Rectangulo Aureo

1. Argumentos a favor y en contra
Rectangulo Aureo
Los números de Fibonacci y la proporción áurea han
sido motivo de todo tipo de especulaciones sobre su
supuesta presencia en distintas manifestaciones de la
naturaleza y en otras hechas por el hombre. Así se
suele afirmar que se puede encontrar la proporción
dorada en lugares tales como el número de pétalos de
las flores y en las hojas de las plantas, en las
caparazones de moluscos, en la forma de ciertas
galaxias, en obras de arte e inclusive en el tamaño de
las tarjetas de crédito. Veamos a continuación qué hay
de cierto y qué hay de mentira en tales afirmaciones
la secuencia de Fibonacci
Leonardo de Pisa (1170-1250), más conocido como
Fibonacci, nació en Pisa, Italia e hizo muchas
contribuciones a las matemáticas. Es conocido por el
público en general por la de números que lleva su
nombre: {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
233, 377, 610, 987, 1597, ...}.

2. Leonardo de Pisa (Fibonacci).
Esta secuencia se construye mediante la elección de
los dos primeros números (las "semillas" de la
secuencia) y el número siguiente se obtiene como la
suma de los dos números anteriores. Esta simple regla
genera una secuencia de números que tienen muchas
propiedades sorprendentes, de las cuales citaremos
algunas:
 Tome tres números adyacentes de la secuencia.
Eleve al cuadrado el número del medio. Multiplique los
otros entre sí. La diferencia entre estos dos resultados
es siempre 1. Por ejemplo, si tomamos {3, 5, 8} vemos
que 5²=25 y que 3·8=24. La diferencia resulta ser 1.
 Tome cuatro números adyacentes de la
secuencia. Multiplique los dos de los extremos.

3. Multiplique los que hay dentro. El primer producto será
una unidad mayor o una unidad menor que el
segundo. Por ejemplo, si tomamos{21, 34, 55,
89} vemos que 21·89=1869, mientras que 34·55=1870.
 La suma de los diez números adyacentes es igual
a 11 veces el séptimo de los diez. Por ejemplo, si
tomamos {1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89} vemos que
la suma resulta 231 que es 11 el séptimo número de
nuestra sucesión (el número 21).
Esto es sólo un ejemplo de muchas secuencias con las
relaciones recursivas simples. La secuencia Fibonacci
obedece a la relación recursiva P(n)=P(n-1)+P(n-2). En
tal secuencia, los primeros dos valores deben ser
arbitrariamente elegidos. Se les llama las "semillas" de
la secuencia. Cuando se eligen al 0 y al 1 como
semillas, o 1 y 1, o 1 y 2, la secuencia se denomina
la secuencia Fibonacci. La secuencia formada a partir
de la relación entre los números adyacentes de la
secuencia de Fibonacci converge a un valor constante
de 1,6180339887..., llamado "phi", cuyo símbolo es Φ.
Una característica notable de esta secuencia es que la
inversa de Φ es 0,6180339887... que es igual a Φ-1.
Dicho de otra manera, Φ = 1 + 1/Φ. Esto es cierto,

4. sean cuales sean los dos números enteros que se
usen como semillas para inicializar la secuencia, es
decir, este resultado sólo depende de la relación
recursiva que utiliza y no de la elección de las semillas.
Por lo tanto hay muchas secuencias diferentes que
convergen a Φ . Se les llama "secuencias
generalizadas de Fibonacci".
A la relación Φ=1,6180339887... se llama "proporción
áurea". Los rectángulos cuyos lados guardan esta
relación se denominan "rectángulos de oro", y ya eran
conocidos por los antiguos griegos. Estos rectángulos
son la base para generar una curva conocida como la
"espiral dorada", una espiral logarítmica que se ajusta
bastante bien a otras espirales que se encuentran en
la naturaleza. Este hecho es la fuente de gran parte
del interés popular y mística en este asunto
matemático.
Es fácil inventar otras relaciones de recursividad
interesantes. Algunas han sido lo suficientemente
interesantes como para que lleven el nombre de sus
autores. La sucesión de Lucas es bien conocida: {1, 3,
4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, ...}. Tiene por
semillas a 1 y 3, y la misma relación de recursión de la

5. serie de Fibonacci (algunos libros inician esta serie con
las semillas 2 y 1, y el resto de la serie sigue de la
misma manera). La relación entre números adyacentes
de la sucesión resulta ser Φ para grandes valores.
¿Y qué hay de una relación recursiva diferente? Por
ejemplo: P(n)=P(n-2)+P(n-3). Con las tres semillas 0,
1, 1 se obtiene la sucesión {0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9,
...}. Las semillas, junto con la relación de recursión,
definen unívocamente a la secuencia. La relación entre
dos términos sucesivos P(n+1)/P(n) converge a
1,3247295... cuyo recíproco es 0,7545776665... (tenga
en cuenta que su recíproco no es una unidad menor
que él mismo, al contrario de lo que podría haber
esperado).
Por lo general, para todas estas sucesiones, los
primeros valores de las relaciones entre dos números
sucesivos no parecen tener un patrón consistente,
pero para números grandes convergen a valores que
son casi constantes, y después de n=30, la proporción
alcanza un valor estable con alrededor de 10
decimales.

6. Los sinsentidos sobre Fibonacci
Una búsqueda en internet, o en su biblioteca local lo
convencerá de que la serie de Fibonacci ha atraído a
más de un lunático que busca el misticismo en los
números. Se puede encontrar con afirmaciones
fantásticas como estas:
 Los "rectángulos de oro" son los "más bello"
rectángulos, y los utilizaron deliberadamente los
artistas en sus pinturas. (Se podría pensar que
siempre utilizaban marcos rectángulares áureos, pero
no lo hacían).
 Los modelos basados en los números de
Fibonacci, el número áureo y el rectángulo de oro son
los más agradables a la percepción humana.
 Mozart utilizó Φ en la composición de su música.
(A él le gustaban los juegos de números, pero no hay
buena evidencia de que alguna vez utilizara
deliberadamente a Φ en una composición).
 La secuencia de Fibonacci se ve en la naturaleza,
en la disposición de las hojas sobre el tallo de las
plantas, en el patrón de las semillas de girasol, en las

7. espirales de los caracoles, en el número de pétalos de
las flores, en los períodos de los planetas del sistema
solar, e incluso en los ciclos del mercado de valores.
¡Tan omnipresente es la secuencia en la naturaleza
(de acuerdo con esta gente) que uno empieza a
sospechar que la serie tiene la notable capacidad de
"ajustarse" a casi cualquier cosa!
 Los procesos de la naturaleza son "gobernados"
por el número áureo. Inclusive, algunas fuentes dicen
que los procesos naturales se "explican" por esta
relación.
¿Hay una espiral áure
la cola de un camaleón?
Por supuesto, gran parte de esto es completamente
absurdo. Las matemáticas no "explican" lo que sea en
la naturaleza, sino que usa modelos matemáticos muy
potentes para describir los patrones y las leyes de la

8. naturaleza. Creo que es seguro decir que la secuencia
de Fibonacci, la proporción dorada, y el rectángulo de
oro, jamás han conducido de manera directa al
descubrimiento de una ley fundamental de la
naturaleza. Cuando vemos un patrón numérico o
geométrico ordenado en la naturaleza, nos damos
cuenta que hay que cavar más profundo para
encontrar la razón subyacente de por qué estos
patrones emergen.

9. Rectángulo áureo en la antigüedad.
El número áureo es la relación o proporción que
guardan entre sí dos segmentos de rectas. Fue
descubierto en la antigüedad, y puede encontrarse no
solo en figuras geométricas, sino también en la
naturaleza. A menudo se le atribuye un carácter
estético especial a los objetos que contienen este
número, y es posible encontrar esta relación en
diversas obras de la arquitectura u el arte. Por
ejemplo, el Hombre de Vitruvio, dibujado por Leonardo
Da Vinci y considerado un ideal de belleza, está
proporcionado según el número áureo. ¿Cuál es el
origen y la importancia de este valor matemático?
Hay números que han intrigado a la humanidad desde
hace siglos. Valores como PI -la razón matemática
entre la longitud de una circunferencia y su diámetro- o
e -la base de los logaritmos naturales-, suelen
aparecer como resultado de las más dispares
ecuaciones o en las proporciones de diferentes objetos
naturales. El número áureo -a menudo llamado
número dorado, razón áurea, razón dorada, media
áurea, proporción áurea o divina proporción- también
posee muchas propiedades interesantes y aparece,
escondido y enigmático, en los sitios más dispares.
El primero en hacer un estudio formal sobre el número
áureo fue Euclides, unos tres siglos antes de Cristo, en

10. su obra Los Elementos. Euclides definió su valor
diciendo que "una línea recta está dividida en el
extremo y su proporcional cuando la línea entera es al
segmento mayor como el mayor es al menor." En otras
palabras, dos números positivos a y b están en razón
áurea si y sólo si (a+b) / a = a / b. El valor de esta
relación es un número que, como también demostró
Euclides, no puede ser descrito como la razón de dos
números enteros (es decir, es irracional y posee
infinitos decimales) cuyo su valor aproximado es
1,6180339887498...
Casi 2000 años más tarde, en 1525, Alberto
Durero publicó su “Instrucción sobre la medida con
regla y compás de figuras planas y sólidas”, en la que
describe cómo trazar con regla y compás la espiral
basada en la sección áurea, la misma que hoy
conocemos como “espiral de Durero”. Unas décadas
después, el astrónomo Johannes Kepler desarrolló su
modelo del Sistema Solar, explicado en Mysterium
Cosmographicum (El Misterio Cósmico). Para tener
una idea de la importancia que tenía este número para
Kepler, basta con citar un pasaje de esa obra: “La
geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el
teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea
entre el extremo y su proporcional. El primero lo
podemos comparar a una medida de oro; el segundo
lo debemos denominar una joya preciosa”. Es posible
que el primero en utilizar el adjetivo áureo, dorado, o
de oro, para referirse a este número haya sido el
matemático alemán Martin Ohm (hermano del físico

11. Georg Simon Ohm), en 1835. En efecto, en la segunda
edición de 1835 de su libro “Die Reine Elementar
Matematik” (Las Matemáticas Puras Elementales),
Ohm escribe en una nota al pie: “Uno también
acostumbra llamar a esta división de una línea
arbitraria en dos partes como éstas la sección dorada."
El hecho de que no se incluyera esta anotación en su
primera edición es un indicio firme de que el término
pudo ganar popularidad aproximadamente en el año
1830.

12. Rectángulo Áureo en la actualidad.
a arquitectura contemporánea sigue utilizando la
proporción aurea en diferentes estructuras, el concepto
de sección áurea fue reivindicado durante el periodo
de la arquitectura moderna por Le Corbusier quien en
los años 40s desarrolló un sistema de proporciones
llamado Modulor en el que la proporción de alturas
estaba basada en la proporción aurea, pero no solo Le
Corbusier utilizó ampliamente el concepto, de igual
forma lo hizo Mies Van der Rohe, de esta forma la
proporción aurea mantiene su vigencia hasta nuestros
días.
En la arquitectura la sección aurea encuentra variadas
e imaginativas aplicaciones, veamos el caso del círculo
áureo, círculo dividido en dos secciones por dos
radios, en el cual el cociente de la división del ángulo
mayor entre el menor es igual al número de oro, Phi, la
arquitectura aplica esto en la pendiente de lozas a dos
aguas, en la angulación de muros y en juntas de
elementos estructurales y también decorativos.
La proporción aurea en la actualidad es utilizada en las
fachadas para la asignación de tamaños
proporcionales – sección del rectángulo áureo y
gradación - en ventanas, puertas, columnas, lozas,

13. arcos, trabes, elementos decorativos, de tal forma que
se logre un conjunto visualmente atractivo y se
mantenga la proporcionalidad con respecto a la
fachada total.
La sección áurea también es aplicada en la
arquitectura contemporánea para el diseño de plantas,
de tal forma que se logren ambientes armónicos y
proporcionales al tamaño total de la planta, de esta
forma se aplican separaciones y tamaños
proporcionales para estancias, jardines, escaleras,
mediante las secciones y gradación de un rectángulo
áureo.
Un ejemplo del uso de la sección áurea en la
arquitectura contemporánea es La Casa G (G House)
en Ramat Hasharon, Israel, del grupo Paz Gersh
Architects, un proyecto del año 2011 en el que el
diseño de las fachadas se ha planteado a través del
análisis preciso de proporciones utilizando la
proporción áurea, el concepto se puede apreciar a lo
largo de toda la casa.