1. Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado
un rectángulo áureo. Este es un rectángulo muy especial como veremos. Los griegos lo
consideraban de particular belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura. Al
parecer a la mayoría de las personas también les parece más agradable a la vista un
rectángulo con esas proporciones entre sus lados, inconscientemente se diseñan infinidad
de cosas que resultan tener la forma de un rectángulo áureo: las hojas de papel tamaño
carta miden 11 x 8 pulgadas, por ejemplo; esto nos da la proporción 1.37 que se parece a
la razón aurea. Sólo por curiosidad, invitamos al lector a que mida y obtenga las
proporciones de las ventanas de su casa, de su cuadro preferido, del mueble que más le
agrada, muy probablemente serán rectángulos áureos.
El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. A partir de él podemos obtener
una infinidad de nuevos rectángulos áureos. El proceso es iterativo y consiste en quitar a
cada rectángulo áureo un cuadrado, la superficie que queda luego de hacer esto es un
nuevo rectángulo áureo.
Es posible también aplicar el proceso a la inversa: a partir de un rectángulo áureo, puede
construirse otro más grande añadiéndole un cuadrado de lado igual al lado mayor del
rectángulo original.
Un rectángulo especial es el llamadorectángulo áureo. Se trata de un rectángulo
armonioso en sus dimensiones.
Dibujamos un cuadrado y marcamos el
punto medio de uno de sus lados. Lo
unimos con uno de los vértices del lado
opuesto y llevamos esa distancia sobre el
lado inicial, de esta manera obtenemos el
lado mayor del rectángulo.
Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es
claro que el lado mayor del rectángulo
vale por lo que la proporción entre
los dos lados es:
Uso del rectángulo áureo:
2. Antigüedad:
Los egipcios ya conocían esta proporción y la usaron en la arquitectura de la pirámide de
Keops (2600 años a.C.).
Los griegos también la usaron en sus construcciones, especialmente El Partenón, cuyas
proporciones están relacionadas entre sí por medio de la razón áurea.
El símbolo Ø para la relación áurea fue elegido por el matemático americano Mark Barr. La
letra fue elegida porque era la primera del nombre de Phidias que solía usar la relación
áurea en sus esculturas.
También se ha usado en el diseño del DNI, en la construcción de muebles, marcos para
ventanas, camas, etc.
Actualidad:
Existen muchos mitos acerca de que objetos de uso diario contienen las medidas de un
triángulo áurea como el carnet de identidad, una tarjeta de crédito o una cajetilla de
tabaco, por eso nosotros en el siguiente espacio lo comprobaremos para así desmentir o
afirmar un mito:
CARNET DE IDENTIDAD
Para esta prueba usaremos un carnet de identidad de los antiguos y que aún tienen
validez, tal como este:
Sus medidas son de 4.5cm de ancho y 7.84cm de largo y en una representación
informática como la siguiente podemos observar que sus medidas no coinciden con un
rectángulo aurea.
También lo podemos demostrar de forma analítica con los siguientes cálculos, la división
entre el largo y el ancho es, 7.84/4.5=1,7422222, por tanto no cumple con un rectángulo
áureo.
3. CAJETILLA DE TABACO
También supuestamente una cajetilla de tabaco posee las medidas de un rectángulo áureo
Podemos observar en la siguiente fotografía que esto no es verdad pero sí que es cierto
que se parece bastante:
Mitos sobre el rectángulo áureo.
Leonardo de Pisa (1170-1250), más conocido como Fibonacci, nació en Pisa, Italia e hizo
muchas contribuciones a las matemáticas. Es conocidopor el público en general por la
secuencia de números que lleva su nombre: {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,
377, 610, 987, 1597, ...}.
Esta secuencia se construye mediante la elección de los dos primeros números (las
"semillas" de la secuencia) y el número siguiente se obtiene como la suma de los dos
números anteriores. Esta simple regla genera una secuencia de números que tienen
muchas propiedades sorprendentes, de las cuales citaremos algunas:
Tome tres númerosadyacentesde lasecuencia.Eleve al cuadradoel númerodel medio.
Multipliquelosotrosentre sí.La diferenciaentre estosdosresultadosessiempre 1.Porejemplo,
si tomamos {3, 5, 8} vemosque 5²=25 yque 3·8=24. La diferenciaresultaser1.
Esto es sólo un ejemplo de muchas secuencias con las relaciones recursivas simples. La
secuencia Fibonacci obedecea la relación recursiva P(n)=P(n-1)+P(n-2). En tal secuencia,
los primeros dos valores deben ser arbitrariamente elegidos. Se les llama las "semillas" de
la secuencia. Cuando se eligen al 0 y al 1 como semillas, o 1 y 1, o 1 y 2, la secuencia se
denomina la secuencia Fibonacci. La secuencia formada a partir de la relación entre los
números adyacentes de la secuencia de Fibonacci converge a un valor constante de
1,6180339887..., llamado "phi", cuyo símbolo es Φ.Una característica notable de esta
secuencia es que la inversa de Φ es 0,6180339887... que es igual a Φ-1. Dicho de otra
manera, Φ = 1 + 1/Φ. Esto es cierto, sean cuales sean los dos números enteros que se usen
4. como semillas para inicializar la secuencia, es decir, este resultado sólo depende de la
relación recursiva que utiliza y no de la elección de las semillas. Por lo tanto hay muchas
secuencias diferentes que convergen a Φ . Se les llama "secuencias generalizadas de
Fibonacci".
A la relación Φ=1,6180339887... se llama "proporción áurea". Los rectángulos cuyos lados
guardan esta relación se denominan "rectángulos de oro", y ya eran conocidos por los
antiguos griegos. Estos rectángulos son la base para generar una curva conocida como la
"espiral dorada", una espiral logarítmica que se ajusta bastante bien a otras espirales que
se encuentran en la naturaleza. Este hecho es la fuente de gran parte del interés popular y
mística en este asunto matemática
Es fácil inventar otras relaciones de recursividad interesantes. Algunas han sido lo
suficientemente interesantes como para que lleven el nombre de sus autores. La sucesión
de Lucas es bien conocida: {1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, ...}. Tiene por semillas a 1
y 3, y la misma relación de recursión de la serie de Fibonacci (algunos libros inician esta
serie con las semillas 2 y 1, y el resto de la serie sigue de la misma manera). La relación
entre números adyacentes de la sucesión resulta ser Φ para grandes valores.
Los sinsentidos del rectángulo áureo
Una búsqueda en internet, o en su biblioteca local lo convencerá de que la serie de
Fibonacci ha atraído a más de un lunático que busca el misticismo en los números. Se
puede encontrar con afirmaciones fantásticas como estas:
Los "rectángulos de oro" son los "más bello" rectángulos, y los utilizaron deliberadamente
los artistas en sus pinturas. (Se podría pensar que siempre utilizaban marcos rectángulares
áureos, pero no lo hacían).
Los modelos basados en los números de Fibonacci, el número áureo y el rectángulo de oro
son los más agradables a la percepción humana.
Mozart utilizó Φ en la composición de su música. (A él le gustaban los juegos de números,
pero no hay buena evidencia de que alguna vez utilizara deliberadamente a Φ en una
composición).
5. Esta foto es una ingeniosa pieza de
engaño. Sospecho que la imagen fue
embellecida deliberadamente para
burlarse de la estupideces sobre
Fibonacci. El surco de agua no forma
una espiral de Fibonacci, pero alguien,
astutamente, ha superpuesto el
rectángulo de oro para que a primera
vista lo parezca. Mire cuidadosamente:
ese rectángulo interior grande, debería
ser un cuadrado, cuando en realidad es
más ancho que alto. El rectángulo en la
esquina superior derecha es casi
cuadrado. Si quisieras hacer trampa
reduciendo el ancho (horizontal), se
podría convertir el rectángulo grande
en el cuadrado correspondiente, pero el más pequeño de arriba a la derecha dejaría de ser
casi cuadrado. Creo que eso es una clara evidencia de que alguien nos quiso engañar,
probablemente para burlarse de lo que llamo "la necedadde Fibonacci". La apariencia de
"dibujado a mano" de los rectángulos parece ideada para ocultar el engaño. Esto se hace a
menudo con las imágenes de conchas de Nautilus que se ven en libros. Un físico podría
concluir de inmediato que esto no puede ser una espiral de oro, ni ninguna de las espirales
de los libros de texto. Los libros de texto importantes sobre espirales matemáticas
muestran imágenes y ecuaciones para la espiral de Arquímedes, la espiral logarítmica, la
espiral hiperbólica, la espiral parabólica, y mi favorita, la involuta de un círculo. La razón es
simple. Estas espirales son radialmente equidistantes. En esta imagen, la gravedad
distorsiona la espiral. Además, la fuente del agua, el cabello húmedo, no es estacionaria. Se
produce así este cuadro dramático arrojando la cabeza y el cuerpo rápidamente hacia
arriba y hacia atrás. A este tipo de engaños es a lo que me opongo. Si uno quiere ser
honesto, podría decir que esta imagen "sugiere" una espiral de oro, pero que sea "algo así
como" una espiral de oro no nos dice nada útil al respecto.
6. Las inconformidades sobre el rectángulo áureo.
La caparazón del nautilus.
Consideremos la afirmación, comúnmente
vista, de que la caparazón del Nautilus
pompilius se ajusta a la espiral de oro. La
foto muestra un corte donde se observan
las cámaras interiores. Para compararlas se
ilustra una espiral dorada a la izquierda.
¡Es evidente que esta criatura no ha leído
esos libros! Si se superponen ambas, no
coincidirían nunca, sin importar cómo se
las alinee o escale. De hecho, el dibujo de
la izquierda no es del todo correcto. Está
construido con segmentos de arco circular dentro de cada cuadrado. Esta curva tiene
discontinuidades en su curvatura en cada cruce de un cuadrado al siguiente. La verdadera
espiral de Fibonacci cambia de curvatura suavemente, aunque la diferencia no sería
perceptible para el ojo a esta escala.Este diagrama muestra cómo subdividir el rectángulo
áureo. Si se dibuja un cuadrado inscripto dentro de rectángulo, el área rectangular que
queda es un nuevo rectángulo aúreo más pequeño. De nuevo, se puede dibujar otro
cuadrado dentro de éste, y seguir así. A continuación, se unen los puntos con una curva
suave, como se muestra para conseguir algo que, por lo menos, parece superficialmente la
espiral de oro.
La cola del pavo real.
Este pavo real se está burlando de los "misti-
máticos" (o matemáticos místicos). Las manchas
en las plumas de su cola parecen formar patrones
en espiral. ¿Son éstas espirales doradas o
corresponden a algún otro tipo de espiral? La
ecuación matemática exacta de la espiral depende
de cuán lejos el pájaro decida desplegar su cola. ¿Nos dice este patrón algo
científicamente importante sobre biología de las aves? Es muy poco probable.
7. Wilson afirma que los grandes artistas del pasado "han empleado la proporción de oro en
sus obras".Dice (sin pruebas) que lo hicieron deliberadamente, al dividir sus pinturas "en
áreas en función de las proporciones de oro" para determinar la ubicación de los
horizontes, los árboles, y así sucesivamente. Obviamente, no tiene un amplio conocimiento
de las obras de grandes artistas.
Wilson cita el número de pétalos en las flores.
Estos ejemplos se asocian con los números Fibonacci, pero lo que Wilson no menciona son
estos otros:
*El número cero puede considerarse como número de Fibonacci. Si elegimos 0 y 1 como
semillas para generar la secuencia, la secuencia posterior es idéntica. Es sólo una cuestión
de definición. Si definimos las semillas como los enteros más pequeños que generan la
secuencia, y siendo el cero es un número entero, entonces, ciertamente, cero corresponde
a la definición de un número de Fibonacci.
8. Estas rudbeckias, con 14 pétalos,
desconocen la secuencia de Fibonacci.
En alguna ocasión he visto rudbeckias de 13 pétalos (un número de Fibonacci), pero debe
ser un capricho de la naturaleza. En realidad, esta planta tiene muchas variedades, con
diferentes números de pétalos.
Una lila con 6 pétalos
desafiando a Fibonacci.
9. El Hesperis matronalis, de la familia
de la mostaza, posee 4 pétalos.
Muchos árboles tienen las partes de la flor (estambres y pistilos) pero no tienen pétalos. En
la familia de la mostaza, el Hesperis matronalis tiene 4 pétalos, una flor de jardín prolífica a
lo largo de las carreteras y los campos al comienzo del verano en los EE.UU. Todas estas
imágenes son de flores comunes, que se encuentran en los campos, carreteras y jardines;
no son rarezas exóticas. Cualquiera que acepte las afirmaciones de magufos de que las
plantas con flores prefieren los números de Fibonacci, no sólo es un mal observador sino
también bastante crédulo.
Conclusión
La pirámide de Giza y la manipulación de π.
No es muy difícil encontrar ejemplos para casi cualquier patrón o relación matemática que
se desee. Por eso, algunas personas cometen el error de suponer que esto revela un
principio místico que rige la naturaleza. Esto se ve reforzado al hacer caso omiso de los
casos de igual importancia que no se ajustan al patrón. Si el ajuste no es muy bueno, se
aproximan o manipulan las cifras. Si algunas cosas siguen sin poder adaptarse,
simplemente ponen la excusa que son "casos especiales".
- Las áreas de objetos matemáticos similares son proporcionales al cuadradode sus
dimensiones lineales; sus volúmenes son proporcionales al cubo de sus dimensiones
lineales. Las intensidades de campo gravitacional y el eléctricos obedecen a una relación
del inverso del cuadrado con la distancia. La intensidad de radiación obedecea una
relación del inverso del cuadrado con la distancia a una fuente puntual. Esto tiene una
razón de fondo: la geometría del universo es casi euclidiana, por lo tanto, estos resultados
están dictados por ese hecho geométrico. En ningún momento nos sugiere que haya algo
místico en las potencias de 2 y de 3.
