Guía de estudio cálculo 1

1. UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
PLANTEL NAUCALPAN
ÁREA DE MATEMÁTICAS
TURNO MATUTINO
GUÍA DE ESTUDIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
ENERO DEL 2010 ELABORARON:
Pedro Clavijo Valdez
Florencio Vera Butanda

2. 2
INTRODUCCIÓN
Esta colección de ejemplos y ejercicios pretende servir como una guía para presentar el examen
extraordinario de Cálculo Diferencial e Integral I correspondiente al Área de Matemáticas, Turno
Matutino. Los autores esperan que te sea útil, esto será en la medida que la leas y trates de
entender lo que hay en ella y resolviendo los ejercicios planteados, recuerda solo es una guía,
trata de complementarla con lo visto durante tu curso y con la bibliografía que se te proporciona,
también aprovecha la inmensa variedad de recursos que la era moderna nos ha puesto en bandeja
los programas que se te proporcionan en la bibliografía son una excelente muestra de ello. Es
recomendable que inicies tu estudio leyendo los ejercicios resueltos y la pequeña parte de teoría
que la guía contiene, después trata de resolver los ejercicios que leíste sin verlos para que
adquieras confianza, compara tus respuestas y autoevalúate, no importa que te equivoques, es
normal todos lo hacemos pero trata de hacerlo lo menos posible esto último significa que
entiendes lo que estás haciendo y que estás en el camino correcto. Finalmente trata de resolver la
totalidad de los ejercicios y cuando tengas duda en cómo resolver alguno pide una sugerencia y
solo eso a alguien.
Como te lo mencionamos trata de sacar provecho de la tecnología, pero úsala como herramienta,
no abuses.
Nos sería grato escuchar tus críticas sobre las dificultades que tuviste al trabajar con ella, los
errores (que seguramente abundan) con el fin de mejorarla para tu beneficio.
Está basada en el Programa Oficial formulado por el CCH, el cual a manera de resumen
presentamos a continuación:
Unidad 1
 Proponer situaciones que den lugar a procesos infinitos.
 Utilizar Procedimientos aritméticos para resolver problemas que involucran
Procesos infinitos.
 Acercar al concepto de límite de una función.
 Cálculo de límites de funciones.
Unidad 2
 Situaciones que se modelan con funciones polinomiales de grado 1,2 y 3.
 Comparación de la razón de los cambios en intervalos del mismo tamaño, cambios de los
cambios.
 Razón de cambio, medición de la variación.
 Concepto y notación de derivada. Representación algebraica.
Unidad 3
 Derivada de funciones del tipo ( ) n
f x cx
 .
 Reglas de derivación.
 Problemas de aplicación. Cálculo de tangentes y velocidades.
Unidad 4
 Comportamiento gráfico de una función. Máximos y Mínimos relativos criterio de la
primera y segunda derivada, puntos de inflexión.
 Problemas de optimización.
BIBLIOGRAFÍA
-Cálculo de una Variable, trascendentes Tempranas.J.Stewart.Thomson Learning.
-Cálculo Aplicado. Warner Stefan y Costenoble S. Thomson Learning.
-Software de uso libre para uso de este curso:
Geogebra en www.geogebra.org, Winplot, Graphmatica.

3. 3
UNIDAD 1
PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA
FUNCIÓN.
 Situaciones que dan lugar a procesos infinitos
PROBLEMA 1
Considera un cuadrado de lado 1,construye otro cuadrado interior uniendo los puntos
medios de los lados del cuadrado de lado 1,construye otro cuadrado interior uniendo los
puntos medios del último cuadrado, continuando este proceso, calcula la suma de las
áreas de todos los cuadrados .
Solución
Es útil hacer un esquema parcial del problema a resolver:
Observemos que el área del cuadrado inicial es 2
1 1 1
A l
  .
La del segundo cuadrado de lado 2
l es, usando el Teorema de Pitágoras:
2 2 2 2 2
2 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 4 2 2
l l l l l A
A l
 
     
      
 
     
       
Para el tercer cuadrado tenemos, usando el mismo argumento:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
3 3 2 2
2 2 2 4 2 2
l l l l l A
A l
 
     
      
 
     
       
Es claro que 3
4
2
A
A  y que 1
2
n
n
A
A 
 para 2
n  .
NOTA
Si tenemos la suma infinita 2 3
... ...
n
a ar ar ar ar
      donde
2
1
...
n
n
ar ar ar
r
a ar ar 
    y 1 1
r
   2 3
... ...
1
n a
a ar ar ar ar
r
      

entonces
Así en forma más clara el área del cuadrado siguiente es la mitad del inmediatamente
anterior, esto da lugar a la generación de la serie geométrica infinita:
  1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 ... ... 2
1
2 2 2 2 4 2 2 1
2
n
     
       
     
      
Así el área total de los cuadrados construidos en el proceso infinito descrito al inicio es
igual a 2.

4. 4
Ejercicio 1
Repite el problema del ejemplo 1 con un cuadrado de lado 16.
PROBLEMA 2 ¿A qué hora entre las 4 y las 5 coinciden las agujas del reloj?
Solución
Puesto que la aguja de las horas (horario) se mueve doce veces más lentamente que la
aguja de los minutos (minutero).A las 4, el minutero señala el 12 y el horario el 4.Cuando
el minutero señala el 4, la aguja de las horas está en
1
4
3
 .Cuando el minutero llega a
1
4
3
 , el horario está en
1 1
4
3 3 12
 

Cuando el minutero llega a
1 1
4
3 3 12
 

El horario marca
2
1 1 1
4
3 3 12 3 12
  
 
Así que cuando el minutero está en
2 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1
4 ... 4 1 ...
3 3 12 3 12 3 12 3 12 12 12
n n
 
 
          
 
    
El horario está en
1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 ... 4 1 ...
3 3 12 3 12 3 12 3 12 12 12 12
n n n n
 
 
           
 
    
Las dos agujas coinciden cuando apuntan hacia el valor límite
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1
4 ... ... 4 1 ... ...
3 3 12 3 12 3 12 3 12 12 12
1 1 4
4 4
1
3 11
1
12
n n n

 
            
 
    
 
 
   
 
 

 
Esto es las agujas coinciden aproximadamente a las 4 con 21 minutos y 49 segundos.

5. 5
PROBLEMA 3
Expresa el decimal periódico 0.73 como una suma infinita y calcula su valor.
Solución
Debido a nuestro sistema de numeración posicional de base 10 tenemos:
7 3 3 3 3 3
0.73 0.7333... ... ...
10 100 1,000 10,000 100,000 10n
        
Observa que se tiene una serie geométrica infinita a partir del segundo término, así de la
anotación hecha en el recuadro calculamos la suma ya que
3
100
a  y
1
3
1
10
3 10
10
n
n
r

  
  
     
3 3
7 3 3 3 3 3 7 7
100 100
0.73 0.7333... ... ...
1 9
10 100 1,000 10,000 100,000 10 10 10
1
10 10
3 10
7 7 1 7 1 22 11 11
0.73
10 9 100 10 3 10 10 30 30 15 15
n
             

        
Ejercicio 2
Expresa como una suma infinita y calcula su valor, del decimal periódico 0.7 .
PROBLEMA 4
Considera un cuadrado de lado 1 divídelo en cuatro partes iguales sombrea una, las otras
dos en blanco y la cuarta divídela en cuatro partes iguales, sombrea una, las otras dos en
blanco y la otra aplícale el proceso descrito anteriormente, suponiendo que haces esto
infinitas veces, calcula el área del cuadrado sombreada.
Solución
Una figura nos puede ser útil en la resolución del ejercicio:
Observa que el área sombreada es inicialmente
1
4
del área del total, la segunda región
sombreada es
1 1
4 4
 
 
 
del total, la tercera
1 1 1
4 4 4
 
 
 
 
 
 
del total y así sucesivamente,
inducimos que el área sombreada total está dada por:
2 3
1 1 1 1
... ...
4 4 4 4n
    

6. 6
De acuerdo a la anotación hecha anteriormente se tiene que:
1 1
1
1
1
1 4 4 4 1
4 4
1
4 4 4 4
4
n n
n
n n
n
a r
 


      con esto calculamos él área sombreada:
2 3
1 1
1 1 1 1 1
4 4
... ...
1 3
4 4 4 4 3
1
4 4
n
       

Así que el área sombreada es una tercera parte del área del cuadrado.
PROBLEMA 5
Solución
Mediante un registro tabular y gráfico determina el comportamiento de la función
2
4
( )
2
x
f x
x



en valores de x cercanos a 2.
x 1.88 1.93 1.99 2 2.03 2.01 2.04
2
4
( )
2
x
f x
x



(1.88)
3.88
f

(1.93)
3.93
f  (1.99)
3.99
f 
4
(2.03)
4.03
f  (2.01)
4.01
f   
2.04
4.04
f 
Del registro tabular concluimos que las imágenes de la función toman valores MUY CERCA
DE 4 CUANDO x está cerca de 2 .La siguiente gráfica confirma lo hecho en el registro
tabular.

7. 7
Ejercicio 3
Mediante un registro tabular y gráfico describe el comportamiento de
2
1
( )
1
x
f x
x



en
valores de x cercanos a 1.
 Cálculo e interpretación del concepto de límite de una función
La simbología matemática  
lim
x c
f x l

 nos describe un proceso de aproximación infinito
mediante el cual x se acerca tanto como se desee al valor de c y con esto describir el
comportamiento de las respectivas ( )´
f x s si el acercamiento de estas es a un número
común l decimos que este es el límite de la función, si no, se dice que  
lim
x c
f x

no
existe. RECUERDA NI x TOMA EL VALOR DE c NI ( )
f x TOMA EL VALOR DE l .
Una parte importante de este tema es el cálculo de límites de los llamados
indeterminados, en términos más nuestros, aquellos en los que al sustituir el valor en
donde se desea calcular el límite de la función se obtiene la forma
0
0
.
Para esto, será útil recordar las siguientes factorizaciones:
a) Factor común
Por ejemplo
i.  
2
1
x x xx x x x
    
ii.    
4 20 4 4 5 4 5
x x x
    
b)   
2 2
x a x a x a
   
c)   
2
donde , .
x ax b x c x d c d a cd b
       
d)   
3 3 2 2
x a x a x ax a
    
e)   
3 3 2 2
x a x a x ax a
    
PROBLEMA 6 Calcula los siguientes límites:
a) 2
3
3
9
x
x
lím
x



Primero observa que
  
2
3 3 1
( )
9 3 3 3
x x
f x
x x x x
 
  
   
para cualquier valor de x
distinto de 3
x   .Por lo tanto
2
3
3
9
x
x
lím
x



=
  
3 3
3 1 1 1
3 3 3 3 3 6
x x
x
lím lím
x x x
 

  
     
Así si 3
x   nos lleva a
1
( )
6
f x   .
b)
    
 
2 2
2
5 5 5 5
3 3 3 3
3 5 3 5 3 5
9 25 5
3 5 3 5 10
3 5 3 5 3 5 3
x x x x
x x x
x
lím lím lím lím x
x x x
   
  
  
      
 
    

8. 8
c)
2
2
1
2
6 5
x
x x
lím
x x

 
 
Primero observa que
  
  
2
2
2 1
2 2
( )
6 5 5 1 5
x x
x x x
f x
x x x x x
 
  
  
    
para x distintos de 1
Así
2
2
1
2
6 5
x
x x
lím
x x

 
 
=
  
  
1 1
2 1 2 3
5 1 5 4
x x
x x x
lím lím
x x x
 
  
   
  
d)
 
2
3 3 3
3 ( 3) 3
1
3 9 3 3 3 3
x x x
x x x x x
lím lím lím
x x
  
 
   
 
e)
    
3 2
3
3 2
4 4 4 4
4 4 16
4
64 4 16 48
24
2 8 2( 4) 2( 4) 2 2
x x x x
x x x
x
x x x
lím lím lím lím
x x x
   
  

  
    
  
f)
3
2
1
3
27 1
9 1
x
x
lím
x
 


Usamos la fórmula   
3 3 2 2
x a x a x ax a
     para factorizar 3
27 1
x  nota qué
     
 
3 2
3 3
27 1 3 1 3 1 3 3 1
x x x x x
       y para el denominador usamos 2 2
x a
 :
 
  
   
 
  
 
2 2
3 2
3 2
3
2
1 1 1 1
3 3 3 3
3 1 3 3 1
3 1 3 3 1
27 1
9 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
x x x x
x x x
x x x
x
lím lím lím lím
x x x x x x
       
  
  

  
     
2
1 1
3 3 1
3 3 1 1 1 3
1 2 2
3 1
3
 
   
   
   
   
   
 
   

 
 
 
 
g) En este ejemplo usaremos una técnica algebraica conocida como la racionalización,
multiplicamos numerador y denominador por 5 17 17
x   y efectuamos las
operaciones:
  
   
 
0 0 0
0 0
5 17 17 5 17 17
5 17 17 5 17 17
5 17 17 5 17 17
5 5 5 5
5 17 17 17 17 2 17
5 17 17
x x x
x x
x x
x x
lím lím lím
x x x x x
x
lím lím
x
x x
  
 
   
   
  
   
  
  
 
h) Los límites en el infinito, en una función racional, se calculan dividiendo entre la x
elevada al mayor exponente del numerador y denominador y luego usando el hecho de
que
1
0
x
lím
x

 , aplicamos esto en el siguiente ejemplo.

9. 9
2 2
2 3 3 3 3 2 3
3 3
3
3
3 3 3
4 2 3 4 2 3 4 2 3
4 2 3 0 0 0 0
0
2
2 2
2 1 0 1
1
x x x x
x x x x
x x x x x x x x x
lím lím lím lím
x x
x
x
x x x
   
 
   
   
     

 


i)
 
     
 
    
3 3 3 3
3 3
15 3 2 1 15 6 3 18 6
3 3
5 2 1 5 2 1 5 2 1
2 1 5
3 3 3 3
6 3 6 6
5 2 1 3 5 2 1 25
x x x x
x x
x x x
x x x
x
lím lím lím lím
x x x x
x
lím lím
x x x
   
 
    
   
    
   
  
  
  
Ejercicio 4
1.-Calcula la suma infinita
1 1 1 1 1
... ...
3 9 27 81 3n
      
2.-Expresa 0.5 como una suma infinita y calcula su valor.
3.- Expresa 0.45 como una suma infinita y calcula su valor.
4.- Considera un triángulo equilátero de lado 4 cms. Construye un triángulo interior con
los puntos medios de los lados del triángulo, con los puntos medios de los lados de este
último triángulo construye otro triángulo, continuando este proceso calcula la suma de los
perímetros de los triángulos formados en el proceso infinito descrito.
5.- Considera un Cuadrado de lado 1, divídelo en 5 partes iguales, raya una de ellas, deja
tres sin rayar, y la quinta vuélvela a dividir en cinco partes iguales, raya una de ellas y deja
tres sin rayar repite el proceso, suponiendo que puedes hacer esto un número infinito de
veces formula la suma de las partes rayadas del cuadrado y da si valor.
6.-Si en una circunferencia de radio r se inscriben polígonos regulares y suponiendo que se
pueden construir de estos con un número enorme de lados ¿Cuál es el perímetro y el área
de un polígono con un número infinito de lados?
7.-Los lados de un cuadrado son de 8 cms.Un nuevo cuadrado se forma uniendo los
puntos medios de los lados del cuadrado original, y dos de los triángulos fuera del
segundo cuadrado están sombreados(ver figura).Determine el área sombreada si este
proceso se repite un número infinito de veces.
8.- ¿A qué hora entre las dos y las tres coincidirán las agujas del reloj?

10. 10
9.-Empezando con un cuadrado de lado1, se genera una sucesión de cuadrados. Cada
cuadrado en la sucesión mide de lado la mitad de la longitud del lado de su antecesor y
sus lados son bisecados por los lados de su antecesor, cómo se observa en la figura:
Calcula el área total encerrada (sombreada) por los cuadrados en la sucesión.
10.- Considera un cuadrado de lado 1 divídelo en 7 partes iguales, sombrea una, las otras
5 en blanco y la séptima divídela en siete partes iguales, sombrea una, las otras 5 en
blanco y a la otra aplícale el proceso descrito anteriormente, suponiendo que haces esto
infinitas veces, calcula el área sombreada del cuadrado.
11.- Construya una tabla para calcular
2
0
x
x x
lím
x


.
12.- Muestra mediante una gráfica que
2
2
2
x
lím
x
 
no existe.
13.-Mediante una tabla comprueba que
2
2
4
1
x
x
lím
x x




14.-Calcula el valor de los siguientes límites:
a)
2
2
4
2
x
x
lím
x



b)
2
2
2
6
2 8
x
x x
lím
x x

 
 
c)
3
3
9
3
x
x x
lím
x



=
d) 3
2
2
8
x
x
lím
x




e)
3
2
5
125
25
x
x
lím
x



=
f)
0
5 5
x
x
lím
x

 

g)
4
2 1 3
4
x
x
lím
x

 


h)
3
3
2 4
8
x
x x
lím
x

 
 
=

11. 11
i)
8
3 1 5
2 16
x
x
lím
x

 

=
j)
 
2
2
5 49
2
x
x
lím
x

 

k)
3
2
3
2
8 27
4 9
x
x
lím
x



CUESTIONARIO DE EVALUACION
Lee cuidadosamente las siguientes preguntas y subraya la respuesta correcta:
1.- El valor de la suma infinita 2 1
1 1 1 1
10 ... ...
2 8 32 2 n
      es:
a) 10 b)
1
8
2
c)
1
10
2
d)
32
3
e)
43
4
2.- Considera un cuadrado de lado 1 divídelo en tres partes iguales sombrea una la otra en
blanco y la tercera divídela en tres partes iguales, sombrea una la otra en blanco y la otra
aplícale el proceso descrito anteriormente, suponiendo que haces esto infinitas veces, el
área sombreada del cuadrado es:
a)
1
2
b)
3
4
c)
2
3
d)
1
4
e)
32
3
3.- Considera un cuadrado de lado 1 divídelo en cuatro partes iguales sombrea una, las
otras dos en blanco y la cuarta divídela en cuatro partes iguales, sombrea una, las otras
dos en blanco y la otra aplícale el proceso descrito anteriormente, suponiendo que haces
esto infinitas veces, el área del cuadrado sombreada es:
a)
1
4
b)
1
8
c)
1
16
d)
1
3
e)
3
5
4.- El decimal periódico 0.45 es la representación de:
a)
45
100
b)
45
10
c)
5
11
d)
4
9
e)
45
999
5.- El decimal periódico 1.7 es la representación de:
a)
11
9
b)
16
9
c)
10
9
d)
7
9
e)
19
9
6.- El decimal periódico 0.87 es la representación de:
a)
19
90
b)
78
90
c)
79
90
d)
7
9
e)
8
9
7.- La suma infinita
1 1 1 1
... ...
2 4 8 2n
     tiene por valor:
a) 1 b) 2 c) no se puede saber d) 3 e) 0
8.- El valor de
3
3
9
3
x
x x
lím
x



es:
a) 10 b) 7 c) -18 d) 18 e) 0
9.- El valor de
2
2
4
2 8
12
x
x x
lím
x x

 
 
es:

12. 12
a)
6
7
b)
5
7
c)
4
7
d)
7
6
e)
6
7

10.- El valor de
 
2
2
5 49
2
x
x
lím
x

 

es:
a)
1
14
b) 12 c) 14 d) 14
 e) 4
11.- El valor de
3
2
1
2
8 1
2
x
x
lím
x x



es:
a) -6 b) 6 c) 12 d) 10 e)2
12.- El valor de
0
7 11 11
x
x
lím
x

 
es:
a)
7
2 111
b)
7
7
c)
7
2
d)
7
2 11
e)
7
11
13.- El valor de
4
4
5 2 4
9 2 5
x
x x
lím
x x

 
 
es:
a)-1 b)
4
5

c)
5
4
 d)
4
5
e) 5
14.- El valor de
3
4
1
2
x
x x
lím
x x

 

es:
a) 1 b) 0 c) 2 d)3 e) no existe
15.- El valor de
1
1
2 3 1
x
x
lím
x


 
es:
a)
4
3

b)
4
3
c)
3
4

d)
3
4
e)
8
3
16.- El valor de
3
2
3
2
8 27
4 9
x
x
lím
x
 


es:
a)
9
2
b)
2
9
c)
9
2
 d)
9
4
e)
9
4

17.- El valor de
0
2 2
2 3 3
x
x
lím
x


 es:
a)
4
9
b)
9
4
c)
9
4
 d)
4
9
 e)
1
9

13. 13
UNIDAD 2
LA DERIVADA: ESTUDIO DE LA VARIACION Y EL CAMBIO
 Problemas que dan lugar a funciones polinomiales de grado 1,2 y 3.
PROBLEMA 1
Un tinaco contiene 170 litros de agua y se vacía a razón de 3 litros por minuto:
a) Construir una tabla para saber la cantidad de agua que queda después de
2,3,4,5 minutos.
t 
b) Dar una fórmula que permita calcular la cantidad de agua almacenada en el tinaco en t
minutos.
c) Construye la gráfica de la ecuación del modelo establecido en el inciso anterior.
d) Calcula 2 1
2 1
( ) ( )
c t c t
t t


para algunas parejas que se tengan.
e) Establecer una conclusión de lo hecho.
Solución
a)
t (minutos) Cantidad de agua en un tiempo t(litros)
2 170-3(2)= 164 litros
3 170-3(3)= 161 litros
4 170-3(4)= 158 litros
5 170-3(5)= 155 litros
b) De lo mostrado en el inciso anterior se tiene que la cantidad que queda después de un tiempo t
es
170
( ) 170 3 donde 0
3
c t t t
    minutos. Que, de lo visto en cursos anteriores corresponde
a una función lineal de ordenada al origen 170 y pendiente 3
 .
c) La gráfica de
170
( ) 170 3 donde 0
3
c t t t
    minutos es:

14. 14
d) En el inciso a obtuvimos que algunos elementos de la función lineal son:
1 2 3 4
(2,164), (3,161), (4,158), (5,155).
P P P P Calculando la razón de cambio, qué en este caso es la
pendiente, se tiene:
161 164 lts. 3 lts.
3 lts/min.
3 2 min. 1 min.
 
  

155 158 lts. 3 lts.
3 lts/min.
5 4 min. 1 min.
 
  

158 164 lts. 6 lts.
3 lts/min.
4 2 min. 2 min.
 
  

158 161 lts. 3 lts.
3 lts/min.
4 3 min. 1 min.
 
  

155 161 lts. 6 lts.
3 lts/min.
5 3 min. 2 min.
 
  

155 164 lts. 9 lts.
3 lts/min.
5 2 min. 3 min.
 
  

e) De lo estudiado en cursos anteriores se sabe que una función es lineal si y solo si la razón de
cambio 2 1
2 1
y y
y
x x x



 
es constante para dos elementos sin distinción de la función.Que es lo que
sucede en este caso, ya que 3
m   esto significa que el tinaco pierde agua en forma constante.
Finalmente observemos que sucede al efectuar las diferencias sucesivas de algunas de las
imágenes de la función:
PROBLEMA 2
Un Club vende en promedio 600 membresías mensualmente a un precio de $800 cada una.
Mediante un mercadeo, el Club observa que si reduce el precio en $40 el costo de cada
membresía, se venden 50 membresías más, mensualmente. Escriba el modelo que permita
calcular la utilidad que obtiene el club.
Solución
Consideremos la siguiente tabla para plantear el modelo:

15. 15
Precio de la
membresía
Número de miembros Utilidad
$800 600 $480,000
$800-$40(1) 600+50(1) $494,000
$800-$40(2) 600+50(2) $504,000
$800-$40(3) 600+50(3) $510,000
$800-$40(4) 600+50(4) $512,00
$800-$40(5) 600+50(5) $510,000
De esto se ve que el modelo que da la utilidad obtenida por el Club, mensualmente, es
( ) (800 40 )(600 50 )
u x x x
  
Al tratarse de un modelo discreto, trabajaremos con las diferencias de las imágenes para valores
igualmente espaciados en la variable independiente.
Utilidad $480,000 $494,000 $504,000 $510,000 $512,000 $510,000
Primera $14,000 $10,000 $6,000 $2,000 -$2,000
Diferencia
Segunda -$4,000 -$4,000 -$4,000 -$4,000
Diferencia
PROBLEMA 3
De un pedazo de cartón de 64cms de lado se desean construir cajas abiertas por arriba, cortando
cuadrados iguales en las esquinas y doblando. Dar el modelo que determine el volumen de las
cajas construidas con tal procedimiento.
Solución
Supongamos que se cortan cuadrados de 2 cms de lado en las esquinas:
Por lo tanto, una de las cajas que pueden construirse con el proceso descrito es:
El Volumen de algunas cajas, se da en la siguiente tabla:

16. 16
x Volumen(V)
2 2(64-2(2))2
= 7,200
4 4(64-2(4))2
=12,544
6 6(64-2(6))2
= 16,224
8 8(64-2(8))2
=18,432
10 10(64-2(10))2
= 19,360
12 12(64-2(12))2
=19,200
14 14(64-2(14))2
=18,144
Así el modelo que expresa el volumen de la caja, en términos de la longitud del lado del cuadrado
cortado en las esquinas es  
2
( ) 64 2
V x x x
  .
Finalmente se hacen, la diferencia de los volúmenes (1ª.diferencia), la diferencia de las diferencias
(2ª.diferencia) y finalmente las diferencia de las diferencias de las diferencias, (3ª.diferencia)
De acuerdo a lo visto en los problemas planteados, para valores de x igualmente espaciados, se
tiene que las diferencias constantes no cero de una función lineal, son las primeras, de una función
cuadrática, son las segundas y las de una función cúbica, son las terceras ¿Es esto cierto en el caso
general?
De forma más concreta, si tenemos y ax b
  , 2
y ax bx c
   o 3 2
y ax bx cx d
    con
0
a  , las diferencias de las imágenes constantes no cero serán las primeras, segundas y terceras
respectivamente, veamos que efectivamente esto sucede.
a) Sea ( )
f x ax b
 
b) Sea 2
( )
f x ax bx c
  

17. 17
c) Sea 3 2
( )
f x ax bx cx d
   
Con esto hemos probado que un polinomio de grado 1,2 o 3 tiene la primera, segunda, tercera
diferencia constante no cero respectivamente, cuando se tienen valores de x igualmente
espaciados.
Ejercicio 1
Para 0,1,2,3,4,5
x  calcula:
a) Las primeras diferencias de la función ( ) 3 1
f x x
 
b) Las segundas diferencias de 2
( ) 3
f x x
 
c) Las terceras diferencias 3
( ) 1
f x x
 
Y elabora una conclusión de lo obtenido.
 Razón de cambio, medición de la variación
PROBLEMA 4
Determinar la velocidad instantánea de un cuerpo en caída libre, en 5 segundos
t  .
Solución
Es conocido que un cuerpo en condiciones como estar libre de fricción, lugar donde se esté,
velocidad inicial cero, recorre una distancia en función del tiempo dada por 2
1
( )
2
d t gt
 donde

18. 18
g es la aceleración de la gravedad y depende del lugar donde se esté presenta una pequeña
variación, para la Ciudad de México tiene un valor de 2
9.8 /
m s por lo tanto 2
1
( )
2
d t gt
 se
convierte para nosotros en 2 2
1
( ) (9.8) . 4.9 mts.
2
d t t mts t
 
Procediendo, si calculamos la distancia que ha caído el cuerpo en 5 segundos
t  , esta es
 
2
2
(5) 4.9 / 5 122.5 mts.
d m seg seg
 
Hacemos una estimación de la velocidad promedio que tendrá el cuerpo en el intervalo de tiempo
 
5,6 esto es:
        
 
   
2 2 2 2
5,6
4.9 6 5
4.9 6 4.9 5 4.9 6 5 6 5
(6) (5) mts.
6 5 segs. 6-5 6 5 6 5
4.9 6 5 4.9 11 53.9 mts/seg.
d d
V 
 

  

    
  
  
Si reducimos el intervalo por ejemplo  
5,5.5 tendremos:
        
 
   
2 2 2 2
5,5.5
4.9 5.5 5
4.9 5.5 4.9 5 4.9 5.5 5 5.5 5
(5.5) (5) mts.
5.5 5 segs. 5.5 5 5.5 5 5.5 5
4.9 5.5 5 4.9 10.5 51.45 mts/seg.
d d
V 
 

  

    
   
  
Una aproximación más:
        
 
   
2 2 2 2
5,5.01
4.9 5.01 5
4.9 5.01 4.9 5 4.9 5.01 5 5.01 5
(5.01) (5) mts.
5.01 5 segs. 5.01 5 5.01 5 5.01 5
4.9 5.01 5 4.9 10.01 49.049 mts/seg.
d d
V 
 

  

    
   
  
Hagamos un cálculo final para confirmar nuestras sospechas sobre el resultado final, supongamos
que t es muy cercano a 5 segundos
t  y mayor como en cada uno de los casos anteriores:
    
 
 
2 2
2 2 4.9 5 4.9 5 5
( ) (5) 4.9 4.9(5)
4.9 5 mts/seg.
5 5 5 5
t t t
d t d t
t
t t t t
  
 
    
   
Puesto que 5
t  entonces  
4.9 5 mts/segs. 49 mts/segs.
t   Por lo tanto
 
5 49 mts/seg.
V  (Ver ejercicio2).
Ejercicio 2
Determina velocidades promedio para 5 segundos
t  para concluir que  
5 49 mts/seg.
V 
PROBLEMA 5
Determina la ecuación de la recta tangente a la curva de  
2
( ) en 2,4 .
f x x A

Solución
Interpretemos el problema en términos gráficos, consideremos (2,4)
A como un punto fijo y
otros puntos “cercanos a él” en la gráfica de la función y tracemos rectas secantes como en la
figura:

19. 19
Por ejemplo la pendiente de la recta secante que pasa por
  
 
 
2 2
2 2
1
2.5 2 2.5 2
2.5 2
(2,2 ) y (2.5,2.5 ) es 2.5 2 4.5
2.5 2 2.5 2
m
 

    
 
Ejercicio3
Determina la pendiente de las rectas secantes que pasan por:
2
2
2
2
a) (2,4) y (2.1,2.1 )
b) (2,4) y (2.01,2.01 )
b) (2,4) y (1.9,1.9 )
c) (2,4) y (1.99,1.99 )
¿Qué puedes concluir?
Como habrás visto al estar x cerca de 2, parece como si el punto (2,4)
A y 2
( , )
x x fueran uno
solo y la recta parece “tocar” una sola vez a la gráfica de la función, en el punto (2,4)
A , en este
momento la recta pasa de secante a tangente y la pendiente de la recta en este último caso es
4,en efecto,
Si 2
x  entonces la pendiente de la recta entre 2
( , )
x x y (2,4)
  
 
 
2
2 2
4
2 4,si 2 4.
2 2
tag
tag
x x
x
m x x m
x x
 

       
 
Así la ecuación de la recta tangente en (2,4)
A es 4 4( 2) 4 4
y x y x
      .
Definición
Sea f una función de variable real, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en
 
, ( )
a f a está dado por
( ) ( )
si este límite existe
x a
f x f a
lím
x a




20. 20
PROBLEMA 6
Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada una de las siguientes funciones en
donde se indica:
Solución
1)  
2
1
( ) en 1,1
f x x P
  .
Determinemos primero la pendiente de la recta tangente:
2 2
1 1 1 1
1 1 ( 1)( 1)
( 1) 1 1 2
( 1) 1 1
x x x x
x x x x
lím lím lím lím x
x x x
   
   
        
   
Con esto la recta tangente en  
1,1
 tiene por ecuación:
1 2( 1) o en la forma pendiente-ordenada al orígen 2 1
y x y x
      
2) 2
1
( ) 3 en (1,2).
f x x x P
 
  
 
 
2
1 1 1
3 2 1
3 2
3 2 5
1 1
Así la recta tangente en 1,2 tiene por ecuación: 2 5( 1) ó 5 3.
x x x
x x
x x
lím lím lím x
x x
y x y x
  
 
 
   
 
    
  
  
3
1
2
3 3 3
2
1
2 2 2 2
2
3) ( ) 2 en (2, 6)
2 4 2
2 ( 6) 2 6 8
2 2 2 2
2 4 2
12
2
Y la recta tangente en (2, 6) tiene por ecuación: 6 12( 2)
x x x x
x
f x x P
x x x
x x x
lím lím lím lím
x x x x
x x x
lím
x
P y x
   

  
  
     
   
   
   
 

    
  
     
1
1
4 4 4
4 4 4
4) ( ) 2 1 en (4,3)
2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 9
4 4 2 1 3 4 2 1 3
2 8 2( 4) 2 1
3
2 1 3
4 2 1 3 4 2 1 3
Finalmente la recta tangente en (4,3) tiene por e
x x x
x x x
f x x P
x x x x
lím lím lím
x x x x x
x x
lím lím lím
x
x x x x
P
  
  
 
       
  
      
 
  
 
     
1
cuación: 3 ( 4)
3
y x
  

21. 21
 
 
  
  
1
1
1 1 1 1
1 1
2
5) ( ) en 1
1 3
2 2
Puesto que (1) 1 , 1, 1 .Con esto:
1 3 2
2 2 2 1 3
1 1
3 3
1 3 1 3 1 3
1 1 1 1 1 3
3( 1) 3 3
1 1 3 1 3 2
Finalmente la ecuación e
x x x x
x x
f x x
x
f P
x
x
x x x
lím lím lím lím
x x x x x
x
lím lím
x x x
   
 
 

    
 
 
  

  
   
    
  
 
  
 
1
3
n 1, 1 de la recta tangente es : 1 ( 1)
2
P y x
   
Ejercicio 4
Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada una de las siguientes funciones en
donde se indica:
2
1
2
1
3
1
1
3
1
1
1
2
1
1) ( ) 3 en (2,3)
2) ( ) 3 en ( 2, 1)
3) ( ) 1 en (2,9)
4) ( ) 3 2 en ( 1, 5)
5) ( ) en ( 8, 2)
3
6) ( ) en (0,3)
2 1
4 4
7) ( ) en 3,
9
8) ( ) 3 2 en ( 8, 22)
5
9) ( )
7
f x x x P
f x x P
f x x P
f x x P
f x x P
f x P
x
f x P
x
f x x P
f x
  
   
 
  
  


 
 
 
 
   


1
1
5
en 1,
2 9
10) ( ) en (3, 3)
P
x
f x x P
 

 
 

 Derivada de funciones Polinomiales
La derivada de una función f en a , está dada por
( ) ( )
x a
f x f a
lím
x a



Si este límite existe, sí así sucede, se denota con ( )
f a
 .Obsérvese que a manera de aprendizaje
significativo no es otra cosa que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en
( , ( ))
a f a .
A manera de introducción de uno de los conceptos más importantes del cálculo diferencial: la
derivada de una función, calcularemos algunas de estas usando la definición de derivada en a ,
según Pierre de Fermat, hecha en párrafos anteriores.

22. 22
PROBLEMA 7
Calcular la derivada de las siguientes funciones con a en el dominio de la función.
Solución
a) ( ) 4
f x 
Puesto que ( ) 4
f a  , se tiene:
4 4 0
0 0 Si ( ) 4, ( ) 0
x a x a x a
lím lím lím f x f a
x a x a
  


     
 
b) ( ) 3 5
3 5 (3 5 ) 3 5 3 5
Puesto que ( ) 3 5 ,se tiene
5( )
5 5 Si ( ) 3 5 , ( ) 5
x a x a
x a x a
f x x
x a x a
f a a lím lím
x a x a
x a
lím lím f x x f a
x a
 
 
 
     
  
 
 

         

 
 
 
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
c) ( ) 2 5 3
2 5 3 2 5 3 2 5 3 2 5 3
2 5 2 5 2( ) 5( ) 2( )( ) 5( )
( ) 2( ) 5
2( ) 5 4 5 si ( ) 2
x a x a
x a x a x a
x a x a
f x x x
x x a a x x a a
lím lím
x a x a
x x a a x a x a x a x a x a
lím lím lím
x a x a x a
x a x a
lím lím x a a f x x
x a
 
  
 
  
         
 
 
         
  
  
  
       

5 3, ( ) 4 5
x f a a

  
 
3 2
3 2 3 2 3 3 2 2
3 3 2 2 2 2
2 2
d) ( ) 3 5 1
3 5 1 3 5 1 3 3 5 5
3( ) 5( ) 3( )( ) 5( )( )
( ) 3( ) 5( ) 1
3(
x a x a
x a x a
x a x a
f x x x x
x x x a a a x a x a x a
lím lím
x a x a
x a x a x a x a x ax a x a x a x a
lím lím
x a x a
x a x ax a x a
lím lím
x a
 
 
 
   
           
 
 
            
 
 
 
     
  

2 2
2 2
) 5( ) 1
3(3 ) 5(2 ) 1 9 10 1
x ax a x a
a a a a
 
    
 
     
    
        
   
4 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 3
4 2
4 2 4 4 2 2
e) ( )
( )
1 1
1
(2 ) ( ) 1 (2 ) 2 1 4 2 si
x a x a x a
x a x a x a
f x x x
x x a a x a x a x a
x a x a
lím lím lím
x a x a x a
x a x a x a x a x a
lím lím lím x a x a
x a x a
a a a a a a a
  
  
 
      
  
 
  
   
      
     
      
 
 
   
       
   
4 2 3
( ) , ( ) 4 2
f x x x f a a a

   

23. 23
Ejercicio 5
Determina la derivada de las siguientes funciones usando la definición de esta, según Fermat.
2
2
2
2
3
3 2
4
1) ( ) 1
2) ( ) 3 1
3) ( ) 2 7
4) ( )
5) ( ) 4 3
6) ( )
7) ( ) 8 6 2
8) ( ) 6 2
9) ( )
10) ( ) 3 5 9 2
f x
f x x
f x x
f x x x
f x x x
f x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x x
 
 
 
 
  

   
  
 
   
Observación
( ) ( )
Consideremos y llamemos entonces ,cuando , 0.
Con esto una definición alternativa y más útil de la derivada de una función en está dada por
x a
f x f a
lím h x a x a h x a h
x a
a


     

0
( ) ( )
en el caso que exista este límite.
h
f a h f a
lím
h

 
A manera de ejemplo, usaremos esta definición alternativa de la derivada de una función para
derivar las siguientes funciones en a permitido.
     
2
2 2 2 2 2
2
0 0
0 0 0
1) ( ) 5 3
5 3 5 3 2 5 5 3 5 3
2 5 (2 5)
(2 5) 2 5 ( ) 2 5
h h
h h h
f x x x
a h a h a a a ah h a h a a
lím lím
h h
ah h h h a h
lím lím lím a h a f a a
h h
 
  
  
              
 
   

         

24. 24
   
   
3 2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 2 3 2 2 3 2
2 2
0
0
0
0
1 1
2) ( ) 1
3 2
1 1 1 1
( ) 1 1
3 2 3 2
1 1 1 1
( ) 1 1
3 2 3 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 2 1 1
3 3 3 3 2 2 2 3 2
1 1 1
3 3
3 3
h
h
h
h
f x x x x
a h a h a h a a a
h
a h a h a h a a a
h
a a h ah h a ah h a h a a a
h
a h ah
lím
lím
lím
lím




   
 
         
 
  
         

            

 
2 2
3 2
2 2
0
2 2
0
1 1 1 1 1
1 1 3 3 2 1
2
3 3 3 2 2
3 2 2
1 ( ) 1
1 1 1 1 1
3 3 2 1
3 3 3 2 2
h
h
h a ah h a h
h ah h h
h h
a a f a a a
lím
lím a ah h a h


 
    
    
 
 
 

      
 
 
    
  
  
     
      
2 2
0 0 0
0 0 0
5
3) ( )
2 1
10 5 10 10 5
5 5 5 5
2 2 1 2 1
2( ) 1 2 1 2 2 1 2 1
10
2 2 1 2 1 10 10
2 2 1 2 1 2 2 1 2 1
10 10 10
( )
2 1 2 1 2 1 2 1
h h h
h h h
f x
x
a a h
a h a
a h a a h a
h h h
h
a h a h
h h a h a a h a
f a
a a a a
lím lím lím
lím lím lím
  
  


   
    
     
  

    
  
     
  

  
   
 
   
 
0 0
0 0
0 0
4) ( ) 5 7
5 7( ) 5 7 5 7 7 5 7 5 7 7 5 7
5 7 7 5 7
5 7 7 5 7 5 7 7 5 7
5 7 7 5 7 5 7 7 5 7
7 7 7
5 7 7 5 7 5 7 5 7
5 7 7 5 7
7
2
h h
h h
h h
f x x
a h a a h a a h a
h h a h a
a h a a h a
h a h a h a h a
h
a h a a a
h a h a
lím lím
lím lím
lím lím
 
 
 
 
           
 
   
       
 
       
  
  
      
   

7
( )
5 7 2 5 7
f a
a a

  
 

25. 25
Ejercicio 6
Determina la derivada de las siguientes en a , usando la definición alternativa
2
2
3
3 2
1) ( ) 3
2) ( ) 3 2
3) ( ) 5
4) ( ) 3
5) ( ) 3 1
6) ( ) 6 7
2
7) ( )
8 3
6
8) ( )
2
f x x
f x x x
f x x
f x x x
f x x
f x x
f x
x
f x
x
 
 
 
  
 
 




CUESTIONARIO DE EVALUACION
Lee cuidadosamente las siguientes preguntas y subraya la respuesta correcta:
1. Es el límite que calcula la derivada de 2
( )
f x x
 en 2
a   :
a).
2
2
4
2
x
x
lím
x
 


b).
2
2
4
2
x
x
lím
x
 


c).
2
2
2
2
x
x
lím
x



d).
2
2
4
2
x
x
lím
x



2. Sí  
2
( ) 6
f x x x
  el valor de ´( 7)
f  es:
a). 141
 b). 129
 c). 6915
 d). 875

3. Sí  
2
( ) 1
f x x x
  el valor de ´( 7)
f  es:
a). 133
 b). 132
 c). 6518
 d). 131

4. Los cambios constantes no cero, para valores enteros consecutivos de x de 3
( )
f x x
 son:
a).Los primeros b). Los segundos c).Los terceros d). Los cuartos
5. El límite
0
4 2
x
x
lím
x

 
es la derivada de la función:
a). ( ) en 0
f x x x
  b). ( ) 4 en 0
f x x x
   c). ( ) 4 en 0
f x x x
  
d). De ninguna función
6. La derivada de
1
( )
f x
x
 en 4
a   , según el método de Fermat está dada por:
a).
4
1 1
4
4
x
x
lím
x
 


b).
4
1 1
4
4
x
x
lím
x



c).
4
1 1
4
4
x
x
lím
x



d).
4
1 1
4
4
x
x
lím
x



7. Si la posición de un objeto que se mueve en línea recta está dada por 6
8
)
( 2
3


 t
t
t
s en el
tiempo t .Su velocidad es:
a). 6
8
3
)
( 2


 t
t
t
v b). 6
8
)
( 2


 t
t
t
v c). 2
( ) 3 16
v t t t
  d). t
t
t
v 16
)
( 2



26. 26
8. El punto de la curva 2
x
y  donde la recta tangente es paralela a la recta 3 1
y x
  es:
a).
3
,1
2
 
 
 
b).
3 9
,
2 4
 
 
 
c).
9 3
,
4 2
 
 
 
d). (3,1)
9. Encuentre la derivada de 5
3
2



 x
x
y .
a). 3


 x
dx
dy
b). 5
3
2 2



 x
x
dx
dy
c). 3
2 

 x
dx
dy
d). 3
2 
 x
dx
dy
10. Para derivar 3
2
)
( 2

 x
x
f por la definición, se comienza con el procedimiento.
a).  
3
2 2
0


x
lìm
x
b).
 
h
h
x
lìm
x
3
2
2
0



c).
   
h
x
h
x
lìm
h
3
2
3
2 2
2
0





d).
 
2 2
0
2 3 2 3
h
x h x
lìm
h

   
11. ¿Cuál es la derivada de la función ?
10
5
)
( 2


 x
x
x
f
a). 5
2
)
( 

 x
x
f b). x
x
x
f 5
2
)
( 3



c). 10
5
2
)
( 2



 x
x
x
f d). 10
5
)
( 

 x
x
f
12. Si b
y
m son constantes. ¿ Cuál es la derivada de b
mx
x
f 

)
( ?
a). b
m
x
f 

 )
( b). m
x
f 
 )
( c). mx
x
f 
 )
( d). b
x
x
f 

 )
(
13. La derivada de 0
,
1
)
( 
 x
x
x
f es:
a). 2
1
)
(
x
x
f 

 b).
x
x
f
1
)
( 

 c).
x
x
f
1
)
( 
 d). 0
14.La definición para la derivada de una función es:
a).  
)
(
)
(
0
x
f
h
x
f
lìm
h



b).
h
x
f
h
x
f
lìm
h
)
(
)
(
0



c).  
)
(
)
(
0
x
f
h
x
f
lìm
h



d).
h
x
f
h
x
f
lìm
h
)
(
)
( 



15. Si
2
3
)
(
2
3 x
x
x
f 
 , ( )
f x
 es:
a).
4
3
3
)
( 2 x
x
x
f 

 b).
4
9
3
)
( 2 x
x
x
f 


c). x
x
x
f 3
3
)
( 2


 d). x
x
x
f 6
3
)
(
2



16. La derivada de la función x
x
x
f 
 3
)
( es:

27. 27
a). x
x
x
f
2
1
3
)
( 2


 b).
x
x
x
f
1
3
)
( 2



c).
x
x
x
f
2
1
3
)
( 2


 d). x
x
x
f 

 2
3
)
(
17. Si c
bx
ax
x
f 

 2
)
( , donde , son constantes
a b y c entonces ( ) es:
f x

a). 1
2
)
( 


 b
x
x
f b). b
ax
x
f 

 2
)
(
c). b
x
x
f 

 2
)
( d). c
b
ax
x
f 


 2
)
(
18. ¿Cuál es la derivada de la función 0
,
1


 x
x
x
y .
a). 2
1
1
x
y 

 b).
x
x
y
1
2 

 c). 1


y d). 2
1
1
x
y 


19. Los cambios constantes no cero, para valores enteros consecutivos de x de 2
( ) 3
f x x
 valen:
a). 0 b). 3 c). 2 d) 6
20. Encuentre la derivada de la función
3
4
)
( 2


x
x
g .
a).
3
2
4
)
(



x
x
g b).
 2
2
3
4
)
(



x
x
x
g c).
 2
2
3
8
)
(



x
x
x
g d).
 2
2
3
8
)
(




x
x
x
g
21. Dada la función de posición de una partícula
1
3
10
)
(



t
t
s ¿Cuál es su velocidad?
a).
1
1
)
(




t
t
s b).  2
1
3
10
)
( 


 t
t
s c).  
1
3
)
( 


 t
t
s d). 2
)
1
(
3
)
(



t
t
s
22. Use la definición de derivada para encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva
2
,
3
2
2




 x
en
x
x
y .
a). 0

m b). 2


m c). 6

m d). 3


m
23. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 1
,
5
2




 x
en
x
x
y .
a). 1
7 
 x
y b).
7
43
7
1


 x
y c). 3
7 
 x
y d).
7
29
7
1


 x
y
24). Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva 1
,
4
3
2



 x
en
x
x
y .
a). 0
13
5 

 y
x b). 0
3
5 

 y
x c). 0
41
5 

 y
x d). 0
39
5 

 y
x
25). Encuentre el punto en el cual la pendiente de la recta tangente es cero, para la función
x
x
y 3
4
1 2


 .

28. 28
a). )
27
,
6
( 
P b). )
16
27
,
2
3
(

P c). )
4
63
,
6
( 

P d). )
9
,
6
( 
P
UNIDAD 3
DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
Consideremos c , una constante, ( ), ( )
f x g x funciones diferenciables, la derivada tiene las
siguientes propiedades:
a)    
 
( )
d d
cf x c f x
dx dx

b) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ))
d d d
f x g x f x g x
dx dx dx
  
Las siguientes son fórmulas a emplear para la derivación:
1) ( ) 0
d
c
dx

2) ( ) 1
d
x
dx

3) 1
( )
n n
d
x nx
dx

 es un número real
4) ( ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))
d d d
f x g x f x g x g x f x
dx dx dx
 
5) 2
( ) ( ( )) ( ) ( ( ))
( )
( )
( ) ( ( ))
d d
g x f x f x g x
d f x dx dx
dx g x g x

 válida para toda x tal que g(x) 0

6) 1
(( ( )) ) (( ( )) ) ( ( ))
n n
d d
f x n f x f x
dx dx

 donde n es un número real que en forma más
compacta se puede poner si ( )
u f x
 como 1
( ) ( )
n n
d d
u nu u
dx dx

 .
A continuación recordaremos dos hechos elementales del álgebra:
i) Si 0
x  , n número real
1
n
n
x
x

 .
ii)
n m
x =
m
n
x para ciertos números m, n.
PROBLEMA 1
Calcular la derivada de las siguientes funciones usando Propiedades y fórmulas de derivación.
Solución
1) Si 19
y x
 por la fórmula 3, usamos la notación 19 19 1 18
( ) 19 19
d
x x x
dx

 
2) Si 32
y x
 entonces su derivada es:

29. 29
   
4
4 4 4 1 3
3) Si 3 usando la propiedad a) y la fórmula 3.Tenemos :
3 3 3(4 ) 12
y x
dy d d
x x x x
dx dx dx


   
10
4) Si 5
y x
 Entonces su derivada es:
5) Ahora usaremos la linealidad de la derivada y la fórmula 3 para derivar la función
3 2
3 2 21 4
y x x x
    .
         
         
3 2 3 2
3 2 2 2
3 2 21 4 3 2 21 4
3 2 21 0 3 3 2 2 21 9 4 21.
dy d d d d d
x x x x x x
dx dx dx dx dx dx
d d d
x x x x x x x
dx dx dx
         
        
6) Si 12 2
2 2 5 1
y x x x
    su derivada es:
7) Si y x
 entonces por la nota de la página 22 podemos escribir
1
2
y x
 donde por la fórmula
3 su derivada es;
1 1 1
1
2 2 2
1 1 1
.
2 2 2
d
x x x
dx x
 
 
  
 
 
8) Si 3 2
y x
 su derivada es:
9) Si 2 2 2 1 3
2
1
( ) 2 2
d
y x x x x
x dx
    
       usando lo acordado sobre equivalencia de
exponentes; tenemos 2
2
1
x
x

 y la fórmula 3 para calcular su derivada.
10) Usando como guía el ejercicio anterior termina el siguiente:
Si 1 1 1
2 2 2 2
( ) ( )
5 5 5 5
d d
y x x x
x dx dx
  
    
Seguiremos haciendo ejercicios sobre derivación pero avanzaremos en el uso de las fórmulas, a
continuación usaremos la fórmula para derivar un producto de funciones recordemos que para
hacer esto la fórmula es: ( ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))
d d d
f x g x f x g x g x f x
dx dx dx
 
11) Sea 14 3 2
(3 12 )(2 6 )
y x x x x
   la derivada la calculamos como:
14 3 2 14 3 2 3 2 14
((3 12 )(2 6 )) (3 12 ) (2 6 ) (2 6 ) (3 12 )
d d d
x x x x x x x x x x x x
dx dx dx
        
14 2 3 2 13
14 2 3 2 13
16 15 3 2
(3 12 )(2(3 ) 6(2 )) (2 6 )(3(14 ) 12(1))
(3 12 )(6 12 ) (2 6 )(42 12)
102 288 96 216
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
     
     
  

30. 30
12) Deriva 6 3 6
(3 8 )(5 2 )
y x x x x
 
   .
A continuación ilustraremos la derivación de funciones racionales, lo cual como lo habíamos
señalado se hace con la fórmula:
2
( ) ( ( )) ( ) ( ( ))
( )
( )
( ) ( ( ))
d d
g x f x f x g x
d f x dx dx
dx g x g x

 Para toda x tal que ( ) 0
g x 
13) Derivemos
3
4
8
4 6
x x
y
x



por la fórmula anterior:
4 3 3 4
3
4 4 2
(4 6 ) (8 ) (8 ) (4 6 )
8
4 6 (4 6 )
d d
x x x x x x
d x x dx dx
dx x x
    
 


 
 
 
=
=
4 2 3 3
4 2
(4 6 )(8(3 ) 1) (8 )( 6(4 ))
(4 6 )
x x x x x
x
    

=
4 2 3 3
4 2
(4 6 )(24 1) (8 )( 24 )
(4 6 )
x x x x x
x
    


 
6 4 2
2
4
48 18 96 4
4 6
x x x
x
  

14) Deriva
2
3
2 1
3 7
x
y
x

 

Finalmente ilustraremos el uso de la fórmula:
1
( )
n n
d du
u nu
dx dx


15) Si 4 2 5
(3 2 4)
y x x
   la derivada de esta función, por la fórmula inmediata anterior es:
Tomando 5
n  y 4 2
3 2 4
u x x
  
4 2 5 4 2 4 4 2
((3 2 4) ) 5(3 2 4) (3 2 4)
d d
x x x x x x
dx dx
        4 2 4 3
5(3 2 4) (12 4 )
x x x x
   =
 
3 4 2 4
60 20 (3 2 4)
x x x x
  
16) Si 3 2
2 3 2
y x x
   entonces su derivada; tomando la igualdad entre exponentes
fraccionarios con los radicales.
Tenemos que 3 2 2 1/3
2 3 2 (2 3 2)
y x x x x
      su derivada tomando
1
3
n  y
2
2 3 2
u x x
   , Es:
17)
a) Si 8
2
5
)
3
7
(
)
3
4
( 

 x
x
y usando, primero el hecho que es un producto de funciones con lo
cual tenemos:

31. 31
5
8
2
8
2
5
)
3
4
(
)
3
7
(
)
3
7
(
)
3
4
( x
dx
d
x
x
dx
d
x
dx
dy





 Observa que las derivadas de las
funciones por calcular se hacen con la fórmula 6; con esto tenemos:
      





















)
3
4
(
)
3
4
(
5
3
7
3
7
3
7
8
)
3
4
( 4
8
2
2
1
8
2
5
x
dx
d
x
x
x
dx
d
x
x
dx
dy


 ))
14
(
)
3
7
(
8
(
)
3
4
( 7
2
5
x
x
x   


 ))
3
(
)
3
4
(
5
(
3
7 4
8
2
x
x






 )
)
3
4
(
15
(
)
3
7
(
)
)
3
7
(
112
(
)
3
4
( 4
8
2
7
2
5
x
x
x
x
x
)
45
448
441
(
)
3
7
(
)
3
4
(
))
3
7
)(
15
(
)
3
4
(
112
(
)
3
7
(
)
3
4
( 2
7
2
4
2
7
2
4











 x
x
x
x
x
x
x
x
x
b) Si
2
3
3
2



x
x
y Observemos primero que por ser un cociente de funciones aplicaremos
primero la fórmula 5.Con esto tenemos:
Recordando que  2
1
3
2
3
2 

 x
x se tiene;










2
3
3
2
x
x
dx
d  
2
2
1
2
1
)
2
3
(
2
3
)
3
2
(
)
3
2
(
)
2
3
(







x
x
dx
d
x
x
dx
d
x
=
   
2
2
1
2
1
)
2
3
(
)
3
(
3
2
)
2
(
3
2
2
1
)
2
3
(













x
x
x
x
2
2
1
2
1
)
2
3
(
)
3
2
(
3
)
3
2
)(
2
3
(







x
x
x
x
Trata de simplificar esta derivada hasta donde te sea posible.
NOTA
Como habrás notado el proceso de derivar funciones a través de fórmulas y de
sus propiedades, es con mucho, más práctico. Por ello, problemas que en la
unidad anterior se habían hecho con la definición e interpretación de la
derivada ahora se pueden hacer mucho más rápido.
Para esto recordemos, de la Unidad 2, que la derivada de una función  
f x
 , si
existe, nos proporciona la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la
función f en  
 
,
x f x ; lo que también denotaremos como    
tg
f x m x
  .
18) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva 2
3 2
y x x
   en 2
x   .Y dar su
ecuación en el punto  
2,12
 .
De la NOTA tenemos que  
( ) 2 3
tg
y f x m x x
 
    evaluada en 2
x   , es decir,
 
( 2) 2 2( 2) 3 7.
tg
f m
        
La ecuación de la recta tangente en el punto dado es
12 7( ( 2)) 7( 2) 7 14
y x x x
           .
Que al efectuar operaciones queda como: 7 2
y x
  

32. 32
19) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva 3
2 en 2.
y x x x
  
Y dar su ecuación en 
1, 1
 .
20) Un cuerpo se desplaza de acuerdo a la relación 2
( ) 4 3 2
s t t t
   determina la velocidad en 2
segundos.
Puesto que la relación expresa el desplazamiento en t segundos ( ) 8 3
s t t
   nos da la velocidad
en t segundos así que en 2
t  es (2) 8(2) 3 13 .
m
s
s
   
21) Si un cuerpo se desplaza de acuerdo a 2
( ) 4 3
s t t t
  determina su velocidad en 4 segundos.
Ejercicio 1
A continuación se presenta una lista de ejercicios que pretenden poner en práctica lo aprendido
paulatinamente en el apartado anterior. Deriva las siguientes funciones:
2
2
12
1)
2) 14 2 3
y
x
y x x

  
3) 3 2 3
4
4
y x x
 
4) 3
3
2
3 7
3
3





x
x
x
y
  
  
3
3
5) 2 23 4 2
6) 3 4 1 1 3
y x x
y x x x
  
   
7)  
12
2 3
y x x
 
8)
3
2
2 4 1
2 8
x x
y
x x
 

 
9) 3
5
2
8
2
1
4
2
33
x
x
x
x
x
y





10)
3
3
3
3
x
y
x



11) 2
1
1
3 2
x
y
x



12)
7
4
9
2
5 3
x
y
x
 

  

 
13)
 
9
4 3
5
13 5 14 3
y
x x x


  

33. 33
14)
3
3
3 2
x
y
x



15)  
7
3 2
3 2 3
y x x
  
16) 1 12
3
3
2(2 3 1)
y x x
x
 
   
17) 2 4 5 3
(5 3 1) (3 2 )
y x x x 
   
18)
7
4
3
3 2
5 3
x
y
x
 

  

 
19)
3
3 8
2
2 4 1
8
2 8
x x
y
x x
 
 
  
 
 
20)  
2
5 2 3 1
y x x x
  
21) 10 7 5
2 (3 4 2 2)
y x x x x 
    
22)
10
2 3 4
1 2 3 4
1
y
x x x x
 
    
 
 
23)
3 4
4
x
y
x

24)  
19
2
1
y x x
  
25) y x x
 
26) 5
3
2
3
4
7
3









x
x
y
27) 5
4
3
5
4
4
3
3
2
2 


 x
x
x
y

34. 34
28)
 9
9
9
9
9
9
x
x
y




29)
2
1
3
)
2
3
(
7
2
7 4
5





x
x
y
30) 2
)
3
7
( 
 x
y x
3
1
31) 3
)
2
3
(
1



x
x
y
CUESTIONARIO DE EVALUACIÓN
Esta colección de ejercicios pretende que aprendas conceptos y procedimientos, pon mucha
atención al contestar cada una de las preguntas. Subraya la respuesta correcta en los siguientes
reactivos.
1) La función es igual a :
2
x
y 
1
)
2
a x )2
b x
2
)
c
x
)
d x e)
1
2
2) Para derivar 3
4
y x
 primero se escribe como:
4
3
)
a x 3
4
1
)
b
x
4
3
)
c x

3
4
)
d x
4
3
)
e x

3) La función 4
3
2
y
x
 se deriva rápidamente usando su equivalente que es:
4
3
)
2
a x 4
3
)
2
b x
4
3
)
2
c
x
3
)
2
d 4
2
)
3
e x
4) La derivada de 2
es :

a) 2π b) 0 c) π d)2 e) 1
5) La derivada de ( ) 9 es:
f x 
) 9
a ) 9
b  0
) 9
c ) 0
d ) 1
d
6) Si ( ) e
f x x
 su derivada es:
1
) e
a ex  1
) e
b x 
)
c x ) 1
d 1.7
)2.7
e x
7) La derivada de
2
3
x
y  es:
2
)
3
a
3
)
2
b
2
4
)
9
x
c ) 0
d ) 1
e
8) Si   3 1
f x x
   entonces  
0
f  es igual a:
)1
a )0
b )
c x ) 1
d  ) 3
e 
9) Si 2
( ) 3 2 5
s t t t
   , la velocidad instantánea de un cuerpo con este recorrido en un tiempo
cualquiera es:
) 3
a ) 3+10t
b ) 2+10t
c ) 10 2
d t  ) 3 2
e t


35. 35
10) Si ( ) 2 1
f x x
  , el valor de ´(0)
f es:
a) 1 b) 2 c) 5 d) 6 e) 4
11) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la siguiente función, en (0,1) es:
) Es cero
a ) Es 1
b ) Es Cuatro
c ) Es negativa
d ) No está definida
e
12) El cálculo de
3
2
8
2
x
x
lím
x



nos da la derivada de:
) ( ) en 2.
a f x x x
 
3
) ( ) en 1.
b f x x x
 
) 12
c
3
) ( ) en 2.
d f x x x
 
3
) ( ) .
e f x x

13) Si la gráfica de una función es:
Su derivada es igual a:
)0
a )1
b )2
c )3
d )4
e
14) Si  
1
2 2
y x x
 
  
 
su derivada es:
 
1
2
1
) 2
2
a x x
 
 
 
5
2
)
b x  
1
2
1
) 2
2
c x x

 
 
 
5
)
2
x x
d )0
e

36. 36
15) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de 2
( ) 4
f x x x
  en 2
x  es:
a) 0 b) 1 c) 8 d) 4 e) no está definida.
16) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 3
2
)
( 2

 x
x
f en  
1 1,5
P es:
2
) 2 3
a y x
  ) 4 1
b y x
  ) 4 1
c y x
  ) 2
d y x
 ) 4
e y 
17) La derivada de la función
2
3 1
y
x


es:
 
2
6
)
3 1
a y
x
 
  
2
6
)
3 1
b y
x
  

6
)
3 1
c y
x
 

 
2
6
)
3 1
d y
x
 
  
2
6
)
3 1
e y
x
  

18) La velocidad instantánea de una partícula con trayectoria ( ) 8 3
s t t
  mts. en
t =
1
seg.
8
es:
1
)
8
m
a
s
)8
m
b
s
)2
m
c
s
)3
m
d
s
)5
m
e
s
19) La derivada de la función
 
7
3 2
5
3 5 4 3
y
x x x

  
es:
2
2 3 2 8
3 2 8
) 0
) 9 10 4
) ( 315 350 140)(3 5 4 3)
) (3 5 4 3)
a y
b y x x
c y x x x x x
d y x x x


 
   
       
    
2
) 35 3 5
e y x x
   
20) El resultado de
5000
1
1
lim
1
x
x
x



es:
a) 5000 )4999
b c) 1 d) no definido e)0
21) La pendiente de la recta tangente en el punto A:

37. 37
a) Es positiva b) Es negativa c) Es cero d) No está definida ) 1 .
e es 
22) La derivada de la función 2
1
2
1
2



x
x
y es:
a) cero
23) Si la gráfica de una función es la siguiente:
La derivada de la función es:
) 0
a ) No se puede saber
b ) No está definida
c ) 1
d  ) 2
e 
24) La función de posición de una partícula está dada por 3 2
( ) 4.5 7 0
s t t t t t
    ¿Cuándo
alcanza la partícula una velocidad de 5 / .
m s ?
) 1 .
a t seg
 ) 4 .
b t segs
 ) 2 .
c t segs
 ) 3 .
d t segs
 ) 0 .
e segs
25) La función cuadrática de la forma 2
y ax bx
  y cuya tangente en  
1,1 tenga la ecuación
3 2
y x
  es:
2
) 2 1
a y x
 
2
) 2 2
b y x x
 
2
) 2
c y x

2
) 2
d y x x
  
2
) 2
e y x x
 

38. 38
UNIDAD 4
COMPORTAMIENTO GRÁFICO Y PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Empezaremos esta última unidad del curso resolviendo problemas del comportamiento gráfico de
una función, sobre el desarrollo de los ejercicios se describe la parte teórica esencial.
PROBLEMA 1
Usando el criterio de la primera derivada para extremos relativos de una función, realizar un
bosquejo de la gráfica de las siguientes:
Solución
3 2
a) ( ) 6 9 3
f x x x x
   
Encontramos puntos críticos de la función, aquellos puntos donde ( ) 0
f x
  ó ( )
f x
 no esté
definida.
En este caso   
2 2
1 2
( ) 3 12 9 3( 4 3) 3 1 3 0 1 ó 3
f x x x x x x x x x
             
Al ubicar estos puntos en la recta real y hacer un estudio de la primera derivada alrededor de ellos
tenemos:
a) Para 1
x  podemos ver que   
( ) 3 1 3
f x x x
    es positiva ya que
     
(0) 3 0 1 0 3 3 1 3 9
f         , lo que sucederá para todo 1
x  .Así en 1
x  la
función es creciente.
b) Para 1 3
x
  nuevamente tomamos un punto de prueba para determinar el carácter de
monotonía de la función, tomemos 2
x  , así (2) 3(2 1)(2 3) 3
f       es negativa, lo
que sucederá para todo en el intervalo (1,3)
x .Así en 1 3
x
  la función es
decreciente.
c) Para 3
x  , por ejemplo 4
x  , vemos que (4) 3(4 1)(4 3) 9
f      es positiva lo que
sucederá en todo 3
x  . Así en 3
x  la función es creciente.
Con esto, puesto que 1 1
x  es un punto crítico de la función, recuerda que si la primera derivada
pasa de positiva a negativa en una vecindad de un punto crítico este es un MÁXIMO RELATIVO de
la función, así:
     
   
3 2
(1, (1)) 1, 1 6 1 9 1 3 1,1 6 9 3 (1,1)
f          es un punto importante de la
gráfica de la función.
Ahora 2 3
x  , también es un punto crítico de la función pero la derivada de la función pasa de
Negativa a positiva en una vecindad de él así que el criterio de la primera derivada nos dice que es
un MÍNIMO RELATIVO de la función,  
(3, (3)) 3, 3
f   es otro punto significativo de la gráfica de
la función. Lo anterior lo resumimos en el siguiente esquema:

39. 39
Y el bosquejo de la gráfica de la función sería:
b) 4 2
( ) 8 2
f x x x
  
3 2
1 2 3
Primero veamos donde ( ) 4 16 4 ( 4) 4 ( 2)( 2) 0
2 ó 0 ó 2 Entonces si;
f x x x x x x x x
x x x
         
   
a) 2
x   por ejemplo 3
x   , ( 3) 4( 3)( 3 2)( 3 2) 60
f            ( ) 0
f x
  en 2
x   y
la función es decreciente en 2
x   .
b) 2 0
x
   por ejemplo 1
x   , ( 1) 4( 1)( 1 2)( 1 2) 12 ( ) 0
f f x
 
          en
2 0
x
   y la función es creciente en 2 0
x
   .
c) 0 2
x
  por ejemplo 1
x  , (1) 4(1)(1 2)(1 2) 12 ( ) 0 en 0 2
f f x x
 
         y la
función es decreciente en 0 2
x
  .
d) 2
x  por ejemplo 3
x  , (3) 4(3)(3 2)(3 2) 60 ( ) 0 en 2
f f x x
 
       y la función es
creciente en 2
x  .
Resumamos la información:

40. 40
Con esto también tenemos que 1 2
x   , 4 2
( 2) ( 2) 8( 2) 2 16 32 2 14
f            es un
mínimo relativo de la función y ( 2, 14)
  es un punto importante de la gráfica de la función.
En 2 0
x  ,    
4 2
(0) 0 8 0 2 2
f     es un máximo relativo de la función y (0,2) es un punto
importante de la gráfica de la función.
Finalmente en 3 2
x  ,    
4 2
(2) 2 8 2 2 14
f      la función tiene un mínimo relativo y
(2, 14)
 es un punto importante de la gráfica de la función, un bosquejo de la gráfica de la
función es:
Ejercicio 1
Empleando el criterio de la primera derivada para extremos relativos de una función realizar un
bosquejo de la gráfica de las siguientes, indicando donde es creciente o decreciente.
1) 3 2
( ) 2 15 20
f x x x x
   
2)
2 3
( ) 1 2
2 3
x x
f x x
   
3) 2 3
( ) 3
f x x x
 
4) 2 3
( ) 2 12 3 2
f x x x x
   
5) 4
( ) 4
f x x x
 
6) 3
( ) 3 2
f x x x
  
7) 2 3
( ) 2
f x x x
 
8) 3 2
( ) 3 2
f x x x
  
9) 3 2
( ) 3 13 2 8
f x x x x
   
10) 2 4
( ) 2
f x x x
 

41. 41
PROBLEMA 2
Usando el criterio de la segunda derivada para extremos relativos de una función realiza un
bosquejo de la gráfica de las siguientes funciones.
Solución
a) 3 2
( ) 3 9 2
f x x x x
    
Determinamos donde ( ) 0
f x
  , en este caso
  
2 2
1 2
( ) 3 6 9 3( 2 3) 3 1 3 0 1 ó 3
f x x x x x x x x x
                 
Derivando otra vez 2
( ) 3 6 9
f x x x
     , tenemos que ( ) 6 6
f x x
    , evaluando
1 2
1 , 3
x x
   en ( ) 6 6
f x x
    se tiene ( 1) 6( 1) 6 12
f        , así que el criterio de la
segunda derivada establece que en 1 1
x  
3 2
( 1) ( 1) 3( 1) 9( 1) 2 1 3 9 2 7
f                Es un mínimo relativo de la función.
Evaluando ahora en 2 3
x  , (3) 6(3) 6 12
f       así que el criterio de la segunda derivada
establece que en 2 3
x  , la función tiene un máximo relativo.
3 2
(3) (3) 3(3) 9(3) 2 27 27 27 2 25
f           
Dos puntos importantes de la gráfica de la función son:   
1, 7 , 3,25
 
Puesto que ( ) 6 6
f x x
    y ( ) 6 6 0 1
f x x x
       Al hacer un estudio de la segunda
derivada en los “alrededores de 1
x  ” se tiene que si:
a) 1
x  ( ) 0
f x
  , ya que ( 1) 6( 1) 6 12
f        , se tiene que la gráfica de la función es
cóncava hacia arriba en 1
x  .
b) 1
x  ( ) 0
f x
  , ya que (3) 6(3) 6 12
f       , se tiene que la gráfica de la función es
cóncava hacia abajo para 1
x  .
Este análisis nos sirve para afirmar que en el punto (1, (1))
f la gráfica de la función presenta un
cambio de concavidad por eso, a este punto se le llama un punto de inflexión.
Un bosquejo de la gráfica de la función es:

42. 42
b) 4 2
( ) 2
f x x x
 
Determinamos donde ( ) 0
f x
  , en este caso
  
3 2
1 2 3
( ) 4 4 4 ( 1) 4 1 1 0 1 ó 0 ó 1
f x x x x x x x x x x x
             
Derivando otra vez 3
( ) 4 4
f x x x
   , tenemos 2
( ) 12 4
f x x
   , evaluando
1 2 3
1 , 0 , 1
x x x
    en 2
( ) 12 4
f x x
   se tiene 2
( 1) 12( 1) 4 8
f       , así que 1 1
x  
, 4 2
( 1) ( 1) 2( 1) 1 2 1
f          es un mínimo relativo de la función.
Ahora 2
(0) 12(0) 4 4
f      en 2 0
x  , 4 2
(0) (0) 2(0) 0 0 0
f      es un máximo
relativo de la función.
Finalmente 2
(1) 12(1) 4 8
f     , así que 3 1
x  , 4 2
(1) (1) 2(1) 1 2 1
f       es un mínimo
relativo de la función.
Tres puntos importantes de la gráfica de la función son:     
1, 1 , 0,0 , 1, 1
  
Ahora veamos donde 2
( ) 12 4
f x x
   = 0 lo cual sucede en
1
3
x   , los cuales pueden dar
lugar a puntos donde la gráfica de la función cambia de concavidad, para determinar el sentido de
la concavidad de la gráfica de la función, hagamos un estudio de la concavidad en vecindades de
1
3
x   .
a) Para
1
3
x   por ejemplo 2
1, ( 1) 12( 1) 4 8
x f 
       , la gráfica de la función es
cóncava hacia arriba.

43. 43
b) Para
1 1
3 3
x
   por ejemplo 0
x  , 2
(0) 12(0) 4 4
f      , la gráfica de la función es
cóncava hacia abajo.
c) Para
1
3
x  por ejemplo 2
1, (1) 12(1) 4 8
x f 
    , la gráfica de la función es cóncava
hacia arriba.
Esto también nos sirve para determinar que en
1
3
x   la gráfica de la función tiene dos
puntos de inflexión.
4 2
4 2
1 1 1 1 1 1 1 2 1 5
, , 2 , ,
9 3 6
3 3 3 3 3 3 3
Para el otro punto tenemos:
1 1 1 1 1 1 1 2 1 5
, , 2 , ,
9 3 6
3 3 3 3 3 3 3
f
f
 
 
         
     
 
 
         
 
         
   
 
 
         
            
 
 
         
 
         
   
Con todo esto tenemos el bosquejo de la gráfica de la función:
Ejercicio 2
Hacer un bosquejo de la gráfica de las siguientes funciones, usando el criterio de la segunda
derivada para extremos relativos, determinar también regiones de concavidad, y puntos de
inflexión.
1) 3 2
( ) 3 4
f x x x
  
2) 3 2
( ) 6 9 2
f x x x x
   
3) 3 2
( ) 2 9 12 6
f x x x x
   

44. 44
4)
3
2
3
( )
4 2
x
f x x
 
5) 4
( ) 4
f x x x
 
6) 2 4
( ) 2
f x x x
 
7) 4 2
( ) 1
f x x x
  
8)
4 3
2
( ) 2 4 1
4 3
x x
f x x x
    
9) 4 3 2
( ) 2 3 4 4
f x x x x x
    
10)
4
( )
f x x
x
 
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
PROBLEMA 3
Plantea y resuelve los siguientes problemas usando los criterios de optimización vistos.
Solución
a) Se desea construir una caja de un pedazo de cartón de 12 x 12
cms cms , cortando cuadrados
iguales en las esquinas y doblando los lados. Hallar la longitud del lado del cuadrado a cortar para
que el volumen de la caja sea máximo.
Doblando, tenemos
Al doblar, el volumen de la caja está dado por  
2
( ) (12 2 )(12 2 ) 12 2
V x x x x x x
    
De donde 0 6
x
  determinemos puntos críticos del modelo planteado, esto es:
2 2
1 2
( ) 0,puesto que ( ) (2(12 2 )( 2)) (12 2 ) (12 2 )( 4 ) (12 2 )
(12 2 )( 4 12 2 ) (12 2 )(12 6 ) 0 6 ó 2
V x V x x x x x x x
x x x x x x x
 
          
          
El punto crítico válido es 2 2
x  , en efecto, ya que      
( ) 12 2 6 12 6 2
V x x x
       el
criterio de la segunda derivada dice que
 
    
    
 
2
(2) 12 2 2 6 12 6 2 2 48 (2) 2 12 2 2 128
V V
             es máximo.

45. 45
b) De un trozo de papel circular de radio R se construye un vaso cónico, cortando un sector y
uniendo los lados CA y CB. Encuentre la capacidad máxima de dicho vaso. Ver figura.
Al unir CA con CB el vaso cónico queda como:
Por el teorema de Pitágoras 2 2 2
R r h
 
El volumen del cono es 2
1
3
V r h

 , puesto que 2 2 2
r R h
  ,    
2 2
1
3
V h R h h

  
 
2 3
1
3
R h h
     
2 2 2 2 2 2
1 1
( ) 3 ( ) 0 3 3 0
3 3
V h R h V h R h R h
 
 
         
3
R
h
  Veamos que este valor de h nos da una capacidad máxima, en efecto,
 
1
Puesto que ( ) 6 2 evaluando
3 3
R
V h h h h
 
      en ( ) 2
V h h

   tenemos
2 0
3 3
R R
V 
   
   
   
   
probando que en
3
R
h 
2 2 3
2
1 1 2 2
3 3 3 3
3 3 3 9 3
R R R R R R
V R

 
   
 
   
   
 
     
es la capacidad del vaso es máxima.
c) Una compañía fabricante de trajes determina que puede vender 2000 trajes a sus proveedores
en $750 cada traje y que por un incremento de $25 en cada traje venderá 40 trajes menos
¿Cuántos trajes tiene que vender para maximizar sus ganancias?
Hagamos un planteamiento basándonos en el siguiente registro.

46. 46
Precio por traje Número de trajes vendidos Utilidad
750 2000 1,500,000
750+25(1) 2000-40(1) 1,519,000
750+25(2) 2000-40(2) 1,536,000
750+25(3) 2000-40(3) 1,551,000
750+25(4) 2000-40(4) 1,564,000
De acuerdo con el registro el modelo   
( ) 2000 40 750 25
U x x x
   nos da la utilidad.
Así      
( ) 2,000 40 25 750 25 40 20,000 2,000 0 10 y
U x x x x x
          
  
( ) 2,000 (10) 2,000 (10) 1,600 1,000 1,600,000
U x U U
 
        es la utilidad
máxima y se obtiene vendiendo 1600 trajes en $1,000 cada traje.
Ejercicio 3
Resuelve los siguientes problemas usando los criterios de la primera o segunda derivada para
optimizar.
1) Se quiere construir una caja de base cuadrada sin tapa que tenga un volumen de
4 dm3
.Encontrar las dimensiones que minimicen la cantidad de material necesario.
2) Se desea construir un recipiente cilíndrico sin tapa que tenga una capacidad de 1 m3
.Encontrar
las dimensiones que debe tener para que la cantidad de material sea mínima.
3) Para un cercado rectangular el alambre del largo cuesta $20 por metro, mientras que el del
ancho cuesta $40 por metro si se cuenta con $800¿Cuál es el cercado rectangular de área máxima
que puede hacerse con los $800?
4) Encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima de entre todos los que tiene
perímetro 24.
5) De un pedazo de cartón de 16 x 20 cms.de lado se desea construir una cajita, abierta por arriba,
cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando hacia arriba ¿De que medida deben ser los
cuadraditos para que el volumen de la caja sea máximo?
6) Un almacén rectangular debe tener 465 m2
de área y debe estar dividido en dos zonas
rectangulares por una pared interior .El coste de las paredes exteriores es de $150 por metro
lineal y el de la pared interior de $100 por metro. Hallar las dimensiones que minimicen el coste de
la construcción del almacén.
7) Un zoológico cobra $80 por entrada, pero da precio especial a grupos entre 30 y 60 personas. Si
entran más de 30 el precio disminuye $1, en cada aumento sucesivo de entradas. ¿El ingreso de
cuántas personas dentro de este rango producirá al zoológico ganancias máximas?
8) Se desea construir una piscina rectangular de 1800ft2
.El dueño desea que tenga pasillos de 5ft.
de ancho a cada lado y 10 ft en los extremos. Calcule las mínimas dimensiones del terreno
rectangular dentro del cual quedará la alberca con las especificaciones dadas.
9) Hallar las coordenadas del punto ( , )
P x y que maximice el área del rectángulo de la figura:

47. 47
10) Hallar las dimensiones del triángulo isósceles de perímetro 12 y área máxima.
CUESTIONARIO DE EVALUACION
Lee cuidadosamente las siguientes preguntas y subraya la respuesta correcta:
1. ¿Qué valores de x producen un mínimo y máximo relativo, respectivamente para
5
12
3
2
)
( 2
3



 x
x
x
x
f ?
a). 0
,
5
 b). 1
,
2
 c). 3
,
1  d). 2
,
1  e). 1
,
2 
2. ¿Cuál es el valor máximo de  3
1
2
1
)
( 
 x
x
x
f en el intervalo de  
0
,

 .
a).
3
3
9
4
b).
3
4
16
9
c).
3
5
25
16
d).
3
6
36
25
e).
3
7
49
36
3. Sea x
y 3
 para 0

x . ¿Cuál es la coordenada x del punto en la gráfica de y que está más
cerca del punto  
0
,
5 ?
a).
7
2
b). 1 c).
2
5
d).
2
7
e).
2
13
4. ¿Cuál es el valor máximo de 2
1
)
(
x
x
x
x
f


 en el intervalo cerrado  
2
,
2
 ?
a).
4
1
b).
7
2
c).
3
1
d).
2
7
e). 1
5. Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de radio 10, con un lado sobre el diámetro del
semicírculo. ¿Cuál es el área máxima posible del rectángulo?
a). 2
5 b). 50 c). 100 d). 5
60 e). 145
6. Una partícula se mueve sobre el eje x , de tal manera que su posición en el tiempo t es
2
)
( 2
3


 t
t
t
x , ¿Cuál es la velocidad máxima alcanzada por la partícula durante el periodo de
tiempo
6
5
0 
 t ?

48. 48
a).
3
1
b).
12
5
c).
27
50
d).
27
52
e). 2
7. ¿En cuál de los siguientes intervalos abiertos es la función x
x
x
f 2
6
1
)
( 3

 decreciente y
cóncava hacia arriba?
a).  
2
,
2
 b).  
0
,
2
 c). d).  
3
,
2 e).  
4
,
2

8. Dada la función x
x
x
f 4
)
( 2

 , de el intervalo donde es creciente.
a).  

,
2 b).  

 ,
2 c).  
2
,
2
 d).  
2
,

 e).  
2
, 

 f).  
2
,
2
9. La función dada por 1
3
)
( 3


 x
x
x
f cumple que la segunda derivada es igual a 6 en el punto
x igual a:
a). 6

x b). 1

x c). 0

x d).
6
1

x e). punto
tal
existe
no f).
6
1


x
10. Si :
f  , 2
3
2
3
)
( x
x
x
f 
 tiene un máximo relativo en:
a). 0

x b). 4


x C. 2


x d). 2

x e). f). no tiene
11. Sea :
f  , 2
3
2
3
)
( x
x
x
f 
 , tiene un mínimo relativo en:
a). 0

x b). 4


x c). 2


x d). 2

x e). f). no tiene
12. Sea :
f  , 2
3
2
3
)
( x
x
x
f 
 tiene un punto de inflexión en:
a). 0

x b). 4


x c). 2


x d). 2

x
e). f). no tiene
13. La gráfica de 7
6
5
2 2
3



 x
x
x
y tiene un punto de inflexión en :
a).
3
5
 b). 0 c).
6
5
 d).
2
5
 e). 2

14. Si 25
4
2



 x
x
y , ¿Cuál es el valor máximo de y ?
a). 25 b). 16
 c). 28 d). 29 e). 18
15. Si la gráfica de d
cx
x
ax
y 


 2
3
4 tiene un punto de inflexión en  
0
,
1 , entonces el
valor de a es:
a). 2 b).
3
4
 c).
2
1
d).
3
2
e).
7
9
16. Dado que 7
6
2
)
( 2
3



 x
x
x
g , ¿Cuál es el valor mínimo de )
(x
g en el intervalo  
2
,
1 ?
a). 47
 b). 15
 c). 7
 d). 0 e). 4
 
2
,
0
4

x
4

x
4

x

49. 49
17. Una función )
(x
f tiene las propiedades 0
)
(
0
)
( 



 a
f
y
a
f . ¿Cuál de los siguientes
argumentos es cierto?
a). La gráfica de )
(x
f
y  tiene una tangente horizontal en  
)
(
, a
f
a .
b).  
)
(
, a
f
a es un punto de inflexión.
c).  
)
(
, a
f
a debe ser o máximo o mínimo.
d). f es continua en a
x  .
e). Ninguna de las anteriores es cierta.
18. Dada 2
3
6
)
( x
x
x
f 
 . ¿En cuál de los siguientes intervalos es creciente?
a).  
2
,
4 
 b).  
3
,
1 c).  
8
,
6 d).  
0
,
1
 e).  
5
,
4
19. Dada una función a
x
x
x
w 


 16
2
)
( 2
. ¿Cuál es el valor de a si el máximo absoluto de la
función es 39?
a). 16 b). 36 c). 7 d). 18 e). 13
20. Dada una función f , ¿Cuántos de los siguientes argumentos son ciertos?
( i ) Si 0
)
( 

 a
f , entonces la gráfica de )
(x
f
y  es cóncava hacia arriba en a
x  .
( ii ) Si )
(a
f  no existe, entonces a no está en el dominio de f .
( iii ) Si 0
)
(
)
( 


 a
f
y
a
f , entonces )
(a
f es un máximo relativo.
( iv ) Si 0
)
(
)
( 


 a
f
y
a
f , entonces 0
)
( 


 a
f .
a). 0 b). 1 c). 2 d). 3 e). 4