Medidas de dispersión y posición estadística

MEDIDAS DE DISPERSIÓN
DATOS NO AGRUPADOS
Una vez que se ha calculado la media de una serie de datos, se desea
saber el grado en que los valores difieren de esta media. Se usa el término
dispersión para describir el grado en que una serie de valores varía
respecto a su media. Otros términos que transmiten este mismo concepto
son variación, difusión y propagación. Cuando los valores en una muestra
o población están todos cerca de la media, exhiben menos dispersión que
cuando algunos de los valores son mucho más grandes y/o mucho más
pequeños que la media. Cuatro medidas descriptivas usadas para
expresar la cantidad de dispersión presente en una serie de datos son: el
rango, la desviación media, la varianza y la desviación estándar
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

DATOS NO AGRUPADOS
Media o Promedio
Datos Datos

DATOS NO AGRUPADOS
Media o Promedio
Datos Datos
El rango, la desviación media, la varianza y la
desviación estándar

DATOS NO AGRUPADOS
EL RANGO.
El rango es la diferencia entre los valores mayor y menor en una serie de datos.
El rango es fácil de calcular. Sin embargo, por lo general es una medida de dispersión
insatisfactoria, ya que sólo se usan dos valores en una serie de datos para calcularlo. En
otras palabras, el rango no usa toda la información disponible en los datos que se supone
que describe.
LA DESVIACIÓN MEDIA.
La desviación media expresa la cantidad promedio por la que difieren de su media los
valores de una muestra o población.
n
xx
mediaDesviación
n
i
i

 1

Se toman las mediciones de la cantidad de grasa de la leche en gramos por cada
100 ml de leche que entra a un proceso de pasteurización, a continuación se
enumeran; 14.85, 15.32, 12.76, 16.29, 15.84, 17.3, 17.61, 16.33, determine el
rango o recorrido de la cantidad de grasa de la leche.
Solución:
VM = 17.61
Vm = 12.76
R = 17.61 – 12.76 = 4.85gramos
EL RANGO EJEMPLO.
DATOS NO AGRUPADOS

LA DESVIACIÓN MEDIA.
Determine la desviación absoluta media de los siguientes datos que son las concentraciones de
plomo de algunas muestras, las que a continuación se enumeran: 18gr, 12, 21, 19, 16, 20, 22
Solución:
Para determinar la desviación absoluta media o promedio, lo primero que hay que hacer es
calcular la media aritmética de los datos de la muestra, la que es 128/7 =18.286, luego se procede
a calcular el promedio de las diferencias absolutas entre cada dato y la media calculada.
La interpretación de este resultado sería que el grado de alejamiento absoluto promedio de los
datos con respecto a su media es de 2.5305 gramos.
DATOS NO AGRUPADOS

LA VARIANZA.
La varianza, como la desviación promedio, usa todas las desviaciones de los
valores de su media.
La varianza también es una clase de promedio. Es el promedio de los cuadrados de
las desviaciones de los valores individuales de su media. La varianza muestral tiene
dos funciones en el análisis estadístico. Primera, es usada como una medida de la
dispersión presente en la muestra. Segunda, es usada para estimar la varianza de la
población de la que se extrajo la muestra.
Población
N
x
N
i
i

 1
2
2
)( 

Muestra
1
)(
1
2
2




n
xx
s
n
i
i
DATOS NO AGRUPADOS

LA VARIANZA EJEMPLO
Los siguientes datos se muestra la cantidad de kilogramos de determinado
articulo, 14.2, 12.1, 15.6, 18.1, 14.3, determine su varianza.
Solución:
Lo primero que hay que calcular es la media aritmética de la muestra como ya se
ha hecho anteriormente. Es este casos es: 14.86
1
)(
1
2
2




n
xx
s
n
i
i
=
= 4.853
Nota:
Dentro de la inferencia estadística se plantea la deferencia entre una variancia
muestral s2 y una poblacional, representada por
DATOS NO AGRUPADOS

LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR.
La varianza es expresada en unidades cuadradas. Si los datos son medidos en metros,
la varianza se expresa en metros cuadrados. En el análisis estadístico, a menudo se
desea tener una medida de dispersión que esté expresada en las mismas unidades que
las observaciones originales. Se obtiene dicha medida, llamada desviación estándar,
extrayendo la raíz cuadrada positiva de la varianza.
N
x
N
i
i

 1
2
)( 

1
)(
1
2




n
xx
s
n
i
i
Muestra Población
DATOS NO AGRUPADOS

LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR EJEMPLO.
Es la desviación o diferencia promedio que existe entre cada dato de la muestra y la media
aritmética de la muestra. Y se obtiene a partir de la varianza, sacándole raíz cuadrada.
1
)(
1
2




n
xx
s
n
i
i
=
=
La interpretación de este resultado sería, que la cantidad de kilogramos de determinado articulo
en la muestra es en promedio de 14.86 Kgr y que la cantidad de Kgr en la muestra se aleja o
dispersa en promedio 2.029 Kgr alrededor de la media.
DATOS NO AGRUPADOS
14,86 (14,86+2,029) =16,88(14,86-2,029) =12,83

Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes
fórmulas:
CUARTIL n Par n Impar
1ER
3ER
DECILES
n Par n Impar
PERCENTILES
n Par n Impar
Nota: siendo k el
número del decil
o percentil sea el
caso
MEDIDAS DE POSICIÓN
DATOS NO AGRUPADOS
Q1
25%
Q3
75%
P10 P20 P30 P 40 P50 P60 P70 P80 P90
D1 D2 D3 D4 D6D5 D8D7
Percentiles
Deciles
Cuartiles
D9
Q2
50%

MEDIDAS DE POSICIÓN
DATOS NO AGRUPADOS
Se tiene el peso de 12 personas calcular cuartil 1 y 3 decil 4 y 8 y percentil 5 y 95
55, 56, 57, 58, 59 60, 62,62 ,63, 64,65,66
Q2= (60+62)/2
=61
50%
Q3
75%
Q1
25%𝐷 𝐾=
𝐾∗𝑛
10
si es par
𝐷8=
8∗12
10
= 9,6
55, 56, 57, 58, 59 60, 62,62 ,63, 64,65,66
(65+66)/2=65,5
𝑃95
𝐷4=
4∗12
10
= 4,8
(58+59)/2=58,5
𝐷4
𝑃5=
5∗12
100
= 0,6
𝑃95=
95∗12
100
= 9,6
55, 56, 57, 58, 59 60, 62,62 ,63, 64,65,66
𝑃5
𝑃 𝐾=
𝐾∗𝑛
100
si es par
(63+64)/2=63,5
𝐷8

DATOS NO AGRUPADOS
Xi Fi
0 1
1 3
2 2
3 2
4 3
5 4
6 8
7 6
8 5
9 2
10 1
37
A continuación se presentan notas de 37 alumnos determinar los cuartiles 1,2,3 , los deciles
5,7, 9 y los percentiles 40, 35, 80
Fa
1
4
6
8
11
15
23
29
34
36
37
Fra%
2,70
10,81
16,22
21,62
29,73
40,54
62,16
78,38
91,89
97,30
100
Q1
25%
Q3
75%
P10 P20 P30 P 40 P50 P60 P70 P80 P90
D1 D2 D3 D4 D6D5 D8D7
Percentiles
Deciles
Cuartiles
D9
Q2
50%
Q1= 4
25%
Q3= 7
75%
D5= 6
50%
D7= 7
70%
D9= 8
70%
P40= 5
40%
P35= 5
35%
P80= 8
80%
Q2= 6
50%

DATOS AGRUPADOS
MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA DATOS AGRUPADOS.
DESVIACIÓN MEDIA:
n
xxf
mediaDesviación
k
i
ii

 1
N
xf
k
i
ii

 1
2
2
)( 

N
xf
k
i
ii

 1
2
)( 

1
)(
1
2
2




n
xxf
s
k
i
ii
1
)(
1
2




n
xxf
s
k
i
ii
n
xx
mediaDesviación
n
i
i

 1
1
)(
1
2




n
xx
s
n
i
i
1
)(
1
2
2




n
xx
s
n
i
i
N
x
N
i
i

 1
2
)( 

N
x
N
i
i

 1
2
2
)( 


DATOS AGRUPADOS
Con la misma tabla de distribución de frecuencia anterior determinar la varianza
y desviación estándar
MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA DATOS AGRUPADOS EJEMPLO.
Intervalos Fi Xi Fi*Xi Abs( xi- X) Fi*Abs(xi- X) Abs(xi-X)2
52,5 57,5 8 55 440 7,667 61,333 58,778
57,5 62,5 9 60 540 2,667 24 7,111
62,5 67,5 6 65 390 2,333 14 5,444
67,5 72,5 4 70 280 7,333 29,333 53,778
72,5 77,5 2 75 150 12,333 24,667 152,111
77,5 82,5 1 80 80 17,333 17,333 300,444
30 1880 170,667

DATOS AGRUPADOS
Calculo de la varianza

DATOS AGRUPADOS
Calculo de la Desviación Estándar

MEDIDAS DE POSICIÓN PARA DATOS
AGRUPADOS
Tanto las medidas de tendencia central como de dispersión en ocasiones son
insuficientes sobre todo cuando en ocasiones deseamos presentar el análisis con
respecto a la posición que ocupa la información que para nosotros resulta
relevante, así por ejemplo, podemos hablar de dividir la información a la mitad,
realizado por la mediana, en cuatro parte, en cinco, en diez o quizá en otro tipo de
divisiones.
A continuación se presentan algunas medidas conocidas como de posición.
CUARTILES
DECILES PERCENTILES

AGRUPADOS
CUARTILES
Son tres valores que dividen al conjunto de
datos ordenados en cuatro partes
porcentualmente iguales. Hay tres
cuartiles denotados usualmente Q1, Q2,
Q3. El segundo cuartil es precisamente la
mediana. El primer cuartil, es el valor en
el cual o por debajo del cual queda un
cuarto (25%) de todos los valores de la
sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es el
valor en el cual o por debajo del cual
quedan las tres cuartas partes (75%) de los
datos.
donde:
K= 1,2,3
Lm = Límite inferior de la clase del cuartil k.
n = Número de datos.
Fm-1 = Frecuencia acumulada de la clase que antecede
a la clase del cuartil k
fm = Frecuencia de la clase del cuartil k
Ic = Longitud del intervalo de la clase del cuartil k
0% 25% 50% 75% 100%
Q1 Q2 Q3

AGRUPADOS
DECILES
Una de las divisiones que encontró gran
aplicación dentro de algunas áreas, tales
como la biología, la psicología o la
medicina es la división de la información
de divisiones de 10, como se muestra en el
grafico, definiendo esta partición como
deciles o decillas, aunque es más común
utilizar el primero. Los deciles se denotan
D1, D2,..., D9, que se leen primer decil,
segundo decil, etc. Los deciles, al igual que
los cuartiles, son ampliamente utilizados
para fijar el aprovechamiento académico.
donde:
K= 1,2,3,...,9
Lm = Límite inferior de la clase del Decill k.
a la clase del Decil k
fm = Frecuencia de la clase del Decil k
Ic = Longitud del intervalo de la clase del Decil k
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
D1 D2 D3 D4 D6D5 D8D7
D9

AGRUPADOS
PERCENTILES
Los percentiles son, tal vez, las medidas
más utilizadas para propósitos de
ubicación o clasificación de las personas
cuando atienden características tales
como peso, estatura, etc.
Los percentiles son ciertos números que
dividen la sucesión de datos ordenados en
cien partes porcentualmente iguales. Estos
son los 99 valores que dividen en cien
partes iguales el conjunto de datos
ordenados. Los percentiles (P1, P2,... P99),
leídos primer percentil,..., percentil 99.
.
donde:
K= 1,2,3,...,9
Lm = Límite inferior de la clase del Percentil k.
a la clase del percentil k
fm = Frecuencia de la clase del percentil k
Ic = Longitud del intervalo de la clase del percentil k

AGRUPADOS
EJEMPLO DE MEDIDAS DE POSICION
Dada la siguiente distribución de frecuencia determinar donde se muestran los
precios de un determinado articulo determinar entonces el Cuartil 3 el Persentil
30 y el Decil 6 Solución:
Cuartil 3
Intervalos Fi Fa
52.5 57.5 8 8
57.5 62.5 9 17
67.5 67.5 6 23
72.5 72.5 4 27
77.5 77.5 2 29
82.5 82.5 1 30
30

AGRUPADOS
EJEMPLO DE MEDIDAS DE POSICION
Decil 6
Percentil 30
Intervalos Fi Fa
52.5 57.5 8 8
57.5 62.5 9 17
67.5 67.5 6 23
72.5 72.5 4 27
77.5 77.5 2 29
82.5 82.5 1 30
30

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