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C u r s o : Matemática 
Material N° 33 
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 33 
UNIDAD: GEOMETRÍA 
TRIGONOMETRÍA 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
En el triángulo ABC, rectángulo en C (figura 1), se definen las siguientes razones: 
Seno de  = sen  = 
Cateto opuesto a 
hipotenusa 
 
= a 
c 
Coseno de  = cos  = 
Cateto adyacente a 
hipotenusa 
 
= b 
c 
Tangente de  = tg  = 
 
 
Cateto opuesto a 
Cateto adyacente a 
= a 
b 
Cotangente de  = cotg  = 
 
 
Cateto adyacente a 
Cateto opuesto a 
= b 
a 
Secante de  = sec  = 
Hipotenusa 
Cateto adyacente a  
= c 
b 
Cosecante de  = cosec  = 
Hipotenusa 
Cateto opuesto a  
= c 
a 
B 
a c 
EJEMPLOS 
1. Si tg  = 
5 
12 
fig. 1 
y  es un ángulo agudo, entonces cos  = 
A) 
12 
5 
B) 
13 
12 
C) 
5 
12 
D) 
5 
13 
E) 
12 
13 
 
 
C b A
2. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 15 cm, entonces el seno del 
2 
ángulo agudo mayor es 
A) 15 
17 
B) 8 
17 
C) 8 
15 
D) 15 
8 
E) 17 
15 
3. Con los datos de la figura 1, la expresión tg  – sen  es igual a 
 
A) ac bc 
ab 
 
B) ac bc 
bc 
 
C) bc ac 
ab 
 
D) bc ac 
bc 
 
E) a c 
b 
C 
fig. 1 
a 
4. Con respecto al triángulo rectángulo ABC de la figura 2, ¿cuál de las opciones siguientes 
es verdadera? 
A) sec  = c 
b 
B) cos  = a 
c 
C) cotg  = b 
a 
D) cosec  = c 
b 
E) sen  = cos  
B 
c a 
5. En la hoja cuadriculada de la figura 3, cada cuadrado tiene lado 2. Entonces, en el ABC 
la tangente del ángulo  es igual a 
A) 1 
5 
B) 1 
2 
C) 2 
5 
D) 2 
E) 5 
 
A B 
b 
c 
A 
 
C B 
fig. 3 
 
 
A C 
fig. 2 
b
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30º, 45º y 60º 
Considerando los triángulos de las figuras 1 y 2, se tiene que: 
3 
Ángulo 
Razón 30º 45º 60º 
sen  
1 
2 
2 
2 
3 
2 
cos  3 
2 
2 
2 
1 
2 
tg  3 
3 
1 3 
EJEMPLOS 
C 
30º 
2 
1 
C 
2 
Horizontal Observador 
Línea de 
mira 
fig. 3 
1. Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 30º como se muestra en 
la figura 1. Si ha recorrido desde el punto de despegue una distancia de 1.000 metros, ¿a 
qué altura (h), respecto del suelo se encuentra? 
A) 500 3 metros 
B) 500 metros 
C) 1.000 
3 
metros 
D) 100 
3 
metros 
E) 1.500 
3 
metros 
60º 
A B 
3 
fig. 1 
45º 
45º 
A 1 
B 
fig. 2 1 
Ángulos de elevación y de depresión 
(fig. 3) son aquellos formados por la 
horizontal, considerada a nivel del ojo 
del observador y la línea de mira, según 
que el objeto observado esté por sobre 
o bajo esta última. 
Con respecto a un observador, los 
ángulos de elevación y de depresión 
constituyen ángulos alternos internos 
entre paralelas, por lo tanto, sus 
medidas son iguales 
1.000 m 
fig. 1 
h 
30º 
Ángulo de 
elevación 
Ángulo de 
depresión 
Observador Horizontal
2. ¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 50 m de altura (fig. 2) 
cuando el sol se ha elevado 40º sobre el horizonte? 
4 
A) 50 · tg 40º m 
50 
B) 
sen 40º 
m 
C) 
50 
tg 40º 
m 
D) tg 40º 
50 
E) cotg 40º 
50 
m 
3. ¿Cuál es la longitud del hilo que sujeta el volantín de la figura 3, si el ángulo de elevación 
es de 50º? (Considere cos 40º = 0,7) 
A) 20 2 m 
B) 3 51 
0,7 m 
C) 21,5 2 m 
D) 20 m 
E) 30 m 
4. Un observador de 1,80 m observa la azotea de un edificio, según un ángulo de elevación 
de 60º (fig. 4). Si el punto de observación está a 12 m del edificio, ¿cuánto mide la altura 
del edificio? 
A) 24 m 
B) 12 3 m 
C) 8 3 m 
D) (4 3 + 1,8) m 
E) (12 3 + 1,8) m 
5. La longitud de una escalera, cuyos extremos están apoyados a un poste y al suelo es de 
4 3 metros. La escalera forma un ángulo con el poste de 30º. ¿A qué distancia está el 
pie de la escalera del poste? 
A) 2 
3 
m 
B) 4 m 
C) 6 m 
D) 2 3 m 
E) 6 3 m 
40º 
fig. 2 
1,5 m 
50º 
fig. 3 
22,5 m 
12 m 
fig. 4
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES 
Las identidades 1, 2, 3, 4 y 5 se deducen directamente de las definiciones de las razones 
trigonométricas. La identidad 6, se deduce combinando las definiciones con el Teorema de 
Pitágoras. 
1. sen  · cosec  = 1 4. tg  = 
5 
sen 
cos 
 
 
2. cos  · sec  = 1 5. cotg  = 
cos 
sen 
 
 
3. tg  · cotg  = 1 6. sen2  + cos2  = 1 
EJEMPLOS 
 
1. Si k = cos2 60° + cos2 50° + sen2 50°, entonces 4k es igual a 
A) 7 
B) 6 
C) 5 
D) 1,25 
E) 1 
2. Si  es un ángulo agudo, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) identidad(es)? 
I) tg  · cosec  = sec  
II) 
2 
1 
1  cos  
= cosec2  
III) (sen  + cos ) (sen  – cos ) = 2 sen2  – 1 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo III 
D) Sólo I y II 
E) I, II y III 
3. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa al cuadrado del coseno de ? 
A) cos 2 
B) 
2 
1 
cosec  
C) 1 + sen2  
D) 
1 
2 
sec  
E) sen2  – 1 
 
B 
C A 
a 
b 
c
6 
4. Si cos2  = 4 
9 
, entonces 3 sen  = 
A) 5 
9 
B) 5 
3 
C) 5 
3 
D) 5 
E) 5 
5. Con los datos de la figura 1, la expresión (sen  + cos )2 es igual a 
A) 1 
B) 
2 
b + 2ac 
2 
b 
C) b2 + 2ac 
2 
D) 
 
b 2ac 
2 
b 
E) 
2ac 
b 
2 
B 
b a 
c 
6. Si  es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades 
no es (son) identidad(es)? 
I) sen  + cos  · cotg  = cosec  
II) sec  · sen  = sec2   1 
III) tg  · sen  = cos  
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo III 
D) Sólo I y II 
E) I, II y III 
A C 
fig. 1 

7. ¿En cuál(es) de las siguientes expresiones trigonométricas, el resultado es siempre igual 
7 
a 1? 
I) sen2 40º + cos2 50º 
II) sen 40º + sen 50º 
III) sen 45º 
cos 45º 
A) En II solamente 
B) En III solamente 
C) En I y en II solamente 
D) En II y en III solamente 
E) Ninguna de ellas 
RESPUESTAS 
DMTRMA33 
Ejemplos 
Págs. 1 2 3 4 5 6 7 
1 y 2 E A C E D 
3 y 4 B C E E D 
5, 6 y 7 C E D D B C B 
Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web 
http://www.pedrodevaldivia.cl/

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61 trigonometría

  • 1. C u r s o : Matemática Material N° 33 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 33 UNIDAD: GEOMETRÍA TRIGONOMETRÍA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS En el triángulo ABC, rectángulo en C (figura 1), se definen las siguientes razones: Seno de  = sen  = Cateto opuesto a hipotenusa  = a c Coseno de  = cos  = Cateto adyacente a hipotenusa  = b c Tangente de  = tg  =   Cateto opuesto a Cateto adyacente a = a b Cotangente de  = cotg  =   Cateto adyacente a Cateto opuesto a = b a Secante de  = sec  = Hipotenusa Cateto adyacente a  = c b Cosecante de  = cosec  = Hipotenusa Cateto opuesto a  = c a B a c EJEMPLOS 1. Si tg  = 5 12 fig. 1 y  es un ángulo agudo, entonces cos  = A) 12 5 B) 13 12 C) 5 12 D) 5 13 E) 12 13   C b A
  • 2. 2. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 15 cm, entonces el seno del 2 ángulo agudo mayor es A) 15 17 B) 8 17 C) 8 15 D) 15 8 E) 17 15 3. Con los datos de la figura 1, la expresión tg  – sen  es igual a  A) ac bc ab  B) ac bc bc  C) bc ac ab  D) bc ac bc  E) a c b C fig. 1 a 4. Con respecto al triángulo rectángulo ABC de la figura 2, ¿cuál de las opciones siguientes es verdadera? A) sec  = c b B) cos  = a c C) cotg  = b a D) cosec  = c b E) sen  = cos  B c a 5. En la hoja cuadriculada de la figura 3, cada cuadrado tiene lado 2. Entonces, en el ABC la tangente del ángulo  es igual a A) 1 5 B) 1 2 C) 2 5 D) 2 E) 5  A B b c A  C B fig. 3   A C fig. 2 b
  • 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30º, 45º y 60º Considerando los triángulos de las figuras 1 y 2, se tiene que: 3 Ángulo Razón 30º 45º 60º sen  1 2 2 2 3 2 cos  3 2 2 2 1 2 tg  3 3 1 3 EJEMPLOS C 30º 2 1 C 2 Horizontal Observador Línea de mira fig. 3 1. Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 30º como se muestra en la figura 1. Si ha recorrido desde el punto de despegue una distancia de 1.000 metros, ¿a qué altura (h), respecto del suelo se encuentra? A) 500 3 metros B) 500 metros C) 1.000 3 metros D) 100 3 metros E) 1.500 3 metros 60º A B 3 fig. 1 45º 45º A 1 B fig. 2 1 Ángulos de elevación y de depresión (fig. 3) son aquellos formados por la horizontal, considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira, según que el objeto observado esté por sobre o bajo esta última. Con respecto a un observador, los ángulos de elevación y de depresión constituyen ángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto, sus medidas son iguales 1.000 m fig. 1 h 30º Ángulo de elevación Ángulo de depresión Observador Horizontal
  • 4. 2. ¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 50 m de altura (fig. 2) cuando el sol se ha elevado 40º sobre el horizonte? 4 A) 50 · tg 40º m 50 B) sen 40º m C) 50 tg 40º m D) tg 40º 50 E) cotg 40º 50 m 3. ¿Cuál es la longitud del hilo que sujeta el volantín de la figura 3, si el ángulo de elevación es de 50º? (Considere cos 40º = 0,7) A) 20 2 m B) 3 51 0,7 m C) 21,5 2 m D) 20 m E) 30 m 4. Un observador de 1,80 m observa la azotea de un edificio, según un ángulo de elevación de 60º (fig. 4). Si el punto de observación está a 12 m del edificio, ¿cuánto mide la altura del edificio? A) 24 m B) 12 3 m C) 8 3 m D) (4 3 + 1,8) m E) (12 3 + 1,8) m 5. La longitud de una escalera, cuyos extremos están apoyados a un poste y al suelo es de 4 3 metros. La escalera forma un ángulo con el poste de 30º. ¿A qué distancia está el pie de la escalera del poste? A) 2 3 m B) 4 m C) 6 m D) 2 3 m E) 6 3 m 40º fig. 2 1,5 m 50º fig. 3 22,5 m 12 m fig. 4
  • 5. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Las identidades 1, 2, 3, 4 y 5 se deducen directamente de las definiciones de las razones trigonométricas. La identidad 6, se deduce combinando las definiciones con el Teorema de Pitágoras. 1. sen  · cosec  = 1 4. tg  = 5 sen cos   2. cos  · sec  = 1 5. cotg  = cos sen   3. tg  · cotg  = 1 6. sen2  + cos2  = 1 EJEMPLOS  1. Si k = cos2 60° + cos2 50° + sen2 50°, entonces 4k es igual a A) 7 B) 6 C) 5 D) 1,25 E) 1 2. Si  es un ángulo agudo, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) identidad(es)? I) tg  · cosec  = sec  II) 2 1 1  cos  = cosec2  III) (sen  + cos ) (sen  – cos ) = 2 sen2  – 1 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III 3. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa al cuadrado del coseno de ? A) cos 2 B) 2 1 cosec  C) 1 + sen2  D) 1 2 sec  E) sen2  – 1  B C A a b c
  • 6. 6 4. Si cos2  = 4 9 , entonces 3 sen  = A) 5 9 B) 5 3 C) 5 3 D) 5 E) 5 5. Con los datos de la figura 1, la expresión (sen  + cos )2 es igual a A) 1 B) 2 b + 2ac 2 b C) b2 + 2ac 2 D)  b 2ac 2 b E) 2ac b 2 B b a c 6. Si  es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades no es (son) identidad(es)? I) sen  + cos  · cotg  = cosec  II) sec  · sen  = sec2   1 III) tg  · sen  = cos  A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III A C fig. 1 
  • 7. 7. ¿En cuál(es) de las siguientes expresiones trigonométricas, el resultado es siempre igual 7 a 1? I) sen2 40º + cos2 50º II) sen 40º + sen 50º III) sen 45º cos 45º A) En II solamente B) En III solamente C) En I y en II solamente D) En II y en III solamente E) Ninguna de ellas RESPUESTAS DMTRMA33 Ejemplos Págs. 1 2 3 4 5 6 7 1 y 2 E A C E D 3 y 4 B C E E D 5, 6 y 7 C E D D B C B Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/