1. LÍMITE DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Antes de analizar este tipo de límites recordemos algunos conceptos
básicos de la trigonometría y de lo relacionados con esos conceptos,
luego estudiaremos los límites de las funciones seno y coseno cuando
el ángulo tiende a cero, y algunos límites especiales que no pueden
resolverse por los procedimientos ya estudiados.
La medida en radianes de un
ángulo , está definida por
, donde es la longitud
del arco interceptado por el
ángulo sobre una
circunferencia de radio , cuyo
centro coincide con el vértice
del ángulo según podemos
recordar en la figura 1.
Figura 1
En la figura 2 consideremos
ahora un círculo de radio uno
y un ángulo agudo cuya
medida en radianes es .
Como se tiene entonces
que
El triángulo rectángulo
tiene como catetos a y a
, en la circunferencia de
radio 1 se obtiene que:
Podemos decir que la medida
de los catetos es:
Figura 2
Si empleamos el teorema de
Pitágoras se obtiene:
La longitud del arco entre los puntos P y A es mayor que el segmento
que une los mismos puntos o que es mayor que el ángulo , podemos
escribir como:
Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA Página 1

2. Recordando las propiedades básicas de la suma podemos expresar
que si los dos miembros de la desigualdad anterior son sumandos
positivos, cada uno de ellos es
De la definición formal de límite: si tomamos un épsilon como un
número positivo, y asumimos que delta y épsilon son iguales de tal
forma que el valor absoluto del seno del ángulo Alfa es menor que el
propio Alfa y este menor que épsilon y de igual manera se plantea
para el otro cateto tenemos:
Siempre que:
siempre que por lo que
siempre que por lo que
Limites de las funciones trigonométricas
Teorema: Si c es un número real en el dominio de la función
trigonométrica indicada, se cumple:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
Cuando calculamos límites trigonométricos es necesario recordar las
siguientes identidades básicas:
1.
3.
2.
5.
4.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA Página 2

3. Veamos ahora dos límites que podemos llamar especiales y que son
de gran utilidad al evaluar límites trigonométricos:
1. Límite especial 1.
Si medimos el ángulo en radianes y sabiendo que nuestro
denominador no puede ser cero, realicemos una tabla de valores con
valores próximos a cero tanto por la izquierda como por la derecha:
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.01 0.01 0.1 0.2 0.3 0.4
0.973 0.985 0.993 0.998 0.999 0.999 0.998 0.993 0.985 0.973
Podemos deducir entonces que:
Ejemplo 1: Hallar el valor de
Solución. En esta función debemos aplicar la propiedad fundamental
de los racionales que me permite hallar racionales equivalentes:
Multipliquemos numerador y denominador por 3:
2. Para nuestro segundo límite especial:
Recordando que el coseno de cero grados vale 1, obtendríamos una
indeterminación 0/0, destruimos ésta multiplicando por su conjugada:
De la identidad Nº 1
*
Podemos concluir:
Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA Página 3

4. Ejemplo 2. Hallar el valor de:
Solución. (Apliquemos la propiedad del ejemplo anterior):
Veamos otros ejemplos donde podamos aplicar todo lo estudiado acerca de
los límites:
Ejemplo 3. Determinar el valor de:
Solución.
Multipliquemos el primer límite por (-1) para convertirlo en el primer
límite especial que estudiamos:
Ejemplo 4. Determinar el valor de:
Solución.
Por identidad Nº2
Común denominador
Factorizando
Multiplicando por la
conjugada
Por identidad Nº 1
Distribuyendo
Reescribiendo
Evaluando
Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA Página 4

5. Ejemplo 5. Determinar el valor de:
Solución.
Recordemos que el coseno de 60º es , entonces tendríamos una
indeterminación 0/0, puesto que cuando .
Por otro lado, cuando .
Identidad 7
Entonces
Racionalizar
Reescribiendo
Evaluando
EJERCICIOS.
Para algunos de los ejercicios aquí propuestos debe tenerse en cuenta
las identidades relacionadas en la página 2.
Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA Página 5

6. 1. 3.
2.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20. 21.
22. 23. 24.
25. 26. 27.
28. 29.
30.
Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA Página 6