matlab

1. Escuela Politécnica Superior – 3º Ingeniería Informática
TAA01 – Tratamiento Digital de Señales
Curso 2004/2005. Laboratorio 5B
Práctica 1: La Suma de Convolución
1er. Apellido 2º Apellido Nombre Grupo
Puesto
Fecha
NOTAS PRÁCTICAS SOBRE MATLAB
En cualquier momento, puede obtener ayuda sobre una función Matlab introduciendo en
la consola el comando help <funcion>.
Dependiendo del resultado de cada apartado, puede que se le solicite representarlo de
forma gráfica, para lo cual pueden serle de ayuda los comandos siguientes:
• plot o stem para representar gráficamente un conjunto de valores.
• subplot para representar conjuntamente más de una gráfica en la misma
ventana.
• figure para crear una nueva ventana gráfica y no sobrescribir la gráfica de la
ventana anterior.
• title, xlabel, ylabel para insertar texto en el encabezado, en el eje horizontal y
en el eje vertical, respectivamente, de la gráfica activa.
Para pegar la gráfica como imagen en otra aplicación, proceda como sigue:
• Sitúese en la ventana de la gráfica que desea copiar.

2. • Seleccione “Edit” -> “Copy Figure” del menú de la parte superior de la ventana.
Tras esta operación, la gráfica quedará copiada como imagen en el portapapeles
de Windows.
• Sitúese en la aplicación donde desea copiar la imagen (Word, Paint, etc.) y
péguela siguiendo el método habitual (ctrl+v)

3. 1. Introducción a la convolución
La función de Matlab conv calcula la suma de convolución
[ ] [ ] [ ]
m
y n h m x n m
∞
=−∞
= −∑
Para calcular la suma, Matlab requiere que [ ]x n y [ ]h n sean secuencias de duración
finita. Si asumimos que [ ]x n es no nula solamente en el intervalo 1x x xn n n N≤ ≤ + −
(siendo xN su longitud) y que [ ]h n es no nula solamente en el intervalo
1h h hn n n N≤ ≤ + − (siendo hN su longitud), entonces [ ]y n es no nula únicamente en
el intervalo ( ) ( ) 2x h x h x hn n n n n N N+ ≤ ≤ + + + − (siendo su longitud 1x hN N+ − ).
Esto significa que conv solamente necesita calcular [ ]y n para las 1x hN N+ − muestras
de este intervalo.
Si x es un vector xN -dimensional que contiene las muestras de [ ]x n en el intervalo
1x x xn n n N≤ ≤ + − y h es un vector hN -dimensional que contiene las muestras de
[ ]h n en el intervalo 1h h hn n n N≤ ≤ + − , entonces ( , )y conv x h= devuelve en y las
1x hN N+ − muestras de [ ]y n en el intervalo ( ) ( ) 2x h x h x hn n n n n N N+ ≤ ≤ + + + − .
Ha de tener en cuenta que la función conv no devuelve los índices de las muestras de
[ ]y n almacenadas en el vector y . El usuario de la función conv es el responsable de
conocer cuáles son dichos índices en función de los índices de los vectores de entrada.
2. Propiedades conmutativa, asociativa y distributiva de la convolución.
Aplicación a Sistemas Lineales e Invariantes (LTI)
En este ejercicio, comprobará las propiedades conmutativa, distributiva y asociativa de
la convolución con un conjunto específico de señales. Además examinará las
implicaciones de estas propiedades en la conexión serie y paralelo de sistemas lineales e
invariantes.

4. Los problemas de este ejercicio exploran únicamente sistemas de tiempo discreto, dado
que en un ordenador sólo podemos almacenar y representar un número finito de valores.
Sin embargo, estas mismas propiedades son válidas también para sistemas de tiempo
continuo.
a) A lo largo del ejercicio emplearemos las tres señales siguientes:
[ ]1
1 0
2 1 4
0
n
x n n
resto
=

= ≤ ≤


[ ]1
1 0
1 1
2 2
0
n
n
h n
n
resto
− =
 =
= 
=

[ ]2
1 1
2 2
3 3
1 4
0
n
n
h n n
n
resto
=
 =
= =
 − =


Defina el vector de MATLAB 1x para representar la señal [ ]1x n en el intervalo
0 9n≤ ≤ y los vectores 1h y 2h para representar [ ]1h n y [ ]2h n en el intervalo
0 4n≤ ≤ . Defina también los vectores 1nx , 1nh y 2nh para que sean vectores de
índices (valores de n ) para las señales correspondientes. Represente las tres señales
discretas con los índices correctos empleando la función stem y dibújelas en el
espacio siguiente.
NOTA: pueden serle de utilidad los ejemplos MATLAB siguientes
• v = [9 1 2; 5 6 8] define la matriz
9 1 2
5 6 8
 
 
 
en la variable v.
• n = 2 : 0.5 : 4 define el vector [2.0 2.5 3.0 3.5 4.0] en la variable n

5. b) La propiedad conmutativa establece que el resultado de la convolución es el mismo
independientemente del orden de los operandos. Esto implica que la salida de un
sistema LTI con respuesta al impulso [ ]h n cuando la entrada es [ ]x n es igual que
la salida de un sistema LTI con respuesta al impulso [ ]x n cuando la entrada es
[ ]h n . Use la función conv para verificar esta propiedad con los vectores 1h y 1x .
Represente ambas salidas en el espacio siguiente. ¿Es la salida de la función conv la
misma independientemente del orden de los argumentos de entrada? ¿Cuál es el
intervalo de valores de n que debe utilizar para la señal de salida?
Gráficas y comentarios:

6. c) La convolución también tiene la propiedad distributiva respecto de la suma. Esto
quiere decir que:
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2x n h n h n x n h n x n h n∗ + = ∗ + ∗
Esto implica que la salida de dos sistemas LTI conectados en paralelo es la misma
que la salida de un sistema cuya respuesta al impulso es la suma de las respuestas al
impulso de los sistemas conectados en paralelo. Dibuje en el espacio siguiente dos
diagramas de bloques, uno con dos sistemas conectados en paralelo y otro con el
sistema único equivalente.
Compruebe la propiedad distributiva empleando los vectores 1x , 1h y 2h . Para ello
calcule la suma de las salidas de los dos sistemas LTI con respuestas al impulso
[ ]1h n y [ ]2h n cuando [ ]1x n es la señal de entrada. Posteriormente, calcule la salida
de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es la suma de [ ]1h n y [ ]2h n cuando
[ ]1x n es la señal de entrada. Represente ambas salidas en el espacio adjunto y
compárelas. ¿Producen estos dos métodos la misma salida?

7. Gráficas, diagramas de bloques y comentarios:

8. d) La convolución también tiene la propiedad asociativa, es decir:
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2 1 2x n h n h n x n h n h n x n h n h n∗ ∗ = ∗ ∗ = ∗ ∗
Esta propiedad implica que el resultado de procesar una señal con una serie de
sistemas LTI conectados en cascada es equivalente a procesar la señal con un único
sistema LTI cuya respuesta al impulso es la convolución de todas las respuestas al
impulso de los sistemas LTI conectados en cascada. Dibuje en el espacio siguiente
dos diagramas de bloques que ejemplifiquen esta propiedad para dos sistemas
conectados en cascada.
Siga los siguientes pasos para comprobar la propiedad asociativa empleando los
vectores 1x , 1h y 2h .
• Calcule [ ]w n como la salida de un sistema LTI con respuesta al impulso [ ]1h n
cuando la entrada al sistema es [ ]1x n . Represente esta señal en el espacio
siguiente.
• Calcule la salida [ ]1y n del sistema conectado en cascada como la salida de un
sistema LTI con respuesta al impulso [ ]2h n cuando la entrada al sistema es
[ ]w n . Represente esta señal en el espacio siguiente.
• Calcule ahora la respuesta al impulso del sistema equivalente a la conexión en
cascada de los dos sistemas [ ]1h n y [ ]2h n . Denomine [ ]serieh n a dicha respuesta
al impulso y represéntela en el espacio siguiente.
• Por último, calcule la salida [ ]2y n del sistema equivalente [ ]serieh n cuando la
entrada al sistema es [ ]1x n . Represente esta señal en el espacio siguiente.
Compare las dos salidas calculadas [ ]1y n y [ ]2y n . ¿Obtuvo los mismos resultados
al procesar [ ]1x n con los dos sistemas individuales y con el sistema equivalente?

9. Gráficas, diagramas de bloques y comentarios: