1. Límites y continuidad
______________________________________________________________________
1
Teoría sobre límites
Objetivos
a. Enunciar y reconocer los límites trigonométricos fundamentales.
b. Emplear en el cálculo de límites que involucran expresiones
trigonométricas, los límites trigonométricos fundamentales.
Contenidos
a. Límites trigonométricos fundamentales.
b. Cálculo de límites que involucran expresiones trigonométricas.
Límites trigonométricos fundamentales
Aceptaremos sin demostración que
0
cos1
lim1lim
00
=
−
=
→→ x
x
y
x
senx
xx
y los denominaremos límites trigonométricos fundamentales1
. Estos dos
resultados se emplean en el cálculo de otros límites que involucran
expresiones trigonométricas. Es importante resaltar que en ambos límites
0→x .
Ejemplos
Si existe, determine el valor de los siguientes límites
1.
( ) ( )xx
xsen
xx
x
x
x
x
x
x
x
xxxx cos1
lim
cos1
cos1
lim
cos1
cos1cos1
lim
cos1
lim
2
0
2
000 +
=
+
−
=
+
+
⋅
−
=
−
→→→→
( )
0
2
1
01
cos1
1
lim
0
=⋅⋅=
+
⋅⋅=
→ x
xsen
x
xsen
x
Demostrando, de esta manera, el segundo límite fundamental.
La gráfica nos permite visualizar la situación
y
x
x
xf
cos1
)(
−
=
x
1
La demostración de estos límites puede ser encontrada en cualquier libro de Cálculo.
Se demuestra solamente el segundo y al final aparece la gráfica del primero.
2. Límites y continuidad
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2
2. 0
1
0
lim
cos1
lim
cos1
lim
cos1
lim
0
0
00
==
−
=
−
=
−
→
→
→→
x
senx
x
x
x
senx
x
x
senx
x
x
x
xx
3.
x
xsen
x 3
3
lim
0→
, si hacemos un cambio de variable “ xu 3= ” y analizamos que
cuando 0→x entonces 03 →= xu tendremos
1lim
0
=
→ u
usen
u
4.
kx
kxsen
x 0
lim
→
haciendo un análisis similar al anterior sea kxu = , entonces
cuando 0→x , así 0→= kxu y tendremos
1lim
0
=
→ u
usen
u
Lo anterior se puede generalizar de la siguiente manera
IRk ∈∀ , 1lim
0
=
→ kx
kxsen
x
5.
3
2
1
3
2
2
2
3
2
lim
3
2
2
2
lim
3
2
lim
000
=⋅=⋅=⋅=
→→→ x
xsen
x
x
x
xsen
x
x
x
xsen
xxx
Al multiplicar por 1
2
2
=
x
x
se conserva la expresión original.
6.
3
1
3
3
lim
3
3cos
lim
3
3cos
3
3
lim
3
3cos
lim3cotlim
0
0
000
=
⋅
=⋅⋅=⋅=⋅
→
→
→→→
x
xsen
x
xx
xsen
x
x
x
x
xsen
x
xxx
x
x
xxx
xxxf 3cot)( ⋅=
3
1
3. Límites y continuidad
______________________________________________________________________
3
7. 010limlimlimlim
000
2
0
=⋅=⋅=⋅=
→→→→ x
xsen
xsen
x
xsen
xsen
x
xsen
xxxx
8. 010limlimlim
000
=⋅=⋅=⋅= +++
→→→ x
xsen
x
x
xsen
x
x
x
xsen
xxx
9.
( )
( )
( )
( ) ( ) aaaxax
axsen
ax
axsen
axax 2
1
2
1
1
1
limlim 22
=⋅=
+
⋅
−
−
=
−
−
→→
10. 1
cos
1
lim
1
cos
lim
tan
lim
000
==⋅=
→→→ xxsenx
xsen
xsen
x
xxx
11. existeno
x
x
x
cos
lim
0→
La gráfica nos permite analizar la situación
+∞=+
→ x
x
x
cos
lim
0
−∞=−
→ x
x
x
cos
lim
0
Los ejemplos anteriores tienen como objetivo mostrar el empleo de los
límites trigonométricos fundamentales. Es importante hacer notar que
también pueden calcularse límites como
12. ( ) ππ
π
−=−⋅=⋅
→
1coslim xx
x
13. )1(lim
1
arcsenxarcsen
x
=−
→
4. Límites y continuidad
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4
14. ( ) 2
arctanlim
π
=
+∞→
x
x
e
15. ( )
4
1arctanlim
π
=
+∞→x
16. 1
cos
1
lim
tan
lim
00
==
→→ xsenx
x
xx
17. ±∞==
→→ senx
x
x
xx
cos
limcotlim
00
si evaluamos directamente, se tiene que
0
1
limcotlim
00 →→
=
xx
x es una expresión indeterminada, al calcular los límites
unilaterales
−∞== −−
→→ senx
x
x
xx
cos
limcotlim
00
y +∞== ++
→→ senx
x
x
xx
cos
limcotlim
00´
18. +∞=+
→
x
x
tanlim
2
π
19. −∞=−
→
x
x
tanlim
2
π
20.
−+
→ 2
1
arctanlim
2 xx
Al evaluar, se tiene una expresión indeterminada
=
− ++
→→ 0
1
arctanlim
22
1
arctanlim
22 xx
,
pero constante sobre cero infinito, sería hacia infinito positivo, ya que
nos acercamos a 2 por la derecha, así
( )
2
arctanlim
0
1
arctanlim
22
1
arctanlim
222
π
=∞+=
=
− +++
→→→ xxx
21. 1lim
0
=
→ x
senx
x
La gráfica de la función
x
senx
xf =)( corresponde a
1lim
0
=−
→ x
senx
x
1lim
0
=+
→ x
senx
x
