El documento explica las funciones trigonométricas en triángulos rectángulos. Define el seno, coseno y tangente como las razones entre los lados del triángulo y el ángulo opuesto. También describe cómo usar las funciones inversas para calcular ángulos dados los lados. Explica el Teorema de Pitágoras para relacionar la hipotenusa y catetos, y cómo calcular el área de un triángulo rectángulo.

1. Artículo principal: Funciones trigonométricas
Un triángulo rectángulo siempre incluye un ángulo de 90° (π/2 radianes), aquí
etiquetado C. Los ángulos A y B puede variar. Las funciones trigonométricas
especifican las relaciones entre las longitudes de los lados y los ángulos interiores
de un triángulo rectángulo.
En triángulos rectángulos, las razones trigonométricas del seno, el coseno y la
tangente pueden ser usadas para encontrar los ángulos y las longitudes de lados
desconocidos. Los lados del triángulo son encontrados como sigue:
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o definida como el lado más largo
de un triángulo rectángulo, en este caso c.
El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo en que estamos interesados, en este
caso a.
El cateto adyacente es el lado que está en contacto con el ángulo en que estamos
interesados y el de ángulo recto, por lo tanto su nombre. En este caso el cateto
adyacente es b.
1.1. SENO, COSENO Y TANGENTE
El seno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto con la
longitud de la hipotenusa. En nuestro caso
El coseno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto del lado adyacente
y la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso
La tangente de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la
longitud del cateto adyacente. En nuestro caso

2. Observe que este cociente de las tres relaciones anteriores no depende del tamaño
del triángulo rectángulo, mientras contenga el ángulo A, puesto que todos esos
triángulos son semejantes.
Las siglas "SOH-CAH-TOA" son un mnemónico útil para estos cocientes.
1.2. FUNCIONES INVERSAS
Las funciones trigonométricas inversas pueden ser usadas para calcular los ángulos
internos de un triángulo rectángulo al tener la longitud de dos lados cualesquiera.
Arcsin (arcoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del cateto
opuesto y la de la hipotenusa.
Arccos (arcocoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del
cateto
adyacente y la de la hipotenusa.
Arctan (arcotangente) puede ser usada para calcular un ángulo con la longitud del
cateto opuesto y la del cateto adyacente.
En los cursos introductorios de geometría y trigonometría, la notación sin −1, cos−1,
etc., es frecuentemente usada en lugar de arcsin, arccos, etc. Sin embargo, la
notación de arcsin, arccos, etc., es estándar en matemáticas superiores donde las
funciones trigonométricas son comúnmente elevadas a potencias, pues esto evita la
confusión entre el inverso multiplicativo y el inverso compositivo

3. El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el área del
cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es
igual a la suma de las áreas del cuadrado de los catetos (los dos lados menores del
triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
Pitágoras de Samos
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la
hipotenusa es , se establece que:
(1)
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas

4. fig. ar1: Relación entre el rectángulo y dos de las tres alturas (la de los catetos) de
un triángulo rectángulo.
Se puede considerar el área de un triángulo rectángulo como la mitad del área de un
rectángulo partido por su diagonal, véase fig. ar1, (o un cuadrado si el triángulo
rectángulo es además isósceles).
(A1)
donde a y b de la ecuación (A1) representan las medidas de los dos catetos que
coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rectángulo (véase fig.
ar1).
En todo triángulo rectángulo cada uno de los dos catetos es siempre la respectiva
altura del otro. Asumiendo que a = cateto1 y b = cateto2 se puede escribir una
versión equivalente de ecuación (A1) de la siguiente manera:
La demostración anterior es solo un caso especial, restringido, de una mucho más
general que vale para todo triángulo (no solo para los triángulos rectángulos); Y
esta es la "proposición I.412 de Euclides, la cual se basa en el concepto más general
de paralelogramo y no se restringe al rectángulo. Dicha proposición I.41 extiende la
validez de la ecuación (A1) a todo triángulo.
Las anteriores paginas muestran una definición clara de lo que es teorema de
Pitágoras, a continuación presentare un ejemplo
Una cancha de fútbol olímpica es un rectángulo de 100 metros de largo
y 70 metros de ancho. ¿Qué longitud tiene la diagonal de la cancha?
_ Solución La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo,
con catetos de longitudes 70 m y 100 m. Puedes usar el
Teorema de Pitágoras para encontrar su longitud.
a2 _ b2 _ c2 La fórmula de Pitágoras.
702 _ 1002 _ c2 Sustituye los valores conocidos.
4,900 _ 10,000 _ c2 Eleva los términos al cuadrado.
14,900 _ c2 Suma.

5. 122 _ c Resuelve.
La diagonal tiene una longitud aproximada de 122 metros.
EJEMPLO B ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo con un cateto de 5 pies
de longitud y una hipotenusa de 13 pies de longitud?
_ Solución Puedes considerar los dos catetos como la base y la altura
del triángulo. La longitud de un cateto es 5 pies. Para
encontrar la longitud del otro cateto, usa el Teorema de
Pitágoras.
a2 _ b2 _ c2 La fórmula de Pitágoras.
52 _ b2 _ 132 Sustituye.
25 _ b2 _ 169 Eleva los términos al cuadrado.
b2 _ 144 Resta 25 de ambos lados.
b _ 12 Resuelve.
El otro cateto tiene una longitud de 12; entonces, el área es _12
_(5)(12), ó 30 pies
cuadrados.
5 pies
13 pies
70 m
100 m

6. Contenido
1. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO EN UN TRIANGULO
RECTANGULO___________________________________________________________________1
1.1. SENO, COSENO Y TANGENTE___________________________________________________________1
1.2. FUNCIONES INVERSAS________________________________________________________________2
2. TEOREMA DE PITAGORAS_______________________________________________________3
3. AREA_________________________________________________________________________4