Trazado de curvas tangentes entre circunferencias, restas y curvas invertidas

1. TANGENCIAS
Y
CONICAS
Prof.: Gregory Naveda Alva
gnaveda@pucp.edu.pe

2. TANGENCIAS

3. TANGENCIAS
• Propiedades de las tangencias
T O2
R2
O1
R1
O3
R3
 Si dos circunferencias son
tangentes, el punto de tangencia
(T) está en la recta O1O2
O
 Si una recta es tangente a una
circunferencia el punto de
tangencia (T) está en la
perpendicular a la recta “L”,
trazada por O
L
T

4. TANGENCIAS
• Propiedades de las tangencias
O
 Si una circunferencia pasa por dos
puntos, el centro está en la
mediatriz
O
 Si una circunferencia es tangente
a dos rectas el centro está en la
bisectriz
L
TA
B M
T
a
a

5. TANGENCIAS
• Propiedades de las tangencias
O
h
T
A
P
m
B
On
𝑚 𝑥 𝑛 = ℎ2
(𝑃𝐴) 𝑥 (𝑃𝐵) = (𝑃𝑇)2
PB A
T
Potencia del punto P respecto
de la circunferencia de centro O,
es el producto de las distancias
de P a los dos puntos de
intersección de una recta
secante

6. TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
Circunferencia tangente a rectas
O1P
a. Circunferencia (De “r” radio conocido)
tangente a una recta “m” y pasa por un
punto “P” exterior a la recta.
 Dato “r”
 Trazamos una paralela a le recta
“m” a una distancia “r”
 Haciendo centro en P y radio “r”
trazamos los arcos y ubicamos
sobre la paralela trazada en 3, los
puntos O1 y O2, son los centros de
las circunferencias buscadas.
 Desde estos puntos O1 y O2,
trazamos las perpendiculares a la
recta “m” y encontramos los puntos
e tangencia C y D.
 Finalmente trazamos las
circunferencias de centros O1 y O2
y radio “r”
m
r
O2
r

7. TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
Circunferencia tangente a rectas
OP
b) Circunferencia tangente a “m” por el
punto “T” y que pasa por un punto “P”.
 Por un punto tangente “T”, se traza la
perpendicular a la recta “m”.
 Se une “T” con “P” y se traza la
mediatriz a este segmento.
 La intersección de la mediatriz y la
perpendicular, es el centro de la
circunferencia buscada (O)
T
m

8. a) Conocida la circunferencia de
centro O y el punto exterior P (2
soluciones)
 Se traza el segmento PO y se
halla la mediatriz de este
segmento, se obtiene el punto
A, punto medio de PO.
 Con centro en el punto A y
radio AO = AP se traza la
circunferencia que corta a la
dada en los puntos T1 y T2,
puntos de tangencia de las
soluciones.
 Se une el punto P con los
puntos T1 y T2, estas son las
rectas tangentes q estamos
buscando.
TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
Rectas tangentes a Circunferencia
O
P
A
T1
T2

9. O
TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
Rectas tangentes a Circunferencia
T
b) Conocida la circunferencia y el punto de
tangencia “T”

10. O2
TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
Rectas tangentes a dos Circunferencia
T1
R2
O1
R1
R2-R1
R1
EXTERIORES
 Con centro en O2 se traza la circunferencia de
radio R2 – R1
 Se trazan las rectas m y n tangentes a la
circunferencia anterior
 Se trazan las rectas O1T2 paralela a O2T1
 Las rectas r y s son las que unen los puntos de
tangencia
O
m
n
T2
r
s

11. O2
TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
Rectas tangente a dos Circunferencia
T1
O1
R1
R1
R2
CRUZADAS
 Con centro en O2 se traza la
circunferencia de radio R2 + R1
 Se trazan las rectas tangentes a la
circunferencia anterior
 Se trazan las rectas O2a y O1b y
se ubican T1 y T
 Por O1 se trazan las paralelas a los
radios anteriores
 Las rectas r y s son las que unen
los puntos de tangencia
T
T2
a
b
s
r

12. 1. Se trazan las rectas paralelas
a “m” y “n”, a una distancia “r”
2. La intersección de las
paralelas nos da el centro “O”,
de la circunferencia buscada.
3. Desde “O”, trazamos las
perpendiculares a las recta
“m” y “n” respectivamente,
obteniendo los puntos de
tangencias “T1 y T2”, luego
trazamos la circunferencia
haciendo centro en “O”
T2
T1
r
CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO, TANGENTE A 2 RECTA NO
PARALELAS
n
m
r
r
O
TANGENCIAS

13. a
1. Trazamos la Bisectriz
2. Trazamos el simétrico del punto P y
encontramos P’, unimos P con P’ y
prolongamos hasta cortar a una de las rectas
dadas y ubicamos X.
3. Luego encontramos XT (Fig. 1)
4. Con centro en X y radio XT
ubicamos T y T’ puntos de
tangencias de las
circunferencias O y O’.
• Circunferencia que pasa por un punto P, tangente a dos rectas
T1
T
P’
X
P
T’
(Fig.1)P X P’
T O
b
TANGENCIAS

14. TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
Circunferencia tangente a rectas
O
a) Conocida la recta “m”, la
circunferencia y el radio “r” de la
circunferencia tangente.
 Trazamos una paralela a la distancia
“r” a la recta “m”.
 Con centro en “O” se traza un arco de
circunferencia de radio “R+r” .
 La intersección del arco y la paralela
nos da los centros de los arcos
tangentes buscados.
T
m
TT
T
r
R
R+r

15. TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
Circunferencia tangente a rectas
O
a) Conocida la recta “m”, la
circunferencia y el radio “r”
de la circunferencia
tangente. (secante)
 Trazamos paralelas a la
distancia “r” a la recta “m”.
 Con centro en “O” se traza
un arco de circunferencia
de radio “R+r” y “R-r”.
 La intersección de los arcos
y las paralelas nos darán
los centros de los arcos
tangentes buscados.
T
m
T
T
T

16. • Circunferencia de radio “r” tangente a una circunferencia
y que pasa por un punto exterior Pe.
El punto “Pe” exterior a la
circunferencia
• Se Traza la circunferencia de radio
R+r.
• Con centro en el punto exterior “Pe”
y radio “r” se traza una
circunferencia.
• La intersección de estas
circunferencias son los centros O1 y
O2 de las circunferencias.
O
r
R+r
Pe

17. • Circunferencia de radio “r” tangente a una circunferencia
y que pasa por un punto exterior Pe.
El punto exterior a la circunferencia
• Se unen los puntos Pe con T y
trazamos la mediatriz del
segmento.
• Unimos O con Pt y prolongamos
hasta intersectar a la mediatriz
obteniendo O1, centro de la
circunferencia buscada de radio
O1-Pe.
O
PeT

18. • Circunferencias tangentes a dos circunferencias
Las circunferencias son exteriores
1. Con centro en O’’ y radios R+R’’ se
traza una circunferencia
2. Con centro en O’ y radios R+R’ se
traza una circunferencia
3. La intersección de los arcos trazados
se obtiene O1 y O2, centros de los
arcos tangentes a las dos
circunferencias
4. Se une O1 con O’ y O1 con O’’ y se
obtienen los puntos de tangencia T1 y
T2 y se traza el arco tangente a las
dos Circunferencias.
O’’
O’
R’’
R
R’
R
O1
O2
T2
T1
TANGENCIAS

19. • Circunferencias tangentes a dos circunferencias
Las circunferencias son interiores
1. Con centro en O’’ y radios R-R’’ se
traza una circunferencia
2. Con centro en O’ y radios R-R’ se
traza una circunferencia
3. La intersección de los arcos trazados
se obtiene O1 y O2, centros de los
arcos tangentes a las dos
circunferencias
4. Se une O1 con O’ y O1 con O’’ y se
obtienen los puntos de tangencia T1 y
T2 y se traza el arco tangente a las
dos Circunferencias.
O’’
O’
R’’
R-R’’
R’
R-R’
O1
O2
T2
T1
TANGENCIAS

20. • Circunferencias tangentes a dos circunferencias
Las circunferencias son interior y exterior
1. Con centro en O’’ y radios R-R’’ se
traza una circunferencia
2. Con centro en O’ y radios R-R’ se
traza una circunferencia
3. La intersección de los arcos trazados
se obtiene O1 y O2, centros de los
arcos tangentes a las dos
circunferencias
4. Se une O1 con O’ y O1 con O’’ y se
obtienen los puntos de tangencia T1 y
T2 y se traza el arco tangente a las
dos Circunferencias.
O’’
O’
R’’
R-R’’
R’
R+R’
O1
O2T2
T1
TANGENCIAS

21. • Enlazar dos rectas mediante dos arcos
Rectas paralelas, arcos de igual radio,
conocidos puntos de tangencia M y N
1. Los centros de los arcos se hallan en
las perpendiculares a las rectas por M y N
2. Hallar G punto medio del segmento MN
s
r
G
1O
2O
N
M
3. Trazar mediatrices de GM y GN
4. Donde las mediatrices corten a las
perpendiculares por M y N obtenemos los
centros de los arcos O1 y O2
Curvas Invertidas (Arcos de perfil de Gola)
TANGENCIAS

22. • Enlazar dos rectas mediante dos arcos
Rectas cualesquiera, conociendo uno de los
radios y los puntos de tangencia M y N
1. Los centros de los arcos se hallan en
las perpendiculares a las rectas por M y N
2. Llevamos R sobre la perpendicular a r
hacia el interior del ángulo (MO1=R) y sobre
la perpendicular a s hacia el exterior (NA=R)
3. Trazar mediatriz de AO1 y donde corte a
la prolongación de AN obtenemos O2
4. Los centros de los arcos son O1 y O2,
siendo B el punto de tangencia
A
O2
B O1
R
r
s
M
N
Curvas Invertidas (Arcos de perfil de Gola)
TANGENCIAS

23. • Enlazar dos rectas mediante dos arcos-Método General
Rectas cualesquiera, conociendo uno de los
radios (R) y los puntos de tangencia M y N
1. Los centros de los arcos se hallan en
las perpendiculares a las rectas por M y N
2. Llevamos R sobre la perpendicular a “r “
y trazamos la circunferencia de radio R.
3. Por O1 trazar la perpendicular a la recta
“r” prolongamos hasta que corte en A
4. Unimos A con M y obtenemos B (punto
de tangencia) unimos O1 con B y
prolongamos hasta intersectar a la
perpendicular trazada por M y obtenemos
O2.
A
O1
B O2
r
s
M
N
Curvas Invertidas (Arcos de perfil de Gola)
R
TANGENCIAS

24. CONICAS

25. 25
Definición:
Lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos llamados
focos (F1 y F2) es igual a eje mayor (2a)
Definición: r1 + r2 = 2a
Eje mayor: 2a
Eje menor: 2b
Distancia focal: 2c
Radios vectores: r1 y r2
Circunferencia principal:
Centro en O y diámetro 2a
Circunferencias focales:
Centros en F1 y F2 y radio 2a
Diámetros conjugados: AB-CD
a2 = b2 + c2
Elipse

26. 1. Con centro en S y radio OM se traza un
arco hasta cortar al eje en F1 y F2
2. Se elige un punto A del eje y con radios
AM y AN y centro en F1 y F2 se trazan
arcos que se cortan dos a dos
3. Se eligen otros puntos B, C, etc y se
repite la operación
POR DEFINICIÓN
Elipse

27. 1. Con centro en O se trazan dos
circunferencias de diámetro MN y ST
2. Se traza un radio cualquiera OB
4. Por B se traza paralela al eje menor
3. Por A se traza paralela al eje mayor
5. Se trazan otros radios y se repite la
operación
CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS
Elipse

28. 2. Dividir el semieje mayor OA en partes iguales (por ejemplo 5)
3. Dividir el AK menor en partes iguales(5)
4. Unimos uno de los extremos del eje menor (D) con los puntos
obtenidos sobre AK y los intersectamos con los segmentos
trazados desde el otro extremo (C) con los puntos obtenidos
sobre AO y se repite para los demás cuadrantes.
Método del paralelogramo o RECTANGULO
A
C
D
B
O
K
M
N
L
1. Dados los eje AB y CD y formamos el paralelogramo KLMN

29. • Parábola
Definición: PF = PF’
Eje: e
Radios vectores: r1 y r2
Circunferencia principal:
Es la recta tangente en el vértice
Circunferencias focales:
Es la recta directriz
El punto simétrico de F, respecto
de una tangente, está en la
directriz
La proyección del foco sobre una
tangente está en la
circunferencia principal
Vértice: V
Foco: F
Parábola

30. • Construcción de la parábola
1. Se elige un punto A del eje y se traza
la perpendicular al mismo
3. Se eligen otros puntos B, C, etc y se
repite la operación
2. Con radio AM y centro en F se trazan
dos arcos hasta cortar a la
perpendicular en P y P’
Parábola

31. DATOS:
Vértice (v)
Tangente en el vértice
Un punto perteneciente a la
parábola (M)
TRAZADO DE UNA PARABOLA POR PUNTOS
EJE
V
TANGENTE EN V
M 1 2 3 4 5 6 7
1’
2’
3’
4’
5’
6’
7’
PASO 1
Trazar una paralela al eje de
la parábola que pase por el
punto M.
PASO 2
Dividir los segmentos o-M y
o-v en igual número de
partes iguales; numerar los
puntos.
PASO 3
Trazar el haz de rayos desde
v hasta los puntos en o-M.
PASO 4
Trazar el haz de rayos desde
el punto impropio hasta los
puntos en o-v (paralelas al
eje de la parábola).
PASO 5
Trazar una rama de la
parábola uniendo las
intersecciones de los haces
de rayos.
PASO 6
Trazar la segunda rama de
la parábola por simetría
axial.
o

32. DATOS:
•Dos puntos pertenecientes a la
parábola (A y B)
•Tangentes en esos puntos
PASO 1
Dividir ambas tangentes en el
mismo número de partes iguales
PASO 2
Unir uno a uno los puntos
obtenidos en la tangente A con los
obtenidos en la tangente B.
TRAZADO DE UNA ENVOLVENTE PARABÓLICA
1 52 63 4 87
1’
2’
3’
4’
5’
6’
7’
8’
TANGENTE EN A
TANGENTE EN B
A
B
PASO 3
La ENVOLVENTE parabólica
pasa por los puntos medios de
los segmentos formados