desarrollo porl el metodo de doolitle-metodos numericos

1. Ecuaciones diferenciales de 1er orden :
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una expresión del siguiente
tipo:
y'  f (x, y)
El problema que se suele presentar es el de calcular una función y = f(x) tal que
verifique la ecuación anterior con una condición de contorno: y(x0) = y0.

2. Método de Runge-Kutta
Los llamados métodos de Runge-Kutta son una serie de algoritmos para calcular
aproximaciones númericas del valor de la solución de:
dy
dx
 f (x,y) ; y(x0 )  y0
en puntos de la forma siguiente:
x1  x0  h ; x2  x1  h ; etc
Con muy buena precisión, sin que, para ello, sea necesario que los h sean muy
pequeños.
El procedimiento consta de los siguientes pasos:

3. Para calcular un valor aproximado de la solución y1 en el punto x1 = x0 + h, se
calculan los siguientes números:
k1  h f (x0 ,y0 )
k2  h f (x0 
h
2
, y0 
k1
2
)
k3  h f (x0 
h
2
, y0 
k2
2
)
k4  h f (x0  h, y0  k3 )
K0 
1
6
(k1  2k2  2k3  k4 )
y entonces se toma: 001 Kyy 

4. Procediendo del mismo modo, calcularíamos el valor aproximado de la solución,
y2, en el punto x2 = x1 + h:
k1  h f (x1, y1)
k2  h f (x1 
h
2
, y1 
k1
2
)
k3  h f (x1 
h
2
, y1 
k2
2
)
k4  h f (x1  h, y1  k3)
K0 
1
6
(k1  2k2  2k3  k4 )
y2  y1  K0

5. Y así, sucesivamente, para el punto enésimo, tendríamos xn = xn-1 + h:
k1  h f (xn1, yn1 )
k2  h f (xn1 
h
2
, yn1 
k1
2
)
k3  h f (xn1 
h
2
,yn1 
k2
2
)
k4  h f (xn1  h, yn1  k3 )
K0 
1
6
(k1  2k2  2k3  k4 )
yn  yn1  K0

6. dy
dx
 2x  y ; y(0)  1
h = 0.2:
k1  h f (x0 ,y0 )
k2  h f (x0 
h
2
, y0 
k1
2
)
 0.2 (2  0 1)  0.2
 0.2 f (0  0.1, 1 0.1)
k2  0.2 2  0.11.1  0.26
k3  h f (x0 
h
2
, y0 
k2
2
)  0.2 f (0.1, 1.13)
k3  0.2 2  0.1 1.13  0.266
x1  x0  h  0  0.2  0.2
Utilizar el método de Runge-Kutta con el siguiente ejemplo
para calcular la solución aproximada en x = 0.2 y x =0.4:

7.  0.2 f (0.3, 1.43062)  0.40612
k4  h f (x0  h, y0  k3 ) 0.2 f (0.2, 1.266)
k4  0.2 2  0.2  1.266  0.3332
K0 
1
6
(k1  2k2  2k3  k4 )  0.2642
y1  y0  K0 1.2642
x2  x1  h  0.2  0.2  0.4
k1  h f (x1, y1)  0.2 (2  0.2 1.2642)  0.33284
k2  h f (x1 
h
2
, y1 
k1
2
)

8. k3  h f (x1 
h
2
, y1 
k2
2
) 0.2 f (0.3, 1.46726)  0.41345
k4  h f (x1  h, y1  k3)  0.2 f (0.4, 1.67765)  0.49553
K0 
1
6
(k1  2k2  2k3  k4 )  0.41125
y2  y1  K0 1.2642  0.41125 1.67545

9. dy
dx
 x
2
 y
2
; y(0)  1
Utilizar el método de Runge-Kutta con el siguiente ejemplo para
calcular la solución aproximada en x = 0.1 y x =0.2:
h = 0.1:
k1  h f (x0 ,y0 )
k2  h f (x0 
h
2
, y0 
k1
2
)
 0.1f (0,1)  0.1 (02
12
)  0.1
 0.1 f (0.05, 1.05)
k2  0.1 0.05
2
 1.05
2
  0.1105
k3  h f (x0 
h
2
, y0 
k2
2
)  0.1 f (0.05, 1.05525)
x1  x0  h  0  0.1  0.1
k3  0.1116052

10. k4  h f (x0  h, y0  k3 )  0.1 f (0.1, 1.1116052)
k4  0.1 (0.12
1.11160522
)  0.1245666
K0 
1
6
(k1  2k2  2k3  k4 )  0.1114628
y1  y0  K0 1.1115
x2  x1  h  0.1 0.1  0.2
k1  h f (x1, y1)  0.1 (0.12
1.11152
)  0.1245432
k2  h f (x1 
h
2
, y1 
k1
2
)  0.1 f(0.15, 1.1737716)  0.1400239

11. k3  h f (x1 
h
2
, y1 
k2
2
)  0.1 f(0.15, 1.181512)  0.141847
k4  h f (x1  h, y1  k3) 1610878.0)2533471.1,2.0(1.0  f
K0 
1
6
(k1  2k2  2k3  k4 )  0.1415621
y2  y1  K0 1.2531