ecuaciones por reducion, igualacion, sustitucion, determinantes y formula cuadraticas

1. Sistema de ecuaciones algebraicas
En matemáticas, un sistema de ecuaciones
algebraicas es un conjunto de dos o más ecuaciones con
varias incógnitas que conforman un problema
matemático que consiste en encontrar los valores de las
incógnitas que satisfacen dichas operaciones.
En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas
son valores numéricos menores a la constante (o más
generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se
plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación
diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones
de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución
de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que
substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas
se cumplan automáticamente sin que se llegue a
una contradicción. En otras palabras el valor que
reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la
igualdad del sistema.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
7.1. Introducci´on Se denomina ecuaci´on lineal a aquella que
tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las
inc´ognitas no est´an elevadas a potencias, ni multiplicadas entre
s´ı, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una
ecuaci´on lineal con tres inc´ognitas. Como es bien sabido, las
ecuaciones lineales con 2 inc´ognitas representan una recta en el
plano. Si la ecuaci´on lineal tiene 3 inc´ognitas, su
representaci´on gr´afica es un plano en el espacio. Un ejemplo de
ambas representaciones.

2. Figura 7.1: Representaci´on gr´afica de la recta −x + 2y = 3 en el
plano y del del plano x + y + z = 1 en el espacio El objetivo del
tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir,
un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos
ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o
geom´etricamente representan la misma recta o plano.
7.2. Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones
lineales de la forma:
11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + ··· + a1n · xn = b1
a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + ··· + a2n · xn = b2 . .
. am1 · x1 + am2 · x2 + am3 · x3 + ··· + amn · xn =
bm
En este caso tenemos m ecuaciones y n inc´ognitas. Los
n´umeros reales aij se denominan coeficientes y los xi se
denominan inc´ognitas (o n´umeros a determinar) y bj se
denominan t´erminos independientes. En el caso de que las
inc´ognitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en
vez de x1 y x2 , y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3
pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver
el sistema consiste en calcular las inc´ognitas para que se
cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simult´aneamente.
Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las
mismas soluciones
Ejercicios
1. 6x – 7 = 2x + 5
6x – 2x = 5 + 7
4x = 12

3. x =12/4
La solución es x = 3
2. (13 + 2x)/(4x + 1 ) = 3/4
(13 + 2x)4 = 3(4x + 1 )
52 + 8x = 12x + 3
52 – 3 = 12x – 8
49 = 4x
La solución x = 49/4
3. (3 + 5x)/5 = (4 – x)/7
(3 + 5x)7 = (4 – x) 5
21 + 35x = 20 – 5x
35x + 5x = 20 – 21
40x = -1
La solución x = -1/
4. 4x – 3 = -12x + 5
4x +12x = 5 + 3
16x = 8

4. x = 8/16 = 1/2
La solución x = 1/2
5. 6x +2 – 3x = 7x + 4
3x + 2 = 7x + 4
3x – 7x = 4 – 2
-4x = 2
x = 2/-4
La solución x = -1/2
6. 4(2y + 5) = 3(5y – 2)
8y + 20 = 15y – 6
20 + 6 = 15y – 8y
26 = 7y
La solución y = 26/7
Sistema de ecuación segundo grado

5. Antes de comenzar a resolver estos sistemas es necesario
mencionar un concepto sumamente importante
Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la
forma: ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0
Se resuelve mediante la siguiente fórmula:
Ahora si, retomamos la explicación:
La resolución de estos sistemas se suele hacer por el
método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes
pasos:
1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones,
preferentemente la de primer grado
2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra
ecuación
3º Se resuelve la ecuación resultante.
4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la
otra incógnita
Apliquemos lo antes mencionado a un ejemplo concreto
1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones,
preferentemente en la de primer grado.

6. y = 7 − x
2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra
ecuación.
3º Se resuelve la ecuación resultante. (En el lado derecho se
muestran los cálculos auxiliares)
4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la
otra incógnita.
(Recorda que en el el paso 1 hallamos que y = 7 − x)
x = 3 y = 7 − 3 y = 4
x = 4 y = 7 − 4 y = 3
Cómo se resuelve una ecuación
Para empezar a aprender cómo se resuelve una ecuación es
necesario tener en claro qué es una ecuación. Una ecuación es
una expresión en la que hay una o varias cantidades
desconocidas llamadas incógnitas. Siempre tendrás un signo de
=, indicando que los términos que están del lado derecho tienen

7. el mismo valor que los términos del lado izquierdo. (Los
términos son cada una de las cantidades de que están separados
por un signo + o -). Las letras que aparezcan en la ecuación son
las incógnitas, y para encontrar su valor debes seguir los pasos
de cómo se resuelve una ecuación.
El valor de la incógnita, o variable, debe hacer cierta la
ecuación, es decir, qué número debe sustituir a la para que la
ecuación sea una expresión verdadera. En el ejemplo debes
responder a la pregunta: ¿cuánto debe valer x para que sea
cierto que multiplicando x por 2 y sumándole 1 sea 7?
2x+1=7
Sin hacer muchos cálculos se puede deducir que x vale 3:
2(3)+1=7
6+1=7
7=7
Cómo se resuelve una ecuación?
En ecuaciones sencillas como la del ejemplo no es muy difícil
encontrar el valor de la incógnita sin gran uso de álgebra, pero
¿cómo se resuelve una ecuación más compleja?
Antes de ahondar en el cómo se resuelve una ecuación es
importante aclarar que para que se mantenga la relación de
igualdad “lo que haces de un lado de la ecuación lo debes hacer

8. el otro” es decir, si sumas, por ejemplo, un 3 al lado derecho,
debes también sumar un 3 al lado izquierdo, si multiplicas por 5
el lado izquierdo, debes multiplicar por 5 el lado derecho
también. De esta forma el valor del lado derecho sigue siendo el
mismo que el del lado izquierdo. Mira:
5(2x+1)=5(7) → multiplicamos ambos lados por 3
10x+5=35
10(3)+5=35
30+5=21
21=21 → se sigue manteniendo la igualdad
Para saber cómo se resuelve una ecuación, el primer paso es
dejar todos los términos que contienen la x del mismo lado y
pasar el resto al otro. Pero no, no es tan simple como crees…
para poder pasar un término a un lado o al otro del = pasas el
término con la operación contraria, si se está sumando tú lo
pasas restando, y al revés, si se está restando lo pasas sumando
.
Después debes reducir los términos semejantes, (dos o más
términos son semejantes cuando tienen la mima letra, afectada
por el mismo exponente, y se reducen haciendo la operaciones
indicadas, + →suma, – → resta). Mira el ejemplo:

9. Cuando ya tienes únicamente un término de cada lado lo único
que falta, para aprender cómo se resuelve una ecuación, es
despejar la variable. Posiblemente te preguntaras qué
es despejar, pero no te preocupes, no es nada complejo,
simplemente es dejar ‘solita’ la y para poder lograrlo aplicas el
mismo principio que usamos para pasar los términos con a un
solo lado: pasas al otro lado ‘todo lo que te estorbe’ con la
operación contraria. En el ejemplo ‘nos estorba’ el 18, que está
multiplicando a la x, entonces lo pasamos dividiendo al 3
Método de Reducción - Solución de un Sistema de
Ecuaciones
El Método de Reducción consiste en eliminar una de las
incógnitas, para ello se amplifica una (o ambas)
ecuaciones por ciertos factores de modo que el
coeficiente de una de las incógnitas de una de las
ecuaciones sea el opuesto al coeficiente de la misma
incógnita en la otra ecuación. Se suman las ecuaciones y
así se elimina dicha incógnita.

10. Veamos un Ejemplo:
EJERCICIOS
1
2
3
4

11. 5
SOLUCION DE LOS EJERCICIOS
1
2
3

12. 4
5
Métodos analíticos de resolución: Igualación
El método de igualación consiste en una pequeña variante del antes visto de
sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que
despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado
de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las
fases del proceso son las siguientes:
i. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

13. ii. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de
una incógnita que resulta.
iii. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en
una de las ecuaciones despejadas de primer paso.
Evidentemente, todas las aclaraciones hechas en la sección anterior sobre la
elección de la incógnita que queremos despejar, así como sobre
la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en
caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.
A continuación, vamos a resolver el mismo ejercicio de la sección anterior
mediante el método de igualación. Recordamos el enunciado del ejercicio, así
como el sistema de ecuaciones al que daba lugar su planteamiento:
Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que
Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a
expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen
600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el
doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas
forman el siguiente sistema:
x + y = 600
y = 2x
Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª
ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma
incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos:
y = 2x
⇒ 2x = 600 - x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200
y = 600 - x
Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba
despejada la y, con lo que tendremos:
y = 2x ⇒ y = 400

14. Método de Sustitución - Solución a un Sistema de
Ecuaciones
El Método de Sustitución consiste en despejar una de las
incógnitas de una de las ecuaciones y reemplazar este
valor en la otra ecuación, de esta forma se llega a una
ecuación de primer grado con una incógnita.
Veamos un ejemplo:
Ecuaciones Cuadráticas –
Factorización

15. Por: Melissa Murrias
Revisado por: Dra. Luz M. Rivera
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2
+ bx + c,
donde a, b, y c son números reales.
Ejemplo:
9x2
+ 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10
3x2
- 9x a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2
+ 10 a = -6, b = 0, c = 10
Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable)
de las ecuaciones cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática
en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada
binomio.

16. Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8
(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2
]
( x + ) (x - ) = 0
(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2
4 · -2 = -8
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x = 0 – 4 x = 0 + 2
x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.
Completando el Cuadrado:

17. En este método, la ecuación tiene que estar en su forma
ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que
despejar de la siguiente forma:
4x2
+ 12x – 8 = 0
4 4 4 4
x2
+ 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.
Ejemplo:
x2
+ 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]
x2
+ 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x2
+ 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]
x2
+ 2x + 1 = 8 + 1
x2
+ 2x + 1 = 9
( ) ( ) = 9 Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

18. ( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2
= 9
(x + 1) = ±
x + 1 = ± 3
x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3 x = -1 – 3
x = 2 x = -4
Fórmula Cuadrática:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c
de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:
DETERMINANTES
En este capítulo definiremos el determinante de una matriz n x n. Esto se
puede hacer de muchas formas, la definición que daremos nos permite
obtener un procedimiento relativamente fácil para el cálculo de
determinantes, parte de la teoría de determinantes envuelve procesos
engorrosos y difíciles que no serán expuestos. Asi que asumiremos sin
prueba aquellos resultados que caen dentro de esta categoría. Si alguien
desea conocerlas pruebas de dichos teoremas pueden ser consultadas en el
libro Matemáticas Superiores para Ingenieros 4a Edición. C RAY WYLIE.
Mc. Graw Hill.
EL DETERMINANTE

19. El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un
único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz
de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o
también por (las barras no significan valor absoluto).
DEFINICIÓN 2.1(Determinante de una matriz de orden 1)
Si es una matriz de orden uno, entonces det(A)=a.
Ejemplo 1
DEFINICIÓN 2.2(Menores y cofactores de una matriz de orden n)
Sea A una matriz de orden , definimos el menor asociado al
elemento de A como el determinante de la matriz que se obtiene al
eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. El cofactor asociado al
elemento de A esta dado por .
Ejemplo 2
DEFINICIÓN 2.3(Determinante de una matriz de orden superior)
Si A es una matriz de orden , entonces el determinante de la matriz A es
la suma de los elementos de la primera fila de A multiplicados por sus
respectivos cofactores.
EJEMPLO 1:
Si , entonces det(A)=-2 o
Si , entonces det(A)=0 o
Si , entonces det(A)=2 o

20. EJEMPLO 2:
Sea
el menor asociado a a11.
el menor asociado a a12.
el menor asociado a a21.
el menor asociado a a22.
el cofactor asociado al elemento a11.
el cofactor asociado al elemento a12.
el cofactor asociado al elemento a21.
el cofactor asociado al elemento a22.
EJEMPLO 3:
Hallar el determinante de la matriz
como en el ejemplo 2.2 habíamos calculado los cofactores para esta matriz A,
entonces se tiene que
EJEMPLO 4: Determinante de una matriz de orden 2

21. Sea
Para calcular el determinante de una matriz basta conocer los cofactores de los
elementos de la primera fila.
Por lo tanto
OBSERVACION
Como vemos en este ejemplo, para calcular el determinante de una matriz de orden
2, se multiplican los elementos de la diagonal principal y se le resta el producto de
los elementos de la diagonal secundaria.
Calcular el determinante de la matriz
EJEMPLO 5:
Hallar el determinante de la matriz
Solucion
Para encontrar el menor se elimina el primer renglón y la primera columna de A y
se calcula el determinante de la matriz resultante.

22. De manera similar, para encontrar el menor , se elimina el primer renglón y la
segunda columna de A0 y se calcula el determinante de la matriz resultante.
para encontrar el menor , se elimina el primer renglón y la tercera columna de A
los cofactores son
el determinante de la matriz A se calcula así
EJEMPLO 6: Determinante de una matriz de orden 3
Sea:
Calculemos los menores:

23. Por lo tanto,
EJEMPLO 7:
Calcular el determinante de la matriz A del ejemplo 2.5 usando la regla de Sarrus.
Paso 1
Paso 2
Paso 3

24. Como vemos los resultados obtenidos en los ejemplos 2.5 y 2.7 son identicos.
EJEMPLO 8:
Sea:
Calcular el determinante de A desarrollándolo por la primera fila.
Calcular el determinante de A desarrollando por la tercera fila.
Calcular el determinante de A desarrollando por la primera columna.

25. Calcular el determinante de A desarrollando por la segunda columna.
OBSERVACIÓN.
1. Como vemos en el ejemplo anterior el determinante de la matriz A es el mismo no
importando la fila o la columna por la que se desarrolle.
2. Como no importa la fila o la columna por la cual se desarrolle el determinante
debemos elegir aquella fila o columna que tenga mayor número de ceros para tener
que calcular menos cofactores.
EJEMPLO 9:
Calcule el determinante de la matriz

26. Para calcular dicho determinante debemos elegir la fila 3 o la columna 1 ya que
ambos poseen un cero como componente. Calculemos desarrollándolo por la
columna 1.
Desarrollando los determinantes de orden 3 por Sarrus tenemos:
EJEMPLO 10:
Sean:
Entonces: