1. lgebra DeÁ
Derivadas.
Regla De La Cadena.
Luis A. Hern ndez Molinaá
1

2. Introducci nó
2
 …..Hemos usado la definici n de derivada para calcular las derivadas deó
funciones definidas mediante f rmulas. Pero ser a tedioso si siempreó í
tuvi ramos que aplicar la definici n. Estas reglas de derivaci n nosé ó ó
permiten calcular las derivadas con relativa facilidad las derivadas de
polinomios, funciones racionales, funciones algebraicas, funciones
exponenciales y logar tmicas. A continuaci n usaremos estas reglas paraí ó
resolver problemas en que intervienen las razones de cambio, rectas
tangentes..etc..
 …..Hemos usado la definici n de derivada para calcular las derivadas deó
funciones definidas mediante f rmulas. Pero ser a tedioso si siempreó í
tuvi ramos que aplicar la definici n. Estas reglas de derivaci n nosé ó ó
permiten calcular las derivadas con relativa facilidad las derivadas de
polinomios, funciones racionales, funciones algebraicas, funciones
exponenciales y logar tmicas. A continuaci n usaremos estas reglas paraí ó
resolver problemas en que intervienen las razones de cambio, rectas
tangentes..etc..

3. Derivada de funciones
elementales
 La siguiente tabla resume las f rmulas de lasó
funciones derivadas m s conocidas, lasá
demostraciones de estas f rmulas se dejan comoó
ejercicio:
( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
1
0
1
ln ln
1
log
ln
n n
x x
a
d d
a x nx
dx dx
d d
a a a x
dx dx x
d
x
dx x a
−
 = = 
= =  
  = 
3

4. Derivada del m ltiploú
constante
( ) ( )
d d
cfx c fx
dx dx
=  
( ) ( )4 4 3 3
1. 3 3 3 4 12
d d
x x x x
dx dx
  = = = 
4
Si c es una constante y f es una funci n diferenciable,ó
entonces
Ejemplo.Ejemplo.
[ ] [ ] ( ) ( ) ( )2. ( 1) 1 1 1 1
d d d
x x x
dx dx dx
− = − = − = − = −

5. Derivada de una suma o
diferencia
 Sean f y g funciones diferenciables, entonces
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
d d d
fx gx fx gx
dx dx dx
d d d
fx gx fx gx
dx dx dx
+ = +          
− = −          
5
4 3 2
5 3 2 5 12
d
x x x x
dx
 − − + − 
Ejemplo.Ejemplo.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2
3 2
3 2
5 3 2 5 12
= 5 4 3 3 2 2 5 1 0
20 9 4 5
d d d d d
x x x x
dx dx dx dx dx
x x x
x x x
= − − + −
− − + −
= − − +

6. Derivada de un producto
Sean f y g funciones diferenciables, entonces
( ) ( )
( ) ( )
( )
4 4 4
4 3
4 3
= 4
4
x x x
x x
x
d d d
x e x e e x
dx dx dx
x e e x
e x x
 × = × + × 
+
= +
6
……Es decir, la derivada de un producto de funciones es igual a la primera
funci n derivada por la segunda funci n sin derivar m s la segunda funci nó ó á ó
derivada por la primera funci n sin derivar.ó
Ejemplo.Ejemplo.

7. Ejemplos
( ) ( )1) Sea 5 2f x x x= + ×
( ) [ ]3 3
3
3
3 32 2
( ) ln( ) ln( )
1 1 ln( )
( ) ln( )
3 3
f x x x x x
x x
f x x x
x xx x
′ ′′→ = +
′→ = × + × = +
3
2) Sea ( ) ln( )fx x x=
7
( ) ( ) ( )
( ) ( )
5 2 5 2 5 2
1
5 2 5
2
d d d
x x x x x x
dx dx dx
x x
x
   → + × = + + +     
 
= + +    
 

8. Derivada de un cociente
Sean f y g funciones diferenciables, tal que g(x)
≠ 0, entonces:
[ ] [ ]
[ ]
2
( ) ( ) ( ). ( )
( )
( ) ( )
d d
gx fx fx gx
d fx dx dx
dxgx gx
× −
 
= ÷
 
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] ( )
2 2
2
2
2 2
2 2
(2 3) ( ). 2 3
2 3 2 3
(2 3) 2 ( ). 2 2 6
2 32 3
d d
x x x x
d x dx dx
dx x x
x x x x x
xx
 + × − +  
= ÷
+ + 
+ × − +
= =
++
8
Ejemplo.Ejemplo. ( )
2
Sea talque 3 /2
2 3
x
fx x
x
= ≠ −
+

9. Ejemplos
[ ]
[ ] ( )
3 2 2 3
2
23 3
3 2 2 4 3 2
2 2
( 6) 2 ( 2). 6
2
6 6
( 6) 2 1 ( 2). 3 2 6 12 6
2 32 3
d d
x x x x x x
d x x dx dx
dx x x
x x x x x x x x x
xx
   + × + − − + − +    + −
→ = ÷
+    + 
 + × + − + − − − − + + = =
++
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
2
1
1. Sea , con 1 entonces
1
1 1 1 1 0 1 1 1
( ) ( )
1 1
1
'( )
1
fx x
x
x x x
fx fx
x x
fx
x
= ≠
−
′ ′− − − − − −
′ ′→ = → =
− −
→ =
−
( )
2
3
2
2) Sea
6
x x
fx
x
+ −
=
+
9

10. Regla de la cadena
10
 Suponga que se le pide derivar la funci n:ó( ) 2
1F x x= +
La f rmula de derivaci n que aprendi en las slide anterioresó ó ó
no lo capacitan para calcular F (’ x).
( ) ( )
( ) ( )( )
2
Observe que F es una función compuesta.
Si y 1, luego podemos escribir
,es decir,
y f u u u g x x
y F x f g x F f g
= = = = +
= = = o
Regla de la cadena
Sean f y g funciones diferenciables y F=f◦g es la
funci n compuesta definida poró F(x)=f [g(x)],
entonces F es diferenciable y la derivada se expresa como:
F’(x)=f ’[g(x)]g’(x)
Regla de la cadena
Sean f y g funciones diferenciables y F=f◦g es la
funci n compuesta definida poró F(x)=f [g(x)],
entonces F es diferenciable y la derivada se expresa como:
F’(x)=f ’[g(x)]g’(x)

11. Regla de la cadena
( )
( ) ( )
3 6(4 5)
3 5 3 56(4 5) ( 3 24 5 1) 26(4 5) ( )
x
hx hxx x
h x
d d dx x
dx dx dx
+
→ → ×
=
= = +++ ×
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1)
n nd d
hx fx hx nfx fx
dx dx
−
= → =          
( ) ( )
2) ( )fx fxdy d
y e e fx
dx dx
= → = ×
2
2 2
3 5 1
3 5 1 2 3 5 1
(3 5 1) (6 5)
x x
x x x x
y e
dy d dy
e x x e x
dx dx dx
− +
− + − +
=
→ = × − + = = × −
11
Derivaci n de funciones compuestas de la formaó

12. Regla de la cadena
( )
1
3) ln [ ( ) ] ( )
dy d
y fx fx
dx fx dx
= → = ×
( )
2
2 2
Sea ln(3 5 22)
6 51
6 5
3 5 22 3 5 22
y x x
xdy
x
dx x x x x
= + −
+
→ = × + =
+ − + −
( ) ( )
1 1
4) log ( ) ' ( )
ln ( )
a
d
y fx y fx
afx dx
= → = × ×
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
2 2
Sea = log 7 3
7 21 1
7 2
ln3 7 3 ln3 7 3
y x x
xdy
x
dx x x x x
− +
−
→ = × × − =
− + − +
12

13. Ejercicios
 Determine la derivada de cada una de las siguientes
funciones:
22
6. ( ) 3 2 1f x x x= + −
( )
2
4
5 7
7. =
x x
f x
x
− +
13
)1)(23()(.1 −+= xxxf
)14)(52()(.8 32
−−+= xxxxxf
)(
)1(
)(.5 2
2
tt
t
tf
+
−
=
)2(
)32(
)(.3
26
+
−
=
y
yyy
yf
( ) 2
2. 3 5 6 1f x x x= − +
( ) ( )
3/85
4. 3f x x x= −