Propiedades de la transformada de Fourier, Respuesta de Frecuencia ,Dominio del tiempo , Dominio del tiempo señal Exponencial, Transformada de Fourier en Tiempo-continuo ,pulso rectangular y la TF

1. TRANSFORMADA
DE FOURIER
3.1 Introducción
3.2 La trasformada de
Fourier
3.3 Propiedades de la TF
3.4 Respuesta de frecuencia
LEIDY CHACÓN

2. LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Leidy Magaly Chacón Cabrera
lchaconc@est.ups.edu.ec
La trasformada de Fourier (TF) ayudado mucho en
diferentes aplicaciones que embarca en la ingeniería,
la TF nos ayuda a conocer las características
frecuenciales y el comportamiento de los sistemas
lineales de una señal, de igual manera conoceremos
algunas propiedades que tiene la TF, así mismo la
respuesta de frecuencia que tiene una señal.
I. INTRODUCCIÓN
Joseph Fourier analizó que una función es el
resultado de la sumas de varias funciones
sinusoidales, demostró funciones
caracterizadas por su frecuencia y ha venido
siendo muy importante en el ámbito de la
ciencia y matemáticas. “Estas graficas de la
TF estas representadas con la frecuencia y
amplitud” [1].
II. LA TRANSFORMADA DE FOURIER
La transformada de Fourier transforma una
señal de dominio de tiempo a dominio de
frecuencia, esto quiere decir que una
ecuación diferencial (dominio del tiempo) se
transforma en una ecuación algebraica
(dominio de la frecuencia).
A. Ecuaciones de la Transformada de
Fourier
Existen algunas expresiones para resolver la
transformada de Fourier: “Sea 𝑓(𝑡) una
función localmente integrable cuya integral
valor absoluto está acotada en R” [2]
Ecuación 1 Transformada de Fourier
𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡
𝑑𝑡
∞
−∞
Ecuación 2 Transformada Inversa
𝑓(𝑡) =
1
2𝜋
𝐹(𝜔)𝑒 𝑖𝜔𝑡
𝑑𝜔
Notación:
 “A la función 𝐹(𝜔) se le llama
transformada de Fourier de 𝑓(𝑡)” [2]
 “La expresión que nos permite
obtener 𝑓(𝑡)a partir de 𝐹(𝜔) se le
llama transformada inversa de
Fourier” [2]
B. Métodos
Algunos métodos que nos ayudaras a
transformar dependiendo de su función:
“…
 Aperiódicas Continuas
 Periódicas Continuas
 Aperiódicas Discretas
 Periódicas Discretas
...” [1]
III. PROPIEDADES DE LA
TRANSFORMADA DE FOURIER
Linealidad
“La transformada de Fourier y también su inversa
tienen la propiedad distributiva-suma. Se define
como:” [3]
Ecuación 3

3. 𝑎1 𝑥1(𝑡) + 𝑎2 𝑥2(𝑡) ↔ 𝑎1 𝑋1(𝑓) + 𝑎2 𝑋2(𝑓)
Desplazamiento en el tiempo
“Cuando la señal se adelanta o retrocede en el
tiempo el efecto de la densidad espectral se define:
Ecuación 4
𝑥(𝑡 − 𝑐) ↔ 𝑋(𝑤)𝑒−𝑗𝑤𝑐
En esta ecuación la señal retrocede en el tiempo y
su densidad espectral no tiene
alteraciones.” [3]
Escalamiento
“La expansión en el tiempo afecta su densidad
espectral” [3]
Ecuación 5
𝑥(𝑎𝑡) ↔
1
𝑎
𝑋 (
𝑓
𝑎
)
Inversión o Reflexión
“Cuando tenemos una señal x(t) la función va ser
invertida x(-t). La transformada de Fourier seria:”
[3]
Ecuación 6
𝑥(−𝑡) ↔ 𝑥(−𝑓) = 𝑋(𝑓)
Multiplicación
“En esta propiedad se tiene el producto de dos
funciones periódicas y al multiplicarlos nuestro
periodo seguirá siendo T.” [3]
Ecuación 7
𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡) ↔ 𝑋1(𝑓)𝑋1(𝑓)
Dualidad
“Existe dualidad en el dominio de tiempo y la
frecuencia.” [3]
Ecuación 8
𝑋(𝑡) ↔ 𝑥(−𝑓)
Convolución
“La Convolución en el dominio del tiempo
corresponde a la multiplicación en el dominio de
la frecuencia” [4]
Ecuación 9
𝑥1 𝑥2 ↔ 𝑋1(𝑓)𝑋2(𝑓)
Teorema Parseval
“Nos dice que la potencia de un señal periódica es
igual a la suma de las potencias de sus
componentes armónicos.” [5]
Ecuación 10
∫ 𝑥(𝑡)𝑣(𝑡)𝑑𝑡 =
1
2𝜋
∫ 𝑋(𝑓)𝑉(𝑓)𝑑𝑓
∞
−∞
∞
−∞
PROPIEDADES señal Transformada de
Fourier
Linealidad 𝑎1 𝑥1(𝑡)
+ 𝑎2 𝑥2(𝑡)
𝑎1 𝑋1(𝑓) + 𝑎2 𝑋2(𝑓)
Desplazamiento
en el tiempo
𝑥(𝑡 − 𝑐) 𝑋(𝑤)𝑒−𝑗𝑤𝑐
Escalamiento 𝑥(𝑎𝑡) 1
𝑎
𝑋 (
𝑓
𝑎
)
Inversión o
Reflexión
𝑥(−𝑡) 𝑥(−𝑓) = 𝑋(𝑓)
Multiplicación 𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡) 𝑋1(𝑓)𝑋1(𝑓)
Dualidad 𝑋(𝑡) 𝑥(−𝑓)
Convolución 𝑥1 𝑥2 𝑋(𝑓)𝑋2(𝑓)
Teorema
Parseval ∫ 𝑥(𝑡)𝑣(𝑡)𝑑𝑡
∞
−∞
1
2𝜋
∫ 𝑋(𝑓)𝑉(𝑓)𝑑𝑓
∞
−∞
Tabla 1: Propiedades de la transformada de Fourier
IV. LA RESPUESTA DE FRECUENCIA
El resultado de una señal se caracteriza por
su amplitud y las ondas que se generan, por
lo tanto se le llama respuesta en frecuencia.
En el dominio del tiempo la señal es el
resultado por una respuesta al impulso y en
la “frecuencia de un sistema se caracteriza
por su respuesta en frecuencia” [1]. La
relación entre las dos es la transformada de
Fourier.
A. Convolución de Frecuencia
“Convolucionar dos señales en el dominio del
tiempo, significa multiplicarlas en el dominio
de la frecuencia y viceversa” [1]
Imagen 1 Respuesta de Frecuencia

4. B. Ecuación
Ecuación 11 Convolución de Frecuencia
Si:
𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛] = 𝑦[𝑛]
Entonces:
𝑋[𝑓] ∗ 𝐻[𝑓] = 𝑌[𝑓]
C. Ejemplo
Análisis de un Sistema
 Respuesta al impulso
 Respuesta en frecuencia
Imagen 2 Dominio del tiempo
Imagen 3 Dominio del tiempo
V. ECUACIONES Y GRÁFICAS
Ejercicio 1: Señal Exponencial de la TF
“Considere la siguiente señal 𝑥(𝑡) =
𝑒−𝑏𝑡
𝑢(𝑡) donde b es una constante real, y
𝑢(𝑡) es la función escalón unitario, x(t) es
igual a 𝑢(𝑡) cuando b=0. Para un valor
cualquiera de b, la transformada de Fourier
𝑋(𝜔) de x(t) está dada por
𝑋(𝜔) = ∫ 𝑒−𝑏𝑡
𝑢(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡
𝑑𝑡
∞
−∞
𝑢(𝑡) = {
0, 𝑡 < 0
1, 𝑡 ≥ 1
Solución:
𝑋(𝜔) = ∫ 𝑒−𝑏𝑡
𝑒−𝑗𝜔𝑡
𝑑𝑡
∞
0
𝑋(𝜔) = ∫ 𝑒−(𝑏𝑡+𝑗𝜔)𝑡
𝑑𝑡
∞
0
𝑋(𝜔) = −
1
𝑏 + 𝑗𝜔
[𝑒−(𝑏+𝑗𝜔)𝑡
] {
𝑡 = ∞
𝑡 = 0
𝑋(𝜔) = −
1
𝑏 + 𝑗𝜔
[𝑒−(𝑏+𝑗𝜔)∞
− 𝑒−(𝑏+𝑗𝜔)0
]
𝑋(𝜔) = −
1
𝑏 + 𝑗𝜔
[0 − 1]
Respuesta:
𝑋(𝜔) =
1
𝑏 + 𝑗𝜔
Matlab
w = 0:0.2:50;
b = 10;
X = 1./(b+j*w);
subplot(211), plot(w, abs (X)); % gráfica de la magnitud de X
xlabel('Amplitud','fontsize',10,'color','b')
title ('Ecuacion x(t)=exp(-10t)u(t)','fontsize',15,'color','r')
subplot(212), plot(w, angle (X)); % gráfica del ángulo de X
xlabel('Fase','fontsize',10,'color','b')
Grafica 4 señal Exponencial
En la Grafica 4 vemos que la mayor parte del
contenido espectral de la señal se concentra
en el intervalo bajo de frecuencias con un
espectro de amplitud que decae hacia cero
conforme 𝜔 → ∞” [6]
Ejercicio 2: Transformada de Fourier en
Tiempo-continuo
“Considerar la señal 𝑋(𝑡) = 𝑒−𝑎𝑡
𝑢(𝑡) 𝑎 > 0” [7]
𝑿(𝒋𝝎) = ∫ 𝒙(𝒕)𝒆−𝒋𝝎𝒕
𝒅𝒕
∞
−∞

5. Reemplazando:
𝑿(𝒋𝝎) = ∫ 𝑒
−𝑎𝑡
𝒆−𝒋𝝎𝒕
𝒅𝒕
∞
−∞
𝑋(𝑗𝜔) = −
1
𝑎 + 𝑗𝜔
[𝑒−(𝑎+𝑗𝜔)𝑡
]{
𝑡 = ∞
𝑡 = 0
Respuesta:
𝑋(𝜔) =
1
𝑎 + 𝑗𝜔
Matlab
function [ X ] =
ftransform(f,L1,L2 )
syms t
syms w j positive;
X= int(f*exp(-j*w*t),t,L1,L2);
%X=simplify(X);
disp(' X(jw)'),pretty(X)
w=-20:.01:20;
inline(X);
ans(-20:.01:20);
subplot(2,1,1);
plot(w,real(ans),'g','linewidth',
2)
title('|X(jw)| Dominio Frecuencia
')
xlabel('(w) Intervalo')
grid on;
subplot(2,1,2)
plot(w,imag(ans),'r','linewidth',
2.5);
title('< X(jw) Angulo')
grid on
end
--Command Windows
>>syms t
>>ftransform(exp(-
10*t),0,10)
Grafica 5 Transformada de Fourier en Tiempo-
continuo
Ejercicio 3
“Graficar en Matlab la señal del pulso
rectangular y la transformada de Fourier”
[7]
𝒙(𝒕) = {
−𝟏, |𝒕| < 𝑻𝟏
𝟎, |𝒕| > 𝑻𝟏
function [ X ] =
ftransform(f,L1,L2 )
syms t
syms w j positive;
X= int(f*exp(-j*w*t),t,L1,L2);
%X=simplify(X);
disp(' X(jw)'),pretty(X)
w=-20:.01:20;
inline(X);
ans(-20:.01:20);
subplot(2,1,1);
plot(w,real(ans),'g','linewidth',
2)
title('transformada de Fourier')
grid on;
subplot(2,1,2)
plot(w,imag(ans),'r','linewidth',
2.5);
title('señal pulso rectangular')
grid on
end
Grafica 6 pulso rectangular y la TF

6. VI. CONCLUSIONES
Podemos concluir diciendo que la TF
prácticamente viendo siendo una
representación del dominio de la frecuencia
de una señal.
.
A diferencia de la TF y las series de Fourier es
que la TF se emplea con señales periódicas.
VII. BIBLIOGRAFÍA
[1] C. Lara, 21 12 2008. [En línea]. Available: http://es.slideshare.net/catita_potter/transformada-de-fourier-presentation.
[2] I. Parra, «Matematica Aplicada,» 29 11 2011. [En línea]. Available: http://matap.dmae.upm.es/Asignaturas/MetodosMatematicos_eiae/Transformada_Fourier.pdf.
[3] L. C. Brenes, «Escuela de Ingeniería Electrónica,» 2012. [En línea]. Available:
http://www.ie.itcr.ac.cr/gaby/Licenciatura/Modelos_Sistemas/Presentaciones/10_TransformadaFourier_v08s02.pdf.
[4] E. w. Kamen, Fudamentos de señales y sistemas, 3ra ed., L. M. Cruz, Ed., Mexico: PRESON, 2008, p. 149.
[5] R. J. Espinoza, «Universidad de San Francisco de Quito,» 06 09 2011. [En línea]. Available:
http://profesores.usfq.edu.ec/renej/Contenidos%20Analisis%20de%20Senales/Apuntes%20A.%20%20de%20Se%F1ales/Se%F1ales_4.pdf.
[6] E. W. Kamen, Fundamentos de señales y sistemas, 3era Edicion ed., 2007, p. 127.
[7] M. J. Roberts, Fundamentos de Señales y Sistemas, 1era Edicion ed.
Página
Tabla 2: Propiedades de la transformada de Fourier…………………………………………………………………..….2
Imagen 1 Respuesta de Frecuencia..................................................................................................... 2
Imagen 2 Dominio del tiempo............................................................................................................. 3
Imagen 3 Dominio del tiempo............................................................................................................. 3
Grafica 4 señal Exponencial................................................................................................................ 3
Grafica 5 Transformada de Fourier en Tiempo-continuo ................................................................... 4
Grafica 6 pulso rectangular y la TF...................................................................................................... 4