1. Suma de Convolución Discreta
Repaso:
El punto clave esta en entender, en primer lugar, que una señal discreta cualquiera, x[n],
puede representarse como la sucesión de pulsos unitarios ( ) , debidamente espaciados y
escalados. Para poder ver esto, considere la señal x[n], tal como aparece en la figura 1, a partir
de las propiedades de la función impulso unitario, podemos llegar a unas expresiones del tipo:
Se puede ver que la expresión de x[n] es generada como una función a trozos mediante la
ayuda del impulso unitario, donde es claro, que la amplitud de la señal no es otra que la misma
amplitud de x[n], y que el impulso unitario me ayuda a separar de manera individual la señal
para un tiempo específico n. A partir del análisis anterior, se puede observar que las
expresiones x[ n] * δ n − ] = [k ]* δ n − ]
[ k x [ k son equivalentes, debido a que el impulso
unitario solo esta definido cuando n = k
De una forma más general, podemos expresar
x [ n ] = ... + x [ −3] δ [ n + 3] + x [ −2 ] δ [ n + 2 ] + x [ −1] δ [ n +1] +
+x [ 0 ] δ [ n ] + x [1] δ [ n −1] +...
Con lo cual tendríamos una expresión compacta de la forma
∞ (1)
x [ n] = ∑ x[k ]δ [n − k ]
k =−∞
La suma de convolución

2. Si además de los visto anteriormente, tenemos en cuenta las propiedades de los sistemas LTI
(Linealidad e invarianza en el tiempo), podemos obtener una expresión de una salida y[n] ,
como la combinación lineal de las respuestas del sistema, donde h [n] se ha definido como la
k
respuesta del sistema a una muestra unitaria (impulso unitario) desplazada en el tiempo
δ[ n − k ] , cuando la señal de entrada es precisamente x[n ] . Entonces la respuesta y[ n] del
sistema estaría expresada como:
∞
y[n] = ∑ x[k ]h [n]
k =−∞
k (2)
De manera mucho más general, debido a que el sistema también es invariante en el tiempo,
entonces hk [ n ] =h0 [n −k ] donde h0 [n] representa la repuesta del sistema al impulso
unitario.
Entonces, para un sistema LTI, la ecuación (2) se reduce a la forma
∞
y[ n ] = x[n]* h[n] = ∑ x[k ]h[n − k ]
k =−∞
(3)
Lo que se conoce como la suma de convolución. Dicha expresión me permite establecer la
respuesta de un sistema a una señal arbitraria de entrada en función de su respuesta al
impulso unitario.
Metodología de la suma por columnas
Un último aporte, desconocido para mi, de una metodología para calcular la suma de
convolución cuando las señales son x[n] y h[n] no son muy extensas. Esta metodología se
conoce como Suma por columnas y es una manera rápida de realizar los cálculos necesarios.
Ejercicio 2.1 numeral a. (Sistemas y señales oppenheim)
x[n] = δ [ n] + 2δ [ n −1] − δ [n − 3]
h[ n] = 2δ [ n + 1] + 2δ [n −1]
y[n] = x[n]* h[n]??
y[ n ] = δn + + δn ] + δn − + δn − + δn − − δn −
2 [ 1] 4 [ 2 [ 1] 2 [ 2] 0 [ 3] 2 [ 4]