Temario estadistica

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Temario estadistica

  1. 1. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 1 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Universidad de Estudios Superiores de La Paz Carrera: Licenciatura en Informática Asignatura: Estadística Temario Nombre del alumno: Hernández Mejía Brayan Alfredo Grupo: Grupo: LI-131 “Es mejor morir de pie, que vivir siempre de rodillas” – Emiliano Zapata
  2. 2. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 2 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 ÍNDICE: I. Información general de la asignatura. a)Ficha de identificación b)Descripción c)Propósito II. Competencias a desarrollar III. Temario IV. Metodología de trabajo V. Evaluación VI. Material de apoyo VII. Desarrollo de contenidos por unidad a) Unidad 1: Estadística descriptiva b) Unidad 2: Distribuciones Muestrales Introducción c) Unidad 3: Teoría de la Estimación Introducción d) Unidad 4: Pruebas de hipótesis Anexo: Formularios (archivos PDF y Tablas Z y gl.)
  3. 3. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 3 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Presentación: I. Información general de la asignatura. a) Ficha de identificación: Nombre de la licenciatura o ingeniería Licenciatura en informática Nombre del curso o asignatura Estadística Clave de asignatura Estadística LI-131 Seriación Sin seriación Semestre 3er semestre Profesor Reynaga b) Descripción: Dentro de una sociedad que está en constante cambio y reestructuración existen variables que permiten un cambio, sea mínimo o grande, dentro de la misma. Estos cambios, así como la constante forma en que cambia el entorno en todo sentido y estratos (cultural, social, tecnológico, político, educativo) hacen que los elementos cuantitativos cambien de la misma manera, es por eso que se debe tener en cuenta la precisión con que éstos datos actuaran sobre las decisiones que se tomen a futuro. La estadística, como un elemento de utilería básico para poder llevar a cabo la tarea de recopilar, analizar, sistematizar, sintetizar e interpretar los datos o elementos que son cuantificables para poder interpretarlos de forma sencilla, clara y tangible para poder sustentar una decisión a posteriori y saber desde donde podemos tomar medidas estratégicas para la solución óptima de un problema. En la Universidad de Estudios Superiores de La Paz, nos comprometemos a mejorar la calidad integral de los alumnos y profesores que requieran, sin duda alguna, del soporte, por ejemplo, con éste material de apoyo académico. Asimismo, inculcar una costumbre por la búsqueda incesante del conocimiento, de trazar la trayectoria académica con excelencia y carácter para formar profesionales éticos y visionarios para afrontar, primero de forma personal, cualquier clase de problema que se presente teniendo la franqueza, elementos y visión periférica de cómo optimizar sus opciones. La materia de Estadística se compone de las unidades básicas necesarias para poder entender, sin disyuntivas, los elementos más característicos y herramientas usadas, expresándolo matemáticamente la síntesis de los datos y así, sembrar en el estudiante la costumbre por la toma de decisiones, el análisis e interpretación de las posibles soluciones, visión ante situaciones de bifurcación y la solución de problemas y eventos que interactúen con el entorno en donde nos desenvolvemos.
  4. 4. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 4 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 c) Propósito: Los propósitos de la asignatura en relación al tronco básico son que los estudiantes: 1. La capacidad de interpretar y manejar los elementos gráficos (tablas, gráficos, diagramas) para su análisis y manejo adecuado. 2. La aplicación correcta de la estadística dentro de nuestro entorno y del cómo la misma ha beneficiado al entorno donde se aplica, así como su importancia. 3. Visualicen e identifiquen el valor de uso de la estadística en el entorno y su trascendencia en la toma de decisiones. 4. Equiparar la ética y la profesión para el manejo y análisis adecuado de cualquier clase de información. II. Competencia. Competencia general: - Ejecutar los métodos y procesos de análisis estadístico para verificar los eventos dentro de un contexto. - Contrastar y entender la paridad entre las posibles soluciones a un problema o problemas en específico, esto para poder brindar una respuesta más sustentable enfocado a la búsqueda de la solución del problema. Competencias específicas: - Hacer uso de las herramientas y conceptos indispensables para la representación numérica y gráfica de los datos recopilados y analizados dentro de un entorno. - Generar soluciones concretas a partir del análisis de datos compilados. - Aplicar los conocimientos estadísticos a través de pruebas aleatorias en diferentes entornos y contextos.
  5. 5. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 5 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 III. Temario. Unidad 1 Estadística descriptiva 1.1 Definición y Campo Estadística 1.2 Planteamiento de un caso especifico 1.3 Organización de Datos Estadísticos 1.4 Medidas Tendencia Central 1.5 Medidas Dispersión Unidad 2 Distribuciones Muestrales Introducción 2.1 Distribución Muestral de Media Varianza Conocida y Desconocida 2.2 Teorema del Límite Central 2.3 Distribución Muestral de Proporción 2.4Distribucion Muestral Diferencia de Medias y de diferencia de proporciones 2.5 Distribución Muestral Diferencia Medias 2.6 Distribución Muestral de la Varianza 2.7 Distribución Muestral Razón de Varianzas Unidad 3 Teoría de la Estimación Introducción 3.1 Estimación y Propiedades Estimadores 3.2 Estimación por Intervalo 3.3 Intervalo de Confianza Media con varianza conocida y desconocida 3.4 Intervalo de Confianza Proporción y diferencia de proporciones 3.5 Intervalo de Confianza Diferencias de Medias con varianza conocida y desconocida 3.6 Intervalo Confianza Varianza 3.7 Intervalo Confianza Razón Varianzas
  6. 6. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 6 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Unidad 4 Pruebas de hipótesis 4.1 Conceptos Prueba de Hipótesis 4.2 Errores Tipo I y II 4.3 Prueba Hipótesis para Media con varianza conocida y desconocida 4.4 Prueba Hipótesis para Proporción y diferencia de proporciones 4.5 Prueba Hipótesis Diferencia Medias con varianzas conocidas y desconocidas 4.6 Prueba Hipótesis Varianza 4.7 Prueba de Bondad de Ajuste
  7. 7. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 7 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 IV. Metodología de trabajo. Las personas perciben y adquieren los conocimientos de manera distinta. Además, tienen preferencias hacia determinadas estrategias cognitivas que son las que finalmente les ayudarán a dar significado a la nueva información. Por ejemplo, unos prefieren hacerlo en grupos, otros individualmente, algunos optan por la experimentación y otros requieren asesoría. . El concepto estilos de aprendizaje se refiere a esas estrategias preferidas por los estudiantes y que se relacionan con formas de recopilar, interpretar, organizar y pensar sobre la nueva información. El estilo de aprendizaje consiste en definitiva en cómo nuestra mente procesa la información, cómo es influida por las percepciones de cada individuo, con el fin de alcanzar aprendizajes eficaces y significativos. Por ejemplo, cuando se aprende un nuevo concepto, algunos estudiantes se centran en los detalles, otros en los aspectos lógicos, otros prefieren hacerlo leyendo o llevándolos a la práctica a través de actividades. Por ello es necesario planificar actividades ajustadas a los estilos de aprendizaje de los participantes de manera que sean más receptivos cuando perciban que los objetivos del programa de formación responden a sus necesidades y expectativas. Durante el periodo de aprendizaje en la asignatura de Estadística, se implementaran los elementos necesarios para el correcto aprendizaje, adaptación y retención de los conceptos básicos, así como las herramientas informáticas y matemáticas que nos permitan ejecutar prácticas con una mayor calidad y fluidez para el entendimiento de la asignatura. Los procesos a modelar con técnicas estadísticas suelen ser altamente complejos y son difíciles de caracterizar pues es habitual que dependan de muchas variables, que es lo usual al trabajar con datos reales. Como nuestro deseo es que el alumno adquiera un aprendizaje significativo nos hemos propuesto incidir en nuevas metodologías didácticas en la impartición de esta asignatura de Estadística en la UES. Los alumnos, previamente, reciben materiales que les permiten conocer los principios que establece la Estadística y colecciones de datos experimentales para su análisis. De esta manera van a adquirir una información teórica y práctica, objetiva y científica sobre el tema, para así conseguir los objetivos cognoscitivos que nos proponemos. Por tanto, para trabajar con datos reales se tienen en cuenta los conocimientos que poseen los estudiantes de informática y en el manejo y utilización de programas de ordenador (como son, por ejemplo, MINITAB, EXCEL, MATLAB o MAPLE), conocimientos y habilidades que han adquirido en asignaturas ya cursadas previamente, como son programación y Matemáticas.
  8. 8. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 8 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 El objetivo es incidir en la enseñanza de la Estadística basada en la resolución de problemas y casos prácticos con datos reales de diversos aspectos del ámbito de la tecnología y las ciencias, para así potenciar los factores que condicionan positivamente el aprendizaje al colocar a los estudiantes ante casos y problemas relativos al mundo de la Informática. Se intenta así mejorar aspectos que inciden en la calidad en la enseñanza y en el aprendizaje como son la motivación, los modos de aprendizaje, las metas y objetivos que los estudiantes se plantean. V. Evaluación. Para que el alumno pueda aprobar la asignatura de Estadística, deberá cumplir con todos y cada uno de los lineamientos e imperativos acordados a principio del semestre, para poder obtener, sin mayor dificultad, la calificación mínima que estipula la UES. Que el alumno entregue en tiempo y con las característica necesarias, todos y cada uno de los ejercicios que se les pida subir al blog y los que se hacen durante la clase. Asistir puntual a las cátedras e impulsar el interés del alumno en la interacción durante la clase, esto a partir de la relación alumno-profesor. También deberán trabajar en equipos para poder obtener un mayor rendimiento entre alumnos, así como la interacción con los demás compañeros de clase, esto, con el objetivo de tener una mejor relación y aprendan a trabajar en equipos. Los puntos que se tomarán en cuenta para evaluar serán: Actividad Porcentaje Prácticas 50% Examen 50% Total 100% VI. Material de apoyo. Bibliografía básica: Alatorre F., S., et.al. Introducción a los Métodos Estadísticos. Universidad Pedagógica Nacional. México. (3 volúmenes. Sistema de Educación a Distancia.) Castañeda J., J. Métodos de Investigación 2. Editorial McGraw-Hill. México. Johnson, R. Estadística Elemental. Editorial Trillas. México. Mendenhall, W.; D.D. Wackerly y R.L. Scheaffer. Estadística Matemática con Aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamérica. México.
  9. 9. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 9 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Freund, John E. y Gary A. Simon. Estadística elemental. Prentice-Hall Hispanoamericana, SA. México, 1994. (8ª edición.) Spiegel, M.R. Estadística. McGraw-Hill. México. (Serie Schaum.) García, P., A. Elementos de Método Estadístico. Universidad Nacional Autónoma de México. México. (Textos Universitarios.) Bibliografía complementaria: Arias G., F. (comp). Lecturas para el Uso de Metodología de la Investigación. Capítulo 5 "Procesamiento de datos". Editorial Trillas. México. Schmelkes, C. Manual para la Presentación de Anteproyectos e Informes de Investigaciones. Capítulo 25 "Análisis de resultados". Editorial Harla. México. Kline, M. Matemáticas para Estudiantes de Humanidades. Capítulo XXII "Métodos estadísticos en las ciencias sociales y las biológicas" y capítulo XXIII "La teoría de las probabilidades". Fondo de Cultura Económica. México. Bergamini, D. Matemáticas. Capítulo 6 "El cálculo de las posibilidades en un mundo inseguro". Editado por Offset Multicolor. México. (Colección Científica de Time-Life.)
  10. 10. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 10 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 VII. Desarrollo de contenidos por unidad. Unidad 1: Estadística descriptiva Propósito:  Que el alumno aprenda a identificar los conceptos básicos de la estadística.  Visualizar el campo e importancia de la estadística.  Aplicar el conocimiento con prácticas y experimentos aleatorios. Competencia específica: Hacer uso de las herramientas y conceptos indispensables para la representación numérica y gráfica de los datos recopilados y analizados dentro de un entorno. Introducción: La estadística como un concepto básico entre la sociedad, representa a la manera con que se frecuenta e incide en un evento o la forma en que se cuantifica un hecho de cualquier índole. Así que para un mejor entendimiento de lo que es en esencia la estadística, aplicaremos los elementos y herramientas básicas para su entendimiento. Asimismo, aprenderemos y conoceremos cuáles son los campos donde se puede aplicar la estadística y cómo interactúa, sobre todo, a nivel social. 1.1 Definición y Campo Estadística Estadística “Ciencia que se ocupa del estudio de fenómenos de tipo genérico, normalmente complejos y enmarcados en un universo variable, mediante el empleo de modelos de reducción de la información y de análisis de validación de los resultados en términos de representatividad”. La información puede ser numérica, alfabética o simbólica. Consta de las fases de recogida de información, de análisis y de presentación e interpretación de los resultados y elaboración de métodos. La estadística es una ciencia referente a la recolección, análisis e interpretación de datos, ya sea para ayudar en la resolución de la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Sin embargo estadística es mucho más que eso, dado que en otras palabras es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con la investigación científica. Definida así la Estadística se evita hacer mención a sí es o no una rama de las matemáticas, visión que consideramos innecesariamente limitada, al tiempo que se establece su carácter genérico y su campo de acción en el estudio de fenómenos complejos ubicados en un universo amplio y variable. Con esta afirmación, de complejidad, se introduce el factor de
  11. 11. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 11 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 incertidumbre que acompaña a los fenómenos aleatorios pero sin limitar el campo de la Estadística de forma que puede aplicarse también a fenómenos determinísticos. La estadística se divide en dos grandes áreas:  La estadística descriptiva, que se dedica a los métodos de recolección, descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos en estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos de parámetros estadísticos son: la media y la desviación estándar. Algunos ejemplos gráficos son: histograma, pirámide poblacional, clústers, entre otros.  La estadística inferencial, que se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población bajo estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de respuestas a preguntas si/no (prueba de hipótesis), estimaciones de características numéricas (estimación), pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación (correlación) o modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión). Otras técnicas de modelamiento incluyen anova, series de tiempo y minería de datos. Ambas ramas (descriptiva e inferencial) comprenden la estadística aplicada. Hay también una disciplina llamada estadística matemática, la cual se refiere a las bases teóricas de la materia. La palabra «estadísticas» también se refiere al resultado de aplicar un algoritmo estadístico a un conjunto de datos, como en estadísticas económicas, estadísticas criminales, entre otros. Etimología: El término alemán statistik, que fue primeramente introducido por Gottfried Achenwall (1749), designaba originalmente el análisis de datos del Estado, es decir, la "ciencia del Estado" (también llamada aritmética política de su traducción directa del inglés). No fue hasta el siglo XIX cuando el término estadística adquirió el significado de recolectar y clasificar datos. Este concepto fue introducido por el inglés John Sinclair. En su origen, por tanto, la Estadística estuvo asociada a los Estados, para ser utilizados por el gobierno y cuerpos administrativos (a menudo centralizados). La colección de datos acerca de estados y localidades continúa ampliamente a través de los servicios de estadística nacionales e internacionales. En particular, los censos suministran información regular acerca de la población. Ya se utilizaban representaciones gráficas y otras medidas en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para controlar el número de personas, animales o ciertas mercancías. Hacia el año 3000 a. C. los babilonios usaban ya pequeños envases moldeados de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados. Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XI a. C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas
  12. 12. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 12 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 incluyen en algunas partes trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a. C. Los antiguos griegos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a. C. para cobrar impuestos. Orígenes: Los métodos estadístico-matemáticos emergieron desde la teoría de probabilidad, la cual data desde la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre de Fermat (1654). Christian Huygens (1657) da el primer tratamiento científico que se conoce a la materia. El Ars coniectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y la Doctrina de posibilidades (1718) de Abraham de Moivre estudiaron la materia como una rama de las matemáticas. En la era moderna, el trabajo de Kolmogórov ha sido un pilar en la formulación del modelo fundamental de la Teoría de Probabilidades, el cual es usado a través de la estadística. La teoría de errores se puede remontar a la Ópera miscellánea (póstuma, 1722) de Roger Cotes y al trabajo preparado por Thomas Simpson en 1755 (impreso en 1756) el cual aplica por primera vez la teoría de la discusión de errores de observación. La reimpresión (1757) de este trabajo incluye el axioma de que errores positivos y negativos son igualmente probables y que hay unos ciertos límites asignables dentro de los cuales se encuentran todos los errores; se describen errores continuos y una curva de probabilidad. Pierre-Simon Laplace (1774) hace el primer intento de deducir una regla para la combinación de observaciones desde los principios de la teoría de probabilidades. Laplace representó la ley de probabilidades de errores mediante una curva y dedujo una fórmula para la media de tres observaciones. También, en 1871, obtiene la fórmula para la ley de facilidad del error (término introducido por Lagrange, 1744) pero con ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introduce el principio del máximo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes. El método de mínimos cuadrados, el cual fue usado para minimizar los errores en mediciones, fue publicado independientemente por Adrien-Marie Legendre (1805), Robert Adrain (1808), y Carl Friedrich Gauss (1809). Gauss había usado el método en su famosa predicción de la localización del planeta enano Ceres en 1801. Pruebas adicionales fueron escritas por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W.F. Donkin (1844, 1856), John Herschel (1850) y Morgan Crofton (1870). Otros contribuidores fueron Ellis (1844), Augustus De Morgan (1864), Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli (1875). La fórmula de Peters para r, el probable error de una observación simple es bien conocido. El siglo XIX incluye autores como Laplace, Silvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole mejoraron la presentación de la teoría. Adolphe Quetelet (1796-1874), fue otro importante fundador de la estadística y quien introdujo la noción del «hombre promedio» (l’homme moyen) como un medio de entender
  13. 13. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 13 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 los fenómenos sociales complejos tales como tasas de criminalidad, tasas de matrimonio o tasas de suicidios Christiaan Huygens Pierre Simon Laplace Gottfried Achenwall Padre de la estadística Carl Fredrich Gauss Karls Pearson George Boole
  14. 14. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 14 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Disciplinas especializadas y campos de aplicación: Algunos campos de investigación usan la estadística tan extensamente que tienen terminología especializada. Estas disciplinas incluyen:  Ciencias actuariales  Física estadística  Estadística industrial  Estadística Espacial  Matemáticas Estadística  Estadística en Medicina  Estadística en Medicina Veterinaria y Zootecnia  Estadística en Nutrición  Estadística en Agronomía  Estadística en Planificación  Estadística en Investigación  Estadística en Restauración de Obras  Estadística en Literatura  Estadística en Astronomía  Estadística en la Antropología (Antropometría)  Estadística en Historia  Estadística militar  Geoestadística  Bioestadística  Estadísticas de Negocios  Estadística Computacional  Estadística en las Ciencias de la Salud  Investigación de Operaciones  Estadísticas de Consultoría  Estadística de la educación, la enseñanza, y la formación  Estadística en la comercialización o mercadotecnia  Cienciometría  Estadística del Medio Ambiente  Estadística en Epidemiología  Minería de datos (aplica estadística y reconocimiento de patrones para el conocimiento de datos)  Econometría (Estadística económica)  Estadística en Ingeniería  Geografía y Sistemas de información geográfica, más específicamente en Análisis espacial  Demografía  Estadística en psicología (Psicometría)  Calidad y productividad  Estadísticas sociales (para todas las ciencias sociales)  Cultura estadística  Encuestas por Muestreo
  15. 15. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 15 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010  Análisis de procesos y quimiometría (para análisis de datos en química analítica e ingeniería química)  Confiabilidad estadística  Procesamiento de imágenes  Estadísticas Deportivas La estadística es una herramienta básica en negocios y producción. Es usada para entender la variabilidad de sistemas de medición, control de procesos (como en control estadístico de procesos o SPC (CEP)), para compilar datos y para tomar decisiones. En estas aplicaciones es una herramienta clave, y probablemente la única herramienta disponible. Importancia: La estadística es comúnmente considerada como una colección de hechos numéricos expresados en términos de una relación sumisa, y que han sido recopilado a partir de otros datos numéricos. Kendall y Buckland definen la estadística como un valor resumido, calculado, como base en una muestra de observaciones que generalmente, aunque no por necesidad, se considera como una estimación de parámetro de determinada población; es decir, una función de valores de muestra. La importancia que tiene está relacionada con el área o áreas en las que se puede aplicar, debido a que está presente en todas las áreas del saber. La estadística es una ciencia de aplicación práctica casi universal en todos los campos científicos: * En las ciencias naturales: se emplea con profusión en la descripción de modelos termodinámicos complejos (mecánica estadística), en física cuántica, en mecánica de fluidos o en la teoría cinética de los gases, entre otros muchos campos. * En las ciencias sociales y económicas: es un pilar básico del desarrollo de la demografía y la sociología aplicada.
  16. 16. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 16 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 * En economía: suministra los valores que ayudan a descubrir interrelaciones entre múltiples parámetros macro y microeconómicos. * En las ciencias médicas: permite establecer pautas sobre la evolución de las enfermedades y los enfermos, los índices de mortalidad asociados a procesos morbosos, el grado de eficacia de un medicamento, etcétera.
  17. 17. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 17 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010
  18. 18. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 18 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Estadística Es la basedeuna buena planificación Reune y organiza datos numéricos para la toma de desiciones Se vale de métodos gráficos para su comprensión Hace más llamativa la información. Permitea las personas no especializadas entender los resultados de uninforme Solo es válido enlos datos existentes enel momento de sacar los datos,comouna fotografía Tipos de gráficos yutilidad: Barras:comparar elementos. Pastel y barra de 100%:compararlas fracciones de untodo. Lineal:Comparacionesde crecimiento a través de un tiempodeterminado. Pictograasymapasestadísticos:para comparar datos geográficos yde distribución. Características generales: - Conciso - Replicabilidad - Comunicabilidad - Simple, apto y fácilde interpretar. Es una herramienta
  19. 19. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 19 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 1.2 Planteamiento de un caso especifico Planteamiento del problema Suele iniciarse con una fijación de objetivos o algunas preguntas como ¿cuál será la media de esta población respecto a tal característica?, ¿se parecen estas dos poblaciones?, ¿hay alguna relación entre... ? En el planteamiento se definen con precisión la población, la característica a estudiar, las variables, etcétera. Se analizan también en este punto los medios de los que se dispone y el procedimiento a seguir. Elaboración de un modelo Se establece un modelo teórico de comportamiento de la variable de estudio. En ocasiones no es posible diseñar el modelo hasta realizar un estudio previo. Los posibles modelos son distribuciones de probabilidad. Extracción de la muestra Se usa alguna técnica de muestreo o un diseño experimental para obtener información de una pequeña parte de la población.
  20. 20. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 20 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 1.3 Organizaciónde Datos Estadísticos. ¿Se han preguntado alguna vez para qué sirven las encuestas que a veces se hacen en la calle?, ¿Cómo saber si una estación de radio es mejor que otra? , ¿Cuál candidato puede ganar? Bueno, en realidad todo comienza con la recaudación de datos. Los datos es información que se recoge, esto puede ser opinión de las personas sobre un tema, edad o sexo de encuestados, dónde viven, cuántas personas viven en una casa, qué tipo de sangre tiene un grupo de personas, etc. Hay tanta información que puede servirle a diferentes profesionales para sacar datos que son útiles en la toma de decisiones, para resolver problemas, o cualquier otro elemento que así lo amerite. Se preguntarán qué hacen estas personas con la información que han recogido. Se te explicará. Una vez que se haya recogido toda la información, se procede a crear una base de datos, donde se registran todos los datos obtenidos. Algunas veces, si los datos son muy complicados, se codifican, esto quiere decir que se le coloca una palabra clave que identifica un título muy largo. Cuando ya está elaborada la base de datos se parece a una tabla. Núm. (número del sujeto) Edad Color (color preferido) Inas (Inasistencia a clase en un mes) Ani (Tipo de animal que tiene en casa) 1 8 azul 3 Perro 2 6 verde 0 Perro 3 7 rojo 7 Gato 4 7 amarillo 4 Perro 5 9 verde 3 ninguno 6 8 azul 1 gato 7 9 rojo 0 pez 8 8 morado 2 perro 9 6 azul 3 pez 10 7 verde 1 ninguno Con esta tabla no se puede hacer mucho, pero es importante para registrar los datos. A partir de esta base de datos se puede hacer una tabla de frecuencias. Para determinar la frecuencia de "algo" o el número de veces que se produce un fenómeno (el fenómeno puede ser "el color preferido de los niños de un salón", "la edad de un grupo de sujetos", "el tipo
  21. 21. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 21 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 de animal que tiene en casa", "la cantidad de inasistencias a clase", o cualquier otro fenómeno). Vemos ahora qué pasa con nuestra base de datos: Con los datos obtenidos elaboramos una serie de tablas. Con los datos de las tablas fabricamos unos gráficos (también llamados figuras) de frecuencia que podrás observar al lado de cada tabla. Pero esto no nos dice nada si no "analizamos" los datos. Analizar significa sacar conclusiones de la información expuesta. Este análisis está debajo de la tabla y el gráfico. Tabla 1. Frecuencia de colores preferidos del grupo estudiado Color Frecuencia Rojo 2 Azul 3 Verde 3 Morado 1 Amarillo 1 Figura 1. Frecuencia de colores preferidos del grupo estudiado. Se puede observar que los colores preferidos de me mayor frecuencia son el Azul y el Verde, cada uno con una frecuencia de 3. Tabla 2. Frecuencia de inasistencia a clase del grupo estudiado
  22. 22. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 22 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Inasistencia por días Frecuencia 0 días 2 1 día 2 2 días 1 3 días 3 4 días 1 5 días 0 6 días 0 7 días 1 Figura 2. Frecuencia de inasistencia a clase del grupo estudiado Se puede observar de la Figura 2, que en la muestra de sujetos estudiados, tres días es la mayor frecuencia de inasistencia.  Ahora, recuerden lo siguiente, los investigadores nunca colocan las tablas y los gráficos juntos, porque en realidad dicen lo mismo, corrientemente se utiliza o una tabla y su análisis, o un gráfico y su análisis. Nota: también que el título de la tabla va encima de ésta, mientras que el título de la figura va por debajo. El título, de ambas, sólo lleva la primera palabra en mayúscula y no va subrayado.  Creemos que ha sido fácil lo que les enseñamos, ahora les toca a ustedes hacer una tabla de frecuencias y su respectiva figura.
  23. 23. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 23 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Tabla 3. Frecuencia del tipo de animal que tiene el grupo estudiado Tipo de animal Frecuencia Ninguno Perro Pez Gato Figura 3. Frecuencia del tipo de animal que tiene el grupo estudiado Vamos a ver, por ejemplo, la edad de los niños y el tipo de animal que tienen en casa, o el tipo de animal que tienen en casa y la edad de los niños. Utilizaremos la misma base de datos de antes. Núm. (número del sujeto) Edad Color (color preferido) Inas (Inasistencia a clase en un mes) Ani (Tipo de animal que tiene en casa) 1 8 azul 3 perro 2 6 verde 0 perro 3 7 rojo 7 gato 4 7 amarillo 4 perro 5 9 verde 3 ninguno 6 8 azul 1 gato 7 9 rojo 0 pez 8 8 morado 2 perro 9 6 azul 3 pez 10 7 verde 1 Ninguno
  24. 24. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 24 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Tabla 4. Frecuencia del tipo de animal que tiene el grupo estudiado según su edad Edad de los niños Tipo de animal que tienen en casa Ninguno Perro Pez Gato 6 años 0 1 1 0 7años 1 1 0 1 8 años 0 2 0 1 9 años 1 0 1 0 Figura 4. Frecuencia del tipo de animal que tiene el grupo estudiado según su edad Tabla 5. Frecuencia del tipo de animal que tiene el grupo estudiado según su edad Tipo de animal que tienen en casa Edad de los niños 6 años 7 años 8 años 9 años Ninguno 0 1 0 1 Perro 1 1 2 0 Pez 1 0 0 1 Gato 0 1 1 0
  25. 25. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 25 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Figura 5. Frecuencia del tipo de animal que tiene el grupo estudiado según su edad. Responde las siguientes preguntas: ¿Cuántos niños de 6 años tienen perros? ¿Cuántos niños de 8 años tienen peces? ¿Cuántos niños de 7 años tienen peces? ¿Cuántos niños de 9 años tienen gatos? ¿Cuántos niños de 8 años tienen perros? Con la elaboración de las tablas y gráficos se facilita obtener información. Podemos hasta decir que la mayoría de los niños de 8 años tienen perros en su casa. Intervalos o clases: Un intervalo o clase está determinado por dos números a y b de manera que todos los mayores o iguales que a y menores que b pertenecen a dicho intervalo. Se simboliza por [a,b), donde a y b son los extremos del intervalo. La frecuencia absoluta de un intervalo o clase es el número de datos que pertenecen al mismo. La marca de clase de un intervalo, ci , es el punto medio del intervalo. Su cálculo nos lo da la expresión: 2 ba ci  
  26. 26. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 26 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Población o Universo Objetivo. Es el conjunto (finito o infinito) de unidades de análisis que conforman a la población que se desea describir simplemente o sobre la cual se desea hacer inferencias y conocer sus parámetros característicos (promedio, totales proporciones, etc.). Población Finita Es el conjunto finito de unidades de análisis donde se puede identificar a un elemento inicial y/o a un elemento final. Por ejemplo, la población de hoteles de Lima Metropolitana, población de agencias de viajes existentes en la ciudad de Cajamarca. Turistas de nacionalidad alemana que ingresaron al Perú en el a o 2000. Población Infinita. Conjunto infinito de elementos donde no se podría identificar a una unidad inicial ni a la unidad final. Ejemplo, la población de los peces del mar, lo árboles de la selva peruana, etc. Muestra Es un subconjunto de unidades de análisis extraída de la población objetivo buscando que las unidades seleccionadas sean representativas con el fin de permitir que a través de la información recabada con la muestra se realicen inferencias para toda la población. Muestra No Probabilística Corresponde a un subconjunto de observaciones elegidas siguiendo aquellos criterios de representatividad que fueran establecidos arbitrariamente por el investigador. Muestra Probabilística Comprende a las observaciones realizadas en unidades que han sido elegidas siguiendo un criterio probabilístico, esto es, a cada unidad de la población se asigna probabilidad conocida (puede ser igual) para estar incluida como parte de la muestra, por tanto, las unidades de la muestra son elegidas de la población respetando estrictamente estas probabilidades que les han sido asignadas. Las muestra probabilísticas permiten aplicar los métodos de la estadística inferencial y construir límites de confianza para las estimaciones de los parámetros que se desean estudiar. La representatividad de éstas muestras se sustenta en el hecho que son las leyes de las probabilidades las que determinan si una unidad será incluida o no en la muestra. Unidad de Análisis Es el elemento que conforma a la población objetivo y de la cual se extrae la información que se desea estudiar. Ejemplo: Se desea estudiar la capacidad hotelera en la
  27. 27. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 27 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 ciudad de Lima y se define la unidad de análisis “hotel”, en cada uno de los hoteles de la ciudad, se solicita la siguiente información: • Número de habitaciones del hotel. • Número de empleados del hotel. • Total de clientes atendidos durante el mes de Julio. • Ingresos totales en el mes de Julio. • Tiene servicio de agencia de viaje (Si=1; No=0) • Tiene servicio de restaurante (Si=1; No=0) Recopilando la información especificada en los N hoteles de la ciudad de Lima se formar1a la base de datos siguiente: Unidad (Hotel) ( i ) Numero habitaciones Xi Numero Empleados Yi Clientes En Julio Zi Ingresos en Julio Vi Agencia Viaje Wi Servicio Restaurante Ri 1 55 12 200 14000 1 1 2 30 8 250 16000 0 1 3 20 6 100 7000 0 0 .... .... N 60 20 309 25000 0 1 Variable Es todo factor o característica que en forma conjunta e integral conforma la información que se solicita a cada unidad de análisis. Cada variable tomará valores diferentes entre las unidades de análisis que se están investigando. Variables Cualitativas Son aquellas variables que expresan categorías o atributos y que por tanto su medida no tiene un carácter numérico, por su naturaleza, estas variables pueden ser: NOMINALES: Sus valores sólo representan un atributo a manera de etiqueta y no contiene información sobre ordenamiento. Ejemplo: Sexo del cliente; Nacionalidad del entrevistado. ORDINALES: Sus valores si representan un ordenamiento del atributo. Ejemplo: Grado de educación del entrevistado, Grado de satisfacción sobre la atención recibida por el cliente…
  28. 28. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 28 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Variables Cuantitativas Comprender aquellos conceptos que sí pueden ser expresados en forma numérica por que corresponde a criterios de cantidad. Éstas son de tipo discreto o de tipo Continuo. Variables Cuantitativas discretas Son variables que toman valores que se expresan en números enteros. Ejemplo: • Número de habitaciones. • Número de empleados. • Total de clientes atendidos durante el mes de Julio. Se aprecia que estas variables no pueden tomar valores fraccionarios. Variables Cuantitativas Continuas Son aquellas variables que sus cantidades se expresan con números reales, es decir, tienen parte fraccionaria. Ejemplo: • Ingresos totales en el mes de Julio. • Costo de servicio diario del hotel • Monto pagado por el servicio de electricidad de un hotel en el mes de Julio Observación Es un valor particular que toma la variable estudiada en la unidad de análisis i-ésima Parámetro: Es el indicador resultante de consolidar toda la información referida a la población que se está estudiando, por tanto corresponde a un resultado de una enumeración completa donde: Xi es el valor de la variable y N es el tamaño de la población Ejemplo: • Número de habitaciones promedio en los hoteles de la ciudad de Lima. • Número de empleados promedio de los hoteles de la ciudad de Lima.
  29. 29. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 29 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 • Promedio de clientes atendidos por los hoteles de Lima durante el mes de Julio. • Ingresos promedio de los hoteles de la ciudad de Lima en el mes de Julio. Estadístico: Es el indicador resultante de consolidar la información obtenida sólo de una muestra representativa de unidades de análisis en la población. Es un valor que estima al parámetro donde: Xi es el valor de la variable y n es el tamaño de la muestra Ejemplo: Se elige una muestra de los hoteles existente en la ciudad de Lima • Número de habitaciones promedio en la muestra de hoteles. • Número de empleados promedio en la muestra de hoteles. • Promedio de clientes atendidos en la muestra de hoteles. • Ingresos promedio de los hoteles elegidos en la muestra. ORGANIZACION Y PRESENTACION DE DATOS: Tablas de Información Estadística Comprende a resúmenes y consolidaciones de informaciones dispersas que se efectúan con fines de realizar una presentación ordenada y clasificada de resultados de modo que se facilite su análisis e interpretación para la toma de decisiones. Las tablas de información resultan de identificar las necesidades de información por tanto es necesario que para su elaboración se consideren las características que puedan cumplir su objetivo final: Informar. La estructura general de una tabla de información estadística es la siguiente: 1. Número de cuadro Es un código de identificación que permite citarlo cuantas veces sea necesario a lo largo de los comentarios de un informe. 2. Título Corresponde a una descripción resumida de la información estadística que contiene, en general debería responder a las clásicas preguntas: QUÉ, DÓNDE, CÓMO Y CUÁNDO • Qué: ¿Qué información contiene el cuadro?
  30. 30. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 30 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 • Dónde: ¿A dónde corresponde la información tabulada? • Cómo: ¿Cómo está arreglada o clasificada la información? • Cuándo: ¿A qué período de tiempo se refiere la información? 3. Encabezamiento Es la descripción resumida sobre contenido de las filas y columnas que contiene el cuadro de información. 4. Cuerpo del cuadro Comprende al contenido numérico de la información del cuadro 5. Notas de pié o llamadas Anote las aclaraciones sobre términos, siglas, abreviaturas usadas. También precisar las unidades de medida y equivalencias que se están utilizando para expresar cantidades. 6. Fuente Se debe anotar el nombre de la institución o de la investigación de donde se han tomado los datos individuales. 7. Elaboración Se anotará el nombre de la unidad responsable de la formulación y presentación del tabulado de información estadística. 8. Fecha Registre la fecha en que se realizó el cuadro para dejar constancia del evento y poder actualizar de ser pertinente Ejemplo: Según información preliminar de la Oficina de Admisión del hotel CONFORT, en el mes de Febrero de 2006 el hotel atendió a los turistas extranjeros siguientes:
  31. 31. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 31 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Turista Nacionalidad Sexo 1 Argentina (*) Masculino 2 Argentina (*) Masculino 3 Argentina Masculino 4 Argentina Femenino 5 Argentina Femenino 6 Argentina Femenino 7 Boliviana Masculino 8 Boliviana Masculino 9 Boliviana Femenino 10 Chilena Masculino 11 Chilena Femenino (*) El cliente no acreditó su nacionalidad Elabore una tabla de resultados que consolide la información dispersa en esta base de datos construida por la Oficina de Admisión del hotel CONFORT NÚMERO Cuadro No 01 TÍTULO ¿Qué? Número de turistas extranjeros que fueron atendidos ¿Dónde? en el hotel CONFORT ¿Cómo? según nacionalidad por sexo (1) ¿Cuándo? ( Periodo: Febrero 2006) Nacionalidad Número de Turistas Extranjeros Sexo Masculino Femenino Numero (fi) % (hi) Numero (fi) % (hi) Numero (fi) % (hi) Argentina (2) 6 54.5 3 50.0 3 60.0 Boliviana 3 27.3 2 33.3 1 20.0 Chilena 2 18.2 1 16.7 1 20.0 Total General 11 100.0 6 100.0 5 100.0 NOTAS DE PIE (1) Cifras preliminares registradas al 01.03.2006 (2) Comprende a ciudadanos con nacionalización no acreditada FUENTE Oficina de Admisión del hotel CONFORT RESPONSABLE Elaborado por: Asesores y Consultores S.A. FECHA 01.03.2006
  32. 32. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 32 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 1.4 Medidas de tendencia central. Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que ésta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición. En este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas. Son estadígrafos de posición que son interpretados como valores que permiten resumir a un conjunto de datos dispersos, podría asumirse que estas medidas equivalen a un centro de gravedad que adoptan un valor representativo para todo un conjunto de datos predeterminados. Estas medidas son: 1. Promedio Aritmético (Media o simplemente promedio) 2. Mediana 3. Moda Otras medidas de posición son: Cuartiles, Deciles y Percentiles La media aritmética: La media aritmética es el valor obtenido por la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. La media resume en un valor las características de una variable teniendo en cuenta todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas. Para Datos No Agrupados. El promedio aritmético de un conjunto de valores ( x1 x2 x3 ..... xn ) es: Ejemplo: Durante los últimos 32 días el valor de las compras en periódicos fue: { 5.2, 10.2, 7.0, 7.1, 10.2, 8.3, 9.4, 9.2, 6.5, 7.1, 6.6, 7.8, 6.8, 7.2, 8.4, 9.6, 8.5, 5.7, 6.4, 10.1, 8.2, 9.0, 7.8, 8.2, 5.3, 6.2, 9.1, 8.6, 7.0, 7.7, 8.3, 7.5 } El promedio aritmético del valor de las compras de periódicos es:
  33. 33. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 33 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Donde: fi = Frecuencia en la clase k-ésima Xi = Marca de clase en la intervalo k-ésimo Ejemplo: Para los gastos diarios en periódicos del hotel agrupados en una tabla de frecuencia: Intervalo Xi fi hi Fi Hi 10 8 5.2 - 6.1 5.65 3 0.094 3 0.094 6 6.1 - 7.0 6.55 5 0.156 8 0.250 4 7.0 - 7.9 7.45 9 0.281 17 0.531 2 7.9 - 8.8 8.35 7 0.219 24 0.750 0 8.8 - 9.7 9.25 5 0.156 29 0.906 6.55 7.4 5 8.3 5 9.25 10.1 55.65 9.7 - 10.6 10.15 3 0.094 32 1.000 TOTAL 32 1.000 7.87 El promedio aritmético es: Durante los 32 días el hotel tuvo un gasto promedio en periódicos de 7.87 soles
  34. 34. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 34 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Las principales propiedades de la media aritmética son:  Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos.  Su valor es único para una serie de datos dada.  Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado acompañarla de una medida de dispersión.  Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor:  Minimiza las desviaciones cuadráticas de los datos respecto de cualquier valor prefijado,   esto es, el valor de es mínimo cuando . Este resultado se conoce como Teorema de König. Esta propiedad permite interpretar uno de los parámetros de dispersión más importantes: la varianza.  Se ve afectada por transformaciones afines (cambios de origen y escala), esto es, si xi' = axi + b entonces , donde es la media aritmética de los xi', para i = 1, ..., n y a y b números reales.  Es poco sensible a fluctuaciones muestrales, por lo que es un parámetro muy útil en inferencia estadística. Inconvenientes de su uso  Este parámetro, aún teniendo múltiples propiedades que aconsejan su uso en situaciones muy diversas, tiene también algunos inconvenientes, como son: Para datos agrupados en intervalos (variables continuas) su valor oscila en función de la cantidad y amplitud de los intervalos que se consideren.  Es una medida a cuyo significado afecta sobremanera la dispersión, de modo que cuanto menos homogéneos sean los datos, menos información proporciona. Dicho de otro modo, poblaciones muy distintas en su composición pueden tener la misma media.[4] Por ejemplo, un equipo de baloncesto con cinco jugadores de igual estatura, 1,95 m, evidentemente, tendría una estatura media de 1,95 m, valor que representa fielmente a esta población homogénea. Sin embargo, un equipo de jugadores de estaturas más heterogéneas, 2,20 m, 2,15 m, 1,95 m, 1,75 m y 1,70 m, por ejemplo, tendría también, como puede comprobarse, una estatura media de 1,95 m, valor que no representa a casi ninguno de sus componentes.  En el cálculo de la media no todos los valores contribuyen de la misma manera. Los
  35. 35. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 35 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 valores altos tienen más peso que los valores cercanos a cero. Por ejemplo, en el cálculo del salario medio de un empresa, el salario de un alto directivo que gane 1.000.000 de € tiene tanto peso como el de diez empleados "normales" que ganen 1.000 €. En otras palabras, se ve muy afectada por valores extremos.  No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos. La mediana Es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de observaciones ordenadas. El 50% de las observaciones son mayores que este valor y el otro 50% son menores. Para Datos No agrupados. Para Datos Agrupados. Donde: Li = Límite Inferior del intervalo que contiene a la Mediana Fi-1 = Frecuencia Acumulada en la clase anterior i-ésima fi = Frecuencia en la clase que contiene a la mediana Hi-1 = Frecuencia Relativa Acumulada en la clase anterior i-ésima hi = Frecuencia Relativa en la clase que contiene a la mediana c =Tamaño del intervalo de clase.
  36. 36. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 36 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Ejemplo: Para los gastos diarios en periódicos del hotel en una tabla de frecuencia: Intervalo Xi fi hi Fi Hi 10 8 5.2 - 6.1 5.65 3 0.094 3 0.094 6 6.1 - 7.0 6.55 5 0.156 8 0.250 4 7.0 - 7.9 7.45 9 0.281 17 0.531 2 7.9 - 8.8 8.35 7 0.219 24 0.750 0 8.8 - 9.7 9.25 5 0.156 29 0.906 6.55 7.45 8.35 9.25 10.1 55.65 9.7 - 10.6 10.15 3 0.094 32 1.000 TOTAL 32 1.000 Me=7.8 El gasto diario en periódicos más frecuente es 7.6 soles Las principales propiedades de la mediana son:  Es menos sensible que la media a oscilaciones de los valores de la variable. Un error de transcripción en la serie del ejemplo anterior en, pongamos por caso, el último número, deja a la mediana inalterada.  Como se ha comentado, puede calcularse para datos agrupados en intervalos, incluso cuando alguno de ellos no está acotado.  No se ve afectada por la dispersión. De hecho, es más representativa que la media aritmética cuando la población es bastante heterogénea. Suele darse esta
  37. 37. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 37 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 circunstancia cuando se resume la información sobre los salarios de un país o una empresa. Hay unos pocos salarios muy altos que elevan la media aritmética haciendo que pierda representatividad respecto al grueso de la población. Sin embargo, alguien con el salario "mediano" sabría que hay tanta gente que gana más dinero que él, como que gana menos. Sus principales inconvenientes son que en el caso de datos agrupados en intervalos, su valor varía en función de la amplitud de estos. Por otra parte, no se presta a cálculos algebraicos tan bien como la media aritmética. La moda Es el valor, clase o categoría que ocurre con mayor frecuencia y sus características son: - Puede no existir o existir más de una moda - Su valor no se ve afectado por los valores extremos en los datos - Se utiliza para analizar tanto la información cualitativa como la cuantitativa - Es una medida “inestable” cuando en número de datos es reducido. · Para Datos No Agrupados. Para Datos Agrupados. Donde: d1=(fi - fi-1) y d1=(fi - i+1) fi=Valor de la mayor frecuencia
  38. 38. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 38 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Ejemplo: El gasto diario en periódicos del hotel “AAA” agrupados en una tabla de frecuencia: Intervalo Xi fi hi Fi Hi 10 8 5.2 - 6.1 5.65 3 0.094 3 0.094 6 6.1 - 7.0 6.55 5 0.156 8 0.250 4 7.0 - 7.9 7.45 9 0.281 17 0.531 2 7.9 - 8.8 8.35 7 0.219 24 0.750 0 8.8 - 9.7 9.25 5 0.156 29 0.906 10.1 5 5.65 6.55 7.45 8.35 9.25 9.7 - 10.6 10.15 3 0.094 32 1.000 TOTAL 32 1.000 Mo=7.6 d1= 9-5 = 4 d2= 9-7 = 2 c= 0.9 = Tamaño de Intervalo de Clase La moda estimada utilizando estos datos agrupados es: Utilizando las frecuencias relativas, la moda estimada es: 7.6 Sus principales propiedades son:  Cálculo sencillo.  Interpretación muy clara.  Al depender sólo de las frecuencias, puede calcularse para variables cualitativas. Es por ello el parámetro más utilizado cuando al resumir una población no es posible realizar otros cálculos, por ejemplo, cuando se enumeran en medios periodísticos las características más frecuentes de determinado sector social. Esto se conoce informalmente como "retrato robot".
  39. 39. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 39 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Inconvenientes  Su valor es independiente de la mayor parte de los datos, lo que la hace muy sensible a variaciones muestrales. Por otra parte, en variables agrupadas en intervalos, su valor depende excesivamente del número de intervalos y de su amplitud.  Usa muy pocas observaciones, de tal modo que grandes variaciones en los datos fuera de la moda, no afectan en modo alguno a su valor.  No siempre se sitúa hacia el centro de la distribución.  Puede haber más de una moda en el caso en que dos o más valores de la variable presenten la misma frecuencia (distribuciones bimodales o multimodales). 1.5 Medidas de dispersión. Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos. Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (Varianza). Rango estadístico El rango o recorrido estadístico es la diferencia entre el valor mínimo y el valor máximo en un grupo de números aleatorios. Se le suele simbolizar con R. Requisitos del rango Ordenamos los números según su tamaño. Restamos el valor mínimo del valor máximo. Ejemplo Para una muestra (8,7,6,9,4,5), el dato menor es 4 y el dato mayor es 9 (Valor unitario inmediatamente posterior al dato mayor menos el dato menor). Sus valores se encuentran en un rango de: Rango = (9-4) =5
  40. 40. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 40 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Varianza La varianza (también denominada variancia, aunque esta denominación es menos utilizada) es una medida estadística que mide la dispersión de los valores respecto a un valor central (media), es decir, la media de las diferencias cuadráticas de las puntuaciones respecto a su media aritmética. Suele ser representada con la letra griega σ o una V en mayúscula. Para datos no agruapados Para datos agrupados Propiedades  La varianza es siempre positiva o 0:  Si a los datos de la distribución les sumamos una cantidad constante la varianza no se modifica. Yi = Xi + k c  Si a los datos de la distribución les multiplicamos una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de esa constante.  Propiedad distributiva: V(X + Y) = V(X) + V(Y)
  41. 41. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 41 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Ejemplos: Datos no agrupados: Para datos agrupados: Desviación típica La varianza a veces no se interpreta claramente, ya que se mide en unidades cuadráticas. Para evitar ese problema se define otra medida de dispersión, que es la desviación típica, o desviación estándar, que se halla como la raíz cuadrada positiva de la varianza. La desviación típica informa sobre la dispersión de los datos respecto al valor de la media; cuanto mayor sea su valor, más dispersos estarán los datos. Esta medida viene representada en la mayoría de los casos por S, dado que es su inicial de su nominación en inglés. Desviación típica muestral === Desviación típica poblacional === anal.x
  42. 42. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 42 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Ejemplo Con Scilab este cálculo se hace de la siguiente manera: QUE -->x= [17 14 2 5 8 7 6 8 5 4 3 15 9] x = 17. 14. 2. 5. 8. 7. 6. 8. 5. 4. 3. 15. 9. -->stdev(x) ans = 4.716311 --> Primero hemos declarado un vector con nombre X, donde introduzco los números de la serie. Luego con el comando stdev se hallará la desviación típica.
  43. 43. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 43 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Unidad 2: Distribuciones muestrales Propósito:  Que el alumno aplique el conocimiento básico para aplicarlo en el estudio de las poblaciones y las muestras.  Identificar dentro de un caso, los datos agrupados y no agrupados para su concentración y estudio Competencia específica: Hacer uso de las herramientas y conceptos indispensables para la representación numérica y gráfica de los datos recopilados y analizados dentro de un entorno. Introducción: En estudios pasados de Estadísticas centramos nuestra atención en técnicas que describen los datos, tales como organizar datos en distribuciones de frecuencias y calcular diferentes promedios y medidas de variabilidad. Estábamos concentrados en describir algo que ya ocurrió. También comenzamos a establecer los fundamentos de la estadística inferencial, con el estudio de los conceptos básicos de la probabilidad, las distribuciones de probabilidad discretas y continuas. Distribuciones que son principalmente generadas para evaluar algo que podría ocurrir. Ahora veremos otro tipo de distribución de probabilidad, que se laman distribuciones muestrales. ¿Por qué muestrear? Muestrear es una forma de evaluar la calidad de un producto, la opinión de los consumidores, la eficacia de un medicamento o de un tratamiento. Muestra es una parte de la población. Población es el total de resultados de un experimento. Hacer una conclusión sobre el grupo entero (población) basados en información estadística obtenida de un pequeño grupo (muestra) es hacer una inferencia estadística. A menudo no es factible estudiar la población entera. Algunas de las razones por lo que es necesario muestrear son: 1. La naturaleza destructiva de algunas pruebas 2. La imposibilidad física de checar todos los elementos de la población. 3. El costo de estudiar a toda la población es muy alto. 4. El resultado de la muestra es muy similar al resultado de la población. 5. El tiempo para contactar a toda la población es inviable. Distribución Muestral de las Medias El ejemplo de los ratings de eficiencia muestra como las medias de muestras de un tamaño específico varían de muestra a muestra. La media de la primera muestra fue 101 y la media de la segunda fue 99.5. En una tercera muestra probablemente resultaría una media
  44. 44. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 44 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 diferente. Si organizamos las medias de todas las posibles muestras de tamaño 2 en una distribución de probabilidad, obtendremos la distribución muestral de las medias. Distribución muestral de las medias. Es una distribución de probabilidad de todas las posibles medias muestrales, de un tamaño de muestra dado, seleccionadas de una población. 2.1 Distribución muestral de medias de varianza desconocida Si recordamos a la distribución normal, esta es una distribución continua, en forma de campana en donde la media, la mediana y la moda tienen un mismo valor y es simétrica. Con esta distribución podíamos calcular la probabilidad de algún evento relacionado con la variable aleatoria, mediante la siguiente fórmula: En donde z es una variable estandarizada con media igual a cero y varianza igual a uno. Con esta fórmula se pueden a hacer los cálculos de probabilidad para cualquier ejercicio, utilizando la tabla de la distribución z. Sabemos que cuando se extraen muestras de tamaño mayor a 30 o bien de cualquier tamaño de una población normal, la distribución muestral de medias tiene un comportamiento aproximadamente normal, por lo que se puede utilizar la formula de la distribución normal con y , entonces la fórmula para calcular la probabilidad del comportamiento del estadístico, en este caso la media de la muestra , quedaría de la siguiente manera: y para poblaciones finitas y muestro con reemplazo: Ejemplo: Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas.
  45. 45. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 45 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Solución: Este valor se busca en la tabla de z La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16 focos sea menor a 775 horas es de 0.0062. Ejemplo: Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine: a. El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros. b. El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros. Solución: Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita y un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección. Se procederá a calcular el denominador de Z para sólo sustituirlo en cada inciso. a.
  46. 46. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 46 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 (0.7607)(200)=152 medias muestrales b. (0.0336)(200)= 7 medias muestrales
  47. 47. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 47 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Con varianza conocida: Suponga que la tabla siguiente muestra la antiguedad en años en el trabajo de tres maestros universitarios de matemáticas: Maestro de matemáticas Antiguedad A 6 B 4 C 2 Suponga además que se seleccionan muestras aleatorias de tamaño 2 sin reemplazo. Calcule la antigüedad media para cada muestra, la media de la distribución muestral y el error estándar, o la desviación estándar de la distribución muestral. Solución: Se pueden tener 3C2 =3 muestras posibles. La tabla lista todas las muestras posibles de tamaño 2, con sus respectivas medias muestrales. Muestras Antigüedad Media Muestral A,B (6,4) 5 A,C (6,2) 4 B,C (4,2) 3 La media poblacional es: La media de la distribución muestral es: La desviación estándar de la población es:
  48. 48. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 48 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 El error estándar o la desviación estándar de la distribución muestral es: Si utilizamos la fórmula del error estándar sin el factor de correción tendriamos que: Por lo que observamos que este valor no es el verdadero. Agregando el factor de corrección obtendremos el valor correcto: El diagrama de flujo resume las decisiones que deben tomarse cuando se calcula el valor del error estándar:
  49. 49. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 49 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 2.2 Teorema del límite central. Un importante resultado en Probabilidades y Estadística es el llamado Teorema del Límite Central que dice que si de una población infinita con media  y varianza  2 se extraen muestras aleatorias de tamaño n, entonces la media muestral se comporta aproximadamente como una variable aleatoria normal con media igual a la media poblacional y con varianza igual a la varianza poblacional dividida por el tamaño de la muestra, siempre que n sea grande. Lo importante de este resultado es que es independiente de la forma de la distribución de la población. Es decir, Cuando n es grande. Estandarizando, esto es equivalente a: Si la población es bastante simétrica entonces, un tamaño de muestra n de aproximadamente 30 es suficiente para una buena aproximación a la normal. Si la población es bastante asimétrica, entonces el tamaño de muestra debe ser mucho más grande. En MINITAB se puede tratar de corroborar el Teorema del Límite Central a través de un proceso de simulación. Ejemplo Considerar una población que consiste de 3, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 15, 20. Primero calculamos la media y desviación estándar de dicha población. Tr Mean StDev SE Mean 9.89 5.42 1.81 Variable Min Max Q1 Q3 C1 3.00 20.00 5.00 13.50 Notar que   9.89 y   5.42. Segundo, extraemos 30 muestras de tamaño 4 de dicha población, ejecutando 4 veces la siguiente secuencia CalcRandom DataSample from columns. Guardar cada una de las 4 observaciones de las muestras en 4 columnas distintas: Obs1, Obs2, Obs3, y Obs4.
  50. 50. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 50 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 2.3 Distribución muestral de proporción. Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la muestra, sino que queremos investigar la proporción de artículos defectuosos o la proporción de alumnos reprobados en la muestra. La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones. Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral de medias, a excepción de que al extraer las muestras de la población se calcula el estadístico proporción (p=x/n en donde "x" es el número de éxitos u observaciones de interés y "n" el tamaño de la muestra) en lugar del estadístico media. Una población binomial está estrechamente relacionada con la distribución muestral de proporciones; una población binomial es una colección de éxitos y fracasos, mientras que una distribución muestral de proporciones contiene las posibilidades o proporciones de todos los números posibles de éxitos en un experimento binomial, y como consecuencia de esta relación, las afirmaciones probabilísticas referentes a la proporción muestral pueden evaluarse usando la aproximación normal a la binomial, siempre que np 5 y n(1-p) 5. Cualquier evento se puede convertir en una proporción si se divide el número obtenido entre el número de intentos. Generación de la Distribución Muestral de Proporciones Suponga que se cuenta con un lote de 12 piezas, el cual tiene 4 artículos defectuosos. Se van a seleccionar 5 artículos al azar de ese lote sin reemplazo. Genere la distribución muestral de proporciones para el número de piezas defectuosas. Como se puede observar en este ejercicio la Proporción de artículos defectuosos de esta población es 4/12=1/3. Por lo que podemos decir que el 33% de las piezas de este lote están defectuosas. El número posible de muestras de tamaño 5 a extraer de una población de 12 elementos es 12C5=792, las cuales se pueden desglosar de la siguiente manera:
  51. 51. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 51 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Artículos Buenos Artículos Malos Proporción de artículos defectuoso Número de maneras en las que se puede obtener la muestra 1 4 4/5=0.8 8C1*4C4=8 2 3 3/5=0.6 8C2*4C3=112 3 2 2/5=0.4 8C3*4C2=336 4 1 1/5=0.2 8C4*4C1=280 5 0 0/5=0 8C5*4C0=56 Total 792 Para calcular la media de la distribución muestral de proporciones se tendría que hacer la sumatoria de la frecuencia por el valor de la proporción muestral y dividirla entre el número total de muestras. Esto es: Como podemos observar la media de la distribución muestral de proporciones es igual a la Proporción de la población. p = P También se puede calcular la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones: La varianza de la distribución binomial es 2= npq, por lo que la varianza de la distribución muestral de proporciones es 2 p =(Pq)/n. Si se sustituten los valores en esta fórmula tenemos que: , este valor no coincide con el de 0.1681, ya que nos falta agregar el factor de corrección para una población finita y un muestreo sin reemplazo:
  52. 52. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 52 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad en una distribución muestral de proporciones está basada en la aproximación de la distribución normal a la binomial . Esta fórmula nos servirá para calcular la probabilidad del comportamiento de la proporción en la muestra. A esta fórmula se le puede agregar el factor de corrección de si se cumple con las condiciones necesarias. Ejemplo: Se ha determinado que 60% de los estudiantes de una universidad grande fuman cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 800 estudiantes. Calcule la probabilidad de que la proporción de la muestra de la gente que fuma cigarrillos sea menor que 0.55. Solución: Este ejercicio se puede solucionar por dos métodos. El primero puede ser con la aproximación de la distribución normal a la binomial y el segundo utilizando la fórmula de la distribución muestral de proporciones.
  53. 53. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 53 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Aproximación de la distribución normal a la binomial: Datos: n=800 estudiantes p=0.60 x= (.55)(800) = 440 estudiantes p(x< 440) = ? Media= np= (800)(0.60)= 480 p(x< 440) = 0.0017. Este valor significa que existe una probabilidad del 0.17% de que al extraer una muestra de 800 estudiantes, menos de 440 fuman cigarrillos. Distribución Muestral de Proporciones Datos: n=800 estudiantes P=0.60 p= 0.55 p(p< 0.55) = ?
  54. 54. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 54 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Observe que este valor es igual al obtenido en el método de la aproximación de la distribución normal a la binomial, por lo que si lo buscamos en la tabla de "z" nos da la misma probabilidad de 0.0017. También se debe de tomar en cuenta que el factor de corrección de 0.5 se esta dividiendo entre el tamaño de la muestra, ya que estamos hablando de una proporción. La interpretación en esta solución, estaría enfocada a la proporción de la muestra, por lo que diríamos que la probabilidad de que al extraer una muestra de 800 estudiantes de esa universidad, la proporción de estudiantes que fuman cigarrillos sea menor al 55% es del 0.17%. Ejemplo: Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos usuarios pueden presentar una reacción adversa a él, más aún, se piensa que alrededor del 3% de los usuarios tienen tal reacción. Si una muestra aleatoria de 150 personas con malestar estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad de que la proporción de la muestra de los usuarios que realmente presentan una reacción adversa, exceda el 4%. a. Resolverlo mediante la aproximación de la normal a la binomial b. Resolverlo con la distribución muestral de proporciones a. Aproximación de la distribución normal a la binomial: Datos: n=150 personas p=0.03 x= (0.04)(150) = 6 personas
  55. 55. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 55 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 p(x>6) = ? Media = np= (150)(0.03)= 4.5 p(x>6) = 0.1685. Este valor significa que existe una probabilidad del 17% de que al extraer una muestra de 150 personas, mas de 6 presentarán una reacción adversa. b. Distribución Muestral de Proporciones Datos: n=150 personas P=0.03 p= 0.04 p(p>0.04) = ?
  56. 56. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 56 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Observe que este valor es igual al obtenido y la interpretación es: existe una probabilidad del 17% de que al tomar una muestra de 150 personas se tenga una proporción mayor de 0.04 presentando una reacción adversa. Ejemplo: Se sabe que la verdadera proporción de los componentes defectuosos fabricados por una firma es de 4%, y encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 60 tenga: a. Menos del 3% de los componentes defectuosos. b. Más del 1% pero menos del 5% de partes defectuosas. Solución: a. Datos: n= 60 artículos P=0.04 p= 0.03 p(p<0.03) = ?
  57. 57. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 57 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 La probabilidad de que en una muestra de 60 artículos exista una proporción menor de 0.03 artículos defectuosos es de 0.2327. b. Datos: n= 60 artículos P=0.04 p= 0.01 y 0.05 p(0.01<p<0.05) = ? 2.3 Distribución muestral diferencia de medias y de proporciones. Distribución Muestral de Diferencia de Medias Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media 1 y desviación estándar 1, y la segunda con media 2 y desviación estándar 2. Más aún, se elige una muestra aleatoria de tamaño n1 de la primera población y una muestra independiente aleatoria de tamaño n2 de la segunda población; se calcula la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas medias. La colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las diferencias entre medias o la distribución muestral del estadístico
  58. 58. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 58 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 La distribución es aproximadamente normal para n1 30 y n2 30. Si las poblaciones son normales, entonces la distribución muestral de medias es normal sin importar los tamaños de las muestras. En ejercicios anteriores se había demostrado que y que , por lo que no es difícil deducir que y que . La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad del estadístico de diferencia de medias es: Ejemplo: En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si representa el promedio de los pesos de 20 niños y es el promedio de los pesos de una muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas.
  59. 59. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 59 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Solución: Datos: 1 = 100 libras 2 = 85 libras 1 = 14.142 libras 2 = 12.247 libras n1 = 20 niños n2 = 25 niñas = ? Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de niños sea al menos 20 libras más grande que el de la muestra de las niñas es 0.1056. Ejemplo: Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos compañías. Los tubos de la compañía A tienen una vida media de 7.2 años con una desviación estándar de 0.8 años, mientras que los de la B tienen una vida media de 6.7 años con una desviación estándar de 0.7. Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 tubos de la compañía A tenga una vida promedio de al menos un año más que la de una muestra aleatoria de 40 tubos de la compañía B. Solución:
  60. 60. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 60 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Datos: A = 7.2 años B = 6.7 años A = 0.8 años B = 0.7 años nA = 34 tubos nB = 40 tubos = ? Ejemplo: Se prueba el rendimiento en km/L de 2 tipos de gasolina, encontrándose una desviación estándar de 1.23km/L para la primera gasolina y una desviación estándar de 1.37km/L para la segunda gasolina; se prueba la primera gasolina en 35 autos y la segunda en 42 autos. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento promedio mayor de 0.45km/L que la segunda gasolina? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre 0.65 y 0.83km/L a favor de la gasolina 1?. Solución:
  61. 61. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 61 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 En este ejercicio no se cuenta con los parámetros de las medias en ninguna de las dos poblaciones, por lo que se supondrán que son iguales. Datos: 1 = 1.23 Km/Lto 2 = 1.37 Km/Lto n1 = 35 autos n2 = 42 autos a. = ? b. ?
  62. 62. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 62 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 La probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio en las muestras se encuentre entre 0.65 y 0.83 Km/Lto a favor de la gasolina 1 es de 0.0117. Distribución Muestral de Diferencia de Proporciones Muchas aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos que deben compararse utilizando proporciones o porcentajes. A continuación se citan algunos ejemplos:  Educación.- ¿Es mayor la proporción de los estudiantes que aprueban matemáticas que las de los que aprueban inglés?  Medicina.- ¿Es menor el porcentaje de los usuarios del medicamento A que presentan una reacción adversa que el de los usuarios del fármaco B que también presentan una reacción de ese tipo?  Administración.- ¿Hay diferencia entre los porcentajes de hombres y mujeres en posiciones gerenciales.  Ingeniería.- ¿Existe diferencia entre la proporción de artículos defectuosos que genera la máquina A a los que genera la máquina B? Cuando el muestreo procede de dos poblaciones binomiales y se trabaja con dos proporciones muestrales, la distribución muestral de diferencia de proporciones es aproximadamente normal para tamaños de muestra grande (n1p1 5, n1q1 5,n2p2 5 y n2q2 5). Entonces p1 y p2 tienen distribuciones muestrales aproximadamente normales, así que su diferencia p1-p2 también tiene una distribución muestral aproximadamente normal.
  63. 63. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 63 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Cuando se estudió a la distribución muestral de proporciones se comprobó que y que , por lo que no es difícil deducir que y que . La fórmula que se utilizará para el calculo de probabilidad del estadístico de diferencia de proporciones es: Ejemplo: Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. Se cree que el 12% de los hombres adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que sólo 10% de las mujeres adultas lo están. Si se pregunta a dos muestras aleatorias de 100 hombres y 100 mujeres su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte, determine la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor sea al menos 3% mayor que el de las mujeres. Solución: Datos: PH = 0.12 PM = 0.10 nH = 100 nM = 100 p(pH-pM 0.03) = ? Se recuerda que se está incluyendo el factor de corrección de 0.5 por ser una distribución binomial y se está utilizando la distribución normal.
  64. 64. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 64 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Se concluye que la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor de la pena de muerte, al menos 3% mayor que el de mujeres es de 0.4562. Ejemplo: Una encuesta del Boston College constó de 320 trabajadores de Michigan que fueron despedidos entre 1979 y 1984, encontró que 20% habían estado sin trabajo durante por lo menos dos años. Supóngase que tuviera que seleccionar otra muestra aleatoria de 320 trabajadores de entre todos los empleados despedidos entre 1979 y 1984. ¿Cuál sería la probabilidad de que su porcentaje muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Boston College, en 5% o más? Solución: En este ejercicio se cuenta únicamente con una población, de la cual se están extrayendo dos muestras y se quiere saber la probabilidad de la diferencia de los porcentajes en esas dos muestras, por lo que se debe de utilizar la distribución muestral de proporciones con P1= P2, ya que es una misma población. Otra de las situaciones con la cual nos topamos es que desconocemos la proporción de trabajadores despedidos entre 1979 y 1984 que estuvieron desempleados por un período de por lo menos dos años, sólo se conoce la p1= 0.20 ya que al tomar una muestra de 320 trabajadores se observó esa proporción. En la fórmula de la distribución muestral de proporciones para el cálculo de probabilidad se necesita saber las proporciones de las poblaciones, las cuales en este ejercicio las desconocemos, por lo que se utilizará el valor de 0.20 como una estimación puntual de P. En el siguiente tema se abordará el tema de estimación estadística y se comprenderá el porque estamos utilizando de esa manera el dato.
  65. 65. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 65 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 También debe de comprenderse la pregunta que nos hace este problema, ¿cuál sería la probabilidad de que su porcentaje muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Boston College, en 5% o más?, la palabra difiera quiere decir que puede existir una diferencia a favor de la muestra uno, o a favor de la muestra dos, por lo que se tendrán que calcular dos áreas en la distribución y al final sumarlas. Datos: p1 = 0.20 n1 = 320 trabajadores n2 = 320 trabajadores P1 = P2 La probabilidad de que su proporcion muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Boston College, en 0.05 o más es de 0.1260.
  66. 66. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 66 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Ejemplo: Se sabe que 3 de cada 6 productos fabricados por la máquina 1 son defectuosos y que 2 de cada 5 objetos fabricados por la máquina 2 son defectuosos; se toman muestras de 120 objetos de cada máquina: a. ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina 2 rebase a la máquina 1 en por lo menos 0.10? b. ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina 1 rebase a la máquina 2 en por lo menos 0.15? Solución: Datos: P1 = 3/6 = 0.5 P2 = 2/5 = 0.4 n1 = 120 objetos n2 = 120 objetos a. p(p2-p1 0.10) = ? Otra manera de hacer este ejercicio es poner P1-P2:
  67. 67. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 67 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 La probabilidad de que exista una diferencia de proporciones de artículos defectuosos de por lo menos 10% a favor de la máquina 2 es de 0.0011. b. p(p1-p2 0.15)=? La probabilidad de que exista una diferencia de proporciones de artículos defectuosos de por lo menos 15% a favor de la máquina 1 es de 0.2357.
  68. 68. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 68 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 2.5 Distribución Muestral Diferencia Medias. Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media 1 y desviación estándar 1, y la segunda con media 2 y desviación estándar 2. Más aún, se elige una muestra aleatoria de tamaño n1 de la primera población y una muestra independiente aleatoria de tamaño n2 de la segunda población; se calcula la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas medias. La colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las diferencias entre medias o la distribución muestral del estadístico La distribución es aproximadamente normal para n1 30 y n2 30. Si las poblaciones son normales, entonces la distribución muestral de medias es normal sin importar los tamaños de las muestras. En ejercicios anteriores se había demostrado que y que , por lo que no es difícil deducir que y que . La fórmula que se utilizará para el calculo de probabilidad del estadístico de diferencia de medias es:
  69. 69. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 69 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Ejemplo: En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si representa el promedio de los pesos de 20 niños y es el promedio de los pesos de una muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas. Solución: Datos: 1 = 100 libras 2 = 85 libras 1 = 14.142 libras 2 = 12.247 libras n1 = 20 niños n2 = 25 niñas = ? Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de niños sea al menos 20 libras más grande que el de la muestra de las niñas es 0.1056.
  70. 70. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 70 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Ejemplo: Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos compañías. Los tubos de la compañía A tienen una vida media de 7.2 años con una desviación estándar de 0.8 años, mientras que los de la B tienen una vida media de 6.7 años con una desviación estándar de 0.7. Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 tubos de la compañía A tenga una vida promedio de al menos un año más que la de una muestra aleatoria de 40 tubos de la compañía B. Solución: Datos: A = 7.2 años B = 6.7 años A = 0.8 años B = 0.7 años nA = 34 tubos nB = 40 tubos = ?
  71. 71. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 71 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Ejemplo: Se prueba el rendimiento en km/L de 2 tipos de gasolina, encontrándose una desviación estándar de 1.23km/L para la primera gasolina y una desviación estándar de 1.37km/L para la segunda gasolina; se prueba la primera gasolina en 35 autos y la segunda en 42 autos. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento promedio mayor de 0.45km/L que la segunda gasolina? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre 0.65 y 0.83km/L a favor de la gasolina 1?. Solución: En este ejercicio no se cuenta con los parámetros de las medias en ninguna de las dos poblaciones, por lo que se supondrán que son iguales. Datos: 1 = 1.23 Km/Lto 2 = 1.37 Km/Lto n1 = 35 autos n2 = 42 autos a. = ?
  72. 72. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 72 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 b. ? La probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio en las muestras se encuentre entre 0.65 y 0.83 Km/Lto a favor de la gasolina 1 es de 0.0117. 2.6 Distribución Muestral de la Varianza. A veces lo que nos interesa es estudiar la variabilidad de las medidas. La variabilidad se suele medir con la varianza o con la desviación típica y el estadístico empleado es la varianza muestral:     n i i n xx S 1 2 2 1 )( Para poder trabajar con ella necesitamos conocer la función de distribución asociada, para esto estudiaremos la distribución chi cuadrado.
  73. 73. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 73 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Se dice que una variable aleatoria X sigue una distribución ji cuadrado con k grados de libertad, cuando su función de densidad está dada por la fórmula: Dado lo complicado de la expresión utilizaremos una tabla para conocer los valores que nos interesen. Propiedades de esta distribución: 1. Si X es una variable con distribución ji cuadrado con k grados de libertad, su media es k y su varianza 2k. 2. Una variable ji cuadrado no toma valores negativos. 3. Su gráfica es de las de tipo de curvas sesgadas a la derecha. 4. A medida que aumentan los grados de libertad la curva se va haciendo más simétrica y su cola derecha se va extendiendo. 5. Por cada valor de k hay una distribución distinta. 6. k es el único parámetro asociado a la distribución.        casootrocualquieren sixex kxf xk x 0 0)2/1( )2/( 1 )( )2/1(12/
  74. 74. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 74 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010
  75. 75. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 75 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010
  76. 76. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 76 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010
  77. 77. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 77 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 2.7 Distribución Muestral Razónde Varianzas
  78. 78. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 78 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 Unidad 3: Teoría de la estimación Propósito:  Aprender cómo acoplar los elementos de una población o una muestra  Inferir en los parámetros de un problema  Conocer los métodos y formas de presentar dicha información Competencia específica: Hacer uso de las herramientas y conceptos indispensables para la representación numérica y gráfica de los datos recopilados y analizados dentro de un entorno. Introducción: En todo este tema vamos a suponer que estamos estudiando una población cuya distribución es conocida excepto en un parámetro (,  , ,. ..) al que llamaremos . A la distribución de la población la denotaremos por f(x). Diremos que nos encontramos ante un problema de estimación cuando, dada una población con una distribución f(x) donde  es un parámetro desconocido, aventuremos o infiramos en base a los datos muestrales X , X ,..., X el valor de  . Si al inferir el parámetro damos un único valor estaremos ante un problema de estimación puntual. Estimador puntual  $ , ,..., X X Xn1 2 : será una función de la muestra aleatoria (un estadístico) que utilizaremos para estimar el valor del parámetro. Estimación $ : valor obtenido del estimador al sustituir por los valores de una muestra completa. Cuando no haya lugar para la confusión designaremos al estimador simplemente por $ . Un estimador es, por tanto, un estadístico y, por ello, es una v.a. con una determinada distribución de probabilidad llamada distribución muestral. Dado un parámetro, podríamos utilizar distintos estimadores puntuales para estimarlo. Por ejemplo, para estimar la varianza de la población podemos utilizar la varianza muestral o la cuasi-varianza muestral. ¿Cuál es mejor? Veamos a continuación como comprobar si un estadístico es un buen estimador de un parámetro. Para ello le exigiremos una serie de propiedades. Como el estadístico es una variable aleatoria, las propiedades se las tenemos que exigir a su distribución de probabilidad.
  79. 79. E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 79 Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre del 2010 3.1 Estimacióny Propiedades Estimadores. Insesgado.- Se dice que un estimador puntual es un estimador insesgado de si , para todo valor posible de . En otras palabras, un estimador insesgado es aquel para el cual la media de la distribución muestral es el parámetro estimado. Si se usa la media muestral para estimar la media poblacional , se sabe que la , por lo tanto la media es un estimador insesgado. Eficiente o con varianza mínima.- Suponga que 1 y 2 son dos estimadores insesgados de . Entonces, aun cuando la distribución de cada estimador esté centrada en el valor verdadero de , las dispersiones de las distribuciones alrededor del valor verdadero pueden ser diferentes. Entre todos los estimadores de que son insesgados, seleccione al que tenga varianza mínima. El resultante recibe el nombre de estimador insesgado con varianza mínima (MVUE, minimum variance unbiased estimator) de . En otras palabras, la eficiencia se refiere al tamaño de error estándar de la estadística. Si comparamos dos estadísticas de una muestra del mismo tamaño y tratamos de decidir cual de ellas es un estimador mas eficiente, escogeríamos la estadística que tuviera el menor error estándar, o la menor desviación estándar de la distribución de muestreo. Tiene sentido pensar que un estimador con un error estándar menor tendrá una mayor oportunidad de producir una estimación mas cercana al parámetro de población que se esta considerando. Como se puede observar las dos distribuciones tienen un mismo valor en el parámetro sólo que la distribución muestral de medias tiene una menor varianza, por lo que la media se convierte en un estimador eficiente e insesgado.

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