tarea

2. Se llama "rectángulo de oro" aquel que sus lados están en la razón áurea.
Si le vamos quitando sucesivamente un cuadrado de lado el menor de los
lados de los rectángulos resultantes, éstos también son "de oro”. Resulta
así una sucesión decreciente de rectángulos, todos ellos semejantes y
ligados por la divina proporción.
En las estatuas antiguas y en los hombres perfectamente proporcionados,
el ombligo divide su altura total según la sección áurea. Esta
comprobación, que está muy de acuerdo con los cánones muy estudiados
de Durero y de Leonardo, ha sido hecha en las estatuas griegas de la época
de Fidias.
El alemán Zeysing efectuó medidas sobre miles de cuerpos humanos y
encontró que este canon ideal parece ser la expresión de una ley
estadística media para los cuerpos sanamente desarrollados.
Durante los siglos XVII y XVIII la sección áurea fue cayendo poco a poco en
el olvido hasta que en 1850 Zeysing volvió a descubrirla, en uno de sus
libros proclama: " Para que un todo, dividido en dos partes desiguales,
parezca hermoso desde el punto de vista de la forma, debe haber entre la
parte menor y la mayor la misma razón que entre la mayor y el todo ", a
esto lo llama "ley de las proporciones".
El ejemplo más interesante lo encontramos en la famosa pirámide de
Keops, estudiada desde el punto de vista matemático por numerosos
científicos.
Esta pirámide es de base cuadrada de lado 2a=232'8 m. y altura
h=148'2 m

3. Las proporciones de la pirámide son tales que el área del cuadrado
construido sobre la altura es exactamente igual que el área de una de las
caras triangulares de la pirámide, lo que significa que:
Área del cuadrado
Área de una cara triangular
de donde
El teorema de Pitágoras nos dice que de donde
tenemos que
Si llamamos entonces c = ax, si sustituimos:
Como vimos, esta ecuación es la que tiene como solución el número de oro
que en este caso viene dado por: φ
Comprobamos así que en la pirámide de Keops está contenido el número
de oro. Si queremos avanzar más, podemos comprobar, por último, cómo
las medidas correspondientes de a, h y c están en progresión geométrica
de razón la raíz cuadrada del número de oro.
Efectivamente:
Sabemos que por lo que
como φ
Comprobemos que efectivamente a, por la razón antes mencionada, nos da
como resultado h y que ésta, a su vez, por la misma razón, es igual a c:

4. Con otras palabras el Rectángulo Dorado, es también llamado el
rectángulo perfecto por algunos, es un rectángulo en el cual la relación de
su longitud a su ancho es la Relación Dorada. Muchos creen que esta es
una de las más atractivas visualmente de todas las formas geométricas.
Aparece en muchos trabajos de arte y arquitectura. El Partenón de la
antigua Grecia es el ejemplo más famoso del uso del Rectángulo Dorado.
La gente encuentra el Rectángulo Dorado en la Mona Lisa, y otras obras de
arte del Renacimiento.
A la relación Φ=1,6180339887... Se llama "proporción áurea". Los
rectángulos cuyos lados guardan esta relación se denominan "rectángulos
de oro", y ya eran conocidos por los antiguos griegos. Estos rectángulos
son la base para generar una curva conocida como la "espiral dorada", una
espiral logarítmica que se ajusta bastante bien a otras espirales que se
encuentran en la naturaleza. Este hecho es la fuente de gran parte del
interés popular y mística en este asunto matemático.
Para poder realizar este rectángulo es necesario seguir una serie de pasos
los cuales se muestran a continuación:
1. Se construye un cuadrado de lado unidad ABCD
2. Traza una línea desde la mitad del lado del cuadrado (G) hasta una
de sus esquinas, dando un segmento GC
3. Empleando esta línea GC como radio, se coloca la punta del compás
en la mitad del cuadrado y se abate hasta cortar en E.
4. Se completa el rectángulo AEDF así como el rectángulo BCEF.

5. Algunos argumentos que están a favor de la utilización del rectángulo
áureo son los siguientes, los cuales muestran la “fascinación” de mucha
gente por hacer uso de este rectángulo:
 Los "rectángulos de oro" son los "más bellos" rectángulos, y los
utilizaron deliberadamente los artistas en sus pinturas. (Se podría pensar
que siempre utilizaban marcos rectangulares áureos, pero no lo hacían).
 Los modelos basados en los números de Fibonacci, el número áureo
y el rectángulo de oro son los más agradables a la percepción humana.
 Mozart utilizó Φ en la composición de su música. (A él le gustaban
los juegos de números, pero no hay buena evidencia de que alguna vez
utilizara deliberadamente a Φ en una composición).
 La secuencia de Fibonacci se ve en la naturaleza, en la disposición
de las hojas sobre el tallo de las plantas, en el patrón de las semillas de
girasol, en las espirales de los caracoles, en el número de pétalos de las
flores, en los períodos de los planetas del sistema solar, e incluso en los
ciclos del mercado de valores. ¡Tan omnipresente es la secuencia en la
naturaleza (de acuerdo con esta gente) que uno empieza a sospechar que
la serie tiene la notable capacidad de "ajustarse" a casi cualquier cosa!
 Los procesos de la naturaleza son "gobernados" por el número áureo.
Inclusive, algunas fuentes dicen que los procesos naturales se "explican"
por esta relación.

6. Uso del rectángulo áureo
Mucho se ha escrito sobre el misterio que oculta la sonrisa más célebre de
la historia del arte, pero además se puede aventurar una solución
geométrica al enigma. Veamos qué ocurre si superponemos varios
rectángulos áureos sobre el rostro de la bella Gioconda:
¿Tenía en mente Leonardo la proporción áurea a la hora de realizar su
obra maestra? Afirmarlo resultaría aventurado. Menos polémico es
aseverar que el genio florentino concedía gran importancia a la relación
entre la estética y la matemática. Dejaremos la cuestión en el aire por el
momento, no sin antes mencionar que Leonardo realizó las ilustraciones
de una obra de contenido estrictamente matemático, escrita por su buen
amigo Luca Pacioli, llamada "De divina proportione", es decir, "La divina
proporción".

7. Muchos artistas de la actualidad aún siguen escondiendo la curiosa
proporción divina en muchos de sus cuadros, fotografía... Como en el caso
de Cartier-Bresson en la que como vemos en la imagen, utiliza la espiral de
Durero para dar un efecto armonioso y enrevesado a su fotografía titulada
"Blanco y Negro"