1. Precálculo
Contenido
Función cuadrática
Funciones Racionales
Fracciones Parciales
 Factores lineales distintos (Diferencia en grado = 1)
 Factores lineales distintos (Diferencia en grado = 2)
 Factor Cuadrático
 Factor Cuadrático Irreducible
 Factor Cuadrático Irreducible repetido
Salir

2. Precálculo
Funciones Cuadráticas
1.- función
cuadrática
ax2 bx c
Función 2.- Completar Adicionar b2
el y
Cuadrática Restar 4a
cuadrado
2 2
3.- Nueva Expresión a x b c b
2a 2a
Menú

3. Precálculo
Función Racional
División de Polinomios
p x Numerador Dividendo
f x
q x Denominador Divisor
Menú

4. Precálculo
División de Polinomios
Componentes de
la División
Menú

5. Precálculo
División de Polinomios
Expresión del
Resultado
2 14 x 1
f x x 3 3
x 5x
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6. Precálculo
Fracciones Parciales
p x m x
h x
q x q x
Función Racional = Polinomio + Función Racional Propia
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7. Precálculo
Fracciones Parciales
P x
Son aquellas de la forma
Q x
Donde el grado del polinomio del numerador es mayor que el
grado del polinomio del denominador y que pueden ser
transformadas mediante la división planteada, en la forma:
M x
h x
Q x
Que es lo mismo que decir que se trata de un polinomio
en x más un residuo.
Menú

8. Precálculo
Fracciones Parciales
x5 2x3 x 1
En el caso , mediante la división propuesta puede ser
x3 5x
14 x 1
transformada en la forma x 2 3 , esto implica que el grado del
x3 5x
polinomio del numerador sea mayor que el grado del polinomio del
denominador.
x5 2 x3 x 1 2 14 x 1
x 3
x3 5 x x3 5 x
Menú

9. Precálculo
Fracciones Parciales
x5 2 x3 x 1 2 14 x 1
x 3
x3 5 x x3 5 x
x5 2 x3 x 1 14 x 1
x2 3
x3 5x x x2 5
x5 2 x3 x 1 A Bx C
x2 3
x3 5x x x2 5

10. Precálculo
Fracciones Parciales
Común Denominador
2 3 5x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
Fracciones Parciales

11. Precálculo
Factores lineales distintos
(Diferencia Grado = 1 )
El denominador es un producto de factores lineales distintos
p x
f x Diferencia en grado=1
q x
q x a1x b1 a2 x b2  an x bn
Factores Lineales distintos
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12. Precálculo
Factores lineales distintos
(Diferencia Grado = 1 )
3x 1
Expresión original
x2 x 6
Factorizando
el
denominador
Descomposición 3x 1
del
denominador
x 2 x 3
Deshaciendo
el común
denominador
Fracciones A B
Parciales x 2 x 3
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13. Precálculo
Descomponer en fracciones parciales:
3x 1 3x 1
, factorizando el denominador se tiene: ,expresión
F x 2
x 6 x 2 x 3
que puede ser descompuesta así:
A L
3x 1 A B Descomponiendo el producto del
C I D x 2 x 3 x 2 x 3 denominador.
T N I 3x 1 A x 3 B x 2 Tomando común denominador a la
x 2 x 3 x 2 x 3 derecha de la igualdad.
O E S
3x 1 x 2 x 3 Despejando el término que
A x 3 B x 2
R A T x 2 x 3 contiene las constantes A y B
Simplificando términos comunes a
E L I 3x 1 A x 3 B x 2 la izquierda de la igualdad.
3x 1 x A B 3A 2B Agrupando términos.
S E N
A 7 ,y
A B 3 De 5 Sistema de ecuaciones
S T 3A 2 B 1 donde B 8
simultaneas.
5
O 3x 1 3x 1
7
5
8
5 Fracciones parciales.
2
x x 6 x 2 x 3 x 2 x 3
S
Diferencia en grado = 1

14. Precálculo
Factores lineales distintos
(Diferencia Grado = 2 )
El denominador es un producto de factores lineales distintos
p x
f x Diferencia en grado=2
q x
q x x a1x b1 a2 x b2  an x bn
Factores Lineales distintos
Menú

15. Precálculo
Factores lineales distintos
(Diferencia Grado = 2 )
5x 3
Expresión original
x 3 2 x 2 3x
Factorizando “x”
Descomposición 5x 3
del
x x 3 x 1
denominador
Desagrupando el común
denominador
Fracciones A B C
Parciales x x 3 x 1
Menú

16. Precálculo
5x 3
3
, factorizando el denominador se tiene:
x 2x2 3x
F 5x 3
,expresión que puede ser descompuesta así:
x x 3 x 1
A L
Descomponiendo el
5x 3 A B C
C I D x x 3 x 1 x x 3 x 1
producto del
denominador en 3
funciones lineales.
T N I Tomando común
denominador a la
5x 3 A x 1 x 3 Bx x 1 Cx x 3 derecha de la igualdad
O E S y simplificando a la
izquierda.
R A T 5x 3 A x2 3 x x 3 B x2 Bx C x2 3C x
Eliminando los
paréntesis.
5x 3 Ax 2 3 A x Ax 3A B x2 Bx C x2 3C x
E L I
Agrupando en términos
5x 3 x2 A B C x 2A B 3C 3A de x.
S E N
A B C 0, B 1,
5 3A 4C Sistema de ecuaciones
S T 5 2 A B 3C, C 2, y simultaneas.
3 3A A 1
O
5x 3 1 1 2
Fracciones parciales.
S x x 3 x 3 x x 1 x 3

17. Precálculo
Factor Cuadrático
El denominador es un producto de un factor lineal y un factor cuadrático
p x
f x
q x
2
q x a1 x b1 a2 x b2
Factor Lineal por factor Cuadrático
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18. Precálculo
Factor Cuadrático
6 x2 3x 1
Expresión original
4 x3 x2 4x 1
Descomposición 6 x2 3x 1
del
denominador 4x 1 x2 1
Fracciones A Bx C
Parciales 4x 1 x2 1
Menú

19. Precálculo
6x2 3x 1 A Bx C
Reducir la expresión , a la forma lineal más cuadrática, así: .
2
4x 1 x 1 4x 1 x2 1
C 6x2 3x 1 A Bx C Descomponiendo
en factores.
4x 1 x2 1 4x 1 x2 1
U 6x2 3x 1 A x2 1 Bx C 4x 1 Tomando común
denominador.
4x 1 x2 1 4x 1 x2 1
F L A
6 x2 3x 1 4x 1 x2 1
A x2 1 Bx C 4x 1
A D Despejando
I 4x 1 x2 1
C N R 6x2 3x 1 A x2 1 Bx C 4x 1 Simplificando
Rompiendo los
6 x2 3 x 1 A x2 A 4 B x2 Bx 4C x C
T E Á paréntesis.
Agrupando
6 x2 3 x 1 x 2
A 4B x B 4C A C
O
términos en x.
A T
6 A 4B A 6 4B A 6 4 1 2
R L I 3
Ecuaciones
3 B 4C B 4 4B 5 B 1 Simultaneas.
C 17 B 20
1 A C 1 6 4B C 4B 5 C 1
O
6 x2 3x 1 2 1x 1
Por definición
4x 1 x2 1 4x 1 x2 1
6 x2 3x 1 2 x 1 Eliminando
4x 1 x2 1 4x 1 x2 1 paréntesis

20. Precálculo
Factor Cuadrático Irreducible
El denominador contiene un factor cuadrático irreducible
p x
f x
q x
2
q x x ax b
Factor Cuadrático Irreducible
Menú

21. Precálculo
Factor Cuadrático Irreducible
2 x2 x 4
Expresión original
x3 4 x
Tomando “x”
como factor común
en el denominador
Descomposición 2 x2 x 4
del
x x2 4
denominador
Desagrupando el comú
Fracciones A Bx C denominador
Parciales x x2 4

22. Precálculo
2x2 x 4
Transformar la expresión , a la forma de un factor lineal más otro factor cuadrático,
x3 4x
I así:
A Bx C
.
x2 4
C x
R 2x2 x 4 2x2 x 4
Factorizando x en el denominador.
U x3 4x x x2 4
R
F A 2x2 x 4 A Bx C Descomponiendo en factores
E x3 4x x x2 4 Parciales.
A D
2x2 A x2
D x3
x 4
4x
4 Bx
x x2 4
C x Tomando común denominador a la
derecha de la igualdad.
C R
U 2x2 x 4 x x2 4
T Á x3 4x
A x2 4 Bx C x Despejando
C
O T 2x2 x 4 A x2 4 Bx C x Simplificando
I 2x2 x 4 Ax2 4A Bx2 Cx Rompiendo los paréntesis.
R I
B 2x2 x 4 Ax2 Bx2 Cx 4A Reescribiendo los términos.
C 2x2 x 4 x2 A B Cx 4A Factorizando términos en x
L
O A B
1 C,
2, A 1,
B 1, Igualando términos y factores en el
E 4A 4 C 1
sistema de ecuaciones simultaneas.
2x2 x 4 1 1x 1 Reemplazando en la solución
x3 4x x x2 4 propuesta.

23. Precálculo
Factor Cuadrático Irreducible
Repetido
El denominador contiene más de un factor cuadrático irreducible
p x
f x
q x
2 2
q x ax b cx dx e
Factor Cuadrático Irreducible Repetido
Menú

24. Precálculo
Factor Cuadrático Irreducible Repetido
2 x3 3x 2 x 1
Expresión original 2 2
x 1 x 2x 2
Descomposición 2 x3 3x 2 x 1
del 2 2
x 1 x 2x 2
denominador
A Bx C Dx E
Fracciones 2
x 1 x2 2 x 2 x2 2 x 2
Parciales 
   
   
 
Faxtor Lineal Factor Cuadrático Factor Cuadrático
Rpetido Rpetido

25. Precálculo
Ejercicio
x2 x 21
Propuesto 2 x3 x2 8 x 4

26. Precálculo
Descomponiendo 2 x3 x2 8x 4 x2 4 2x 1
el
denominador
Desagrupando el x2 x 21 Ax B A1
común denominador x2 4 2x 1 x2 4 2x 1
Fracciones
x2 x 21 3x 1 5
Parciales 2 x3 x2 8 x 4 x2 4 2x 1