2 − xy = 7 
                                        
                d.
                          x+ y =5 




                                                 17

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Unidad 9. Sistemas de ecuaciones

  • 1. C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A. Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones. UNIDAD 9.- SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos: 1/4 anchura + longitud = 7 manos longitud + anchura = 10 manos 1
  • 2. C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A. Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones. 1.- Definición. Soluciones. 1.1.- Definición Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de expresiones algebraicas que se suelen representar de la siguiente forma: ax + by = p cx + dy = q donde x e y son las incógnitas, a, b, c y d son los coeficientes y p y q son los términos independientes. Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas puede ser: x + y = 10 x-y=2 Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, por separado, tendrían infinitas soluciones, ya que hay infinitas parejas de números que sumen 10 y, por otro lado, infinitos pares de números cuya resta sea 2. Sin embargo, al considerar juntas ambas ecuaciones para formar el sistema, estaremos buscando un par de números (x, y) que cumplan a la vez las dos. Los sistemas de ecuaciones responden a planteamientos de problemáticas muy diversas. Por ejemplo, el sistema que hemos propuesto más arriba, podría ser el planteamiento para resolver un problema de este tipo: Entre lápices y gomas tengo diez piezas de material escolar. Tengo dos lápices más que gomas. ¿Cuántos lápices y cuántas gomas tengo? Los sistemas de ecuaciones nos ayudan, por tanto, a plantear y resolver problemas parecidos al redactado en el párrafo anterior. Vamos pues, en esta Unidad, a profundizar en el conocimiento y manejo del planteamiento y la resolución de estos problemas utilizando como herramienta los sistemas de ecuaciones. 1.2.- Soluciones En el ejemplo anterior, decíamos que buscábamos un par de números que cumplieran las dos ecuaciones del sistema. Pues bien, ese par de números (x, y) que satisface ambas ecuaciones de un sistema se llama solución del sistema de ecuaciones. En el caso del problema que utilizamos como ejemplo, la solución vendría dada por el par de números (6, 4), es decir, x = 6 e y = 4. Por tanto, la respuesta del problema planteado 2
  • 3. C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A. Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones. sería que tengo seis lápices y cuatro gomas. Debemos insistir en que 6 y 4 no son dos soluciones del sistema, sino que es una solución y ésta está formada por dos números. ¿Quiere decir esto que siempre un sistema de ecuaciones tiene un par de números por solución? Pues no. En realidad, un poco más adelante en la Unidad veremos que un sistema de ecuaciones puede que no tenga solución, e, incluso, puede que tenga infinitas soluciones. Esto dependerá del tipo de sistema de que se trate. 2.- Clasificación de sistemas En realidad, los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar por diversos motivos, es decir, atendiendo a diversas propiedades de los mismos. Por ejemplo, se pueden clasificar según el grado de las ecuaciones. Tendríamos entonces: Sistema lineal: si todas las ecuaciones son lineales.  Sistema no lineal: si no todas las ecuaciones son lineales.  De estos dos tipos de sistemas, nosotros estamos tratando en esta Unidad los sistemas lineales. Por otro lado, también se pueden clasificar los sistemas según el número de ecuaciones o de incógnitas que tengan, es decir, podríamos hablar entonces de: Sistemas de dos ecuaciones.  Sistemas de tres ecuaciones.  etc. . . . .  O bien de: Sistemas de una incógnita.  Sistemas de dos incógnitas.  Sistemas de tres incógnitas.  etc. . . . .  En estos casos, debemos dejar claro de nuevo que, en esta Unidad, estamos estudiando los sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. Por tanto, cuando hacemos referencia a una clasificación de los sistemas, estamos aludiendo a aquella que los etiqueta y distingue según la existencia o no de soluciones y, en el primer caso, el número de ellas. Esta, la más importante, clasificación de los sistemas es la siguiente: I. Sistema compatible: es el que tiene solución. Dependiendo del número de soluciones puede ser: i. Sistema compatible determinado si tiene una única solución. ii. Sistema compatible indeterminado si tiene múltiples soluciones. 3
  • 4. C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A. Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones. II. Sistema incompatible: es el que no tiene solución. Más adelante, cuando veamos la interpretación gráfica o geométrica de los sistemas de ecuaciones y, por tanto, el método gráfico para resolverlas, seremos conscientes de que cuando hablamos de múltiples soluciones, en realidad, estamos hablando de infinitas soluciones. Es decir, un sistema compatible indeterminado es aquel que tiene infinitas soluciones. Antes de desarrollar en el siguiente punto los distintos métodos de resolución de los sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, vamos a ver algunos ejemplos de los tipos de sistemas que hemos mencionado en esta sección: Sistema no lineal de dos ecuaciones con Sistema no lineal de tres ecuaciones con dos incógnitas una incógnita Sistema lineal de dos ecuaciones con Sistema lineal de tres ecuaciones con dos incógnitas tres incógnitas ACTIVIDADES 1. ¿De cuáles de estos sistemas es solución el par x = 1, y = -3? 2. Escribe otro sistema que tenga la misma solución. 3. Completa los siguientes sistemas para que la solución de todos ellos sea: x=2 y = -1 4
  • 5. C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A. Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones. 3.- Métodos analíticos de resolución: Sustitución Antes de centrarnos en el método de sustitución, vamos a hablar de algunas generalidades sobre la resolución de los sistemas de ecuaciones. En primer lugar, hay que saber que, en realidad, resolver adecuadamente un sistema es un proceso que consta de dos fases: discusión y resolución. La discusión consiste en clasificar el sistema según el esquema visto en la sección anterior, es decir, analizar si el sistema tiene o no solución y, en caso de tenerla, cuántas soluciones. Por otro lado, para la resolución, una vez comprobado que el sistema tiene solución, se utilizará uno de los métodos que en esta Unidad se describen. En principio, por tanto, la discusión es un proceso anterior al de resolución. Ahora bien, estas fases sólo se realizan en ese orden cuando se utilizan métodos para la resolución de los sistemas distintos de los que veremos en este nivel y que, por tanto, quedan fuera del ámbito de este curso. Por ello, en este momento, ambos procesos, la discusión y la resolución del sistema, se harán de manera simultánea. En cuanto a la resolución, los métodos que veremos en esta Unidad, que no son todos como ha quedado indicado más arriba, se dividen en dos grupos: métodos analíticos y método gráfico. Los métodos analíticos son los que permiten la resolución (y discusión) del sistema sin necesidad de recurrir a su representación gráfica, es decir, mediante la utilización de la equivalencia de sistemas, ya vista anteriormente, y simples operaciones aritméticas. Los métodos analíticos, que iremos viendo uno a uno, son tres: sustitución, igualación y reducción. Por contra, el método gráfico (sólo hay uno), consiste, como su propio nombre indica) en resolver (y discutir) el sistema mediante la representación gráfica de sus ecuaciones. De ahora en adelante, iremos viendo, uno por uno, los diferentes métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones y, al mismo tiempo, cómo, simultáneamente, se puede ir haciendo, en cada caso, la discusión del sistema. Vamos a empezar pues con el método de sustitución: De manera esquemática, para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución hay que seguir las siguientes fases: i. Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones. ii. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de primer grado en una incógnita que resulta de esta sustitución. iii. Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso. Evidentemente, aún cuando la incógnita que se va a despejar en el primer paso puede ser cualquiera y de cualquier ecuación, es mejor, por la facilidad de los cálculos posteriores, hacer una buena elección de ambas, incógnita y ecuación. Queremos decir que será más fácil operar después si, por ejemplo, se elige una incógnita en una ecuación en la que quot;no 5
  • 6. C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A. Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones. tengaquot; coeficiente (es decir, que su coeficiente sea 1), ya que, en ese caso, podremos evitar el cálculo con fracciones. Hemos mencionado, en los párrafos anteriores, que, de manera simultánea, se puede ir haciendo la discusión del sistema. ¿Cómo?. Pues bien, si en el proceso de sustituir la incógnita despejada en el primer paso en la otra ecuación e intentar resolverla nos quedase una expresión del tipo quot;0 = 0quot;, o quot;K = Kquot;, siendo K un número cualquiera (por ejemplo, 4 = 4), tendremos que el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Esto se debe a que, en ese caso, una de las ecuaciones es múltiplo de la otra y el sistema quedaría reducido a una sola ecuación, con lo que habría infinitos pares de números (x, y) que la cumplirían. Este tipo de ecuación (0 = 0) se llama ecuación trivial. Por otro lado, si la ecuación que nos resultase en el proceso anteriormente explicado fuera de la forma quot;K = 0quot;, siendo K cualquier número distinto de 0, tendremos que el sistema es incompatible por lo que, en ese caso, no tiene solución. Esto es claro por la imposibilidad de la expresión aparecida. Este tipo de ecuación (K = 0) se llama ecuación degenerada. No habría, por tanto, ningún par de números (x, y) que cumplieran ambas ecuaciones del sistema. Por último, si no nos encontramos, al resolver el sistema, ninguna de los tipos antes descritos de ecuaciones (triviales y degeneradas) y llegamos, al final de su resolución, a un valor para la incógnita x y a otro para la y, estos dos valores formarán el par (x, y) que nos da la solución del sistema y éste tendrá, por tanto una única solución y será un sistema compatible determinado. Todas las aclaraciones de los párrafos anteriores sobre la discusión de los sistemas son válidas, no sólo para el método de sustitución, sino también para los otros dos métodos de tipo analítico, igualación y reducción, que veremos en las secciones siguientes. Veamos ahora un ejemplo de resolución de un sistema mediante el método de sustitución: Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?. Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema: x + y = 600 y = 2x Vamos a resolver el sistema por el método de sustitución, ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, ya despejada. Sustituimos el valor de y = 2x en la primera ecuación, con lo que tendremos: 6
  • 7. C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A. Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones. x + 2x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200 Ahora sustituimos x = 200 en la ecuación en la que estaba despejada la y, con lo que tendremos: y = 2x ⇒ y = 400 Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros ACTIVIDADES 4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de sustitución: 1. 2. 3. 5. Los sistemas de ecuaciones del ejercicio anterior, ¿de qué tipo son?. Clasifícalos. 6. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones. Clasifica el sistema según sus soluciones. 7. Alberto cambia 1940 ptas. en dólares y euros. Le dan 8 euros y 4 dólares. Después, cambia para un amigo 3190 ptas. y le dan 10 euros y 10 dólares. ¿A qué cambio, en pesetas, se han cotizado el euro y el dólar? 4.- Métodos analíticos de resolución: Igualación 7
  • 8. C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A. Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones. El método de igualación consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes: i. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. ii. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta. iii. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso. Evidentemente, todas las aclaraciones hechas en la sección anterior sobre la elección de la incógnita que queremos despejar, así como sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método. A continuación, vamos a resolver el mismo ejercicio de la sección anterior mediante el método de igualación. Recordamos el enunciado del ejercicio, así como el sistema de ecuaciones al que daba lugar su planteamiento: Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?. Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema: x + y = 600 y = 2x Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos: y = 2x ⇒ 2x = 600 - x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200 y = 600 - x Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con lo que tendremos: y = 2x ⇒ y = 400 8
  • 9. C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A. Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones. Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con el método de sustitución. ACTIVIDADES 8. Un grupo de amigos tuyos alquila una casa rural para pasar un quot;puentequot;. Le preguntan al dueño si hay animales en la casa, cuántos y de qué tipo. El dueño, dándoselas de quot;graciosoquot; delante de los, según él, tontos de la capital les responde: quot;Tenemos 22 cabezas y 70 patas entre conejos y pájarosquot;. Ayuda a tus amigos para que no queden como quot;pardillosquot; y averigua cuántos conejos y cuántos pájaros hay en la casa que han alquilado.  5x + y = 6 9. Resuelve:  3 x + 4 y = 7 2 x − 3 y = 7 10. Resuelve:   3x + y = 5 5.- Métodos analíticos de resolución: Reducción El último de los métodos analíticos que vamos a aprender a utilizar en esta Unidad para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas es el método de reducción. En resumen, consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signo contrario. A continuación se suman las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incógnita: una consiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción); la otra es sustituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la otra. Veamos el proceso por fases. i. Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario, ii. Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior. iii. Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta. iv. Para este paso hay dos opciones: a. Se repite el proceso con la otra incógnita. b. Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra. De nuevo es evidente que todas las aclaraciones hechas en la sección del método de sustitución sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método. 9
  • 10. C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A. Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones. Veamos de nuevo el mismo ejemplo de los métodos anteriores resuelto por el método de reducción: Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?. Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema: x + y = 600 2x - y = 0 Vamos a resolver el sistema por el método de reducción. Para ello, teniendo en cuenta que, en ambas ecuaciones, la y tiene coeficientes opuestos, podemos pasar a sumar directamente ambas y nos quedará: 3x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200 A partir de este momento es cuando se pueden aplicar cualquiera de las dos posibilidades descritas más arriba. Como en secciones anteriores ya hemos resuelto esta parte del problema sustituyendo la x para despejar la y, vamos ahora a utilizar la otra posibilidad, es decir, vamos a terminar el ejercicio con la forma más pura posible de aplicación del método de reducción. Para ello, vamos a volver a aplicar el método para hallar la y sin tener que recurrir a ninguna sustitución. Multiplicamos la primera ecuación por -2 y obtendremos el siguiente sistema, equivalente al inicial: -2x - 2y = -1200 2x - y = 0 Si sumamos ambas ecuaciones de este sistema tendremos: -3y = -1200 ⇒ y = 1200/3 ⇒ y = 400 10
  • 11. C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A. Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones. Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los métodos de sustitución e igualación. En la próxima sección analizaremos el último método que nos queda por ver para resolver los sistemas de ecuaciones y que, además, es el único que no es analítico, sino gráfico. ACTIVIDADES 10. Resuelve: 4 x − 5 y = −1 1.   2 x − y = −4 5 x − 2 y = 0 2.   2x + y = 9 − 3 x − y = 8 3.   x− y =0 1  x + 4 y = 15 4.  3  x − 6y = 0  7.- Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones La resolución de problemas en general, y mediante sistemas de ecuaciones en este caso particular, es un proceso complejo para el que, desgraciada o afortunadamente (según se mire), no hay reglas fijas ni resultados teóricos que garanticen un buen fin en todas las ocasiones. De todas formas, si hay algo que ayuda en cualquier caso a llevar a buen puerto la resolución de un problema es el orden. Por ello, hay que ser metódico y habituarse a proceder de un modo ordenado siguiendo unas cuantas fases en el desarrollo de dicha resolución. Las cuatro fases que habrá que seguir para resolver un problema son: I. Comprender el problema. II. Plantear el problema. III. Resolver el problema (en este caso, el sistema). IV. Comprobar la solución. Todo ello quizás quede más claro si se observa el siguiente cuadro que detalla, una a una, las cuatro fases de este proceso: 11
  • 12. C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A. Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones. 1. Comprender el problema. 2. Plantear el problema. Leer detenidamente el Pensar en las condiciones del • • enunciado. problema y concebir un plan de Hacer un gráfico o un acción, • esquema que refleje las Elegir las operaciones y anotar el • condiciones del problema. orden en que debes realizarlas. Identificar los datos conocidos Expresar las condiciones del • • y las incógnitas. problema mediante ecuaciones. 3. Resolver el problema. 4. Comprobar la solución. Resolver las operaciones en el Comprobar si hay más de una • • orden establecido. solución. Resolver las ecuaciones o Comprobar que la solución • • sistemas resultantes de la fase obtenida verifica la ecuación o el 2. sistema. Asegurarse de realizar Comprobar que las soluciones son • • correctamente las acordes con el enunciado y que se operaciones, las ecuaciones y cumplen las condiciones de éste. los sistemas. Veamos ahora con un ejemplo práctico el desarrollo de estas cuatro fases de la resolución de un problema mediante el uso de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. El enunciado del problema puede ser el siguiente: En una examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?. Pasemos de inmediato a la primera fase. Una vez leído detenidamente el enunciado del problema y entendido éste, hay que tener claro qué es lo que se pregunta y cómo vamos a llamar a las incógnitas que vamos a manejar en la resolución del problema. Está claro que las preguntas que hay que contestar son las del final del enunciado, es decir, cuántas preguntas ha fallado y cuántas ha acertado Juan. Llamemos entonces x al número de respuestas acertadas e y al de falladas. En la segunda fase, hay que efectuar el planteamiento del problema. Atendiendo a las condiciones que nos propone el enunciado y a cómo hemos nombrado las incógnitas, tendremos las siguientes ecuaciones: El número total de preguntas es 20, luego: x + y = 20 La nota es un 8 y cada fallo resta dos puntos: x - 2y = 8 12
  • 13. C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A. Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones. Ya tenemos el sistema planteado, por tanto, pasamos a la tercera fase, es decir, la resolución del sistema. Para ello, podemos utilizar cualquiera de los métodos vistos en las secciones anteriores. Si aplicamos, por ejemplo, el método de sustitución tendremos: De la segunda ecuación: x = 2y + 8 ; sustituyendo en la primera: 2y + 8 + y = 20 ⇒ 3y = 12 ⇒ y = 12/3 ⇒ y = 4 ; sustituyendo en la ecuación del principio: x = 16 . Una vez halladas las soluciones del sistema, las traducimos a las condiciones del problema, es decir, tal y como habíamos nombrado las incógnitas, Juan ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4. Podemos pasar pues a la cuarta fase que consiste en comprobar si la solución es correcta. Si ha acertado 16 preguntas, Juan tendría en principio 16 puntos, pero, al haber fallado 4, le restarán el doble de puntos, es decir 8. Por tanto, 16 - 8 = 8 que es la nota que, según el enunciado del problema, ha obtenido. Luego se cumplen las condiciones del problema y la solución hallada es correcta y válida. ACTIVIDADES 12. En un bar hemos pagado 5,40 € por dos refrescos y dos bocadillos. Al día siguiente hemos pagado 9,60 € por tres refrescos y cuatro bocadillos. ¿Cuál es el precio de cada refresco y de cada bocadillo? 13. Para ahorrar un poco en casa, he decidido mezclar aceite de oliva virgen a 5 €/L con otro de inferior calidad a 2 €/l. ¿Qué cantidad debo comprar de cada aceite si consumimos 8 litros al mes y mi presupuesto para aceite es de 25 euros/mes? 14. Un videoclub alquila películas a precio fijo por dos días. Si el cliente las devuelve pasado ese tiempo se le sanciona con una cantidad fija por día transcurrido. Juan pagó 9,50 € por tener 7 días una película y María 5 euros por otra que tuvo 4 días. ¿Cuál es el precio fijo por los dos primeros días? ¿Cuál es la sanción por cada día de retraso? 15. Un rectángulo tiene 360 cm de perímetro. Si tuviese 60 cm menos de largo y la mitad de ancho sería cuadrado. Calcula sus dimensiones. 16. Por presumir de certero Dieciséis veces tiró un tirador atrevido el tirador afamado se encontró comprometido al fin dijo, despechado en el lance que os refiero: por los tiros que falló: Y fue, que ante una caseta quot;Mala escopeta fue el cebo de la feria del lugar y la causa de mi afrenta presumió de no fallar pero ajustada la cuenta 13
  • 14. C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A. Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones. ni un tiro con la escopeta, ni me debes ni te deboquot;. y el feriante alzando el gallo Y todo el que atentamente un duro ofreció pagarle este relato siguió por cada acierto y cobrarle podrá decir fácilmente a tres pesetas el fallo. cuántos tiros acertó. Rafael Rodríguez Vidal. Enjambre matemático 17. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? 18. En una pastelería se fabrican dos clases de tartas. La primera necesita 2'4 Kg de masa y 3 horas de elaboración. La segunda necesita 4 Kg de masa y 2 horas de elaboración. Calcula el número de tartas elaboradas de cada tipo si se han dedicado 67 horas de trabajo y 80 Kg de masa. 19. Un número está formado por dos cifras cuya suma es 15. Si se toma la cuarta parte del número y se le agregan 45 resulta el número con las cifras invertidas. ¿Cuál es el número? 20. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo del triángulo? 21. En un pueblo, hace muchos años, se utilizaba, como unidades de medida de peso, la libra y la onza. Recientemente se encontró un documento del siglo pasado en el que aparecían los siguientes pasajes: quot;... pesando 3 libras y 4 onzas, es decir 1495 gramos...quot; y quot;... resultando 2 libras y 8 onzas, cuando el extranjero preguntó por el peso en gramos le contestaron 1150 gramosquot;. ¿Sabrías calcular el valor, en gramos, de la libra y la onza? ACTIVIDADES 1.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que prefieras 01) x + y = 14 x-y=6 02) 2x - 3y = - 14 3x + 3y = 39 03) - 4x - 4y = 30 4x + 5y = - 44 04) 5x + y = 8 4x + y = 6 05) 6x + 4y = 14 6x - 3y = - 21 06) 3x + 5 = y y - 11 = 6x 14
  • 15. C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A. Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones. 07) 08) 09) 4x + 0.3y = 16.9 0.5x - 3y = - 7 10) 0.2x + 5y = 7 0.3x + 0.4y = 3.4 11) 2(x + y) - 4 = 10 - x 0.3x + 0.4y = 3.4 12) 4x - 2y + 8 = 8y - 6x - 2 3(x - y +1) = 3y - 2x - 9 13) 2(x + y) = 3(x - y) 3y = x + 2 14) 2(3x - 4y) = 38 3(2x + 3y) + 4 = 5x 15) (x - y) - (6x + 8y) = - (10x + 5y + 3) 16) (x + y) - (9y - 11x) = 2y - 2x 17) x(y - 2) - y(x -3) = - 14 y(x - 6) - x(y + 9) = 54 18) 19) 3x - 4y - 2(2x - 7) = 0 5(x - 1) - (2y - 1) = 0 15
  • 16. C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A. Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones. 20) 5x - 0.5 = 5y + 0.5 8y + 3 = 4x + 9 2.- Escribe varias soluciones de la ecuación 7 x + 3 y = 10 3 3.- Ordena la ecuación 2(3x + 4) − (2 y + 4) = 5 y encuentra alguna solución. 4 4.- Halla a para que x = 1 e y = 2 sean solución del sistema ax − 3 y = 5   4x + y = 6 2 x + 3 y = 6.4 5.- Redacta un enunciado que se pueda representar con el sistema  siendo  x − y = 0,2 x el precio del kilo de arroz e y el precio del kilo de azúcar y calcúlalos. 6.- Clasifica los siguientes sistemas según tengan o no solución y encuéntrala en caso de que la haya. 2 x + 4 y = 6 a)   x − 3 y = −2  x + 2y = 3 b)  3 x + 6 y = 4  5x + 2 y = 7 c)  15 x + 6 y = 21  2x = 4 − y d)  3 x + 2 y = 7 7.- En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas). 8.- Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente? 9.- Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174. 10.- En la fiesta de una amigo se han repartido entre los 20 asistentes el mismo número de monedas. Como a última hora ha acudido un chico más nos han dado a todos 1 moneda menos y han sobrado 17. ¿Cuantas monedas para repartía se tenía? 11.- Un crucero tiene habitaciones dobles (2 camas) y sencillas (1 cama). En total tiene 47 habitaciones y 79 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo? 12.- Dos grifos han llenado un depósito de 31 m3 corriendo el uno 7 horas y el otro 2 horas. Después llenan otro depósito 27 m3 corriendo el uno 4 horas y el otro 3 horas. ¿Cuántos litros vierte por hora cada grifo? 16
  • 17. C.E.P.A. Gloria Fuertes 6º E.B.A. Matemáticas. Unidad 8. Sistemas de ecuaciones. 13.- Resuelve los siguientes sistemas: x 2 + y 2 = 61  a. 2x − y = 4  x 2 + y 2 = 25  b. 4 y + 12 = 6 x  x 2 + 3 xy = 22  c. x+ y =5  x 2 + y 2 − xy = 7   d. x+ y =5  17