Probabilidad final

Experimento
Es una observación de un fenómeno que ocurre
en la naturaleza.
●

●

Experimentos Determinísticos: casos una vez
que se conoce el resultado del experimento en
una repetición, entonces se sabe con certeza lo
que ocurrirá en la siguiente repetición.

Experimentos Aleatorios: Son aquellos en
donde no se puede anticipar el resultado que
ocurrirá

Espacio Muestral
Es el conjunto de posibles resultados de un
experimento aleatorio. Representaremos el
espacio muestral por S y cada elemento de él
es llamado un punto muestral.
S1 = { 1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6 }
S2 = { C C , C X , X C , X X }

S3 = {VVV,VVN,VNV,NVV,VNN, NNV,
NVN,NNN}

Evento
Es un resultado particular de un experimento
aleatorio.
En términos de conjuntos,
un
evento es un subconjunto del espacio
muestral. Por lo general se le representa
por las primeras letras del alfabeto.
A: Que salga un número par al lanzar un dado.

A = { 2,4,6}
B: Que salga por lo menos una cruz.
B = {C X ,X C ,XX}

ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD

Subjetivo
Enfoques de la
probabilidad

Frecuencial

Clásico

●

La probabilidad subjetiva
– es

el grado de creencia o juicio
personal.

●

La probabilidad frecuencial
–

es el cociente entre la frecuencia observada
de un suceso y el total de observaciones
cuando un experimento se realiza un número
grande de veces.

●

La probabilidad clásica
– se

define como el cociente entre el
número de resultados favorables y los
posibles, si todos tienen la misma
posibilidad de presentarse.

Redondeo
Notación sistematizada
Notación Sigma
Medidas y
Análisis

Notación Factorial.
Notación Cientifíca

MEDIDAS Y ANÁLISIS
Redondeo.
Es un procedimiento que consiste en escribir un
número que representa una cantidad con menos
cifras de las que tiene, para tener una idea rápida
de la cantidad.
Por ejemplo, si en una obra determinada se
invirtieron 2 458 606 pesos, en lugar de decir dicha
cantidad se menciona “se invirtieron 2.5 millones de
pesos”, la cual es una cifra redondeada.

MEDIDAS Y ANÁLISIS
En ocasiones se tienen cifras que se encuentran
exactamente a la mitad de entre dos números, por
ejemplo 2.235, se encuentra a la misma distancia de
2.23 y de 2.24.

En estos casos se debe decidir por algún criterio que
reduzca el error por redondeo acumulado cuando se
tiene un gran número de datos.
Por lo regular se sugiere que se redondee al par más
cercano. En el caso de 2.235 se redondearía a 2.24;
el número 3.225 se redondearía como 3.22.

MEDIDAS Y ANÁLISIS

Notación sistematizada.
Son las diferentes formas de escribir algunas
de las cantidades que implican notaciones
amplias, en estadística se manejan la
notación sigma, factorial y científica.

MEDIDAS Y ANÁLISIS

Notación sistematizada.
Notación Sigma. Su notación se debe al
nombre de la letra griega , que indica un
conjunto de números o cantidades que
deben ser sumadas. Se representa
mediante Σ.

MEDIDAS Y ANÁLISIS

Donde n = El subíndice del último número de la serie que debe
ser sumada.
xi = Variable con subíndice que representa el iésimo elemento
del conjunto.
= Letra griega sigma que indica que debe realizarse la
sumatoria.
i = El subíndice del primer elemento de la serie que va a ser
sumada.
Ejemplo. La suma de una variable es igual a la suma de cada
una de ellas.

MEDIDAS Y ANÁLISIS
Notación factorial. Es el resultado de multiplicar
su número por todos los números enteros
positivos menores que dicho número, se
representa como n! y se lee “el factorial de n”.
Ejemplo. El factorial de 5
5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120

MEDIDAS Y ANÁLISIS
Notación científica.
Es una manera de escribir en forma breve cifras muy grandes o
muy pequeñas. La forma general es “a x 10”, en donde “a” es
un número entre 1 y 9, “n” es un número entero.
Ejemplo. El número 25 000 se escribe como 2.5 x 104, o el
número 0.00025 se escribe como 2.5 x 10-4.
Nota que si el punto decimal se desplaza a la izquierda el
exponente de la base 10 es positivo e indica el número de
lugares que se movió el punto decimal hacia la izquierda;
en cambio, si se desplaza el punto decimal a la derecha, el
exponente es negativo, e indica el número de lugares que
se recorrió el punto decimal hacia la derecha.

MEDIDAS Y ANÁLISIS
Cifras significativas.
A los dígitos exactos que se utilizan para escribir una
cifra, aparte de los ceros para localizar el punto
decimal, se les llama cifras significativas del número.
Ejemplo. 3.22 tiene tres cifras significativas.

0.0032, que se escribe como 3.2 x 10-3, tiene dos
cifras significativas.
0.00320, que se escribe como 3.20 x 10-3, tiene tres
cifras significativas.

Los datos estadísticos se obtienen a partir de
diferentes fuentes, entre las cuales se
encuentran:

Encuesta
Métodos de
Recolección

Experimento
Investigación
Documental

MEDIDAS Y ANÁLISIS
Métodos de recolección.
●

La encuesta consiste en recopilar datos
mediante el uso

MEDIDAS Y ANÁLISIS
El experimento es un procedimiento utilizado en
la investigación científica para obtener
información
que
permita
conocer
el
comportamiento de algún proceso.

MEDIDAS Y ANÁLISIS

●

La investigación documental es un procedimiento
para obtener datos mediante la consulta de
información ya escrita y concentrada en documentos
que se localicen en libros o revistas en bibliotecas,
hemerotecas, o en centros virtuales.

Moda
Medidas de
tendencia

Media
Mediana

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Media.
Es el valor promedio de la distribución. Se representa
con la letra µ o con el símbolo (X testada) ; la primera
es para representar la media de una población y la
segunda para representar la media de una muestra de
población.
Ejemplo. Encuentra la media de 23, 24, 24, 25, 26, 28.

.


Mediana.
Es la puntación de la escala que separa la mitad
superior de la distribución y la inferior, es decir divide la
serie de datos en dos partes iguales. Si el conjunto de
datos es un número impar, la mediana se encontrará a la
mitad de la lista ordenada, ubicándose en la posición (n +
1)/2.
Ejemplo.
La mediana de 21, 23, 24, 24, 25, 26, 28, 29, 30,

es 25 .

Moda. Es el valor que más se repite en una distribución.
Puede no existir, o bien en caso de existir, puede
haber uno o más valores que representen a la moda.
Ejemplo. En el conjunto de datos de la tabla, ¿cuál es la
moda?

Como la frecuencia más alta es 10 y pertenece al 52, la
moda es el número 52.

Las dividen un conjunto de datos en grupos con
el mismo número de individuos. Para calcular
las medidas de posición es necesario que
los datos estén ordenados de menor a mayor.
La medidas de posición son:
●

●

●

Los dividen la serie de datos en cuatro partes
iguales.
Los dividen la serie de datos en diez partes
iguales.
Los dividen la serie de datos en cien partes
iguales.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto
se alejan del centro los valores de la distribución.
Las medidas de dispersión son:
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de
los datos de una distribución estadística. Se
representa con la letra R (no debe confundirse con el
rango de una función).

Ejemplo. Determina el rango de los datos 21, 21, 23, 24,
24, 25, 26, 28, 29, 30.
R = 30 – 21 = 9

Cada dato tiene una cierta distancia respecto a la media; a la
diferencia entre un valor xi, y la media , se le llama
desviación o desvío.
Ejemplo. Considerando el conjunto A, cuyos elementos son 5, 8,
10, 12, 15, y con media igual a 10. Determina los desvíos de
cada uno de los datos respecto a la media.

La desviación media es una medida que
intenta representar a los desvíos, empleando
los valores absolutos de los mismos. Se
calcula mediante la siguiente expresión:

La de un conjunto de datos es un estadístico que representa
la variación que tienen los datos respecto a la media. Se
representa con s2, si se trata de la varianza de una
muestra. Para calcularla se utiliza la siguiente fórmula:

Ejemplo. Determina el valor de la varianza del conjunto 21,
21, 23, 24, 24, 25, 26, 28, 29, 30, cuya media es 25.1

La desviación tipica o estándar es la raíz
cuadrada de la varianza.
Ejemplo. Calcula la desviación típica del
ejercicio anterior.

DISTRIBUCIONES DE
FRECUENCIAS: ACUMULADAS Y
RELATIVAS ACUMULADAS

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS:
ACUMULADAS Y RELATIVAS ACUMULADAS
Una distribución de frecuencias o tabla de
frecuencias es una ordenación en forma de
tabla de los datos estadísticos, asignando a
cada dato su frecuencia correspondiente.

Absoluta

Tipos de
Frecuencias

Acumulada

Relativa
Relativa
Acumulada

Tipos de frecuencia:

La frecuencia absoluta es el número de veces que
aparece un determinado valor en un estudio
estadístico. Se representa por fi. La suma de las
frecuencias absolutas es igual al número total de
datos, que se representa por N. f1 + f2 + f3 +…+ fn = N
Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la
letra griega ∑.

Tipos de frecuencia:

La frecuencia acumulada es la suma de las
frecuencias absolutas de todos los valores
inferiores o iguales al valor considerado. Se
representa por Fi.

La frecuencia relativa es el cociente entre la
frecuencia absoluta de un determinado valor y
el número total de datos. Se puede expresar en
tantos por ciento y se representa por ni.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre
la frecuencia acumulada de un determinado valor y el
número total de datos. Se puede expresar en tantos
por ciento.

Ejemplo. Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado
las siguientes temperaturas máximas: 32, 31, 28, 29, 33, 32,
31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30,
31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

fi=frecuencia absoluta
Fi=frecuencia acumulada
ni=frecuencia relativa
Ni=frecuencia relativa acumulada

La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con
datos agrupados se emplea si las variables toman un
número grande de valores o la variable es continua.
Se agrupan los valores en intervalos que tengan la
misma amplitud denominados intervalos de clases.
A cada clase se le asigna su frecuencia
correspondiente.

Límites de la clase. Cada clase está delimitada por el
límite inferior de la clase y el límite superior de la
clase.
Amplitud de la clase. Es la diferencia entre el límite
superior o inferior de la clase.
Marca de clase. Es el punto medio de cada intervalo y
es el valor que representa a todo el intervalo para el
cálculo de algunos parámetros.

Ejemplo. Construye una tabla de datos agrupados con la
siguiente distribución. 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36,
34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47,
39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

Primero se localizan los valores menor y mayor de la
distribución. En este caso son 3 y 48. Se restan y se
busca un número entero un poco mayor que la
diferencia y que sea divisible por el número de
intervalos que queramos poner. Es conveniente que el
número de intervalos oscile entre 6 y 15. En este
caso, 48 – 3 = 45, incrementamos el número hasta 50,
dividido entre 5, nos quedan 10 intervalos. Se forman
los intervalos teniendo presente que el límite inferior
de una clase pertenece al intervalo, pero el límite
superior no pertenece , entonces se cuenta en el
siguiente intervalo.

REPRESENTACIONES GRÁFICAS
Histograma

Polígono de frecuencia

Ojiva

Gráfica de barras

Gráfico circular (Gráfica de pastel)

Diagramas de caja

Ejemplo. Utilizamos la ya usada distribución de frecuencias, que
representan la edad de un colectivo de 20 personas.
３６．

25 37 24 39 20 36 45 31 31 39 24 29 23 41 40 33 24
34 40

Para calcular los parámetros estadístico, lo primero es ordenar la
distribución.

20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39 39 40
40 41 45

20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39 39 40 40
41 45
Q1, el cuartil Primero es el valor mayor que el 25% de los valores
de la distribución. Como N = 20 resulta que N/4 = 5; el primer
cuartil es la media aritmética de dicho valor y el siguiente:
Q1=(24 + 25) / 2 = 24,5

20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39 39 40 40
41 45
Q2, el Segundo Cuartil es, evidentemente, la mediana de la
distribución, es el valor de la variable que ocupa el lugar central
en un conjunto de datos ordenados. Como N/2 =10 ; la mediana
es la media aritmética de dicho valor y el siguiente:
Mediana = Q2 = (33 + 34)/ 2 =33,5

20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39 39 40
40 41 45

Q3 , el Tercer Cuartil, es el valor que sobrepasa al 75% de los
valores de la distribución. En nuestro caso, como 3N / 4 = 15,
resulta:

Q2=(39 + 39) / 2 = 39

El bigote de la izquierda representa al colectivo de
edades ( Xmín, Q1)
La primera parte de la caja a (Q1, Q2),
La segunda parte de la caja a (Q2, Q3)
El bigote de la derecha viene dado por (Q3,
Xmáx).

EXPERIMENTOS Y EVENTOS
Probabilidad de eventos simples.
La probabilidad clásica de un evento E, se
escribe p(E), se define como el número de
resultados que componen al evento E, entre el
número de resultados que componen el
espacio muestral:

Probabilidad de eventos compuestos.
Cuando calculas probabilidades, a menudo
tienes que tomar en consideración dos o más
eventos, conocidos como eventos
compuestos.

En un evento compuesto, si el segundo evento
no depende del resultado del primer evento,
entonces los eventos son independientes.
Si el resultado de un evento compuesto influye
en el otro evento, entonces los eventos son
dependientes.

Probabilidad de dos eventos independientes. La
probabilidad de que ocurran dos eventos
independientes se calcula multiplicando la
probabilidad del primer evento por la probabilidad del
segundo evento.

P(A y B) = P(A) . P(B)

Probabilidad de dos eventos dependientes. Si dos
eventos A y B son dependientes, entonces la
probabilidad de que ocurran los dos eventos es igual
al producto de la probabilidad de A por la probabilidad
de B después de ocurrir A.

P(A y B) = P(A) . P(B dado A)

Probabilidad axiomática. La probabilidad desde el punto de
vista axiomático, propone las reglas que el cálculo de las
probabilidades debe satisfacer, para ello se basa en los
siguientes 3 postulados y axiomas:
La probabilidad de un suceso A es un número real mayor o igual
que cero; P(A) 0.
La probabilidad del total, Ω, es igual a 1; P(Ω) = 1.
Si dos sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, que no
ocurren simultáneamente, entonces la probabilidad del suceso
compuesto por ambos es la suma de las probabilidades de
cada uno de los sucesos; P(A1 ᴗA2) = P(A1) + P(A2)

Tomando en cuenta que la probabilidad de un evento, por
definición, es la frecuencia relativa, entonces se tiene lo
siguiente:
Si A es un evento de un espacio muestral S, y p(A) es la
probabilidad de A, entonces se satisfacen los axiomas de la
probabilidad:
Axioma 1. La probabilidad de un suceso A es un número real
entre 0 y 1. 0 < p(A) < 1.

Axioma 2. La probabilidad de S es igual a 1. P(S) = 1
Axioma 3. Si A1 y A2 son sucesos mutuamente excluyentes,
entonces la probabilidad de la unión de ellos es la suma de sus
probabilidades. P(A ᴗB) = P(A1) + P(A2).

Probabilidad condicional.

Se denomina a la probabilidad de que ocurra un
evento en particular, dado que ocurrió otro evento.
La probabilidad de que ocurra el evento A dado que
ya ocurrió B se denota como P(A/B).
P(A/B) se lee “p de A dado B” y significa “la
probabilidad del evento A, dado que el evento B
ocurre”.

Ejemplo.

Considera un cuadrado formado a su vez por 16 cuadritos.
La probabilidad de que ocurra el cuadrito es 1/16. Sin
embargo, la probabilidad de que ocurra el mismo
cuadrito una vez que ya ha ocurrido en B, se escribe
P(A/B), es ¼.

DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Distribución normal. Es una distribución de
variable continua que queda especificada por
dos parámetros de los que depende su función
de densidad y que resultan ser la media (µ) y
su desviación típica (σ).
Su función de densidad es:

Distribución binomial
La distribución binomial está asociada a experimentos
del siguiente tipo:
●

●

●

Realizamos n veces cierto experimento en el que
consideramos sólo la posibilidad de éxito o fracaso.
La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es
independiente de la obtención de éxito o fracaso en
las demás ocasiones.
La probabilidad de obtener éxito o fracaso siempre es
la misma en cada ocasión.

DISTRIBUCIONES MUESTRALES.

Cuando n es lo bastante grande, su distribución
muestral también es una normal. El último resultado
es cierto sea cual sea la distribución de los datos
originales. Es decir, la distribución de la media
muestral es normal sea cual sea la distribución
original. Este resultado fundamental de la estadística
tiene un nombre propio: el teorema del límite central.

El teorema del límite central dice que si una muestra
es lo bastante grande (n > 30), sea cual sea la
distribución de la variable de interés, la distribución de
la media muestral será aproximadamente una normal.
Además, la media será la misma que la de la variable
de interés, y la desviación típica de la media muestral
será aproximadamente el error estándar.
Una consecuencia de este teorema es la siguiente:

Dada cualquier variable aleatoria con esperanza m y
para n lo bastante grande, la distribución de la
variable es una normal estándar.

Parámetro. Es una cantidad numérica calculada sobre
una población y resume los valores que ésta toma en
algún atributo.
Intenta resumir toda la información que hay en la
población en unos pocos números (parámetro). La
altura media de los sujetos.

Estadístico. Es una cantidad numérica calculada sobre
una muestra que resume su información sobre algún
aspecto.
Si un estadístico se usa para aproximar un parámetro
también se le suele llamar estimador.
Normalmente os interesa conocer un parámetro, pero
por la dificultad que conlleva estudiar a *TODA* la
población, calculamos un estimador sobre una
muestra y confiamos en que sean próximos.

REGLAS DE PROBABILIDAD
Sucesos mutuamente excluyentes. Dos o más eventos
son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden
ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un
evento impide automáticamente la ocurrencia del otro
evento (o eventos).
Ejemplo. Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que
salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere
decir que estos eventos son excluyentes.

Regla de la adición. Si p1, p2, p3, … pn, son las
probabilidades
de
n
sucesos
mutuamente
excluyentes. La probabilidad P de que uno de estos
sucesos se presente en un solo ensayo, estará da por
la suma de las probabilidades de cada suceso, esto
es
P= p1 + p2 + p3 +…+pn
P(A o B) = P(A) + P(B)


Sucesos compatibles. Dos o más eventos son
compatibles, o que no son mutuamente excluyentes,
cuando la ocurrencia de un suceso no impide la
ocurrencia de un seceso no impide la ocurrencia del
otro.

Sucesos independientes. Dos o más eventos son
independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia
de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de
ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico
de eventos independientes es el muestreo con
reposición, es decir, una vez tomada la muestra se
regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.
Regla de la multiplicación. Si p1, p2, p3, …pn, son las
probabilidades de n sucesos independientes. La
probabilidad P de que uno de estos sucesos se
presente en un solo ensayo, estará dada por el
producto de cada suceso, esto es:

Sucesos dependientes. Dos o más eventos serán
dependientes cuando la ocurrencia o no- ocurrencia
de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia
del otro (u otros). Cuando tenemos este caso
empleamos entonces, el concepto de probabilidad
condicional para denominar la probabilidad del evento
relacionado. La expresión P(AB) indica la probabilidad
de ocurrencia del evento A si el evento B ya ocurrió.

●

Combinaciones, Variaciones y
Permutaciones

Combinaciones
●

●

●

●

Determinaciones de subgrupos de un conjunto
de elementos a ser agrupados en n cantidad.

Ejemplo
Calcular las posible combinaciones de 2
elementos que se pueden formar con los
grupos A={1,2,3}
B={(1,2)(1,3)(2,3)}

Variaciones
●

de elementos a ser agrupados en n cantidad;
considerando las diferencias y orden de los
elementos.

Variaciones
●

●

●

Ejemplo
Calcular las posible variaciones de 2 elementos
que se pueden formar con los grupos A={1,2,3}

B={(1,2)(1,3),(2,1),(2,3),(3,1)(3,2)}

Variaciones

●

Calcular las posible
variaciones de 2
elementos que se
pueden formar con los
grupos A={1,2,3}

Permutaciones
●

de elementos ; en donde se utilizan todos lo
elementos de conjunto, por lo tanto lo que
diferencia a cada grupo es el orden de los
elementos.

Permutaciones
●

●

Calcular las posible formas en que se pueden
ordenar los numeros A={1,2,3}
B=(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)

Permutaciones
●

●

Calcular las posible
formas en que se
pueden ordenar los
numeros A={1,2,3}

B=(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),
(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)

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