1XX.pdf

Actividad
Sección 1
Números reales
De esto se trata…
Es posible que al resolver un ejercicio hayas obte-
nido como resultado un número no muy “cómodo”
de utilizar. Por ejemplo, con una calculadora puedes
comprobar que
4 : 17 = 0,235294117
La calculadora, ¿está mostrando todos los decima-
les? Si tuviéramos una calculadora de mayor capacidad,
¿obtendríamos más?
Es posible, incluso que pudiéramos ver algunas re-
gularidades como en la división 5 : 3
5 : 3 = 1,666666667
Parece que solo obtendremos el decimal 6, repetido
hasta que… terminamos con un 7. ¿Es un error de
la calculadora? ¿Podemos seguir confiando en ella o
necesitamos más información?
En grupos de 3 personas, realicen las siguientes actividades.
™ Utilicen una calculadora para determinar el resultado de la división 15 015 : 6 678 671.
š El valor obtenido anteriormente, ¿es un número con decimal finito? ¿Es un decimal periódico,
semiperiódico? ¿Es posible responder esta pregunta con el resultado que entrega la calculadora?
Justifiquen.
› Suponiendo que se trata de un decimal finito, expresen el resultado obtenido como fracción, y
simplifíquenla. El resultado que obtienen, ¿es equivalente a la fracción 15 015
6 678 671
?
Actividad grupal
ƒ ¿Qué te sugieren los
siguientes términos?
Â
Irracional
Â
Exacto
Â
Comprobar
Â
Demostrar
Â
Conjunto
ƒ ¿En qué ocasiones
has oído que un número
“no es exacto”Ejemplifica.
Explorandotus
ideas previas
Propósito:quecomprendaslanecesidaddequeexistaunconjuntodenúmeros
quepermitaresolversituacionesquenotienensoluciónenlosnúmerosracionales.
¿Qué aprenderás? ¿Dónde? Es importante porque te permitirá…
A identificar números irracionales y sus propiedades, y operar con
ellos en problemas geométricos.
Lección 1
comprender la necesidad de ampliar el conjunto
de los números racionales.
A aproximar números irracionales. Lección 2
manejar procedimientos para operar con estos
números.
A ordenar y ubicar números irracionales. Lección 3 comparar números irracionales.
A identificar y caracterizar el conjunto de los números reales. Lección 4
asociar el orden de los números irracionales con su
posición en la recta numérica.
5:3=1,666666667

Actividad
3 4
1 2
¿Qué debes saber?
Autoevaluación:
Indicador Sí No
Identificar y realizar operaciones entre
números racionales
Más de 3 respuestas correctas 3omenos
Aproximar, ordenar y ubicar números
racionales en la recta numérica.
Más de 2 respuestas correctas 2omenos
Si marcaste No, repasa en los siguientes sitios web….
http://goo.gl/tNSPC
http://goo.gl/xyW9j
para cada indicador, marca Sí si lo dominas o No si no lo dominas.
Realiza las siguientes actividades.
Identificar y realizar operaciones entre números racionales
1 Determina cuáles de los siguientes números son
naturales, enteros o racionales.
a. 2
b. 5
c. 5,5
d. 3,777…
e. –2
f. –1,3333….
g. 4,2878787…
h. 5,73
2 Expresa los siguientes números decimales
como fracción.
a. 3,1
b. 2,92
c. 3,5
d. 4,56
e. 7,21
f. 2,05
g. 6,231
h. 5,2898989…
3 Expresa las siguientes fracciones como
número decimal.
a. 7
10
b. 82
100
c. 27
1000
d. 15
8
e. 4
9
f. 15
99
g. 24
90
h. 1234
990
4 Calcula el resultado de las siguientes operaciones.
a. 0,3 + 0,81
b. 0,5 – 0,012
c.
t
d. 3
4
t ,7
e. 5,1:
2
5
f. 5
2
0,31t,3

Aproximar, ordenar y ubicar números racionales en la recta numérica
5 Aproxima por redondeo a la cifra indicada los
siguientes números:
a. 5324, a la centena.
b. 67278, a la centena.
c. 128, a la decena.
d. 4242, a la decena.
e. 1251,84, a la unidad.
f. 3,45, a la unidad.
g. 4,126, a la décima.
6 Aproxima por truncamiento a la cifra indicada los
siguientes números:
a. 3,355, a la décima.
b. 273,251, a la centésima.
c. 21,0174, a la centésima.
d. 1,23487, a la milésima.
7 Ordena de menor a mayor los siguientes números.
a. 4,41 4,44 4,42 4,4343
b. 5,23 5,2 5,22 5,222 5,23
c. 1
2
8
17
2
5
3
4
23
42
d. 15
21
0,5 3
5
0,65 0,75
e. 5
4
1,25 11
9
1,26 1,26
8 Ubica en una misma recta numérica cada uno de
los siguientes grupos de números.
a. 1,4 1,7 2,1 1,9 0,8
b. 2,5 5
3
7
4
1,8 31
8
c. 3
7
5
14
8
21
0,45 0,4

Lección
Números irracionales y problemas geométricos
Propósito: identificar números irracionales y sus propiedades, y operar con ellos en problemas geométricos.
Taller
En parejas, lean y realicen las siguientes actividades.
Un arco de fútbol mide 7,32 metros de largo,
lo que es equivalente a 73,2 decímetros o 732
centímetros.
¿Por qué no mide exactamente 7 metros?
Porque se definió en Inglaterra, donde se emplea
el sistema de medida anglosajón. En él, en lugar
del metro y los centímetros se utiliza la pulgada
(25,4 mm), de modo que 12 pulgadas (30,48 cm)
conforman un pie, y 3 pies una yarda (91,44 cm, aproximadamente un paso de un adulto).
De esta forma se estableció que el arco de fútbol tiene una longitud de 8 yardas (8 pasos).
Podemos decir que, independientemente de la unidad de medida que utilicemos,
la longitud del arco siempre es la misma. Aunque se emplean distintas unidades, tanto
el sistema métrico decimal como el anglosajón se basan en la comparación, es decir,
en analizar cuántas veces cabe una unidad de medida dentro de una longitud. Si
no cabe en forma exacta podemos dividirla en partes iguales más pequeñas hasta
obtener el número adecuado. Pero, ¿será posible siempre encontrar una división
exacta de la unidad de medida?
1 Consideren el cuadrado de la figura.
a) Midan con regla la medida de sus lados
AB, BC y su diagonal AC. ¿Es posible deter-
minar con regla la medida exacta de AC?
b) De acuerdo con el Teorema de Pitágoras se tiene la
siguiente relación:

AB +BC AC /
AB +BC AC
AB +BC AC
2 2 2
2 2 2
2 2
Utilicen una calculadora para determinar la medida de AC, considerando las me-
didas de AB y BC en centímetros. ¿Cuántos decimales tiene el número obtenido?
Comparen con los resultados de sus compañeros utilizando distintas calculadoras.
2 A los miembros de la escuela Pitagórica, en el siglo VI a.C., les llamó la atención
esta diagonal y su medida. Para estudiarla consideraron un cuadrado cuyo lado
midiera 1 unidad, y con ello su diagonal mediría 2 unidades, ya que:

1 +1 1+1 2
2 2
Supongamos que la unidad de medida utilizada para medir el lado del cuadra-
do puede dividirse en una cierta cantidad b de partes iguales, de modo que la
diagonal mide a de estas partes. Con ello tenemos que
2
a
b

Ayuda
¿Qué significa que una vara
mida 1,2 metros? Significa que
podemos dividir el metro en
10 partes iguales, y la vara
mide 12 de estas partes

1,2
12
10
Recuerda que…
Teorema de Pitágoras
Si ABC es un triángulo, rectán-
gulo en C, se cumple que:
A
B
C
AC² + BC² = AB²
Laraízcuadradadeunnúmero
aeselnúmerononegativoque,
multiplicadoporsímismo,da
comoresultadoa.Seescribe a.
A
D
B
C
1

3 4
1 2
Ayuda
Si un número x es impar,
puede escribirse como
x = 2n + 1
Si se calcula x², tenemos que
x²=(2n+1)²=4n²+4n+1
=2(2n²+2n)+1
Por lo tanto, si x es impar,
necesariamente x² es impar.
¿Qué ocurre si x es par?
Ayuda
Para realizar esta demostración
se supuso lo contrario a lo que
se deseaba demostrar y se
llegó a una contradicción. Esto
se conoce como reducción al
absurdo.
Recuerda que…
El número es una constante
que corresponde al perímetro
de una circunferencia de
diámetro 1.
1
a y b son números naturales, los que en caso de tener factores comunes podríamos
simplificarlos y obtener una fracción x
y
=
b
, donde x e y son números naturales
que no tienen factores comunes. Observen que para dos números naturales
tenemos las siguientes posibilidades:
t par
par
, que no es el caso porque entonces ambos números tendrían como
factor común a 2 (y ya simplificamos todos los factores comunes).
t impar
par
, que al elevarlo al cuadrado se obtiene
= → = → = → =
impar
par
impar
par
impar
par
impar
par
par impar
2 2 t t
Necesitaríamos que x fuera un número par que al multiplicarlo por 2 resultara un
número impar. No es posible.
a) Verifiquen si son posibles las combinaciones par
impar
y impar
impar
.
b) Considerando los resultados anteriores, ¿es posible encontrar una fracción
que sea igual a 2? Justifiquen.
Los pitagóricos se dieron cuenta de que no puede existir la fracción a
b
2
. Se dijo
entonces que era un número inconmensurable o inmedible porque no podemos
tomar una unidad de medida y dividirla en partes que quepan exactamente en ella.
Ya que no hay una fracción que lo represente, es un número que no pertenece a los
números racionales, por lo tanto, es irracional. Posteriormente se demostraría que
toda raíz cuadrada de un número natural, o bien es un número natural o necesaria-
mente es irracional. Por ejemplo, son números irracionales
3 5 1,2
1
2
Al dividir un número natural por otro el resultado puede ser un número natural,
un decimal finito o un número decimal periódico o semiperiódico, pero un número
irracional tiene infinitas cifras decimales sin período. Ya que tampoco se pueden
expresar como fracción, la única forma exacta de escribirlos es utilizando símbolos
o, al escribir parte de sus decimales, utilizar puntos suspensivos o el signo de aproxi-
mación (≈).
2 1,414213...
2 1,414213...
3,145926...
=
≈
π =
Por lo mismo, en los problemas geométricos en que aparezcan solo será posible
trabajar con ellos en forma simbólica y, si es necesario, utilizar al final una aproximación
de ellos, como se observa en el siguiente ejemplo.
a

Lección
Ejemplo
En la siguiente figura los triángulos ABC y ACD son rectángulos de catetos BC,
AC y CD. Sobre el segmento CD se ha construido una semicircunferencia. Calcula el
perímetro de la figura, si BC = CD = 4 cm y AC = 5 cm.
A
C
D
B
Paso 1 Los triángulos ABC y ACD son congruentes entre sí, por lo que AB = AD. Por
teorema de Pitágoras se tiene que:

AB BC +AC
AB 4 +5
AB 16+25
AB 41
2 2 2
2 2 2
Paso 2 La semicircunferencia tiene radio igual a la mitad de CD, es decir, 2 cm.
Aplicando la fórmula del perímetro de la circunferencia, se tiene que:
=
π
=
π
= π
CD
2 r
2
t2
2
2
Paso 3 El perímetro P de la figura corresponde a la suma de las medidas de las líneas
que componen su contorno. Por lo tanto,
= π
= π
P 41+4+2 + 41
2 41+4+2
Este valor corresponde a la medida exacta del perímetro de la figura. Más adelante
veremos cómo es posible aproximar estos valores para obtener algunos decimales.
Razona
y comenta
ƒ En la vida real, ¿es posible medir las cosas con exactitud o siempre habrá errores e impre-
cisiones? Discute con tus compañeros.
ƒ Patricio afirma que al calcular la medida de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 5 cm,
no se obtiene un “resultado exacto”. ¿Estás de acuerdo con él? Justifica tu respuesta.
Recuerda que…
Perímetro de una circunferen-
cia de radio r:
P = 2r
1
En resumen
Los números irracionales son aquellos cuya representación decimal es infinita
no periódica, y no pueden ser representados en forma de fracción a
b
, con a y b
números enteros y b ≠ 0.

3 4
1 2
Practiquemos
lo
aprendido
Repaso
1. Identifica a qué tipo de número decimal corresponde
cada uno de los siguientes números racionales:
decimal finito, decimal periódico o semiperiódico.
a) 0,72
b) 1,21
c) 0,234
d) 2,1
e) 3,24
f) 5,2335
g) 6,03
h) 5,2372
i) 0,421
j)
k) 32
90
l) 57
18
2. Expresa los siguientes números decimales
como fracción.
a) 6,2
b) 4,38
c) 2,552
d) 7,9913
e) 0,51
f) 0,025
g) 0,426
h) 2,435
3. Expresa las siguientes fracciones como
número decimal.
a) 75
2
b) 31
4
c) 5
7
d) 16
27
e) 1
45
f) 8
15
Prácticaguiada
4. Identifica cuáles de los siguientes problemas requie-
ren de números irracionales para obtener el resultado.
Ejemplo: el cálculo del perímetro de una circunfe-
rencia cuyo radio mide 4 metros.
2
9
Para calcularlo debemos utilizar la fórmula 2r,
donde r corresponde al radio de la circunferencia.
24 = 8
t

Por lo tanto, se requieren números irracionales
para calcularlo.
a) Calcular el perímetro de una circunferencia cuyo
radio mide 7 cm.
b) Calcular el área de una circunferencia cuyo radio
mide 12 cm.
c) Calcular el perímetro de un cuadrado cuya diago-
nal mide 2 cm.
d) Calcular la diagonal de un cuadrado cuyo lado
mide 19 cm.
e) Calcular el área de un rectángulo cuyos lados
miden 5 cm y 7 cm.
f) Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados
miden 12 cm y 5 cm.
g) Calcular el perímetro de un rectángulo, si uno de
sus lados mide 12 cm y su área es de 60 cm2.
Aplica
5. Calcula en forma exacta el perímetro de las
siguientes figuras.
a) 2 cm
3 cm
b) 5 cm
2 cm
c) 1 cm
3 cm
d)
1 cm 1 cm
2 cm
6. Desafío: se tiene un círculo cuya área es un
número racional, ¿cuál puede ser la medida de su
radio? Justifica.
ƒ Que un número tenga infinitos decimales, ¿implica que no es “exacto”? Discute con tus compañeros.
Reflexiona

Lección
Aproximaciónyconstruccióndenúmerosirracionales
Propósito: aproximar números irracionales.
La puesta en órbita de un satélite precisa de com-
plejos cálculos que requieren gran exactitud, y pue-
den involucrar números irracionales. Ya que un número
irracional tiene infinitas cifras decimales sin período,
cualquier representación decimal que hagamos con
ellos será una aproximación que contiene un error. Para
determinar estas aproximaciones consideraremos los
siguientes aspectos.
Raíces con calculadora
Para calcular una raíz cuadrada con calculadora utilizamos la tecla . Dependiendo
de la calculadora, se digita alguna de las siguientes secuencias para calcular, por ejemplo,
la raíz cuadrada de 54.
Al hacerlo, obtenemos
Si queremos comprar, por ejemplo, una vara de madera en una barraca, allí difícilmente
podrán cortarla considerando esta cantidad de decimales. Por lo tanto, realizamos una
aproximación por truncamiento o por redondeo. Lo haremos a la segunda cifra decimal.
Truncado: 54 7,348469228349534
54 7,34

Redondeado: 54 7,348469228349534
54 7,35

Aproximaciones y error
Cuando el número que se obtiene es mayor, se dice que la aproximación es por
exceso. Si el número es menor es por defecto.
Al truncar se obtiene una aproximación por defecto de 54, mientras que al redon-
dear, la aproximación es por exceso. Entonces 7,34 54 7,35.
En ambos casos podemos calcular el error absoluto y el error relativo entre la aproxi-
mación y el valor real.
Por truncamiento Por redondeo
Error absoluto Error absoluto

54 –7,34 0,0084692283495343
54 –7,35 0,0015307716504657
Error relativo Error relativo
=
≈
54 –7,34
54
0,0011525159984152
0,12%
=
≈
54 –7,35
54
0,000208312
0,02%
Ayuda
El error absoluto correspon-
de a la diferencia, en valor
absoluto, entre el valor real y la
aproximación. El error relativo
es el cociente entre el error
absoluto y el valor real.
Observa que…
Truncar siempre produce una
aproximación por defecto,
mientras que redondear
puede generar una por exceso
o por defecto.
2

3 4
1 2
Razona
y comenta
ƒ En general, ¿cuántos
decimales suelen
utilizarse en la vida
cotidiana?
Menciona algunos
ejemplos.
ƒ ¿Será posible dividir
una regla en tantas
partes como se quiera
para obtener una
medida con miles de
decimales? Justifica.
Aproximaciones sucesivas
Si no contamos con una calculadora es posible obtener una aproximación de una
raíz cuadrada empleando aproximaciones sucesivas.
Para el caso de 54 . buscamos los cuadrados perfectos menor y mayor cercanos a 54.
7² = 49 y 8² = 64, entonces 7 54 8
Vemos que 54 está entre 7 y 8, probamos ahora con valores intermedios, en este
caso con el promedio de ambos 7,5.
7 = 49; 7,5 = 56,25
2 2
( ) , entonces 7 54 7,5
Probamos con el promedio entre 7 y 7,5; 7,25.
7,25 =52,5625 ; 7,5 = 56,25
2 2
( ) ( ) , entonces 7,25 54 7,5
Probamos con el promedio entre 7,25 y 7,5; 7,375
7,25 =52,5625 ; 7,375 = 54,390625
2 2
( ) ( ) , entonces 7,25 54 7,375
Hemos encontrado una aproximación sucesiva de tres decimales para 54.
Casos especiales
Existen números irracionales que no corresponden a raíces
cuadradas. Uno de los más importantes es π, que relaciona la
medida del diámetro de una circunferencia con su perímetro,
o el área de un círculo con su cuadrado circunscrito, como se
muestra en la figura.
El escriba Ahmes, en Egipto, estimó su valor en el papiro Rhind,
que data del siglo XVI a.C. Para ello consideró un cuadrado cuyo
lado mide 9 unidades, y lo dividió en 81 partes. Luego cortó esquinas de lado 3 unidades
para construir un polígono de 8 lados.
Se puede ver que el área del polígono corresponde a
18 cuadraditos menos que el cuadrado grande es decir,
81 – 18 = 63 cuadraditos, y su área es un poco menor que
la del círculo. Por lo tanto, Ahmes estimó que el área del
círculo sería de 64 cuadraditos.
El radio de este círculo es 4,5 unidades, por lo que si
aplicamos la fórmula para el área se obtiene que:
= π → = π → π ≈
64 t ,5
64
20,25
3,16
2
Otras culturas, como los griegos y los chinos obtuvieron aproximaciones aun más
cercanas utilizando métodos similares. Gracias a los computadores hoy es posible ob-
tener hoy centenares de miles de cifras decimales de π.
r
Ayuda
Es posible calcular valores y
aproximarlos utilizando una
planilla de cálculo. Para ello
se emplean los siguientes
comandos:
=RAIZ(2)
Calcula la raíz cuadrada de 2.
= REDONDEAR(RAIZ(5);2)
Calculalaraízcuadradade5,yla
redondeaalsegundodecimal.
=TRUNCAR(RAIZ(7);2)
Calcula la raíz cuadrada de 7, y
la trunca al segundo decimal.
Recuerda que…
Área de un circulo de radio r
A = r2
Papiro Rhind
En resumen
En la práctica, para trabajar con números irracionales es preciso utilizar aproximaciones.
Estas pueden obtenerse con calculadora, utilizando fórmulas algebraicas o procedi-
mientos geométricos. Los valores obtenidos suelen truncarse o redondearse.

Practiquemos
lo
aprendido
Repaso
1. Identifica cuáles de los siguientes números
presentan período. Señala además cuál es el
período cuando corresponda.
a) 4,23232323232323…
b) 3,07282828282828…
c) 5,6
d) 4,013
e) 3,222222222257
f) 3,1415926
g) 6,014916253649…
2. Determina las siguientes aproximaciones, con las
condiciones dadas.
a) 3,53594, truncado a la décima.
b) 6,81977 truncado a la centésima.
c) 2,17855 truncado a la milésima.
d) 5,20189, truncado a la diezmilésima.
e) 3,34862, redondeado a la décima.
f) 8,28457, redondeado a la centésima.
g) 6,40003, redondeado a la milésima.
h) 9,38531, redondeado a la diezmilésima.
3. Calcula el valor de las siguientes expresiones.
a) 4,5+3,8
b) 6,4+2,31
c) 7,1+ 2,024
d) 5,5+3,2
e) 12,17+0,44
f) 9,03 –2,3
g) 4,126 –5,28
h) 2,6+5,8
i) 3,17+6,54
j) 2,235 –0,319
k) 3,21+
7
23
l) 4,28–
274
13
m)5,224+
17
32
n) 0,38–
51
82
ñ) 3,512–1,t
21
8
o) 2,t2,5–0,8 :
2
3
Prácticaguiada
4. Utiliza una calculadora para determinar una
aproximación de las siguientes raíces redondeadas
a la cuarta cifra decimal. Guíate por el ejemplo.
Utilizando calculadora se tiene que:

2 1,414213562
Redondeando a la cuarta cifra decimal se obtiene.

1,414213562 1,4142
a) 3
b) 5
c) 11
d) 13
e) 19
f) 24
g) 37
h) 42
5. Calcula el error absoluto y el error relativo de las
siguientes aproximaciones. Guíate por el ejemplo.

2 1,4142
Paso 1 Se calcula el valor con calculadora
Se obtiene 1,414213562.
Paso 2 Al valor anterior se le resta la aproximación
Se obtiene 0,000013562.
Este es el error absoluto.
Paso 3 Se divide este valor por el valor real
Se obtiene 0,00000959 ≈ 0,00096%,
el error relativo.
a) 3 1,73205

b) 5 2,236

c) 8 2,8284

d) 11 3,32

e) 15 3,9

f) 17 4,12311

g) 19 4,36

h) 20 4,472

Practiquemos
lo
aprendido
3 4
1 2
Aplica
Resuelve los siguientes problemas.
6. Considera las siguientes aproximaciones

2 1,4142
3 1,73212

5 2,2361
7 2,6458
Completa la siguiente tabla con aproximaciones
a la centésima de los valores dados, que cumplan
las condiciones.
Por defecto Por exceso Por redondeo
2 3
2+ 3
7+2 3
3: 2
2 2: 3
3 7
t 7
5–1
t 5– 7
7. Determina para cada valor una aproximación por
defecto y una por exceso, de modo que el error
relativo de ambas sea menor al 1%, pero mayor
que el 0,1%.
a) 6
b) 7
c) 11
d) 18
8. Bernardita y Emmanuel deben calcular el valor
de 13+ 14 , redondeado a la tercera cifra
decimal. Bernardita sugiere determinar cada valor,
redondearlo y luego calcular la suma, en cambio,
Emmanuel dice que lo que se debe hacer es
realizar primero el cálculo y luego redondear.
a) En este caso, ¿obtienen el mismo resultado?
b) En general, ¿se obtiene el mismo resultado re-
dondeando sumas parciales, que redondeando la
suma final? Justifica.
9. Conexiones: el matemático francés Georges
Louis Leclerc, conde de Buffon (1707-1788)
realizó un interesante experimento estudiando
probabilidades, pero que le permitió aproximarse
al número . Consiste en lo siguiente:
i) Se escoge una aguja (o una varilla de madera
muy delgada), de longitud cualquiera. Luego,
sobre una hoja de papel se trazan muchas rectas
paralelas cuyas distancias entre sí deben ser igua-
les al largo de la aguja.
ii) Se lanza al azar la aguja sobre la hoja, la canti-
dad de veces que queramos (N veces). En cada
lanzamiento anotamos si la aguja atraviesa o no
alguna de las líneas trazadas.
iii) Llamanos x a la cantidad de veces en que la agu-
ja cortó a alguna de las líneas. Para un valor de N
grande, se obtiene que
2N
x
π ≈
Realiza este experimento con tus compañeros. Há-
ganlo simultáneamente para poder tener más lan-
zamientos, y verifiquen la aproximación obtenida.
ƒ ¿Qué diferencias y similitudes observas en la aproximación de números irracionales, comparados con los
números racionales?
ƒ Las calculadoras y computadores pueden realizar cálculos enormes, pero, ¿cómo saben lo que deben hacer?
¿De qué manera una calculadora entrega un valor para una raíz cuadrada? Investiga.
Reflexiona

Lección
Númerosirracionalesenlarectanuméricayorden
Propósito: ordenar y ubicar números irracionales.
Losnúmerosracionales
sepuedenordenar
comparándoloscifraporcifra,
primeroporsuparteenteray
luegoporsupartedecimal.
Debes saber…
Pese a que los números irracionales tienen infinitos decimales sin período, es posible
comparar y ubicar algunos de ellos en la recta numérica. Para hacerlo, consideraremos
los siguientes aspectos.
Raíces cuadradas en la recta numérica
El matemático griego Teodoro de Cirene, (465 a.C.-398 a.C.)
creó la siguiente construcción denominada Espiral deTeodoro
de Cirene. Comienza con un triángulo rectángulo isósceles
cuyo cateto mide 1 unidad, y sucesivamente se construyen
más triángulos rectángulos tomando un cateto de medida 1 y
el otro es la hipotenusa del triángulo anterior.
Podemos utilizar la espiral de Teodoro de Cirene para
ubicar en la recta numérica una raíz como 7 mediante los
siguientes pasos.
Paso 1 Se ubica el 0 en la recta numérica, y se define la unidad. Luego se constru-
ye un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, con vértices en el 0 y
el 1. Con un compás, se copia la
medida de la hipotenusa del trián-
gulo, con centro del compás en
0 traza un arco de circunferencia
intersecando la recta numérica. Se
obtiene así 2.
Paso 2 Se construye ahora un triángulo
rectángulo de catetos de medida
2 y 1, y se copia su hipotenusa
sobre la recta. Así se obtiene 3.
Paso 3 Repitiendo sucesivamente estos pasos, se construye 7.
0 1 2 3
3 5 6
2 7
En ocasiones, el proceso puede abreviarse un poco si detectamos algunas operaciones.
Por ejemplo, si queremos ubicar 7 podemos construir hasta 3, y luego construir un
triángulo rectángulo cuyos catetos midan 2 y 3. Con ello,
2 + 3 4+3 7
2 2
, es decir,
la hipotenusa de dicho triángulo mide 7 .
Ayuda
Observa que, porTeorema
de Pitágoras:
AB OA +OB
1 +1 2
AC AB +BC
2 +1 3
AD AC +CD
3 +1 4 2
AE AD +DE
4 1 5
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
=
= =
=
= =
=
= = =
=
= + =
0 1 2
2
0 1 2
3
2
3
O
A
F
E
D
C
B
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
6
5
4
3
2

3 4
1 2
Ayuda
En el siguiente enlace
http://goo.gl/1m9Vf
podrás aprender a ubicar raíces
en la recta numérica utilizando
un procesador geométrico.
0 1 2 3
7
2 3
Se observa que: 2 3 5 6 7

Entonces mientras mayor sea la cantidad subradical (es decir, el número que está
bajo la raíz), mayor es la raíz.
Orden de raíces cuadradas
Héctor debe ordenar de menor a mayor las siguientes raíces cuadradas.
11 2 13 7 5
Para hacerlo, sigue estos pasos.
Paso 1 Ya sabe que mientras mayor sea la cantidad subradical, mayor es la raíz.
Por lo tanto
2 5 7 11 13
2 5 7 11 13
Paso 2 Verifica que el resultado obtenido coincida con lo que ha aprendido ante-
riormente respecto a los números decimales, es decir, que para ordenarlos
se los compara posición por posición, de izquierda a derecha, comenzando
por su parte entera y luego por su parte decimal.
2=1,4142135623730950488016887242097… 2 1
5=2,2360679774997896964091736687313… 6 2
7=2,6457513110645905905016157536393… 3 2
11=3,3166247903553998491149327366707… 6 3
13=3,6055512754639892931192212674705…
Podemos concluir que para comparar números irracionales utilizamos la misma
estrategia que ya conocemos para los números racionales.
Razona
y comenta
ƒ ¿Qué estrategia utiliza-
rías para comparar un
número racional y un
irracional?
ƒ Dos números tienen
iguales sus partes
enteras y sus cinco
primeras cifras deci-
males, pero uno de
ellos es periódico y el
otro, irracional. ¿Cuál
es mayor?, ¿o depende
de cada caso? Justifica.
ƒ ¿Será posible utilizar la
espiral para construir
raíces cuadradas de
números que no sean
naturales? Si es posible,
explica cómo ubicarías
en la recta
el número 0,4.
En resumen
Para ordenar raíces cuadradas se comparan sus cantidades subradicales, es decir,
sean a y b números no negativos donde a b, entonces a b
.
En caso de estar escritas en representación decimal, podemos ordenarlas cifra por
cifra, de la misma manera que los números racionales. Para ubicarlas en la recta
numérica, se utiliza regla y compás.

Practiquemos
lo
aprendido
Repaso
1. Ordena de menor a mayor los siguientes grupos
de números racionales.
a) 2; 2,25; 1,9; 1,98; 2,251
b) 3,37; 3,377; 3,38; 3,378; 3,387
c) 5,24; 519
99
; 5,2424; 5,25; 236
45
d) 7,32 ; 7,32 ; 7,32 ; 7,3 ; 7,324
2. Determina en cada caso dos números racionales
que se encuentren entre los números dados.
a) 6,1 y 6,2
b) 0,15 y 1,155
c) 4,74 y 4,75
d) 9,21y 9,2
e) 7,3 y 7,4
f) 0,35 y 0,35
g) 5,21y 5,2
h) 1
2
y
11
21
3. Ubica en una misma recta numérica cada uno de
los siguientes grupos de números:
a) 1
2
;
3
4
;
3
8
b) 3
5
;
3
10
;
1
4
c)
4
5
;
2
3
; 0,6
d)
e)
9
5
; 1
1
5
; 1,2
f) 0,75 ; 0,8 ;
5
6
4. Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos son
a y b, y su hipotenusa es c. Calcula en cada caso
la medida del lado que falta, considerando los
siguientes datos:
a) a = 12; b = 5
b) a = 15; b = 36
c) a = 16; c = 34
d) a = 35; c = 37
e) a = 8; b = 13
f) a = 10; b = 10
g) a = 2; b = 5
h) a 7; b = 21

5. Construye, con regla y compás, un triángulo
rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c, con los
datos dados.
a) a = 6; b = 7
b) a = 2; b = 5
c) a = 4; b = 0,5
d) a = 0,2; b = 0,7
Prácticaguiada
6. Ordena de menor a mayor las siguientes raíces
cuadradas. Guíate por el ejemplo:
14 ; 8 ; 17
Observando las cantidades subradicales
tenemos que:
8 14 17
Por lo tanto,
8 14 17
a) 11; 7 ; 31
b) 23 ; 26 ; 24
c) 2 12 ; 11; 10
d) 4 21; 3 22 ; 2 23
e) 18 ; 7 ; 31
7. Ubica en la recta numérica los siguientes números
utilizando regla y compás o un procesador
geométrico. Guíate por el ejemplo.
10
Paso 1 Podemos observar que

10 1+9
1 +3
2 2
Por lo tanto, podemos construir un trián-
gulo rectángulo de catetos 1 y 3, y su
hipotenusa medirá 10.
Paso 2 Trazamos la recta y ubicamos las unidades.
0 1 2 3 4
Paso 3 Construimos el triángulo indicado y
copiamos su hipotenusa sobre la recta
0 1 2 3 4
10
a) 11
b) 13
c) 14
d) 22
e) 1+ 5
f) 2+ 5
3
2
3
;
7
4
; 2,5

Practiquemos
lo
aprendido
3 4
1 2
ƒ ¿Por qué los números irracionales solo pueden construirse con regla y compás? Justifica tu respuesta y discute
con tus compañeros.
Reflexiona
Aplica
8. Determina en cada caso cuál de los siguientes
números es menor.
a) 8 ; 7 ; 5
b) 10 ; 11; 12
c) 2 5 ; 2 8 ; 2 3
d) 3 5 ; 4 2 ; 2 3
e)
10
2
; 2 5 ;
8
2
f) 37 ; 6,28 ;
38
6
9. Dados los números a y b, determina en cada caso
un número racional c y un irracional d, de modo
que a c d b.
a) a= 3 y b= 6
b) a= 10 y b= 12
c) a=2 5 y b= 21
d)
e) a=6,93 y b=7,1
f) a=3 11 y b=10
10.Realiza el siguiente procedimiento:
» Escoge dos números naturales distintos, p y q,
de modo que p q.
» Calcula el valor de
c
p+q
2
y
a
p–q
2
.
» Construye un triángulo rectángulo cuya hipo-
tenusa mida c, y uno de sus catetos mida a.
» Determina la medida del cateto faltante b.
» ¿Qué operaciones relacionan los valores p, q y
la medida de b?
a) Escoge dos pares más de valores (no necesaria-
mente naturales) y realiza los pasos anteriores.
¿Se mantiene la relación?
b) Verifica la siguiente relación algebraica, conside-
rando que p q:
pq
p+q
2
–
p–q
2
2 2
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
c) Si quieres construir un triángulo rectángulo de
modo que uno de sus catetos mida 24,
¿qué valores pueden tener el otro cateto y la
hipotenusa? Determina dos pares de valores.
11.Ubica en la recta las siguientes raíces cuadradas
empleando el método visto en la actividad
anterior. Puedes utilizar un procesador
geométrico.
a) 11
b) 15
c) 35
d) 42
e) 0,5
f) 6,4
12.Desafío: Ordena de mayor a menor los siguientes
números
a) ; 3,14156 ; 10
π …
b) 8; 8+3; 8 –3
c) 2,71828; – 5; 2
d) 1
2
;
3
2
;
2
2
e) 3
3
;
6
6
;
2
2
f) 6,578453 ; 40; 2 20

g) 3 3; 10 –1; 2 6+3
13.Conexiones: se llama número de oro (o número
áureo) al valor 5+1
2
, que se designa con la letra
griega φ (phi —se pronuncia“fi”—). Un rectángulo
es áureo si al dividir la medida de su largo por la
de su ancho se obtiene el número φ.
a) Construye el número áureo con regla y compás.
b) El siguiente segmento corresponde al largo de
un rectángulo áureo:
Determina, con regla y compás, su ancho. Investi-
ga cómo hacerlo.
c) Investiga respecto a obras de arte, arquitectóni-
cas y otras disciplinas en que se utiliza o aparece
este número.
a=
3
2
y b=
7
2

Lección
Números reales
Propósito: identificar y caracterizar el conjunto de los números reales.
Taller
En parejas, lean y realicen las siguientes actividades.
1 Realicen las siguientes operaciones con calculadora.
2+3 7+5 8 –1 t 3
–2,4t t 11 7: 2 15
4
a) ¿En qué casos se obtiene un número racional? ¿En cuáles un irracional?
b) Conjeturen qué resultado (racional o irracional) se obtiene al realizar las
siguientes operaciones.
t Sumar un número racional y uno irracional.
t Restar un número racional a uno irracional.
t Multiplicar un número racional distinto de cero y uno irracional.
t Multiplicar un número irracional por cero.
t Dividir un número irracional por un número racional.
2 Calculen el resultado de las siguientes operaciones con calculadora.
3– 2 8– 5 4: 8 9: 5
c) ¿En qué casos se obtiene un número racional? ¿En cuales un irracional?
d) Conjeturen qué resultado (racional o irracional) se obtiene al realizar las
siguientes operaciones.
t Restar un número irracional a un número racional.
t Dividir un número racional por un número racional.
3 Realicen las siguientes operaciones con calculadora y analicen los
resultados obtenidos.
( )
2 – 2 –1 3 – 2 t 2 t 5 27 : 3 5: 3
¿Es posible generalizar los resultados obtenidos? Justifiquen.
Al realizar operaciones entre números racionales e irracionales podemos obtener
distintos resultados: en ocasiones es posible anticipar su naturaleza y en otros
casos depende de cuáles son los números que se están operando. En general,
se tiene que:
Siempre es irracional Puede ser racional o irracional
racional + irracional
racional – irracional
irracional – racional
SBDJPOBM Ž
tJSSBDJPOBM
racional (≠ 0) : irracional
irracional : racional (≠ 0)
irracional + irracional
irracional – irracional
JSSBDJPOBMtJSSBDJPOBM
irracional : irracional
4

3 4
1 2
Los conjuntos numéricos
Como has visto en cursos anteriores, en ocasiones es necesario ampliar los con-
juntos numéricos para poder dar solución a situaciones y problemas. Así, para poder
contar, primero se crearon los números naturales (a) , y luego los naturales con el
cero, forman el conjunto de los números cardinales (a0).
{ }
= …
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
0
{ }
= …
La necesidad de representar cantidades menores que cero, y hacer siempre posible
la sustracción motivó la creación del conjunto de los números enteros (^). En él se
incluyen los números naturales y sus opuestos aditivos.
{ }
= − − −
..., 3, 2, 1,0,1,2,3...
Luego, la necesidad de dividir motivó la ampliación a los números racionales
(`), que a su vez incluyen a los enteros y sus inversos multiplicativos.
= ∈ ∧ ≠
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭

/ , 0
a
b
a b b
A diferencia de los conjuntos anteriores, en el conjunto ` no existe la noción de
sucesor o de antecesor, es decir, no es posible hablar de un único número que viene
antes o después de un número dado. Además, el conjunto de los números racionales
es denso, es decir, entre dos números racionales distintos cualesquiera (por ejemplo,
a y b, con a b) siempre es posible encontrar un número racional c, de modo que
a c b.
Sin embargo, hemos visto en lecciones anteriores que los números racionales no
agotan todas las posibilidades ni permiten resolver todos los problemas, ya que existen
los números irracionales (`*). Este conjunto es distinto de los anteriores porque no
verifica la clausura entre las operaciones, es decir, la suma y el producto entre dos
irracionales no necesariamente es irracional. Se define entonces el conjunto de los
números reales (]) como aquel que incluye tanto a los números racionales como
a los irracionales. Razona
y comenta
ƒ ¿Qué utilidad puede
tener anticipar el tipo
de número que se
obtendrá al realizar
una operación?
ƒ Busca en cada caso dos
números que cumplan
la condición dada:
t irracional + irracional
= racional
t irracional : irracional
= racional
t irracional + irracional
= irracional
t irracional : irracional
= irracional
Ayuda
Podemos observar la
siguiente relación entre los
conjuntos numéricos.
a⊂^
a⊂^⊂`
]=`
`*
a
^
a
^ `
a
^
`* `
]
En resumen
Se define el conjunto de los números reales (]) como aquel que incluye a los
números irracionales y a los racionales.
En la operación entre números racionales e irracionales se verifica que:
racional ± irracional = irracional
irracional ± racional = irracional
SBDJPOBM Ž
tJSSBDJPOBMJSSBDJPOBM
racional (≠ 0) : irracional = irracional
irracional : racional (≠ 0) = irracional

Practiquemos
lo
aprendido
Repaso
1. Determina para cada uno de los siguientes
números el menor conjunto numérico al que
pertenecen (naturales, enteros o racionales).
a) –7
b) 2
c) 19
d) 5
4
e) –3,56
f) 7,48
g) 5,32
h) 4280
20
i) 723
3
j) 0
k) –29
l) 19
9
m)–
0
8
n) 90
2,13
2. Identifica cuáles de los siguientes números
son irracionales.
a) 3,333…
b) 24
c) 87,21
d) 19
e) 2,233444555566666…
f) 16
g) 5,290729072907…
h) 9
3. Juzga si las siguientes afirmaciones son
verdaderas o falsas. Justifica en cada caso.
a) Todo número entero es además, natural.
b) El cero es un número entero, pero no racional.
c) Los números naturales contienen a los
números racionales.
d) Si el denominador de una fracción es 1, represen-
ta un número natural.
Prácticaguiada
4. Escribe para cada conjunto 5 de sus elementos y
represéntalo simbólicamente. Guíate por el ejemplo.
El conjunto de los números naturales que son
múltiplos de 3 y de 5.
Paso 1 Ya que los números deben ser múltiplos de
3 y de 5, deben ser múltiplos de 15. Consi-
derando esto se escriben 5 elementos de él.
15, 30, 45, 60, 75
Paso 2 Si se llama A a este conjunto, se tiene que
A 15n/n
{ }
= ∈
a) El conjunto de los números naturales que son
b) El conjunto de los números enteros que son
c) El conjunto de los números naturales que, al ser
divididos por 7 dan como resto 5.
d) El conjunto de los números racionales en cuya
representación fraccionaria, el denominador es 8
unidades menor que el numerador.
5. Calcula en cada caso un valor de a, para que se
cumpla la relación dada. Guíate por el ejemplo.

3a+
5
a
Paso 1 Se analizan las operaciones realizadas, y
el valor que se debe obtener.
3a+
5
a
debe ser un número entero. Para ello, una
posibilidad es que 3a y 5
a
sean, cada uno,
números enteros.
Paso 2 Se determina un posible valor de a.
3a es un número entero si a lo es.
5
a
es un número entero si a es un divisor de 5. Por lo
tanto, tenemos los siguientes posibles valores de a:
–5, –1, 1 y 5.
a)
2a+
7
a

b)
6a–
a+1
a

c)
a+
18
a–1

d)
100
a–1
+
25
2a+1

e)
2a
a–1
+
a+3
a

f)
3a–2
a
+
a+1
a–1

6. Considera el siguiente grupo de números reales
7 2 – 17 1
0 1,5 4,28 – 0,25
Elige en cada caso algunos de ellos para verificar
las siguientes propiedades de los números reales.
a) Clausura de la adición
b) Asociatividad de la multiplicación

Practiquemos
lo
aprendido
3 4
1 2
ƒ Los números irracionales son necesarios para calcular raíces cuadradas. ¿Son posibles todas las operaciones en
los números reales? Investiga y discute con tus compañeros.
Reflexiona
c) Distributividad de la multiplicación respecto de
la adición
d) Propiedad conmutativa de la multiplicación
7. Demuestra en cada caso que x es un número
irracional. Guíate por el ejemplo:

x 5+ 7
x es la suma de un número racional y un irracional.
Por lo tanto, es irracional.
a)
x 2+ 8
b)
x 3– 21
c) x
39
3

d) x
1
8

e)
x – 30
f) x
15
2

g)
x – 103
h)
x 6+ 133
i)
x 47 –0,28
j)
x 10– 209
k) x
57
57

l) x
3,21
523

Aplica
8. Juzga si el resultado de las siguientes operaciones
es un número racional o irracional.
a) t 2
b) 3+ 6
c) 5
3
t
g)
h) 17
3
i) 20– 16– 4
d) 5 –4+
1
2
+
9
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
e)
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
13 7–
1
5
t–6
f) ( 8+5)( 8 –5)
j) (1+ 5)
2
+
(1– 5)
2
k) (4+ 3)2
l) (2+ 10)
2
+
(2– 10)
2
2 2
9. Determina en cada caso un valor de b para
que las siguientes expresiones correspondan a
números racionales.
a) 3
b
b) 5+b
c)

Ct
4
3
d) ( )
b+ 15 t
10.Se planteó en la lección que el conjunto de los
números reales es denso, es decir, que entre
cualquier par de números reales distintos siempre
existe otro número real.
a) Verifica, para tres pares de números reales cuales-
quiera a y b, que si a b se cumple que:

a
a+b
2
b
b) Determina, para cada par de números a y b, un irra-
cional c y un racional d que verifiquen la relación:
a c d b.
t a = 2 b = 1
t a = 1 b = 0,6
t a = 4,6 b = 4,3
t a = 5,2 b = 5,2
11.Catherine dibujó el esquema de conjuntos que
relaciona los números naturales, enteros, racionales,
irracionales y reales. Su esquema fue el siguiente.
]
a
^
`* `
A su amiga Laura le pareció que ese esquema
podría llevar a un error a quien lo viera.
¿De qué error se trata? Justifica.
8 7+
5
4

Resoluciónde problemas
Analiza la resolución del siguiente problema.
Se sabe que a es un número racional distinto de cero mientras que b es un número irracional. ¿Cuál(es) de la(s)
siguiente(s) operación(es) da siempre como resultado un número irracional? Justifica.
I. (a + b)(a – b) II. a²b III. ab²
Paso 1 Comprende el enunciado
a. ¿Qué se quiere saber una vez resuelto el problema?
Justificar qué operaciones dan siempre como resultado un número irracional.
b. ¿Qué información entrega el enunciado?
Que uno de ellos es irracional, y el otro es racional.
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar
Define una estrategia para resolver.
Cuando sea posible, utilizaremos los criterios ya conocidos para determinar si el resultado es un número irracional.
Si no es posible aplicarlos buscaremos contraejemplos, es decir, casos en que el resultado sea racional.
Paso 3 Resuelve el problema
Analizamos el primer caso, utilizando productos notables:
(a + b)(a – b) = a² – b²
B¤FTVOOÞNFSPSBDJPOBM BtB
ZC¤FTFMQSPEVDUPEFVOOÞNFSPJSSBDJPOBMQPSTÓNJTNP
MPRVFFOPDBTJPOFT
puede ser racional como se observa en el contraejemplo.
( )( )= = =
5+ 2 5– 2 5 – 2 25–2 23
2 2
Analizamos el segundo caso:
a²b
a² es un número racional (ata

ZZBRVFa es distinto de cero, necesariamente a² es distinto de cero. b es un núme-
ro irracional, y sabemos que el producto entre un racional distinto de cero y un irracional es irracional.
Analicemos el tercer caso:
ab²
aFTVOOÞNFSPSBDJPOBMZC¤FTFMQSPEVDUPEFVOOÞNFSPJSSBDJPOBMQPSTÓNJTNP
MPRVFFOPDBTJPOFTQVFEFTFS
racional como se observa en el contraejemplo.

t 5 3t5 75
2
Por lo tanto, solo en el segundo caso se obtiene siempre un número irracional.
Paso 4 Revisa la solución
Puedes verificar, para distintos pares de números que cumplan la condición dada, que nunca se obtiene
como resultado un número irracional.
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 28.

Para nocometer errores
3 4
1 2
ƒ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles?
ƒ Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?
ƒ Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes
tomar para no volver a cometerlos?
Reflexiona
Priscila le pidió a Cardenio un valor aproximado de 6 con cuatro cifras deci-
males. Utilizando la calculadora, obtuvo:
6 =2,4494897427831780981972840747059…
Redondeado a la cuarta cifra decimal obtuvo que
6 =2,44948… 6 ≈ 2,4495
Priscila corrige ahora la instrucción, y le dice que lo necesita con tres cifras
decimales. Cardenio entonces toma el valor anterior y lo redondea:
6 ≈ 2,4495 6 ≈ 2,450
Razona
y comenta
ƒ ¿Cuál es el error cometido por Cardenio?
ƒ ¿Qué otros errores se pueden cometer al aproximar números irracionales?
El redondeo de un número
debe hacerse siempre a
partir de la estimación
original. En este caso:
6 =2,449489…
6 ≈2,449
Aprendelaformacorrecta
Analiza la situación
Fabiola analiza si el número 20,4304 es racional o irracional. Para ello
observa que:
1² = 1 2² = 4 3² = 9 4² = 16 5² = 25
Constata así que no es un número entero, por lo que deduce que 20,4304
debe ser irracional.
Razona
y comenta
ƒ ¿Cuál es el error cometido por Fabiola?
ƒ ¿Qué otros errores se pueden cometer al juzgar si un número es racional o irracional?
Fabiola deduce que si la
raíz no es entera entonces
debe ser irracional, pero
esto se cumple solo para las
raíces de números enteros.
En este caso podemos
verificar fácilmente con
calculadora que:

t

20,4304 =4,52
Aprendelaformacorrecta
Analiza la situación

Evaluación
Integrando lo aprendido
Lección 1: Números irracionales y problemas geométricos
1 Resuelve los siguientes problemas e indica en qué
casoselresultadocorrespondeaunnúmeroirracional.
a. ¿Cuál es la altura de un triángulo equilátero de
lado 2 m?
b. ¿Cuál es la medida de la diagonal de un cuadra-
do cuyo lado mide 1 cm?
c. ¿Cuál es la medida de un cateto de un triángulo
rectángulo cuya hipotenusa mide 25 cm y el
otro cateto mide 20 cm?
d. ¿Cuál es la razón entre el largo de un rectángulo
y su ancho si sus medidas son 1 + 5 cm y 2 cm
correspondientemente?
e. ¿Cuál es la distancia en cm que recorre una rue-
da de una bicicleta de 26 pulgadas de diámetro
en dar una vuelta completa?
f. ¿Cuál es el área de la tapa de un libro cuyo largo
y ancho miden 100 cm?
2 Determina en cada caso si los siguientes núme-
ros son racionales o irracionales.
a. 81
b. 3,876543…
c. 4
5
d. 1+ 5
2
e. 1,54545454687…
f. ű
g.
h. ␾
i. 25
5
j. 15,35
k. 23,59
l. (1+ 8)
2
2
3 Calcula y expresa en forma exacta el perímetro y
el área de las siguientes figuras.
a.
2cm
2cm
2cm
2cm
7cm
b. 5cm
5cm
Lección 2: Aproximación de números irracionales
4 Determina con ayuda de la calculadora una
aproximación de los siguientes números, redon-
deados a la tercera cifra decimal.
a. 15
b. 20
c. 35
d. 7+3
e. 4 10
f. 3 5
g. 120
h. 2
4
i. 13
2
j. 3+ 5
5 Aproxima el resultado de los siguientes ejercicios
truncando y redondeando en cada caso a la centési-
ma. Calcula en cada caso el error absoluto cometido.
a. 3 + ű
b. 1+ 3
c. 5
2
d. 8+ 8
e. 2
4
+
3
4
6 Determina en cada caso una aproximación al
número dado, con un margen de error absoluto
menor que 0,0001.
a. 22 , por exceso.
b. 29 , por defecto.
Lección3:Ordenenlosnúmerosirracionalesyrectanumérica
7 Ordena de mayor a menor los siguientes núme-
ros irracionales
10
5
; 15;
8
5
; 10; 5
8 Determina en cada caso un número irracional
que cumpla las siguientes condiciones.
a. Ser mayor que 3 y menor que 2.
b. Ser mayor que 3 y menor que 10.
c. Ser mayor que 5+1
2
y menor que 5+1 .
8
3

Evaluación
3 4
1 2
9 Decide en cada caso si corresponde escribir
, o = entre cada par de números.
a. 13 14
b. 235 135
c. 3 5
5
3
d. ( 6+1) ( 6 –1)
2 2
e. 2 3+3 3 3+2
f. 2 5 20
10 Determina entre qué par de números naturales
consecutivos se encuentran los siguientes núme-
ros irracionales.
a. 6
b. 126
c. ( 8+1)
d. (1+ 3)2
11 Ubica los siguientes números irracionales en la
recta numérica.
a. 5
b. 8
c. 10
d. 7 –1
Lección 4: Números reales
12 En el siguiente esquema escribe el nombre de
cada conjunto numérico.
13 Decide si los siguientes números son racionales o
irracionales. Justifica en cada caso.
a.
b. 7+1
c. 5 3 –8 3
d. 19 –
76
2
e. 75 : 3
f. 24 t 600
g.
1
15
+ 15
h. 2 21+3: 8– 3 120
14 Determina, en cada caso, dos números que cum-
plan las condiciones dadas.
a. Ambos irracionales, y su producto es irracional.
b. Uno racional y otro irracional, y su producto
es racional.
c. Ambos irracionales, y su cociente es racional.
5
2
Recapitulemos
En grupos de 4 personas respondan y discutan las siguientes preguntas.
Â
¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección?
Â
¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido?
Â
¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección?
Â
¿Qué contenidos te resultaron más difíciles?
Â
¿Qué te resultó más interesante en esta sección?
¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección?
Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las
páginas indicadas para repasar.
Autoevaluación
Indicador Mínimo sugerido Puedes repasar en la(s) página(s)
Identificar números irracionales y sus propiedades, y operar con
ellos en problemas geométricos 2 respuestas correctas 10 a 12
Aproximar números irracionales 2 respuestas correctas 14 y 15
Ordenar y ubicar números irracionales 3 respuestas correctas 18 y 19
Identificar y caracterizar el conjunto de los números reales 2 respuestas correctas 22 y 23

Solucionario
Unidad 1: Números
Sección 1: Números reales
Página 9
¿Qué debes saber?
1 a. Natural, entero y racional.
b. Natural, entero y racional.
c. Racional
d. Racional.
e. Entero y racional.
f. Racional.
g. Racional.
h. Racional.
2 a. 31
10
b. 73
25
c. 32
9
d. 452
99
e. 238
33
f. 37
18
g. 6169
990
h. 5237
990
3 a. 0,7
b. 0,82
c. 0,027
d. 1,875
e. 0,4
f. 0,15
g. 0,26
h. 1,246
4 a. 1,11
b. 0,488
c. 9,08
d. 0,525
e. 12,75
f. 2,913
5 a. 5 300
b. 67 300
c. 130
d. 4 240
e. 1 252
f. 3
g. 4,1
6 a. 3,4 b. 273,25 c. 21,02 d. 1,235
7 a. 4,41 4,42 4,4343 4,44
b. 5,22 5,222 5,2 5,23 5,23
c. 2
5
8
17
1
2
23
42
3
4
d. 0,5 3
5
0,65 15
21
0,75
e. 11
9
5
4
1,25 1,26 1,26
8 a. Construcción
b. Construcción
c. Construcción
Lección 1: Números irracionales y problemas
geométricos
Página 13
1 a) Finito
b) Finito
c) Semiperiódico
d) Periódico
e) Periódico
f) Semiperiódico
g) Semiperiódico
h) Finito
i) Periódico
j) Periódico
k) Semiperiódico
l) Semiperiódico
2 a) 31
5
b)
219
50
c)
319
125
d) 79 913
10 000
e) 17
33
f) 25
999
g) 211
495
h) 548
225
3 a) 37,5
b) 7,75
c) 0,714285
d) 0,592
e) 0,02
f) 0,53
4 a) Sí
b) Sí
c) No
d) Sí
e) No
f) No
g) No
5 a) ( )
5+ 13 cm
b) ( )
5+ 2+ 23 cm
c)
2
+
3
2
+2
π π
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ cm
d) (3 + 2) cm
6 Si el área de un círculo de radio r es un número racional (q),
se tiene que: r2
= q, entonces su radio puede ser r =

q .
Lección 2: Aproximación de números irracionales
Página 16
1 a) Sí, 23
b) Sí, 28
c) No
d) No
e) No
f) No
g) No
2 a) 3,5
b) 6,81
c) 2,178
d) 5,2018
e) 3,3
f) 8,28
g) 6,400
h) 9,3853
3 a) 8,38
b) 8,713
c) 5,075
d) 8,75
e) 12,617
f) 6,73
g) –1,153
h) 8,5
i) 9,723
j) 1,9163
k) 8083
2300
l) –
5459
325
m) 5,7554924
n) –
86
369
ñ) –1,154
o) 4,63
4 a) 1,7321
b) 2,2361
c) 3,3166
d) 3,6056
e) 4,3589
f) 4,8990
g) 6,0828
h) 6,4807
5 a) Error absoluto = 0,000000807 /
Error relativo : 0,000047%
b) Error absoluto = 0,000067977 /
c) Error absoluto = 0,000027124 /
d) Error absoluto = 0,003375209 /
e) Error absoluto = 0,027016653/
f) Error absoluto = 0,000004374 /
g) Error absoluto = 0,001101056 /
h) Error absoluto = 0,000135954 /

6 Por defecto Por exceso Por redondeo
2 3 3,46 3,47 3,46
2+ 3 3,14 3,15 3,15
7+2 3 10,46 10,47 10,46
3: 2 1,22 1,23 1,22
2 2: 3 1,63 1,64 1,63
3 7 7,93 7,94 7,94
t 7 3,74 3,75 3,74
5–1 1,23 1,24 1,24
t 5– 7 0,51 0,52 0,52
7 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un
ejemplo es, por defecto: 2,437242295 y por exceso:
2,461737191.
b) La respuesta depende de cada estudiante. Un
2,658980068.
c) La respuesta depende de cada estudiante. Un
3,333207914.
d) La respuesta depende de cada estudiante. Un
ejemplo es, por defecto 4,221427484 y por exceso:
4,263853891.
8 a) No, los resultados son diferentes.
b) No, ya que se puede estar redondeando por exceso
ambos sumandos incrementando el valor.
9 Respuesta abierta.
Lección 3: Números irracionales en la recta
numérica y orden
Página 20
1 a) 1,9 – 1,98 – 2 – 2,25 – 2,251
b) 3,37 – 3,377 – 3,378 – 3,38 – 3,387
c) 5,24 – 5,2424 – 519
99
– 236
45
– 5,25
d) 7,32 – 7,32 – 7,32 – 7,324 – 7,3
2 a) La respuesta depende de cada estudiante.
Un ejemplo es 6,11 y 6,102.
b) La respuesta depende de cada estudiante.
c) La respuesta depende de cada estudiante.
Un ejemplo es 4,74111 y 4,744999.
d) La respuesta depende de cada estudiante.
e) La respuesta depende de cada estudiante.
f) La respuesta depende de cada estudiante.
g) La respuesta depende de cada estudiante.
h) La respuesta depende de cada estudiante.
3 a) Construcción
b) Construcción
c) Construcción
d) Construcción
e) Construcción
f) Construcción
4 a) c = 13
b) c = 39
c) b = 30
d) b = 12
e) c = 233
f) c =10 2
g) c = 3
h) c = 70
5 a) Construcción
b) Construcción
c) Construcción
d) Construcción
6 a) 7 11 31
b) 23 24 26
c) 10 11 2 12
d) 2 23 3 22 4 21
e) 7 18 31
7 a) Construcción
b) Construcción
c) Construcción
d) Construcción
e) Construcción
f) Construcción
Página 21
8 a) 5
b) 10
c) 2 3
d) 2 3
e) 8
2
f) 37
Un ejemplo es c = 1,9 y d = 5
Un ejemplo es c = 3,3 y d = 11
Un ejemplo es c = 4,48 y d = 20,5
Un ejemplo es c = 1 y d = 5
2
Un ejemplo es c = 7 y d = 50
Un ejemplo es c = 9,95 y d = 99,5
10 tQZR
tc = 4 y a = 1
tConstrucción
tb = 15
tMultiplicación y raíz cuadrada. b = pq.
a) La respuesta depende de cada estudiante.
Un ejemplo es
p = 7 y q = 4 p = 6 y q = 2
c = 5,5 y a = 1,5 c = 4 y a = 2
b =2 7 b =2 3
b =
t4 2 7 b =
t2 2 3
Si, se mantiene la relación.

Solucionario
b) pq
p + q
2
–
p –q
2
pq
p + 2pq+ q
4
–
p –2pq+ q
4
pq
4pq
4
pq pq
2 2
2 2 2 2
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
=
=
c) b = 1 y c = 25 / b = 2,5 y c = 5,5
11 a) Construcción
b) Construcción
c) Construcción
d) Construcción
e) Construcción
f) Construcción
12 a) 10 3,14156…
b) 8 + 3 8 8 –3
c) 2,71828 2 – 5
d) 3
2
2
2
1
2
e) 2
2
3
3
6
6
f) 2 20 6,578453 40
g) 2 6 + 33 3 10 –1
13 a) Construcción
b) Construcción
c) Respuesta abierta.
Lección 4: Números reales
Página 24
1 a) Entero
b) Natural
c) Natural
d) Racional
e) Racional
f) Racional
g) Racional
h) Natural
i) Natural
j) Entero
k) Entero
l) Racional
m) Entero
n) Racional
2 b), d) y e) son irracionales.
3 a) F, todo número natural además es entero.
b) F, también es racional.
c) F, los números racionales contienen a los números
naturales.
d) F, ejemplo:
–2
1
4 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un
ejemplo es 21, 42, 63, 84, 105 / A = {21n / n }
b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo
es 22, 44, 66, 88, 110 / B = {22n / n }
c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo
es 12, 19, 26, 33, 40 / C = {7n + 5 / n }
d) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo
es –
1
3
, –
3
5
, –1, –
5
3
, 5 / D =
a
a–8
/ a – 8
{ }
∈
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
Un ejemplo es a = 1.
Un ejemplo es a = –1.
Un ejemplo es:
2 y 7 R entonces 2 + 7
Un ejemplo es:
o

t

o
t

o
t
o
t

–1,605 = –1,605
Página 25
Un ejemplo es:
2 (1,5 + 4,28) = 2 t

2 t

2 t

2
5,78 2 = 5,78 2
Un ejemplo es:
4,28 × –0,25 = –0,25 × 4,28
–1,07 = –1,07
7 a)
x 2+ 8, x es la suma de un número racional
y un irracional, por lo tanto es irracional.
b)
x 3– 21, x es la diferencia de un número racional
y un irracional, por lo tanto es irracional.
c)
x
39
3
, x es la división de un número irracional y un
racional, por lo tanto es irracional.
d)
x
1
8
, x es la división de un número racional y un
irracional, por lo tanto es irracional.
e)
x – 30 , x es el opuesto aditivo de un número
f)
x
15
2
, x es la división de un número irracional y un
racional, por lo tanto es irracional.
g)
x – 103 , x es el opuesto aditivo de un número
h)
x 6 + 133, x es la suma de un número racional y
un irracional, por lo tanto es irracional.
i)
x 47 –0,28 , x es la diferencia de un número
irracional y un racional, por lo tanto es irracional.
j)
x 10 – 209 , x es la diferencia de un número
irracional y un racional, por lo tanto es irracional.
k)
x
57
57
, x es la división de un número racional y un

1XX.pdf

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a 1XX.pdf

Similar a 1XX.pdf (20)

Más de Luis SP

Más de Luis SP (10)

Último

Último (20)

1XX.pdf