2

UNIDAD DIDÁCTICA Nº 2. TRABAJO Y ENERGÍA.

1 TRABAJO

1.1.- Definición de trabajo.

Supón que un cuerpo se desplaza desde una posición inicial A hasta otra final B, según una

trayectoria rectilínea, bajo la acción de una fuerza constante F. En este caso, el

desplazamiento experimentado por el cuerpo es Δr .


En este caso, podemos definir el trabajo realizado por la fuerza F como el producto escalar del
vector fuerza y el vector desplazamiento:
Matemáticamente:

 
WA B F r

Expresión que también puede escribirse así:

   
WA B F Δr |F | | Δr | cos
α

Donde cos representa el ángulo formado entre el vector fuerza y el vector desplazamiento.

El trabajo así calculado es una magnitud escalar, cuya unidad es el newton · metro, también
denominado julio.

Teniendo en cuenta el valor del ángulo, el trabajo puede
tomar distintos valores que conviene repasar:

a.- Si el ángulo que forman la fuerza y el desplazamiento
tiene un valor tal que su coseno es positivo, entonces la
fuerza provoca el desplazamiento. Si la fuerza y el desplazamiento son
En el caso particular en el que el ángulo sea 0º, el trabajo paralelos y del mismo sentido el trabajo es
máximo.
es máximo puesto que cos 0º = 1.
     
WA B F Δr | F| | Δr | cos0º | F| | Δr |

Departamento de Física y Química. IES “Alta Axarquía”. 28

Ejemplos:

- Al empujar un cuerpo, paralelamente al desplazamiento y en el mismo sentido que éste, la
fuerza realiza un trabajo máximo.
- Al levantar un cuerpo hacemos una fuerza también paralela al desplazamiento y en el mismo
sentido.

b.- Si el ángulo que forman la fuerza y el desplazamiento es
de 90 º, entonces la fuerza no realiza ningún trabajo.
Efectivamente; en este caso:

     
WA B F Δr | F| | Δr | cos90º | F| | Δr | 0º 0
Si la fuerza y el desplazamiento son
perpendiculares, entonces la fuerza no
realiza trabajo.

Ejemplos:

- Al desplazar un cuerpo, las fuerzas normal y peso, no realizan ningún trabajo porque el ángulo
que forman la fuerza y el desplazamiento es de 90 º.
- La fuerza centrípeta tampoco realiza ningún trabajo por la misma razón.

c.- Por último, cualquier fuerza que forme con el vector desplazamiento un ángulo tal que su
coseno sea negativo, será una fuerza que se opone al movimiento. En este caso el trabajo será
menor que cero.

En el caso en particular, de que la fuerza forme un ángulo de 180 º con el desplazamiento, este
trabajo es mínimo.

       
WA B F Δr | F| | Δr | cos180º | F| | Δr | ( 1) | F| | Δr |

Si la fuerza y el desplazamiento forman un ángulo de 180º entonces el trabajo es mínimo.

Ejemplos:

- La fuerza de rozamiento realiza un trabajo negativo porque se opone al desplazamiento.

1.2.- Representación gráfica del trabajo.

Si representamos en una gráfica, el valor de la fuerza a lo largo de los distintos puntos de la
trayectoria obtendremos una gráfica. Aquí tienes dos ejemplos de gráficas distintas:


En este caso, la fuerza es En este caso, la fuerza varía En este caso, la fuerza
constante a lo largo de todo su linealmente con la posición. Por también varía con la posición
recorrido. Por este motivo la este motivo la gráfica es una pero la relación no es lineal.
gráfica es una línea recta. Es línea recta. Por este motivo la gráfica no
fácil calcular el trabajo. es una línea recta. Es más
complicado calcular el trabajo.

En todos los casos, el valor del área comprendida entre la gráfica y los puntos r0 y r1,
corresponde al valor del trabajo realizado por la fuerza por esos dos puntos.

1.2.- Trabajo realizado por una fuerza variable.

En caso de que la fuerza no sea constante a lo largo del desplazamiento, o bien si la trayectoria
no es recta, no es posible aplicar directamente la descripción anterior. Esto se da en muchas
fuerzas en la naturaleza. Por ejemplo, las fuerzas gravitatorias, las fuerzas eléctricas o las
elásticas dependen de la posición. En estos casos hay que seguir un procedimiento alternativo.

Para conseguir calcular el trabajo en estos casos, se divide la trayectoria en pequeños tramos
(todos los que sean necesarios). A cada uno de esos tramos infinitesimales se los representa por

dr De esta forma, en cada tramo, tendremos una fuerza aproximadamente constante y en cada
tramo se realizará un trabajo dW. El problema estriba en que en muchas ocasionas hay que hacer
un número de tramos muy elevado.
Pero afortunadamente, eso se soluciona con la integración.

El trabajo realizado por la fuerza variable entre los puntos cuyas posiciones son r o y r1, se
calculará sumando todos los trabajos de los tramos en los que se ha dividido la gráfica.
Matemáticamente esto equivale a calcular la siguiente integral definida:


r1 r1  
W dW F dr
ro ro

Obviamente, la integral es la forma más general de calcular el trabajo y siempre sirve para
cualquiera que sea la fuerza (constante o no).

Ejercicio resuelto
 
1.- Calcula el trabajo realizado por la fuerza F 2xi a lo largo del eje X entre los puntos 2 y 6.

Solución. Como la fuerza es variable porque depende de la posición, entonces, el trabajo lo
calcularemos según la integral:

6 6   6
W dW F dr
2x dx [x2]2 36 4 32J
6

2 2 2
 
Nota: fíjate que como se integra a lo largo del eje x dr dx .
i
1.2.- Trabajo realizado por varias fuerzas.

Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, podemos calcular el trabajo total de dos formas
posibles:

Forma 1. Calculando el trabajo de cada fuerza y realizando la suma de todos los trabajos.

WTOTAL W W1 W2 W3 ...
i

F

F

F

Forma 2. Calculando la fuerza resultante y después el trabajo realizado por esta fuerza.

r  
WTOTAL FRESULTANTEdr
ro

Para resolver

1.- ¿Se realiza trabajo al sostener un cuerpo a cierta altura sin desplazarnos?
¿Son físicamente equivalentes los términos de trabajo y esfuerzo?
2.- Si un cuerpo se mueve en un círculo a velocidad constante, ¿Realiza trabajo la fuerza
centrípeta?
3.- Cuando un cuerpo se desplaza por una superficie horizontal sin rozamiento, ¿Qué trabajo
realiza el peso del cuerpo?
4.- ¿Es cierto que cuando se transporta una caja pesada a velocidad constante sobre una
superficie horizontal sin rozamiento, no se realiza ningún trabajo?
  
5.- Una fuerza F 2i 3j N actúa sobre un cuerpo, de forma que el desplazamiento es
  
r 3i 4j m. Calcula el trabajo realizado por esta fuerza.
Sol.: W = 18 J.
   
6.- Calcula ahora el trabajo realizado por la fuerza F i 5j 2k N sobre un cuerpo, si el


      
mismo se desplaza desde la posición r 3i 4k m hasta la posición r 4i j 3k m.
Sol.: W = -18 J.
 
7.- Calcula el trabajo realizado por una fuerza F 2xi N cuando desplaza un cuerpo a lo
largo del eje X desde la posición x = -5 hasta la posición x = 3.
Sol.: W = 16 J.
8.- Supón que levantamos un cuerpo del suelo aplicando una fuerza de 10 N, elevándolo hasta
una altura de 2 m. ¿Qué trabajo realiza la fuerza que hacemos? ¿Y el de la fuerza peso?
Sol.: 20 J; - 20 J.
9.- Sobre un cuerpo situado en el plano horizontal. Se realiza una fuerza de 30 N, formando un
ángulo de 45º con la horizontal según se muestra en la figura. Si el cuerpo se desplaza 2 m
calcula el trabajo realizado por la fuerza sobre el cuerpo.

Sol.: W = 42,42 J
10.- Si el cuerpo anterior tiene una masa de 5 kg y el coeficiente de rozamiento del cuerpo con
el suelo es de 0,15, calcula el valor del trabajo realizado por la fuerza peso sobre ese cuerpo y el
que realiza el rozamiento. ¿Qué significado tiene el valor obtenido?
Sol.: Wpeso = 0; WR = -14,7 J.
11.- Se realiza una experiencia donde se desplaza un cuerpo por un plano inclinado 30º,
ejerciendo una fuerza de 20,0 N. El cuerpo asciende 1,0 m por el plano inclinado. Suponiendo
despreciable el rozamiento calcula el trabajo realizado por la fuerza. Sol.: 20 J.

12.- En el caso anterior, si el cuerpo tiene 2 kg de masa:
a.-) Calcula el trabajo que realiza la fuerza peso en el mismo trayecto ¿Es positivo o negativo?
¿Qué significa ello?
b.-) Suponiendo un coeficiente de rozamiento de 0,2, determina el trabajo que realiza la fuerza
de rozamiento.
c.-) Calcula el trabajo resultante realizado por todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
Sol.: a.-) -9,8 J; b.-) -3,39 J; c) Wtotal = 6,81 J.

2 ENERGÍA CINÉTICA

Supón que tenemos un cuerpo de masa m, situado en un punto que denominaremos A (con las

coordenadas que sean), moviéndose con una velocidad vA . Por acción de una fuerza, el cuerpo se
desplaza desde esta posición a otra posición B (también con sus coordenadas) y ahora ha



cambiado de velocidad y se mueve con velocidad vB .

El trabajo realizado por la fuerza F es:
 
B B   B
  B
dv  B
 dr B
 
W dW F dr m a dr m dr m dv m v dv
A A A A dt A dt A
Si la masa del cuerpo permanece constante, entonces podremos sacar m de la integral, con lo que
quedaría:
B
   
W m v dv y como v y dv son paralelos, su producto escalar es:
a
BB B
 
W m v dv m v dv cos0º m v dv
a A A
Por último, aplicando las reglas de la integración:

B
B
1 1 2 1 2
W m v dv m mv mv
A 2 A 2 B 2 A

1
Al producto m v2 se le denomina energía cinética (Ec) y como puedes ver, la energía cinética
2
depende de la masa del cuerpo y de la velocidad que posee.

De esta forma, podemos concluir que:

El trabajo que realiza una fuerza sobre un cuerpo es igual a la variación de la energía
cinética experimentada por el mismo.

Matemáticamente:

WTOTAL E B E A
c c ΔEc

A esta expresión se la conoce como el teorema de las fuerzas vivas.

Puesto que el trabajo se mide en julios, la energía cinética debe tener también la misma unidad.

Para resolver

13.- ¿Puede ser negativa la energía cinética de un cuerpo?
14.- Sobre un cuerpo de 2,5 kg que se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal,
actúa una fuerza de 15 N durante 3 segundos. Si suponemos que no existe rozamiento, calcula:
a.- Energía cinética final del cuerpo.
b.- El incremento de energía cinética experimentado por el cuerpo.
c.- Trabajo desarrollado por la fuerza.
Sol: 405 J en los tres apartados.
15.- Se lanza un cuerpo de 50 kg de masa sobre una superficie horizontal de forma que el cuerpo


desliza. La velocidad de lanzamiento es de 15 m/s. Debido al rozamiento el cuerpo finalmente se
detiene, recorriendo una distancia de 100 m. Con estos datos calcula:
a.- La variación de energía cinética experimentada por el cuerpo. ¿Qué pasa con esa variación de
energía cinética?
b.- La magnitud de la fuerza de rozamiento que actúa sobre el cuerpo si suponemos que esta es
constante.
Sol.: Ec = -5625 J ; b) Fr = 56,25 N.
16.- Sobre una partícula de 10 g de masa se ejerce una fuerza constante. Dicha fuerza acelera
la partícula desde 10 m/s hasta 100 m/s. Durante ese intervalo, la partícula recorre 1000 m en
línea recta. Calcula:
a.- Aceleración de la partícula.
b.- El módulo de la fuerza que actúa.
c.- Energía comunicada a la masa.
Sol.: a) a = 4,95 m/s2; b) F = 0,0495 N; c) W = 49,5 J.

3 FUERZAS CONSERVATIVAS

Diremos que una fuerza es conservativa cuando en trabajo que realiza la fuerza entre dos
puntos no depende de la trayectoria seguida sino únicamente de la posición de los puntos
inicial y final.

Son fuerzas conservativas:

- Fuerzas gravitatorias.
- Fuerzas elásticas.
- Fuerzas electrostáticas.

3.1.- Fuerza gravitatoria.

Vamos a comprobar que la fuerza gravitatoria es conservativa. Para ello vamos a calcular el
trabajo que realiza la fuerza peso al subir un cuerpo de masa m desde una posición inicial ho a
otra h1, a velocidad constante, siguiendo dos trayectorias distintas según se muestra en la
figura:

En línea recta

.


Para subir el cuerpo a velocidad constante, hay que realizar una fuerza estrictamente igual al
peso. De esta forma el trabajo DE LA FUERZA PESO se calcula como:

r1   h1   h1 h1 h1
W SUBIR
PESO F dr ( m g)j dyj m g dy m g dy m g dy
ro ho ho ho ho

W SUBIR
PESO m g [y] h1
ho
m g(h ho)
1 (mgh mgh)
1 o

(Date cuenta que como dr solo tiene componente en el eje de ordenadas, queda transformado en
dy. Fíjate además que como el vector peso va dirigido hacia abajo, el producto escalar es
negativo)

Además, al ser
  F  constante podíamos haber aplicado la expresión:

WA B F Δr |F | | Δr | cos (Lo he hecho con integrales para practicar)
α

Según un plano inclinado

Si queremos subir el cuerpo desde una posición inicial situada a una altura h o hasta otra situada a
otra altura h1, el trabajo realizado por la fuerza peso se calcularía como:

 
W SUBIR F r m g r cos(90 ) m g r (-sen ) -m g h
PESO

(Como es más complicado aplicar integrales aquí y en este caso el peso es constante puede
hacerse sin aplicar integrales)

Como r (-sen ) h

Por tanto:
W SUBIR
PESO m g(h1 ho ) (mgh mgh )
1 o

Como puedes comprobar, en ambos casos, el trabajo que realiza la fuerza peso es:

WPESO (mgh mgh )
1 o

Al producto m·g·h se le denomina energía potencial gravitatoria (Ep) de un cuerpo situado a una
altura h sobre la superficie terrestre y es válida siempre que estemos cerca de la superficie
terrestre.


Ep m g h

Dicho lo cual, la expresión anterior podemos redactarla así.

WPESO (Ep Ep )
1 o o bien: WPESO Ep

Cuando una fuerza es conservativa, siempre va a aparecer una energía potencial, de forma que el
trabajo realizado por esa fuerza será siempre igual a la variación de energía potencial cambiada
de signo.

WCONSERVATI
VA Ep

Una consecuencia importante es la aparición de una propiedad de los cuerpos denominada energía
potencial. Únicamente puede definirse cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas conservativas.

La energía potencial es una energía que poseen los cuerpos en virtud de la posición que
pueden ocupar, cuando sobre ellos actúa alguna fuerza que es conservativa.

Otra consecuencia importante de esta deducción, es:

Si la trayectoria sobre la cual realiza un trabajo una fuerza conservativa es cerrada, el
trabajo realizado por esa fuerza conservativa es nulo.

Comprobación:

Si por ejemplo, calculamos el trabajo realizado por la fuerza peso
cuando el cuerpo vuelve desde la posición situada a una altura h 1 a la
altura inicial ho en línea recta (Lo vamos a hacer aplicando integrales,
aunque al ser la fuerza constante no es necesario):

r   h0 h0
0

W BAJAR
PESO F dr m g dr m g dr
r
1 h1 h1
h0 h0
m g dy m g dy
h1 h1

W BAJAR
PESO m g [y] h0
h1
m g(h0 h1 ) (mgh mgh)
0 1

Con lo cual, el trabajo total realizado por la fuerza peso es:

WPESO = WPESO SUBIR + W PESO BAJAR = - (mgh1 - mgho) – (mgho - mgh1) = 0

En definitiva. Si trasladamos un cuerpo de masa m desde un punto inicial a otro más alto hay que


aplicar una fuerza como mínimo igual al peso. En este caso, el peso realiza un trabajo negativo que
se almacena en forma de energía potencial. Esta energía nos será devuelta si el cuerpo vuelve a la
situación inicial ya que el peso hace un trabajo positivo.

A las fuerzas que no presentan estas características se les denomina fuerzas no conservativas.
Por ejemplo las fuerzas de rozamiento.

El trabajo que hace el rozamiento siempre es negativo y depende de la trayectoria recorrida por
el móvil, De esta forma no podemos asociar una energía potencial a la fuerza de rozamiento.

Para resolver

  
17.-“ Sobre una partícula actúa la fuerza F 2xy i x2j N
Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino
cerrado ABCA. sabiendo que:
La curva AB es el tramo de parábola y=x2/3.
BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y
CA es la porción del eje Y que va desde el origen al punto (0,1).
Sol.: 0 J

  
18.-“ Sobre una partícula actúa la fuerza F x2i 3xy N. Calcula el trabajo realizado por
j
la fuerza al desplazar la partícula desde el punto A(0,0) al B(2,4):
a) Si la trayectoria es la línea recta que une ambos puntos;
b) Si la trayectoria es la parábola y=x2;
c) Discute si esta fuerza es conservativa o no.
Sol.: a) -29,33 J; b) -35,73 J; c) ¿?
19.-“Una partícula de masa m está unida a un muelle cuyo comportamiento no sigue la ley de
 
Hooke, ya que la fuerza que ejerce es, en función de la deformación x, F 4x 2xi N.
2

Calcula el trabajo que es preciso realizar para deformarlo 6 cm.
Sol.: 3,89·10-3 J.
20.- Un teleférico de 1200 kg puede subir 80 m por minuto verticalmente.
¿Qué energía potencial gravitatoria gana el teleférico si la subida es de 20 minutos?
Sol.: Ep = 1,88·107 J.

3.2.- Energía potencial elástica.

Si estiramos o encogemos un muelle, según la ley de Hooke, la fuerza a aplicar no es constante,
sino que es proporcional al alargamiento.

Si tenemos un cuerpo de masa m unido a un resorte horizontal que posee una constante elástica
K. Si elegimos un sistema de referencia tal que el origen se encuentre en la posición del cuerpo
cuando el muelle tiene su longitud normal.
Al estirar el muelle desde la posición A hasta la posición B, aparece una fuerza recuperadora que
tiende a llevar el muelle a su posición inicial. Esa fuerza depende del alargamiento del muelle y se
calcula como:

F K xi



Siendo x el alargamiento del muelle. El signo – se debe a que la fuerza F y el alargamiento tienen
sentidos contrarios.

El trabajo realizado por la fuerza elástica para alargar el muelle es:

1 2
xB
xB xB
B     1 1
W F dr ( K xi ) dxi K x dx Kx ( Kx2 Kx2 )
2 2 2 A
elástica B
A xA xA
XA

Como ya sabes que Wconservativo = - Ep de aquí deducimos que:

WFelástica = - (EpB – EpA) y por tanto:

1 2
Ep Kx
ELÁSTICA
2
Como puedes ver, la energía potencial elástica solo depende de la constante del muelle y de la
posición del cuerpo con respecto a la posición de equilibrio.
Si dejamos ahora el sistema libre, el muelle vuelve a la posición de equilibrio, de forma que
cuando pase por la posición inicial, la fuerza elástica habrá hecho un trabajo igual que el anterior
pero de signo contrario. Por tanto, el trabajo en todo el ciclo es cero. La fuerza elástica es
conservativa.

El trabajo que se realiza para estirar el muelle, se almacena en forma de Energía potencial que nos será devuelta cuando
se libere el mismo y vuelva a su posición original.

Ejercicio resuelto

2.- Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:


a) ¿Es falsa o verdadera la siguiente cuestión? “El trabajo realizado por una fuerza
conservativa en el desplazamiento de una partícula entre dos puntos es menor si la
trayectoria seguida es el segmento que une dichos puntos”. Justifica brevemente tu
respuesta.
b) ¿Por qué la fuerza ejercida por un muelle que cumple la ley de Hooke se dice que es
conservativa?
c) ¿Por qué la fuerza de rozamiento no es conservativa?
Solución:

a.- La afirmación es falsa porque si la fuerza es conservativa, el trabajo realizado por esa fuerza
es independiente de la trayectoria y solo depende de cuales sean los puntos inicial y final. Esto
significa que sea cual sea la trayectoria escogida para ir de un punto a otro, el trabajo siempre
será el mismo.
b.- Por que el trabajo realizado por esta fuerza al estirarse o encogerse el muelle entre dos
posiciones A y B, no depende de la trayectoria seguida sino únicamente de las posiciones inicial y
final, de forma que este trabajo siempre puede expresarse como:
W = - Ep
c.- La fuerza de rozamiento no es conservativa porque el trabajo realizado por la misma siempre
depende de la trayectoria seguida, es decir, que no es lo mismo trasladar un cuerpo desde un
punto a otro a lo largo de una trayectoria o a lo largo de otra.
Otra forma de argumentar que la fuerza rozamiento no es conservativa es recordar que si una
fuerza es conservativa, el trabajo realizado por la misma a lo largo de una trayectoria cerrada
(es decir cualquier trayectoria cuyo origen y final sea el mismo punto) debe de ser cero. Como el
trabajo realizado por el rozamiento es siempre negativo (recuérdese que tiene signo contrario al
desplazamiento), el trabajo siempre será un número negativo y por tanto distinto de cero.

Para resolver

21.- Imagina que tenemos un muelle de constante K = 50 N/m.
a.- Calcula el trabajo realizado por la fuerza elástica si el muelle se estira de forma que el
extremo del muelle pasa de la posición x = 0 hasta la posición x = 10 cm.
b.- ¿Qué trabajo tiene que realizar una fuerza exterior como mínimo para trasladarlo desde la
posición x = 10 cm hasta la posición x = 16 cm?
Sol.: Wel = - 0,25 J; b) Wext = 0,39 J.

4 TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

Este teorema solo se cumple cuando sobre un cuerpo actúan únicamente fuerzas conservativas, o
bien aunque actúen fuerzas no conservativas, éstas se anulan entre sí (Wno cons = 0)

Supón que sobre un cuerpo actúa una fuerza que es conservativa, desplazando el cuerpo desde
una posición A a otra posición B. Simultáneamente se deben de cumplir estos dos principios:

Principio 1º: Teorema de las fuerzas vivas:

W CONSERVATI
F VA Ec EC B EC A


Principio 2º: Como la fuerza es conservativa se cumple además que:

WCONSERVATI
F VA EP (EPB EP A)

Ya que ambas expresiones representan el mismo trabajo, deben ser iguales, con lo que se cumple
que:

Ec EP Ec B Ec A (EP B EP A)

Agrupando términos: EC A EP A EC B EP B

A esta expresión se le denomina Teorema de conservación de la energía mecánica.

A la suma de la energía cinética y la energía potencial que posee el cuerpo en cada momento se le
denomina energía mecánica.
EM EC EP

Si sobre un cuerpo actúan únicamente fuerzas conservativas, la suma de la energía cinética
y las energías potenciales en cada punto permanece constante.

Matemáticamente: EMA EMB

Para resolver

22.- Una maceta de 10 kg se encuentra en un ático, situada a 40 m de altura sobre la superficie
terrestre.
a.-) ¿Cuál es su energía potencial?
b.-) ¿Cuál es su energía cinética?
Si por un descuido, la maceta cae
c.-) ¿Cuál es su energía potencial cuando ha descendido 15 m ?
d.-) ¿Y su energía cinética a esa altura?
e.-) ¿Cuál es su energía cinética en el momento preciso en que la masa llega a la superficie de la
tierra? ¿Y su energía potencial?
f.-) ¿Cuánto vale la suma de c) y d)? ¿Y la de a) y b)? ¿Y la suma de las energías cinética y
potencial en e)? ¿Por qué?
Sol.: a) Ep40 = 3920 J; b) Ec40 = 0J; c) Ep25 = 2450 J; Ec25 = 1470 J; e) Ec0 = 3920 J; Ep0 = 0 J; f)
Siempre 3920 J.
23.- Se lanza verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 40 m/s un objeto. Usando
el principio de conservación de la energía, donde sea posible, determina:
a.- La altura máxima alcanzada.
b.- Tiempo en alcanzar la altura máxima.
Sol.: a) h = 81,63 m; b) t = 4,08 s.
24.- Desde una terraza situada a 25 m sobre la superficie terrestre se lanza un objeto de 0,25


kg de masa formando un ángulo de 45 º con la horizontal y con velocidad de 30 m/s.
a.-) ¿Cuál es su energía total?
b.-) ¿Cuál es su energía total cuando se encuentra a 30 m sobre la superficie terrestre?
c.-) ¿Cuál es su velocidad a esa altura?
Sol.: a) Em = 173,75 J; b) Em = 173,75 J; c) v = 28,32 m/s.

Ejercicio resuelto

3.- Un bloque de 10 kg desliza hacia abajo por un plano inclinado 30º sobre la horizontal y
de longitud 2 m. El bloque parte del reposo y experimenta una fuerza de rozamiento con el
plano de 15 N.
a) Analice las variaciones de energía que tienen lugar durante el descenso del bloque.
b) Calcule la velocidad del bloque al llegar al extremo inferior del plano inclinado.
g = 10 m s - 2
Solución:
a.- Inicialmente el bloque posee únicamente energía potencial. Al ir descendiendo su altura
disminuye y aumenta su velocidad. La energía potencial se va transformando en energía cinética.
Simultáneamente a este proceso, también tiene lugar una disipación de energía en forma de calor
puesto que existe fuerza de rozamiento que no es conservativa. La energía mecánica no se
conserva pero si la energía total.
Cuando llega a la base del plano inclinado, toda la energía potencial se ha transformado energía
cinética y en calor.

b.- El esquema del ejercicio es:

Teniendo en cuenta que se conserva la energía total:
Eco + Epo + Wnc = Ecf + Epf
Donde Eco = 0 pues el objeto parte del reposo.
Epf = 0 puesto que el objeto alcanza la base del plano, donde hemos situado el nivel de referencia
de energía potencial.
El trabajo no conservativo Wnc podemos calcularlo como:
 
Wnc Fr r ya que la fuerza de rozamiento es constante y la trayectoria es una línea recta.
 
W Fr r Fr r cos º
nc 180 15 2 30J
La energía potencial inicial la calculamos como:
Ep m g h m g r sen30 10 10 2 0,5 100J
º (Donde hemos tenido en
cuenta la relación entre h y r.
Sustituyendo en la expresión de conservación de la energía mecánica:
Eco + Epo + Wnc = Ecf + Epf
0 + 100 -30 = Ecf + 0
Por tanto: Ecf = 70 J.
1
Sabiendo que la energía cinética se calcula como: Ec m v2 ; despejando la velocidad:
2


2 Ec 2 70
v 3,74 m/s.
m 10
4.- Un bloque de 3 kg, situado sobre un plano horizontal, está comprimiendo 30 cm un
resorte de constante k = 1000 N m -1. Al liberar el resorte el bloque sale disparado y, tras
recorrer cierta distancia sobre el plano horizontal, asciende por un plano inclinado de 30º.
Suponiendo despreciable el rozamiento del bloque con los planos:
a) Razona cuándo será máxima la energía cinética y calcule su valor.
b) Determina la altura máxima a la que llegará el cuerpo.
g = 10 m s -2
Solución:

a.- Puesto que no existen fuerzas conservativas, y el muelle está situado en un plano horizontal,
justo en el momento en el que toda la energía elástica del muelle se convierta en energía cinética,
tendremos la energía cinética máxima. Este valor de energía cinética máxima se mantendrá desde
este momento hasta que el bloque inicie la subida a la rampa, ya que a partir de ahí comenzará la
conversión de energía cinética en energía potencial.
Para calcular el valor máximo de la energía cinética. Tendré en cuenta el principio de conservación
de la energía mecánica, que desde que el muelle está comprimido hasta que se libera, solamente
actúan fuerzas conservativas y se cumple que:

Ep elástica antes = E cinética después
1 1 1
K x2 Ec después De donde: Ec después K x2 1000 0,32 = 45 J
2 2 2
b.- Como la energía mecánica se conserva, se cumplirá que la energía presente en el momento de
soltar el muelle será igual a la energía que hay en el punto más alto del plano, es decir:
Emecánica A = Emecánica B
EcA + EpelA + Ep grA = EcB + Epel B + Ep gr B

Donde EcA = 0 Ep gr A = 0 EcB = 0 Ep el B = 0
Luego:
Ep el A = Ep gr B
1
K xA m g hB
2
Sustituyendo y despejando:
2
1
1000 0,32 3 10 hB 45 30 B
h hB = 1,5 m
2


5 TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA EN PRESENCIA DE
FUERZAS NO CONSERVATIVAS

Este es un teorema más general porque es válido cuando hay fuerzas conservativas y no
conservativas. En este caso no se conserva la energía mecánica, pero si la energía total.

Si alguna de las fuerzas que realizan un trabajo sobre el cuerpo son fuerzas no conservativas, la
energía mecánica no se conserva, sino que parte de esa energía se va transformando en otro tipo
de energía, por ejemplo en calor. Un ejemplo que ya mencionamos antes es el rozamiento.

Sin embargo, la energía total se sigue conservando, de forma que podemos encontrar una
expresión matemática que nos verifique tal conservación.

Efectivamente. Si sobre un cuerpo actúan simultáneamente fuerzas conservativas y no
conservativas, desplazándose el cuerpo desde una posición A a otra B, se cumplirá que:

WTOTAL = WF CONS + WF NO CONS

Según el teorema de las fuerzas vivas:

WTOTAL W CONS W NOCONS
F F EC
Pero por otro lado, como se cumple que: W CONSERVATI
F VA EP

Podemos escribir que:

EP WNOCONS
F EC (EPB EP A) WNOCONS EC B EC A
F

Agrupando:
EC A EP A W NOCONS EC B EP B
F

O bien de esta otra forma: EMECÁNICA W NOCONS EMECÁNICA
A F B

Donde en cada caso tendremos que calcular el valor de WF NO CONS.

Ejercicio resuelto

5.- Con un arco se lanza una flecha de 20 g, verticalmente hacia arriba, desde una altura de
2 m y alcanza una altura máxima de 50 m, ambas sobre el suelo. Al caer, se clava en el suelo
una profundidad de 5 cm.
a.- Analiza las energías que intervienen en el proceso y sus transformaciones.
b.- Calcula la constante elástica del arco (que se comporta como un muelle ideal), si el
lanzador tuvo que estirar su brazo 40 cm (equivale a comprimir un muelle 40 cm).
c.- Calcula la fuerza entre el suelo y la flecha al clavarse.
g = 10 m s –2


Solución:
a.- Justo antes de lanzar la flecha, las energías existentes son la energía potencial de la flecha así
como la potencial del arco que está estirado.
En el momento que se libera el arco, toda la energía potencial del arco se va transformando en
energía cinética del mismo y la flecha sale despedida hacia arriba.
Al ir subiendo, la energía cinética va disminuyendo, aumentando la energía potencial del mismo hasta
que se alcanza la altura máxima. En este punto, la energía cinética es cero y la energía potencial
gravitatoria es máxima.
Al caer de nuevo, la flecha va perdiendo energía potencial y ganando energía cinética. Justo en el
momento de alcanzar el suelo, la energía cinética es máxima y la potencial es cero.
Durante todos estos procesos se cumple la conservación de la energía mecánica. Pero cuando la
flecha se clava en el suelo no es así. Existe en este caso una fuerza no conservativa que es la que
hace el suelo sobre la flecha y que la detiene. La energía cinética que poseía la flecha al llegar al
suelo se transforma en energía interna del suelo y flecha.

b.-
Para calcular la constante elástica del arco, como se verifica que entre el punto de lanzamiento y el
de altura máxima, la energía mecánica se conserva:
E mecánica inicial = Emecánica final
Ep el 0 + Ep gr 0 = Ep gr f + Ep gr f

Situamos la referencia en el punto más bajo de la trayectoria que sigue
1
K xa m g ho
2
m g hf Sustituyendo:
2
1
K 0,42 0,02 10 2,05 0,02 10 5005
, 0,08 K + 0,41 = 10,01
2
K = 120 N/m

b.- Para calcular la fuerza que hace el suelo sobre la flecha. Como el suelo interacciona sobre la
flecha deteniéndolo. Se verificará el principio de conservación de la energía. No así el de
conservación de la energía mecánica.
E mecánica lanzamiento + W no conservativo = E mecánica flecha después
Voy a situar el nivel cero de energía potencial en el punto donde la flecha se detiene.

(La fuerza Peso no la he representado porque es conservativa)
Por tanto:


Ec lanz + Ep el lanz + + Ep gr lanz + Wno cons = Ec después + Ep el después + Ep gr después

Ec después = 0 Ep el después = 0 Ep gr después = 0
1
K xa m g ho F r·cos
2
180 0
2
1
120 0,42 0,02 10 2,05 F 0,05 ( 1) 0
2
1. 9,6 + 0,41 -0,05 F = 0 F = 200,2 N
2. 6.- Un bloque de 2 kg está situado en el extremo de un muelle, de constante elástica 500 N
m-1, comprimido 20 cm. Al liberar el muelle el bloque se desplaza por un plano horizontal y,
tras recorrer una distancia de 1 m, asciende por un plano inclinado 30º con la horizontal.
Calcule la distancia recorrida por el bloque sobre el plano inclinado.
a) Supuesto nulo el rozamiento
b) Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y los planos es 0,1.
g = 10 m·s-2
Solución:
Solución:
a.- El esquema del dibujo es:

Si
suponemos nulo el rozamiento, se verifica el principio de conservación de la energía mecánica. Como
el muelle al principio está en reposo y en el nivel cero de energía potencial, la única energía
presente es la energía potencial elástica del muelle, que se transformará en energía potencial
gravitatoria cuando el muelle alcance la altura máxima y se pare. Podemos decir entonces que:
Epel0 = Epgr f
Sustituyendo y despejando:
1 1
Epel
0 K x2 500 0,22 10J
2 2
Epgrf m g h 2 10 h 20 h J, que podemos expresar en función de la distancia
recorrida sobre el plano puesto que:
h = r · sen 30º = 0,5 · r m
Por tanto: Epgrf m g h 2 10 0,5 r 10 r J

10 = 10 r r=1m

b.- Si existe rozamiento no se verificará el principio de conservación de la energía mecánica pero si
el de la energía total. Por ello:
Emecánica antes + Wnc = Em después


Como inicialmente solo existe energía potencial elástica, la energía mecánica inicial equivaldrá a la
energía potencial elástica que calculamos en el apartado anterior, es decir: Epel 0 = 10 J.
La energía mecánica final será exclusivamente energía potencial gravitatoria, que calcularemos
mediante la expresión usada en el anterior apartado:
Epgr f = 10 r J
Resta por averiguar el trabajo no conservativo. Para ello, como el cuerpo experimenta rozamiento
en dos planos:
Wnc = Wroz horizontal + Wroz pl. incl.
Calculamos cada uno de los trabajos:
 
Wrozhoriz F r F r cos180
. . r r º N r P r mg r
Wrozhoriz 0,1 2 10 1 2J
. .

 
Wrozpl incl F r F r cos180
. . r r º N r Py r m g cos º r
30
Wrozpl incl
. . m g cos º r 0,1 2 10 cos30 r 1,73 r J
30 º
Sustituimos en la expresión de conservación:
10 -2 – 1,73 r = 10 r
8 = 11,73 r r = 0,68 m

Para resolver

25.- Cuando un cuerpo con velocidad v choca con un muelle, va perdiendo velocidad hasta que se
para. ¿Qué ha sucedido con su energía cinética?

26.- Por un plano inclinado 30º respecto a la horizontal asciende, con velocidad constante, un
bloque de 100 kg por acción de una fuerza paralela a dicho plano. El coeficiente de rozamiento
entre el bloque y el plano es 0,2.
a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el bloque y explique las transformaciones
energéticas que tienen lugar en su deslizamiento.
b) Calcule la fuerza paralela que produce el desplazamiento, así como el aumento de energía
potencial del bloque en un desplazamiento de 20 m.
g = 10 m·s–2.
Sol.: F = 673,2 N; Ep = 10000 J.
27.- Desde una cierta altura de un plano inclinado 30 º se deja deslizar un objeto de 2,5 kg de masa.
Cuando ha recorrido una distancia de 5 m sobre el plano, choca con un muelle que supondremos sin
masa y con constante elástica K = 100 N/m. Si el coeficiente de rozamiento entre la masa y el plano es
d = 0,15.
a.- Analiza físicamente lo que sucede.
b.- La compresión máxima que experimenta el muelle.
c.- Hasta qué punto subirá la masa de nuevo por el plano inclinado después de abandonar el muelle.
Sol.: b) x= 1 m; c) r = 3,57 m


28.- Un plano tiene un ángulo de inclinación de 30º y una
longitud de rampa de 40 m. En la parte inferior, según
se muestra en la figura hay un cuerpo de 2 kg de masa.
Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la
superficie del plano inclinado es 0,12, calcula:
a.- La velocidad inicial de dirección paralela al plano que
debemos comunicar el cuerpo para que se detenga justo
arriba.
b.- Tiempo que tardará el cuerpo en detenerse.
Sol.: a) v = 21,76 m/s; b) t = 3,68 s.
29.- Encima de una rampa que supondremos sin rozamiento hay un bloque de 2 kg de masa. El
bloque está situado a 8 m de altura y está en reposo. Si comienza a deslizar por la rampa
descendiéndola y recorriendo 5 m sobre una superficie horizontal, que si posee rozamiento,
calcula:
a.- ¿Cuál es la velocidad del bloque al finalizar la rampa?
b.- ¿Qué trabajo realiza el rozamiento sobre el bloque?
c.- ¿Cuánto vale el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie horizontal?
Sol.: a) v = 12,52 m/s; b) WR = -156,8 J; c) = 1,6.
30.- Se lanza un bloque de 3 kg a lo largo de una superficie horizontal rugosa ( = 0,15) con una
velocidad de 25 m/s. Una vez el bloque ha recorrido 8 m por la superficie horizontal, encuentra
una rampa inclinada 25º con respecto a la horizontal, que posee el mismo coeficiente de
rozamiento. ¿Cuál será la altura que alcanzará el bloque?
Sol.: h = 23,22 m.

6 CHOQUES

Supón que dos cuerpos de masa m A y mB, moviéndose con velocidades constantes respectivas v A y
vB que chocan entre sí.

Si consideramos el sistema de los dos cuerpos como un sistema aislado, y suponemos que sobre
este sistema no actúan fuerzas externas o la resultante de las fuerzas externas que actúan es
cero, entonces la cantidad de movimiento del sistema permanece constante antes y después del
choque. (1ª Ley de Newton).

Matemáticamente:

  
p cte es decir: panteschoque pdespues
choque

Esta ecuación se cumple en todos los choques.

   
mA V A m V B mA V m V
0 B 0 fA B fB

Hay distintos tipos de choques:


1. Al producirse el choque ninguno de los objetos se
deforma. Se denomina choque elástico. En este caso,
la energía cinética del sistema también se conserva;
es decir, que además se cumple la ecuación:

Ecantes Ecdespués

EC 0A EC OB EC fA EC fB
En el billar los choques entre las
bolas pueden considerarse elásticos
2. Una vez que se produce el choque, se produce alguna deformación al menos en alguno de
los cuerpos, pero éstos quedan separados. En este caso el choque se denomina no elástico
y además no se conserva la energía cinética.

3. Si al producirse el choque se produce deformación y además las masas quedan adheridas,
al choque se le denomina inelástico. Tampoco se conserva la energía cinética.

Las colisiones entre vehículos son choques no elásticos.

Atendiendo a las dimensiones en las que tiene lugar el choque, éstos pueden clasificarse en:
- Monodimensionales. Tienen lugar en una única dimensión. Por ejemplo en el eje X.
- Bidimensionales. En dos dimensiones, en la cantidad de movimiento aparecerán
componentes x e y.
- Tridimensionales. En la cantidad de movimiento aparecerán componentes x, y, z.

Para resolver

31.- Un cochecito de una montaña rusa de 800 kg está en reposo en la parte de arriba de una
rampa. Se le rompen los frenos y desciende hasta la parte inferior de la rampa, situada 25 m por
debajo de la posición que tenía originariamente el cochecito. En ese momento choca on otro
cochecito, de 600 kg que se encuentra en reposo y también sin frenos, acoplándose los dos y
ascendiendo por otra rampa hasta una determinada altura h. Halla el valor de esa altura.
Sol.: h = 8,16 m.


32.- Un objeto de 2,5 kg que se mueve a 10 m/s realiza un choque frontal, que supondremos
perfectamente elástico con un objeto de 1 kg que se encuentra inicialmente en reposo. Halla las
velocidades de cada uno de los objetos después del choque.
Sol.: v2’ = 14,28 m/s; v1’ = 4,29 m/s, suponiendo que la masa de 2,5 kg se mueve de izda a dcha.
33.- Resuelve el problema anterior suponiendo que el objeto de 1 kg se dirige hacia la masa de
2,5 kg a velocidad de 5 m/s.
Sol.: v1’ = 1,43 m/s; v2’ = 16,43 m/s
34.- Una masa de 0,2 kg que se mueve a 0,4 m/s choca con otra masa de 0,3 kg que está en
reposo. Después del choque, la primera se mueve a 0,20 m/s en una dirección que forma un ángulo
de 45º con la dirección original.
a.- Haz un esquema del fenómeno físico que ocurre.
b.- Calcula la velocidad y dirección de la segunda partícula después del choque.
Sol.: b) v2’ = 0,2 m/s; = -28,3º.
35.- Un patinador de masa 75 kg se dirige a 2 m/s hacia una patinadora de masa 50 kg que se
mueve a 1 m/s ambos perpendicularmente entre sí. Cuando chocan quedan abrazados y salen con
un cierto ángulo con respecto a la dirección inicial del patinador. Calcula la velocidad y el ángulo
con que se mueven después del choque.
Sol.: v = 1,26 m/s; = 18,43º.
36.- Una bala de 12 g de masa se incrusta en un péndulo balístico de 2,5 kg de masa. Como
consecuencia del choque, el péndulo balístico se eleva una distancia vertical de 10 cm. ¿Cuál es la
velocidad de la bala?
Sol.: vB = 293,1 m/s.
37.- Se sujeta un bloque de madera de 1,2 kg de masa a un muelle de constante k = 250 N/m. El
sistema descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Se dispara horizontalmente un
proyectil de 10 g de masa y se mide la compresión en el muelle que resulta ser de 8 cm. Halla la
velocidad inicial del proyectil antes del choque así como la energía mecánica que se pierde en el
choque.
Sol.: vp = 139,15 m/s.
38.- Imagina un péndulo simple de 3 m de longitud del que cuelga una bola de 500 g. Si golpeamos
la primera bola con otra bola de igual masa y que se mueve a 5 m/s.
a.- Describe la situación física que ocurre.
b.- Calcula la altura máxima que adquiere la bola del péndulo simple si suponemos que el choque es
perfectamente elástico.
Sol.: h = 1,28 m.

7 POTENCIA MECÁNICA

Por definición la potencia mecánica es el trabajo que puede efectuar un agente (motor,
persona, etc.) en la unidad de tiempo (o bien la rapidez con la que se realiza el trabajo).

Matemáticamente:
dW
PINSTANTÁNE
A dt
La unidad de potencia en el S.I. es el julio / segundo, que se denomina vatio (W).


Esta expresión puede expresarse de otra forma. Si la fuerza que actúa
es constante: Otra unidad muy
usada de potencia es
  
dW F dr  dr   el caballo de vapor
P F F v (C.V.). Su valor es de
INSTANTÁNE
A
dt dt dt
735,5 W.
 
PINSTANTÁNE
A
F v
Una unidad de
Aunque a veces se usa mucho la potencia media: energía muy usada
también es el kW·h.
W Se obtiene
P multiplicando la
MEDIA
t
potencia en kW por
el nº de horas.
El rendimiento de una máquina es el cociente entre el trabajo útil o
1 kW·h = 3,6·106 J
realmente aprovechado y la energía total consumida, o bien entre la
potencia aprovechada y la potencia consumida.

trabajoútil potencia
útil
r · 100 100
energía
consumida potencia
consumida

Para resolver

39.- Mediante un motor de 28 C.V. de potencia nominal se eleva un montacargas a velocidad
constante de 1000 kg a 100 m en 50 s. Calcula:
a.-) El trabajo útil realizado.
b.-) Potencia útil desarrollada.
c.-) ¿Cuál es el rendimiento?
Sol.: a) Wútil = 980000 J, b) Pútil = 19600 W; c= R = 95,2 %.

EJERCICIOS PROPUESTOS EN SELECTIVIDAD

a.- Preguntas de teoría y cuestiones:

40.- (Selectividad 2004)
a) Defina la energía potencial. ¿Para qué tipo de fuerzas puede definirse? ¿Por qué?
41.- (Selectividad 2003) Conteste razonadamente a las siguientes preguntas:
a) Si la energía mecánica de una partícula permanece constante, ¿puede asegurarse que todas las
fuerzas que actúan sobre la partícula son conservativas?
b) Si la energía potencial de una partícula disminuye, ¿tiene que aumentar su energía cinética?
42.- (Selectividad 2003) Conteste razonadamente a las siguientes preguntas:
a) Una partícula sobre la que actúa una fuerza efectúa un desplazamiento. ¿Puede asegurarse que
realiza trabajo?
b) Una partícula, inicialmente en reposo, se desplaza bajo la acción de una fuerza conservativa.
¿Aumenta o disminuye su energía potencial?
43.- (Selectividad 2003)


a) ¿Se cumple siempre que el aumento o disminución de la energía cinética de una partícula es
igual a la disminución o aumento, respectivamente, de su energía potencial? Justifique la
respuesta.
44.- a) ¿Qué trabajo se realiza al sostener un cuerpo durante un tiempo t?
b) ¿Qué trabajo realiza la fuerza peso de un cuerpo si éste se desplaza una distancia d por una
superficie horizontal?
Razone las respuestas.
45.- Un automóvil arranca sobre una carretera recta y horizontal, alcanza una cierta velocidad
que mantiene constante durante un cierto tiempo y, finalmente, disminuye su velocidad hasta
detenerse.
a) Explique los cambios de energía que tienen lugar a lo largo del recorrido.
b) El automóvil circula después por un tramo pendiente hacia abajo con el freno accionado y
mantiene constante su velocidad. Razone los cambios energéticos que se producen.

b.- Problemas:

46.- (Selectividad 2004) Se deja caer un cuerpo de 0,5 kg desde lo alto de una rampa de 2 m,
inclinada 30º con la horizontal, siendo el valor de la fuerza de rozamiento entre el cuerpo y la
rampa de 0,8 N. Determine:
a) El trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, al trasladarse
éste desde la posición inicial hasta el final de la rampa.
b) La variación que experimentan las energías potencial, cinética y mecánica del cuerpo en la caída
a lo largo de toda la rampa.
g = 10 m·s-2
47.- Un bloque de 10 kg desliza hacia abajo por un plano inclinado 30º sobre la horizontal y de
longitud 2 m. El bloque parte del reposo y experimenta una fuerza de rozamiento con el plano de
15 N.
a) Analice las variaciones de energía que tienen lugar durante el descenso del bloque.
b) Calcule la velocidad del bloque al llegar al extremo inferior del plano inclinado.
g = 10 m s - 2
48.- (Selectividad 2004) Sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal
se encuentra un bloque de 0,5 kg adosado al extremo superior de un resorte, de constante
elástica 200 N·m-1, paralelo al plano y comprimido 10 cm. Al liberar el resorte, el bloque asciende
por el plano hasta detenerse y, posteriormente, desciende. El coeficiente de rozamiento es 0,1.
a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el bloque cuando asciende por el plano y
calcule la aceleración del bloque.
b) Determine la velocidad con la que el bloque es lanzado hacia arriba al liberarse el resorte y la
distancia que recorre el bloque por el plano hasta detenerse.
g =10 m·s-2
49.- (Selectividad 2003) Un bloque de 0,2 kg, inicialmente en reposo, se deja deslizar por un
plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Tras recorrer 2 m, queda unido al
extremo libre de un resorte, de constante elástica 200 N·m-1, paralelo al plano y fijo por el otro
extremo. El coeficiente de rozamiento del bloque con el plano es 0,2.
a) Dibuje en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el bloque cuando comienza el
descenso e indique el valor de cada una de ellas. ¿Con qué aceleración desciende el bloque?
b) Explique los cambios de energía del bloque desde que inicia el descenso hasta que comprime el
resorte y calcule la máxima compresión de éste.
g = 10 m·s - 2
50.- (Selectividad 2003) Un bloque de 0,5 kg está colocado sobre el extremo superior de un
resorte vertical que está comprimido 10 cm y, al liberar el resorte, el bloque sale despedido hacia


arriba verticalmente. La constante elástica del resorte es 200 N·m-1.
a) Explique los cambios energéticos que tienen lugar desde que se libera el resorte hasta que el
cuerpo cae y calcule la máxima altura que alcanza el bloque.
b) ¿Con qué velocidad llegará el bloque al extremo del resorte en su caída?
g = 10 m·s-2
51.- (Selectividad 2003) Un bloque de 2 kg se lanza hacia arriba, por una rampa rugosa ( = 0,2)
que forma un ángulo de 30º con la horizontal, con una velocidad de 6 m·s- 1 .
a) Explique cómo varían las energías cinética, potencial y mecánica del cuerpo durante la subida.
b) Calcule la longitud máxima recorrida por el bloque en el ascenso.
Dato: toma g = 10 m· s - 2
3. 52.- Un cuerpo de 2 kg cae sobre un resorte elástico de constante k = 4000 N m - 1, vertical y
sujeto al suelo. La altura a la que se suelta el cuerpo, medida sobre el extremo superior del
resorte, es de 2 m.
a) Explique los cambios energéticos durante la caída y la compresión del resorte.
b) Determine la deformación máxima del resorte.
g = 10 m s - 2

RELACIÓN DE EJERCICIOS DE REPASO

Las soluciones se encuentran al final de la unidad.

1.- Un cuerpo de 10 kg descansa sobre una superficie horizontal. Si el coeficiente de rozamiento
dinámico entre el cuerpo y la superficie es de 0,2, ¿qué fuerza horizontal hay que aplicar para
desplazar el cuerpo 5 m a velocidad constante? ¿Qué trabajo total se realiza?
  
2.- “Una partícula está sometida a la fuerza F y2i x2j N. Calcula el trabajo realizado
cuando la partícula se desplaza por la recta x + y = 1, entre los puntos A(1, 0) y B(0, 1).
 
3.- “Un cuerpo se mueve a lo largo del eje X bajo la acción de la fuerza F 4t 6ti N. La
2

ecuación del movimiento de la partícula es x = t2 - 1. Determinar el trabajo realizado por la fuerza
al desplazar el cuerpo desde x = 3 m hasta x = 8 m.
  
4.- “Sobre una partícula actúa la fuerza F x2i 3xy . Calcula el trabajo realizado por la
j
fuerza al desplazar la partícula desde el punto (0, 0) al (2, 4):
a.- Si la trayectoria es la línea recta que une estos puntos.
b.- Si la trayectoria es la parábola y = x2.
c.- Discute si esta fuerza es conservativa o no.
5.- Si en el problema anterior se aplica una fuerza que le produce al cuerpo una aceleración de 5
ms-2.
a.- ¿Qué trabajo efectúa la fuerza al desplazarlo esos 5 m?
b.- ¿Cuál es el trabajo total efectuado?
6.- Un alpinista (70 kg) puede trepar 500 m por hora en ascensión vertical. ¿Qué energía
potencial gravitatoria gana este alpinista en una ascensión de 5 horas por una montaña?
7.- En la figura se muestra el sistema formado por un muelle comprimido por dos cuerpos A y B
de masas mA = 2 kg y mB = 5 kg, que se encuentran en reposo sobre una superficie horizontal sin
rozamiento. Al soltar estos cuerpos de forma simultánea, el cuerpo A sale despedido con v = 4
m/s. Calcula la velocidad del cuerpo B y la energía cinética del sistema antes y después de soltar
dichos cuerpos.


8.- Un cuerpo de 0,200 kg de masa es lanzado hacia arriba desde un punto que está a 20 m por
encima de la superficie terrestre formando un ángulo de 60º con la horizontal y con una velocidad
de 20 ms-1.
a) ¿Cuál es su energía total?
b) ¿Cuál es su energía total cuando se encuentra a 25 m sobre la superficie terrestre?
c) ¿Cuál es su velocidad a esa altura?
9.- Un cuerpo se lanza sobre un plano horizontal con una velocidad inicial de 6 ms -1 sabiendo que
el coeficiente de rozamiento vale 0,3, calcular el tiempo que tarda en detenerse, la distancia
recorrida y la energía disipada.
10.- Discute cuándo se hace más trabajo: al sostener un cuerpo de 1 kg durante 10 s o al
sostener un cuerpo de 10 kg durante 1 s.
11.- Sean A y B dos planos inclinados de igual altura H. Si se desea subir un cuerpo en ambos con
velocidad constante y sin tener en cuenta el rozamiento:
a.- ¿En cuál deberá hacerse más fuerza?
b.- ¿En qué caso se hará más trabajo?

12.- Una misma fuerza resultante constante actúa sobre un granito de arena y sobre un
automóvil, a lo largo de un desplazamiento igual, en la dirección y sentido del movimiento. ¿Cuál de
los dos cuerpos experimenta mayor variación de energía cinética?
13.- Un paracaidista desciende con velocidad constante. Por tanto, su energía cinética es
constante y su energía potencial disminuye. ¿Desaparece energía?
14.- Calcula el trabajo que realizamos sobre una maleta de 15 kg.
a.- Si la sostenemos 5 minutos, esperando el autobús.
b.- Si corremos detrás del autobús una distancia horizontal de 10 metros en 2 segundos, a
velocidad constante.
c.- Si la elevamos 1 m verticalmente (a velocidad constante).
15.- Sobre un cuerpo de 20 kg situado en un plano horizontal actúa una fuerza de 200 N
formando un ángulo de 37º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el
plano es de 0,10. Calcula el trabajo realizado por la fuerza aplicada y el desarrollado por el
rozamiento al trasladar el objeto 5 m por el plano.
16.- Una grúa eleva un cuerpo de 500 kg a 50 m en 25 segundos. Calcula:
a.- Trabajo que realiza sobre el cuerpo.
b.- Su potencia.
c.- Si la potencia que pone el motor de la grúa es de 16,0 CV, ¿cuál es su rendimiento?
17.- Un cuerpo de 20 kg se lanza por un plano inclinado 37º con la velocidad de 20 m/s. Calcula
la distancia que recorre hasta que se detiene:
a.-) Si se desprecia el rozamiento.


b.-) Considerando que el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el suelo es 0,20.
18.- Un caballo va por la orilla de un río y tira de una barcaza con la fuerza de 400 N, mediante
una cuerda que forma un ángulo de 37º con la dirección del río. Determina el trabajo que realiza
al recorrer 200 m.
19.- Por un plano inclinado de 3 m de alto y 4 m de base, se traslada con velocidad constante un
bloque de 100 kg mediante una fuerza paralela al desplazamiento (no hay fricción).
a.- ¿Qué trabajo habrá realizado la fuerza cuando el bloque llegue al final del plano inclinado
b.- ¿Con qué fuerza se ha empujado el bloque?
c.- ¿Cuál ha sido la ventaja de usar el plano inclinado, en vez de elevarlo verticalmente?
20.- Calcula la potencia de un motor que eleva 625 litros de aceite cada minuto en un pozo de 24
m de profundidad. La densidad del aceite es de 800 kg/m3.
21.- Un proyectil de 2 g sale del cañón de un fusil a 300 m/s.
Calcula la energía cinética del proyectil a la salida del cañón.
22.- Un alpinista de 75 kg trepa 400 m por hora en ascensión vertical. ¿Qué energía potencial
gravitatoria gana en una ascensión de 2 horas?
23.- Desde una torre de 40 m de altura se dispara un proyectil de 1 kg, formando un ángulo de
45º con la horizontal, con una velocidad de 120 m/s. Calcula la velocidad del proyectil cuando llega
al suelo, por consideraciones energéticas, despreciando el rozamiento con el aire.
24.- En la cima de unas montañas rusas un vehículo está a una altura de 40 m sobre el suelo y
avanza a 5 m/s. Calcula la energía cinética del vehículo cuando está en una segunda cima situada a
20 m sobre el suelo, si se desprecian los rozamientos. La masa del vehículo con sus ocupantes es
de 1000 kg.
25.- Un bloque de 35,6 N de peso avanza a 1,22 m/s sobre una mesa horizontal (sin rozamiento).
Si en su camino se encuentra con un resorte cuya constante elástica es 263 N/m. ¿Cuál es la
máxima compresión del resorte?
26.- Se considera al bloque de la figura como una masa puntual de valor 10 kg y un coeficiente de
rozamiento con el suelo de 0,20. Sobre el bloque actúa una fuerza de 50 N, formando un ángulo
de 30º con la horizontal.

a.- Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre el bloque y determina la fuerza de
rozamiento.
b.- Por consideraciones energéticas, calcula la velocidad del bloque después de recorrer una
distancia de 5 m partiendo del reposo.
27.- Un muchacho arroja una piedra de 100 g formando un ángulo de 45º con la horizontal,
consiguiendo alcanzar 20 m. Halla las energías cinética y potencial en el punto más alto de la
trayectoria. Dato: toma g como 10 m/s2.
28.- Se deja caer un cuerpo de 1 kg de masa desde lo alto de un plano inclinado 30º. Si parte del
reposo y el coeficiente de rozamiento es 0,10, determina:
a.- El trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y el trabajo
resultante de todas ellas, cuando recorre 3 m sobre el plano.
b.- La energía cinética que adquiere el cuerpo cuando ha recorrido 3 m sobre el plano.
c.- La velocidad que posee en ese momento.
29.- Un camión cuya masa es de 10 t marcha a una velocidad de 60 km/h. Determina :
a.- Su energía cinética.
b.- Cantidad de calor que producen sus frenos cuando se detiene por su acción.
c.- La distancia horizontal que recorre dejado en punto muerto, si el coeficiente de rozamiento


es de 0,30.
30.- Un cuerpo de 4 kg de masa se eleva desde el suelo hasta una altura de 2 m, manteniendo
constante su velocidad de dos formas diferentes:
a.- Directamente.
b.- Mediante una rampa inclinada 30º.
Comprueba que en ambos casos la fuerza peso realiza el mismo trabajo. ¿Para qué se utilizan
entonces las rampas, si no nos ahorran trabajo?
31.- Un hombre de 60 kg va corriendo a 8 km/h y da alcance a una carretilla de 80 kg que
marcha a 2,9 km/h, montándose en ella. Calcula la velocidad adquirida por la carretilla
inmediatamente después de subirse el hombre.
32.- En el punto A de una pendiente se encuentra situado un vagón de 25 t en reposo. Se le
rompen los frenos y el vagón desciende por la rampa hasta un tramo horizontal, donde choca con
otro vagón de 15 t, que se encuentra en reposo, y que se encuentra también sin frenos. Si ambos
vagones quedan empotrados y se dirigen hacia la pendiente de la derecha, por la que suben hasta
detenerse a una altura h. Calcula la altura h. Supón que no existe rozamiento.

33.- Un péndulo simple de 2 m de longitud se separa de su posición de equilibrio un ángulo de 37º
y se abandona libremente. Calcúlese:
a.- Su velocidad en el punto más bajo de la trayectoria.
b.- Si la masa del péndulo es de 100 g y choca con otra masa puntual de 200 g situada en ese
punto. ¿Cuál será la velocidad de cada una de las masas después del choque, si es completamente
elástico?
34.- Un proyectil de 15 g se dispara horizontalmente contra un bloque de madera de 0,5 kg que
se encuentra en reposo en una superficie horizontal y de coeficiente de rozamiento 0,25. La bala
se incrusta en la madera y el conjunto recorre 1,5 m hasta pararse. Calcula la velocidad que
llevaba el proyectil justo en el momento del choque con la madera.
35.- Una bala de 10 g choca con un bloque de 1000 g que está en reposo sobre una superficie
horizontal. La bala se incrusta en el bloque. El bloque está unido a un resorte de constante
elástica 100 N/m y el coeficiente de rozamiento del bloque con el suelo es de 0,2. Si el resorte
se comprime 10 cm. Calcula:
a.- Velocidad del bloque inmediatamente después del choque.
b.- Velocidad inicial de la bala.
36’.- Una bola de billar, avanza a una velocidad de 2 m/s según el eje x. En el camino se
encuentra con otra bola de la misma masa que viene a una velocidad de 1m/s en sentido contrario.
Tras el choque, que supondremos perfectamente elástico, la primera bola sigue hacia delante a
0,5 m/s formando un ángulo de -20º con el eje de las X. Calcula la dirección y velocidad de la
segunda bola.
37’.- En un plano horizontal se encuentra un muelle de constante elástica K = 300 N/m,
comprimido 10 cm. Se coloca un objeto de 0,5 kg de masa y se suelta el muelle. El cuerpo acelera
y recorre 50 cm por un plano horizontal. A continuación encuentra un plano inclinado 30 º
subiendo por el. Si el coeficiente de rozamiento del objeto con la superficie horizontal y del
plano inclinado es de 0,25. ¿A qué altura sobre el plano inclinado subirá el objeto?


38’.- Un esquiador de 70 kg de masa se deja caer
desde el punto más alto del trampolín de saltos de esquí
que se indica en la figura. Si el coeficiente de
rozamiento con el hielo es de 0,01, determina:
a.- La distancia, medida desde la base del trampolín, a la
que cae el esquiador.
b.- Altura máxima sobre el suelo alcanzada por el mismo.


SOLUCIONES A LA RELACIÓN DE EJERCICIOS DE REPASO

1.- F = 19,6 N; WTOTAL = 0 J.
2.-“ -2/3J
3.-“ 262 J.
4.-“ a) 34,7 J.; b) 41,1 J.; c) No es conservativa.
5.- WF = 348 N; Wtotal = 250 J.
6.- 1,715×106 J
7.- vB = 1,6 m/s (en módulo); Ec antes = 0 J; Ec después = 22,4 J.
8.- a) 79,2 J; b) 79,2 J; c) 17,4 m/s.
9.- a) 2,04 s; b) 6,12 m ; c) 18,5 J.
10.- En ningún caso se hace trabajo porque no hay desplazamiento.
11.- a) Más fuerza en el plano de ángulo . B) Igual trabajo en los dos.
12.- Los dos experimentan la misma variación.
13.- No. Existe una fuerza no conservativa (rozamiento) que transforma la energía potencial en
energía interna del aire y del paracaidista.
14.- a) W = 0; b) W = 0; c) W = 147 J.
15.- WF = 798,64 J; WR = -37,8 J
16.- a) W = 245000 J; b) P = 13,32 C.V.; c) R = 83,3 %.
17.- a) 33,9 m; b) 26,77 m.
18.- W = 63891 J.
19.- a) 2940 J; b) 588 N; c) Hacer menor fuerza.
20.- P = 1960 W.
21.- Ec = 90 J.
22.- Ep = 58800 J.
23.- 123,22 m/s.
24.- Ec = 208500 J.
25.- x = 0,143 m.
26.- a) FR = 24,6 N; b) v = 4,32 m/s.
27.- Ec = 5 J; Ep = 5 J.
28.- a) WP = 14,7 J; WN = 0; WR = -2,55 J; b) Ec = 12,15 J; c) v = 2,85 m/s.
29.- a) Ec = 1388889 J; b) WR <0 -1388889 J; c) r = 47,2 m.
30.- Porque con rampa, la fuerza a realizar es menor.
31.- 1,4 m/s.
32.- 9,77 m.
33.- a) 2,8 m/s; b) v100 = - 0,93 m/s; v200 = 1,87 m/s.
34.- v = 93,04 m/s.
35.- a) vbloque = 1,18 m/s; b) vbala = 119,18 m/s.
36’.- v = 0,69 m/s; = 14,44º.
37’.- h = 12,6 cm.
38’.- a) 226,19 m; b) 104,72 m.


2

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a 2

Similar a 2 (20)

2