hipérbolas, ecuación, propiedades, construcción, ejercicios.

1. SECCIONES
CÓNICAS:
LA HIPÉRBOLA
Prof. Carlos A. Blanco

2. Eje
SECCIONES CÓNICAS (I)
• Se define un cono
como una superficie de
revolución que se
obtiene al girar una
recta llamada
generatriz alrededor
de una recta secante a
ella llamada eje.
• El punto de corte de
ambas rectas es el
vértice del cono.
Generatriz
Vértice

3. SECCIONES CÓNICAS (II)
Al intersecar un cono con un plano que no pase por el vértice, se
obtienen las diferentes cónicas no degeneradas. Llamamos  al
ángulo que forma la generatriz con el eje. Entonces, si  es el
ángulo que forma el plano con el eje, se tiene que:
1. Si el plano es perpendicular al eje
𝛽 = 90° se obtiene una
circunferencia.
2. Si 𝛼 < 𝛽 < 90° se obtiene una
elipse.
3. Si el plano es paralelo a la
generatriz 𝛽 = 𝛼 se obtiene una
parábola.
4. Si 𝛽 < 𝛼 se obtiene una hipérbola.
Circunferencia
Elipse
Parábola
Hipérbola
Imagen realizada a partir de otra tomada de es.wikipedia.org/wiki/Sección_cónica

4. SECCIONES CÓNICAS (III)
Un experimento que se puede realizar es apuntar con una
linterna a una pared en algo de oscuridad. La forma que
adoptará la luz de la linterna contra la pared, según la
inclinación que tenga la linterna, irá formando las distintas
secciones cónicas.

5. HIPÉRBOLA DEFINICIÓN
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya
diferencia de distancias a dos puntos fijos, (focos), es constante.
• En la hipérbola de
la figura, el punto
medio del segmento
que une los focos
es el centro de la
hipérbola.
• La recta que une
los focos es el eje
real.
• Su perpendicular
por el centro es el
eje imaginario.
Eje real
Eje imaginario
Centro

6. HIPÉRBOLA ELEMENTOS
• 𝐴𝑖, 𝐵𝑖 son los vértices.
• 𝑎 = 𝑑 𝐴𝑖, 𝐶 es el semieje real.
• 𝑏 = 𝑑 𝐵𝑖, 𝐶 es el semieje imaginario.
• 𝑐 = 𝑑 𝐹𝑖, 𝐶 es la semidistancia focal.
• Las rectas son las asíntotas de la hipérbola
c
Asíntotas
a
b

7. HIPÉRBOLA RELACIÓN FUNDAMENTAL
En una hipérbola se cumple 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 que se llama
relación fundamental de la hipérbola.
c
a
b
Asimismo, y tal y como
se definió en la elipse,
la excentricidad es
𝑒 =
𝑐
𝑎
Que en este caso será
mayor que la unidad
puesto que el
numerador es mayor
que el denominador.

8. HIPÉRBOLA ECUACIÓN
Para hallar la ecuación de la hipérbola, suponemos que 𝐹1 =
𝑐, 0 y 𝐹2 = −𝑐, 0 son los focos, 𝑎 el semieje real y 𝑏 el semieje
imaginario, siendo 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
. Si 𝑃 = 𝑥, 𝑦 es un punto de la
elipse:
𝑑 𝐹1, 𝑃 − 𝑑 𝐹2, 𝑃 = 2𝑎 ⟹ 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 − 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 = 2𝑎
Operando nos queda
𝑐2 − 𝑎2 𝑥2 − 𝑎2 𝑦2 = 𝑎2 𝑐2 − 𝑎2 ⟺ 𝑏2 𝑥2 − 𝑎2 𝑦2 = 𝑎2 𝑏2
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Lo que es equivalente a
Para terminar, escribimos las ecuaciones de las asíntotas, que
son rectas que pasan por el centro y tienen pendientes
𝑏
𝑎
y
−𝑏
𝑎
𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥 y 𝑦 =
−𝑏
𝑎
𝑥

9. ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA
Suponiendo que el centro es el origen de coordenadas,
tenemos las siguientes posibilidades.
Si el centro es el punto 𝐶 = 𝑥0 , 𝑦0 entonces es:
𝑥−𝑥0
2
𝑎2 −
𝑦−𝑦0
2
𝑏2 = 1 ó
𝑦−𝑦0
2
𝑎2 −
𝑥−𝑥0
2
𝑏2 = 1
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1
Según cuál sea el eje real, siendo las asíntotas entonces:
𝑦 − 𝑦0 = ±
𝑏
𝑎
𝑥 − 𝑥0 ó 𝑦 − 𝑦0 = ±
𝑎
𝑏
𝑥 − 𝑥0

10. CONSTRUCCIÓN DE LA HIPÉRBOLA
• Trazamos circunferencias centradas en los focos de modo
que la diferencia de los radios sea constante.
• Los puntos de intersección son los puntos de la hipérbola.

11. LA HIPÉRBOLA CON EL
MÉTODO DEL JARDINERO
• Fijamos un extremo de un
listón a uno de los focos
(En este caso 𝐹2)
• Del otro extremo fijamos el
extremo de un hilo, cuyo
otro extremo atamos al otro
foco (𝐹1).
• Manteniendo el hilo tenso
con el lapicero movemos el
listón hacia arriba para
trazar una de las ramas de
la hipérbola.
• La otra rama se trazaría de
modo similar.

12. PROPIEDAD DE LA HIPÉRBOLA
La tangente a la hipérbola en cualquier punto tiene la siguiente
propiedad:
La recta tangente en un punto P es bisectriz del ángulo que
forman los radio vectores de ese punto.
Esto se traduce en que los rayos emitidos desde un foco
de un hipérbola se reflejan en la rama más alejada de
dicho foco y salen de la hipérbola como si fuesen emitidos
por el otro foco.
Su uso son los espejos hiperbólicos.

13. EJERCICIOS DE HIPÉRBOLAS
Hay dos tipos de ejercicios de hipérbolas:
El primer tipo de ejercicio trata de encontrar la ecuación de
la hipérbola a partir de unos datos determinados
El segundo tipo de ejercicio trata de encontrar los
elementos más destacados de la hipérbola y realizar un
dibujo aproximado a partir de la ecuación.
En este tipo de ejercicio, puede ser que nos den la
ecuación de la hipérbola en forma reducida (más fácil)
Ó puede ser que nos den la ecuación de la hipérbola en
forma desarrollada (más difícil)

14. EJERCICIO 1 DE HIPÉRBOLAS
Halla la ecuación de la hipérbola de centro el punto de 𝑂 =
2,3 , con vértice 𝐴 = 5,3 y con un foco en 𝐹 = 7,3 .
Para hallar la ecuación de una hipérbola necesitamos conocer
el centro y los semiejes. Calculamos los semiejes:
𝑎 = 𝑑 𝑂, 𝐴 = 5 − 2 2 + 3 − 3 2 = 3
Ya tenemos a y c. Hallamos b con la relación fundamental
52
= 𝑏2
+ 32
⟹ 𝑏 = 4
Puesto que también tenemos el centro, y el eje real de la
hipérbola es horizontal; la ecuación es
𝑥 − 2 2
32
−
𝑦 − 3 2
42
= 1
𝑐 = 𝑑 𝑂, 𝐹 = 7 − 2 2 + 3 − 3 2 = 5

15. EJERCICIO 2 DE HIPÉRBOLAS
Halla todos los elementos de la hipérbola
𝑦+1 2
22 −
𝑥−1 2
32 = 1
A la vista de la ecuación sabemos el centro y los semiejes.
Siendo además el semieje real el paralelo al eje y. Hallamos
pues la semidistancia focal y con todo ello hallamos los focos,
los vértices y las asíntotas.
𝑐2
= 32
+ 22
⟹ 𝑐 = 13
𝐹1 = 1, −1 + 13 , 𝐹2 = 1, −1 − 13
𝐴1 = 1, −1 + 2 = 1,1 , 𝐴2 = 1, −1 − 2 = 1, −3
𝐵1 = 1 + 3, −1 = 4, −1 , 𝐵2 = 1 − 3, −1 = −2, −1
𝑒 = 13
2
y 𝑦 + 1 = ±
2
3
𝑥 − 1
𝑂 = 1, −1 , 𝑎 = 2 y 𝑏 = 3

16. EJERCICIO 3 DE HIPÉRBOLAS
Estudia la hipérbola 16𝑥2
− 9𝑦2
+ 96𝑥 + 36𝑦 − 36 = 0
A la vista de la ecuación sabemos el centro y los semiejes.
Además el semieje real es paralelo al eje x. Hallamos el resto
de los elementos de la hipérbola.
𝑐2 = 32 + 42 ⟹ 𝑐 = 5
𝐹1 = −3 + 5,2 = 2,2 , 𝐹2 = −3 − 5,2 = −8,2
𝐴1 = −3 + 3,2 = 0,2 , 𝐴2 = −3 − 3,2 = −6,2
𝐵1 = −3,2 + 4 = −3,6 , 𝐵2 = −3,2 − 4 = −3, −2
𝑒 = 5
3
y 𝑦 − 2 = ±
4
3
𝑥 + 3
𝑂 = −3,2 , 𝑎 = 3 y 𝑏 = 4
En primer lugar completamos cuadrados para hallar la ecuación
reducida.
𝑥 + 3 2
32
−
𝑦 − 2 2
42
= 1

17. CONICAS Y ESFERAS DE DANDELIN
• En las siguientes imágenes se puede
observar que las secciones cónicas
cumplen las definiciones como lugares
geométricos.
• Las imágenes proceden de la página
http://www.aulamatematicas.org/Conicas/
ConicasSeccionesCono.htm
• Para saber más sobre las esferas de
Dandelin, clic aquí

18. CONICAS Y ESFERAS DE DANDELIN
𝑃𝐹1 = 𝑃𝐻
𝑃𝐹2 = 𝑃𝐺
⇒
𝑃𝐹2 − 𝑃𝐹1 =
= 𝑃𝐺 − 𝑃𝐻
Que es la longitud de la
generatriz entre 𝐶1 y 𝐶2 y
no depende del punto 𝑃