Moda colonial de 1810 donde podemos ver las distintas prendas
EXPOSICION III UNIDAD - CALCULO INFINITESIMAL 1.pdf
1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
´´PROBLEMAS RESUELTOS Y/O EJERCICIOS APLICANDO EL
ÁREA BAJO UNA CURVA Y DOS CURVAS. ´´
AUTOR (a):
REYES DE LAMA , Yajaira Marily
GARCIA PRECIADO , Andres Alfredo
LLAXAHUACHE JUAREZ , Lorena Lilibeth
MENDOZA CHAVEZ , Aquiles Ronaldhinho
Docente:
Dr. VERA NAMAY, Emilio Máximo
Tumbes-Perú
2023-I
2. 2
INDICE
I. INTRODUCCION ………………………………………………………………3
II. OBJETIVOS …………………………………………………………………5
III. DESARROLLO ………………………………………………………………….6
3.1. Calculo del Área bajo una curva ………………..................................6
3.1.1. Ejercicicos calculando el área bajo una curva ……………………..11
3.2. Calculo del Área bajo dos curvas………………………………………20
3.2.1. Ejercicios calculando el área bajo dos curva ……………………....23
3.3. La Integral definida : Excedente del consumidor y productor ………36
3.3.1. Ejercicios aplicando el área bajo dos curvas ………………………42
IV. CONCLUSIONES …………………………………………………………………52
V. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS………………………………………………53
3. 3
INTRODUCCION
El cálculo del área bajo una curva y entre dos curvas es una aplicación fundamental del cálculo
integral. Permite determinar el área encerrada por una función en un intervalo dado o la diferencia
de áreas entre dos funciones en un intervalo común. Esta técnica es ampliamente utilizada en diversas
áreas como la física, la economía, la ingeniería y la estadística, entre otras.
El cálculo del área bajo una curva se basa en la premisa de que el área encerrada por una función
positiva en un intervalo puede aproximarse mediante la suma de infinitas áreas de rectángulos
estrechos. Cuanto más pequeños sean estos rectángulos y mayor sea su número, más precisa será la
aproximación al área real. El cálculo integral permite precisamente encontrar el límite de esta suma
infinita de rectángulos, dando como resultado el área exacta bajo la curva.
4. 4
INTRODUCCION
Cuando se trata del cálculo del área entre dos curvas, se sigue un enfoque similar. Se
busca determinar el área encerrada entre dos funciones en un intervalo común. Para
ello, se encuentra el punto de intersección de las dos curvas y se calcula el área entre ellas
en cada subintervalo formado por los puntos de intersección.
En la resolución de problemas y ejercicios aplicando el cálculo del área bajo una curva y
entre dos curvas, es importante comprender los conceptos básicos del cálculo integral,
como las integrales definidas, las funciones continuas y positivas, así como la
interpretación geométrica de la integral como el área.
5. 5
II. OBEJTIVOS
• Aprender a identificar y delimitar correctamente el intervalo de
integración para calcular el área bajo una curva o entre dos curvas.
• Utilizar el cálculo del área bajo una curva y entre dos curvas para el cálculo de
volúmenes de sólidos de revolución.
• El uso de la integral definida permite a los economistas cuantificar el valor del
excedente del consumidor y del productor en un mercado determinado, lo que
a su vez puede ayudar a entender mejor cómo funciona la economía y cómo los
cambios en las políticas o en las condiciones del mercado pueden afectar el
bienestar de los consumidores y productores.
6. 6
III. DESARROLLO
CÁLCULO DEL ÁREA BAJO UNA CURVA
El cálculo integral llego a ser lo que es porque existía el problema geométrico de hallar áreas
de regiones poligonales, es decir regiones de aspecto curvos, de manera que estar áreas a encontrar
se solucionaran por medio de una integral.
Una definición simple de área bajo la curva seria: Si es continua y no es negativa en un
intervalo cerrado, el área de la región limitada por la gráfica de , el eje x y las rectas viene dada por:
7. 7
Integral definida:
Dada una función y un intervalo, la integra definida es igual al área limitada entre la gráfica de , eje
de abscisas, y las rectas verticales .
REGLA DE BARROW
La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo
cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de
f(x), en los extremos de dicho intervalo.
8. 8
Proceso usado para encontrar el área bajo una curva
Consideramos el área A bajo la curva f(x) que se muestra en el siguiente diagrama:
Podemos encontrar el área bajo esta curva usando una integral
definida. En este caso, el área bajo la curva está representada
por 𝐴 =
𝑎
𝑏
𝑥 𝑑𝑥 , en donde,
dx indica que los límites a y b son límites de x.
La constante a es el límite inferior de la integral.
La constante b es el límite superior de la integral.
Tomando esto en cuenta, podemos seguir los siguientes pasos
para encontrar el área bajo una curva suponiendo que queremos
encontrar el área bajo 2x entre x=0 y x=1.
9. 9
Paso 1: Formar una integral definida con la información dada. En este caso, tenemos la siguiente integral:
න
𝟎
𝟏
𝟐𝒙𝒅𝒙
Paso 2: Obtener la integral de la función y expresarla usando corchetes, en donde escribimos a los límites
de integración de la siguiente forma:
𝟎
𝟏
𝟐𝒙𝒅𝒙 = [𝒙𝟐
+ 𝒄]/𝟎
𝟏
Paso 3: Evaluamos los límites superior e inferior en la expresión integrada. Restamos el límite inferior del
límite superior:
10. 10
Paso 4: Simplificar hasta obtener un único valor numérico:
El valor encontrando corresponde al área.
Cuando resolvemos integrales definidas, generalmente las constantes de integración son
ignoradas, ya que serán canceladas en el paso 3 de todas formas.
11. 11
Ejercicios calculando el área bajo una curva
Ejercicio N° 01
Hallar el área de la región limitada por la recta 𝒚 =
𝟑𝒙−𝟔
𝟐
, el eje de las abscisas y las ordenadas
correspondientes a x= 0 y x=4.
Solución:
Vamos a graficar la función: 𝒚 =
𝟑𝒙−𝟔
𝟐
, pero primero vamos a dar valores a la variable
independiente para obtener la dependiente y poder ir a la gráfica.
12. 12
• Tabulamos: x y
0 -3
2 0
4 3
• Paso 3: Representamos la función en el GeoGebra:
13. 13
• Paso 4: Ahora calculamos la región limitada por los puntos: x=0 y x= 4
Entonces el área será:
X = 0 y x = 2
𝑨𝟏 = න
𝟎
𝟐
𝟑𝒙 − 𝟔
𝟐
𝒅𝒙
𝑨𝟏 = න
𝟎
𝟐
𝟑𝒙
𝟐
− 𝟑 𝒅𝒙
𝑨𝟏 =
𝟑𝒙𝟐
𝟒
− 𝟑𝒙
𝟎
𝟐
𝑨𝟏 =
𝟑 𝟐 𝟐
𝟒
− 𝟑 𝟐
𝑨𝟏 = 𝟑 − 𝟔 → 𝑨𝟏 = 𝟑 𝒖𝟐
Observamos que la recta queda por
encima de la parábola
Hallamos el área de cada región limitada
x = 0 y x = 2, también x= 2 y x = 4, luego
sumamos. dichos resultados.
18. 18
• Paso 3: calculamos el área bajo la curva y el eje de las abscisas:
𝐴 = න
𝟎
𝟐
𝟔𝒙𝟐
− 𝟑𝒙𝟑
𝒅𝒙
𝑨 = 𝟐𝒙𝟑 −
𝟑
𝟒
𝒙𝟒
𝟎
𝟐
𝑨 = 𝟏𝟔 − 𝟏𝟐
𝑨 = 𝟒 𝒖𝟐
Graficamos en GeoGebra el área de dicha curva con el eje de las abscisas.
20. 20
CÁLCULO DEL ÁREA BAJO DOS CURVAS.
Supongamos que f (x) y g(x) sean funciones continuas en un intervalo cerrado [a, b] tal que f (x) ≥ g(x)
en [a, b]. Queremos encontrar el área entre las gráficas de las funciones, como se muestra en la
siguiente figura.
Figura 6.1_1 El área entre las gráficas de dos
funciones, f (x) y g (x), en el intervalo [a, b].
21. 21
Como lo hicimos antes, vamos a dividir el intervalo en el eje x y aproximar el área entre las gráficas
de las funciones con rectángulos. Entonces, para i = 0, 1, 2, …, n, sea P = {xi} una partición regular de
[a, b]. Luego, para i = 1, 2, …, n, elija un punto xi* ∈ [xi − 1, xi], y en cada intervalo [xi − 1, xi]
construya un rectángulo que se extienda verticalmente desde g (xi*) a f (xi*). La figura 6.2 (a)
muestra los rectángulos cuando xi* se selecciona como el punto final izquierdo del intervalo
con n = 10. La figura 6.2 (b) muestra un rectángulo representativo en detalle.
Figura 6.1_2 (a) Podemos aproximar el área entre las
gráficas de dos funciones, f (x) y g (x), con rectángulos.
(b) El área de un rectángulo típico va de una curva a
otra.
22. 22
La altura de cada rectángulo individual es f (xi*) − g (xi*) y el ancho de cada rectángulo es Δx. Agregando las áreas
de todos los rectángulos, vemos que el área entre las curvas se aproxima por
Esta es una suma de Riemann, entonces tomamos el límite cuando n → ∞ y obtenemos
Estos hallazgos se resumen en el siguiente teorema.
. Encontrar el área entre dos curvas
Supongamos que f (x) y g(x) sean funciones continuas tales que f (x) ≥ g(x) en un intervalo [a, b]. Supongamos
que R denota la región delimitada arriba por la gráfica de f (x), abajo por la gráfica de g(x), y a la izquierda y
derecha por las rectas x = a y x = b, respectivamente. Entonces, el área de R viene dada por
23. 23
Ejercicios calculando el área bajo dos curvas
Ejercicio N° 01
Calcular el área limitada por la curva 𝒚 = 𝒙𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟔 y la recta 𝒚 = 𝟐𝒙.
Solución:
• Paso 1. : Primero debemos hallar el punto de corte de las dos funciones para conocer los límites
de integración:
Igualamos las funciones:
𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 ; 𝒚 = 𝟐𝒙.
𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟐𝒙
𝒙𝟐
− 𝟕𝒙 + 𝟔 = 𝟎
30. 30
Ejercicio N° 02 Calcular el área de la región limitada por la parábola: 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟐 y la recta
que pasa por los puntos: −𝟏; 𝟎 𝒚 (𝟏; 𝟒)
Solución:
• Paso 1: Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos: −𝟏; 𝟎 𝒚 (𝟏; 𝟒)
Sabemos que: 𝒚 − 𝒚𝟏 =
𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
𝒙 − 𝒙𝟏
𝒚 − 𝟎 =
𝟒 − 𝟎
𝟏 − −𝟏
𝒙 − −𝟏
𝒚 =
𝟒
𝟐
𝒙 + 𝟏
𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟐
32. 32
• Paso 3: Buscamos los elementos de la función:
𝒚 = 𝒙𝟐
+ 𝟐 Vértice:
𝑽
−𝒃
𝟐𝒂
; 𝒇 −
𝒃
𝟐𝒂
𝑽
𝟎
𝟐 𝟏
; 𝒇 −
𝒃
𝟐𝒂
𝑽 𝟎 ; 𝟎𝟐
+ 𝟐
𝑉 0; 2
Corte con el eje y, hacemos que x = 0
𝒚 = 𝒙𝟐
+ 𝟐
𝒚 = 𝟎𝟐
+ 𝟐
𝒚 = 𝟐
• Observamos que con el eje x no habrá cortes.
Ahora con la función: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟐 buscamos algunos
valores para poder graficarla:
x y
0 2
1 4
2 6
36. 36
LA INTEGRAL DEFINIDA: EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR Y PRODUCTOR
o Excedente de los Consumidores
Suponga que usted va al supermercado con el objetivo de comprar un producto y que cuando lo va a pagar, recibe la
grata sorpresa de que está más barato de lo que usted pensaba, esta situación tiene una interpretación formal. Si
observamos la función de demanda de un determinado artículo, podemos notar que si se fija el precio de cada
unidad en Perolitos (Ps.), los consumidores estarán dispuestos a comprar unidades de dicho artículo.
37. 37
Sin embargo, una vez que se ha fijado el punto de equilibrio Ps., podemos notar que aquellos
consumidores que están dispuestos a comprar unidades cuando el precio se había fijado en Ps.,
ahora comprarán las mismas unidades pagando cada unidad en un menor precio de Ps.
De esta forma, si un consumidor pensaba gastar Ps. (precio por unidad multiplicado por la cantidad
adquirida), una vez que se ha fijado el precio de equilibrio, gastará Ps. Esto genera un beneficio para
los consumidores, y a partir de este hecho surge la siguiente pregunta: ¿es posible cuantificar este
beneficio?
38. 38
Para responder a esta pregunta, supongamos que la cantidad de unidades que los consumidores piensan
comprar no es fija sino que es una gama representada por un rango de unidades comprendidas entre
ninguna unidad y la cantidad , fijada por el punto de equilibrio. El gasto que pagarían originalmente,
está representado por el área que está debajo de la función de demanda de la siguiente forma,
Pero como al final los consumidores están pagando un precio de Ps. por cada unidad, el beneficio
generado al fijar el equilibrio, está representado por el área que está debajo de la función de demanda
y por encima del precio de equilibrio de la siguiente forma,
39. 39
El área que representa el beneficio para los consumidores una vez que se ha fijado el precio de equilibrio se llama
Excedente de los Consumidores o Superávit de los Consumidores, y lo podemos medir calculando el área que se
encuentra entre la función de demanda, la recta que define del precio de equilibrio y el Eje P.
Por lo tanto, si la función de demanda está denotada
de la forma , determinamos el excedente de los
consumidores calculando la siguiente integral
definida:
E.C= (𝐷 (𝑞) − 𝑝)𝑑𝑞
𝑞0
0
40. 40
Excedente de los Productores
Suponga que usted es productor de un artículo, pero luego de estudiar los costos y un posible precio de venta para
recibir unos ingresos aceptables, recibe la grata sorpresa de que puede fijar un precio por encima de lo que usted
pensaba, esta situación tiene una interpretación formal. Si observamos la función de oferta de un determinado artículo,
podemos notar que los productores estarán dispuestos a ofertar unidades de dicho artículo si se fija el precio de cada
unidad en Perolitos (Ps.),
Sin embargo, una vez que se ha fijado el punto de equilibrio Ps., podemos
notar que aquellos productores que están dispuestos a ofertar unidades
cuando el precio se había fijado en Ps., ahora ofertarán las mismas unidades
vendiendo cada unidad en un mayor precio de Ps.
41. 41
De esta forma, si un productor pensaba recibir Ps. (precio por unidad multiplicado por la cantidad ofertada), una vez
que se ha fijado el precio de equilibrio, recibir Ps. Esto genera un beneficio para los productores, y a partir de este
hecho surge la siguiente pregunta: ¿es posible cuantificar este beneficio?
Para responder a esta pregunta, supongamos que la cantidad de unidades que los productores piensan ofertar no es fija
sino que es una gama representada por un rango de unidades comprendidas entre ninguna unidad y la cantidad , fijada
por el punto de equilibrio. Los ingresos que recibirían originalmente, están representado por el área que está debajo de la
función de oferta de la siguiente forma,
42. 42
Ejercicio N° 01
En la calurosa ciudad de tumbes se encuentra ubicada una de las empresas más prestigiosas del
norte, dicha empresa determino que su función demanda, en soles, es:
p= 390-0.7q
y también su función oferta, en soles, determinada por:
p= 30 + 1.1q
esta nos pide calcular el excedente del consumidor y el excedente del productor de su
producto, bajo un equilibrio de mercado
EJERCICIOS CALCULANDO LA INTEGRAL DEFINIDA:
EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR Y PRODUCTOR
43. 43
solución:
• Al existir un equilibrio de mercado
Cantidad ofrecida = cantidad demandada
• Por lo tanto:
Cantidad de equilibrio: 𝒒𝟎
Precio de equilibrio: 𝒑𝟎
• Por aquellos puntos pasan ambas funciones
1. Entonces: igualamos nuestras funciones
P: 390-0.7q = 30 + 1.1q
390 -30 = 1.1q +0.7q
360= 1.8q
𝟑𝟔𝟎
𝟏.𝟖
= q
200 = 𝒒𝟎
44. 44
2. Precio de equilibrio; reemplazamos para hallar p en cualquiera de las dos funciones
p= 390-0.7q
p= 390-0.7(200)
p=390- 140
𝒑𝟎 = 250
3. Encontramos el excedente del consumidor
• Recordamos nuestra formula
EC= 𝟎
𝒒𝟎
𝑫 𝒒 − 𝒑 𝒅𝒒
45. 45
• En donde tenemos los datos: • aplicamos la formula, reemplazando datos:
EC= 𝟎
𝟐𝟎𝟎
𝟑𝟗𝟎 − 𝟎. 𝟕𝒒 𝟐𝟓𝟎 𝒅𝒒
EC= 𝟎
𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟒𝟎 − 𝟎. 𝟕𝒒 𝒅𝒒
140 𝒅𝒒 − 𝟎. 𝟕 𝒒 𝒅𝒒
140q -
𝟎.𝟕𝟐
𝟐
+ C
140 q - 0.35𝒒𝟐 + C
F = 140q - 0.35𝒒𝟐
𝒒𝟎 = 200
D(q) = 390 – 0.7q
𝒑𝟎= 250
46. 46
• Recordamos la formula del teorema fundamental del calculo
F (b) – F(a)
F(b)= 140 (200) – 0.35 ( 200)𝟐
F (b) = 14000
Y en F (a) tenemos:
F(a)= 140 (0) – 0.35 ( 0)𝟐
F(a) = 0
• Calculamos los resultados
47. 47
• F (b) – F(a)
14000 -0
14000
✓ Respuesta:
El excedente del consumidor es de 14000 soles.
49. 49
• Recordamos la formula del teorema fundamental del calculo
F (b) – F(a)
F(b)= 220 (200) – 0.55 ( 200)𝟐
F (b) = 22 000
Y en F (a) tenemos:
F(a)= 220 (0) – 0.55 ( 0)𝟐
F(a) = 0
• Calculamos los
resultados
• F (b) – F(a)
22000 -0
22000
✓ Respuesta:
El excedente del
productor es de 22000
soles.
50. 50
• En donde tenemos los datos: • aplicamos la formula, reemplazando datos:
EC= 𝟎
𝟐𝟎𝟎
𝟑𝟗𝟎 − 𝟎. 𝟕𝒒 𝟐𝟓𝟎 𝒅𝒒
EC= 𝟎
𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟒𝟎 − 𝟎. 𝟕𝒒 𝒅𝒒
140 𝒅𝒒 − 𝟎. 𝟕 𝒒 𝒅𝒒
140q -
𝟎.𝟕𝟐
𝟐
+ C
140 q - 0.35𝒒𝟐 + C
F = 140q - 0.35𝒒𝟐
𝒒𝟎 = 200
D(q) = 390 – 0.7q
𝒑𝟎= 250
52. 52
IV. Conclusiones
El concepto de área bajo una curva es de gran importancia en matemáticas y en diversas áreas del conocimiento.
Su cálculo mediante el uso de integrales definidas permite comprender y analizar fenómenos de acumulación y
cambio a lo largo de intervalos, lo que lo convierte en una herramienta valiosa para resolver problemas y tomar
decisiones informadas en diferentes contextos.
El cálculo de áreas bajo dos curvas es una herramienta útil en matemáticas y diversas áreas del conocimiento,
ya que permite cuantificar diferencias y comparar magnitudes a través del análisis de regiones encerradas por
dos funciones. La interpretación geométrica y el uso de integrales definidas son fundamentales para realizar este
tipo de cálculos de manera precisa y eficiente.
La integral definida es una herramienta valiosa para los economistas y otros profesionales que trabajan en el
campo de la teoría económica, ya que les permite cuantificar el valor del excedente del consumidor y del
productor en un mercado determinado y entender mejor cómo funciona la economía.
53. 53
V. Referencias bibliográficas
file:///C:/Users/Usuario/Downloads/DIAPOSITIVAS_06.pdf
ÁREA BAJO LA CURVA (INTEGRAL DEFINIDA). (n.d.). MATEMÁTICAS V.
https://katyagm.weebly.com/home/area-bajo-la-curva-integral-definida
https://www.neurochispas.com/wiki/8-ejercicios-resueltos-del-area-bajo-una-curva/
https://www.ipn.mx/assets/files/cecyt11/docs/Guias/UABasicas/Matematicas/calculo-integral-3.PDF
file:///C:/Users/Usuario/Downloads/DIAPOSITIVAS_07.pdf
Arias-García, A. (2021, April 26). Excedente de los Consumidores y de los Productores – Caso no lineal. Totumat.
https://totumat.com/2021/04/26/excedente-de-los-consumidores-y-de-los-productores-caso-no-lineal/
Integral Definida Excedente de Los Consumidores Y de Los Productores | PDF | Excedente económico | Oferta (economía). (n.d.). Scribd.
Retrieved July 23, 2023, from
https://es.scribd.com/document/360211596/integraldefinidaexcedentedelosconsumidoresydelosproductores-140514095410-
phpapp01-docx#
