trigometria

1. Introducción a la trigonometría
y a las funciones trigonométricas
Shirley Bromberg
Raquel Valdés

2. Un poquito de historia
Trigonometría es una palabra de etimología
griega, aunque no es una palabra griega. Se
compone de trigonon que significa triángulo
y metria que significa medición. Y se habla
de ella como matemática práctica.

3. La trigonometría resuelve el siguiente
problema: conocidos algunas de las
componentes de un triángulo, determinar las
restantes
La geometría (teórica) nos dice cuándo ciertos
datos determinan que salvo por posición un
triángulo de lados dados, la trigonometría
(práctica) nos dice cómo calcular los restantes.

4. a
c
b
Si conocemos dos de los lados
del triángulo, como el Teorema
de Pitágoras afirma que
a2
+ b2
= c2
,
Comencemos con triángulos rectángulos.
conocemos el tercer lado.
Eso sí, debemos saber si los
lados que conocemos son catetos
o la hipotenusa.

5. NOTEMOS que la hipotenusa pasa por los
puntos de la retícula. Los triángulo de las
esquinas tienen los mismos ángulos.
Dividimos los catetos en r partes iguales, y
formamos una retícula. Los catetos de los
triángulos de las esquinas miden a/r, b/r y
su hipotenusa será, por el Teorema de
Pitágoras igual a c/r.
Resolución de triángulos rectángulos.
Pero no tenemos ninguna información acerca de los
ángulos. A continuación comenzaremos a abordar este
problema.

6. Las observaciones anteriores permiten
resolver el siguiente
¿ Cuál será la altura
del árbol que
proyecta una
sombra de 4 m si
se encuentra al
lado de Alberto
que mide 1.75 m y
proyecta una
sombra de 3.5 m ?
Problema

7. Sigamos con el problema de encontrar los
ángulos en triángulos rectángulos.
Vamos a escoger triángulos “normalizados”, que
representen a cada triángulo rectángulo.
Tomaremos triángulos con hipotenusa unitaria.

8. a2
+ b2
= c2
c
a
b
a/c
b/c
(a/c)2
+ (b/c)2
= 1
pasamos a
1
de 1
Construcción de triángulos de hipotenusa unitaria

9. Relacionamos ángulos y longitudes
con Tablas de Cuerdas
En un comienzo, a cada ángulo se
asoció la cuerda subtendida por él
en una circunferencia de radio fijo.
α
cuerda α

10. Tablas de cuerdas
Razonando con la figura al
lado se muestra que
2
sen
2
cuerda αα
=
/2α
/2α

11. Tablas de cuerdas
Para conseguir nuevos valores se
usa la identidad
α
α
α
cos1
2
sen2 2
−=αcos1−
αsen
y se obtienen tablas de cuerdas que
van de 5o
en 5o
.

12. Construcción de Tablas
ángulo cuerda seno coseno tangente
60o
1
1/2
30o
1/2
15o
45o
? 1
2
3
2
3
3
3
1
2
2
2 2
32 −
2
32 +
32
1
+
32 −
2
2

13. La figura muestra las funciones trigonométricas
asociadas a un ángulo agudo ubicado en una
circunferencia
αsen
αcos
αtan
αcotan
αcosec
αsec
α
secante
cosecante
radio
seno
tangente
cotangente
coseno
α
α
α

14. Funciones trigonométricas:
seno de un ángulo agudo
α
c
a
==
hipotenusa
opuestocateto
sen α
a
b
c
α
b/c
a/c
1

15. Funciones trigonométricas:
coseno de un ángulo agudo
α
c
b
==
hipotenusa
adyacentecateto
cosα
a
b
c
α
b/c
a/c
1

16. Funciones trigonométricas: tangente
y cotangente de un ángulo agudo
α
a
b
c
α
b/c
a/c
1
b
a
==
adyacentecateto
opuestocateto
tan α
a
b
==
opuestocateto
adyacentecateto
cotan α

17. Funciones trigonométricas: secante
y cosecante de un ángulo agudo
α
a
b
c
α
b/c
a/c
1
b
c
==
adyacentecateto
hipotenusa
secα
a
c
==
opuestocateto
hipotenusa
cosecα

18. Todas las funciones trigonométricas de un
ángulo agudo pueden expresarse a partir
de una de ellas, a modo de ejemplo
tomemos sen
αcos αsen-1 2
αtan
αcotan
αsec
αcosec
=
=
=
=
=

19. Identidades Trigonométricas
α
1
cos α
sen α
La identidad fundamental
es consecuencia del
Teorema de Pitágoras
1cossen 22
=+ αα

20. Identidades Trigonométricas
α
1
Si es el ángulo complementario
de , hay un triángulo rectángulo
que los tiene como ángulos agudos
y se tiene que
( )βαβ −== 
90coscossen
α
β
( )βαβ −== 
90sensencos
β
cos α
sen α

21. Identidades Trigonométricas
1
α
En una diapositiva anterior
demostramos que
α
α
cos1
2
2sen2
−=
ββ sen212cos 2
−=
o bien, tomando αβ 2=

22. α
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Para calcular el seno (o el
coseno) de un ángulo agudo ,
colocamos un triángulo
rectángulo como en la figura.
El seno (o coseno) del ángulo es
la ordenada (o la abscisa) del
punto de intersección de la
hipotenusa con el círculo.
α
αP
αP
Pero no es necesario tener todo el rectángulo, basta
con tener la recta que une con el origen.αP

23. α
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
DEFINIMOS para un ángulo ,
medido a partir de la recta
contra las manecillas del reloj:
α
αP
l
αsen
la abscisa de
la ordenada de
αcos αP
l
αP

24. α
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
La tangente de un ángulo ,
medido a partir de la recta
contra las manecillas del
reloj, es la longitud
(orientada) señalada
α
αP
l
β
l
αtan
βP
βtan

25. α
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
αP
l
I II III IV
sen α + + - -
cos α + - - +
tan α + - + -
βP
δP
γP
¿Cómo obtuvimos la última hilera de la tabla?
αP
III
III VI

26. α
Medida absoluta de ángulos:
RADIANES
1
El círculo unitario
también nos permite usar
longitudes para medir
ángulos, aprovechando
que el ángulo es
proporcional al arco que
subtiende. Un ángulo de
un radián es el ángulo
que subtiende un arco de
longitud uno.

27. Medida absoluta de ángulos:
RADIANES
Como la circunferencia unitaria mide
2π, un cuarto de circunferencia mide
π/2 y como un ángulo recto sub-
tiende un cuarto de circunferencia,
el ángulo recto mide π/2 radianes.

28. Medida absoluta de ángulos:
RADIANES
π/2 90o
Como
Entonces si Rad es la medida de un ángulo
en radianes y Grad la medida en grados,
π
Rad
180
Grad
=

29. Medida absoluta de ángulos:
RADIANES
π
Rad
180
Grad
=
ángulo en radianes ángulo en grados
1
1
π/3
45
120

30. Actividad I…
Construir un triángulo cuyos lados
sean de longitud 3, 4 y 5 .
Comparar los distintos triángulos
que se obtienen.
Nota: cada quien es libre de escoger la escala

31. …Actividad I
Con la escala proporcionada,
medir la razón entre pares de
lados del triángulo diseñado
Medir en centímetros los lados
del triángulo diseñado y obtenga
la razón entre los pares de lados

32. Actividad II…
Para cada uno de los triángulos
rectángulos proporcionados, midan las
siguientes razones, según el ángulo
marcado con el círculo rojo:
a) Cateto opuesto e hipotenusa
b) Cateto adyacente e hipotenusa
c) Cateto opuesto y cateto adyacente

33. … Actividad II

34. Problema
En una circunferencia de
centro O y radio 5 está
trazada una cuerda que mide
3.5 ¿cuánto mide
el ángulo central asociado?
En la misma circunferencia,
halle la longitud de
la cuerda subtendida por un
ángulo de 72o
.
O
5

35. Problema
Una cuerda de 100m de largo
se estira un metro más
y se sostiene del centro (ver
la figura). ¿ A qué altura
se encuentra el punto C?
Dé una medida aproximada
del ángulo .α
α
100m
101m
C

36. Pregunta
a
b
c
α
¿ cuáles son los valores máximo
y mínimo de la función coseno ?
¿alguno de los catetos puede ser
mayor que la hipotenusa?
¿ cuáles son los valores máximo
y mínimo de la función seno ?
¿ cuáles son los valores máximo
y mínimo de la función tangente ?

37. Problema
Con apoyo del círculo unitario, construya
la gráfica de la función sen
α
α
α
)(αsen
15 30 45 60 75 90 120 150 ···105 135
(0,1)
(-1,0)
(-1,-1)
(0,1)

38. Problema…
1. Trace los triángulos rectángulos definidos
por las siguientes ternas de puntos:
a) (0,0), (8,0), (8,6)
b) (0,0), (-4,0), (-4,3)
c) (0,0), (-3,0), (-3,-4)
d) (0,0), (8,-6), (8,0)
2. En cada uno de los triángulos trazados,
ubique el ángulo formado entre la hipotenusa y
el eje de las abscisas.
3. Calcule el seno, coseno y tangente de tal
ángulo.

39. … Problema
III
III IV
I II III IV
sen(α) + + - -
cos(α) + - - +
tan(α) + - + -