1. ACTIVIDADES DE AMPLIACIO´N
11 Funciones. Lı´mites y continuidad
1. Calcula el verdadero valor de la funcio´n f (x) ϭ en x ϭ 0.
3
sen x
tg x Ϫ sen x
2. Calcula el verdadero valor de la funcio´n f (x) ϭ en x ϭ 0.
x ϩ 1 Ϫ 1͙
x ϩ 9 Ϫ 3͙
3. ¿Que´ tipo de discontinuidad presenta la funcio´n f (x) ϭ en x ϭ 0?
3
Wx Ϫ xW
x
4. Clasifica las discontinuidades de la funcio´n f (x) ϭ (x ϩ 1) · 2
1 1
Ϫ ϩ΂ ΃W x W x
5. Determina para que´ valores de los para´metros a y b es continua en toda la recta real la funcio´n:
f (x) ϭ
x ϩ 2 x р 0
ax ϩ b 0 Ͻ x р 2͙
x 3ΆϪ ϩ x Ͼ 2
2 2 2͙ ͙
6. Demuestra que la funcio´n f (x) ϭ 2x3
Ϫ 5x2
ϩ x ϩ 2 corta al eje de abscisas en el intervalo [Ϫ1, 3]. ¿Puede
afirmarse lo mismo de la funcio´n g(x) ϭ ?
2x ϩ 1
x Ϫ 2
7. Demuestra que la ecuacio´n 2x
Ϫ 4x ϭ 0 tiene, al menos, dos soluciones reales.
8. Demuestra que las gra´ficas de las funciones f (x) ϭ x3
ϩ x2
y g(x) ϭ 3 ϩ cos ␲x se cortan en un punto
cuya abscisa pertenece al intervalo [0, 2].
9. Calcula el valor de k para que la funcio´n f (x) ϭ tenga en x ϭ 2 una discontinuidad evitable y
2
x ϩ kx ϩ 5
2
x Ϫ 3x ϩ 2
escribe, en ese caso, el verdadero valor de la funcio´n en x ϭ 2.
10. Construye una funcio´n adecuada para demostrar, por el teorema de Bolzano, que la funcio´n
f (x) ϭ toma todos los valores del intervalo [0, 3].3
x ϩ 1͙
Algoritmo Matema´ticas II – 2.o
Bachillerato Actividades de ampliacio´n

2. SOLUCIONES
1. El verdadero valor es f(0) ϭ 2, ya que:
ϭ ϭ
3 2
sen x sen x · sen x
lim lim
x 0 x 0A Atg x Ϫ sen x sen x
Ϫ sen x
cos x
ϭ ϭ
2
cos x · (1 Ϫ cos x)
lim
x 0A 1 Ϫ cos x
ϭ [cos x · (1 ϩ cos x)] ϭ 2lim
x 0A
2. El verdadero valor es f(0) ϭ 3, ya que:
ϭ
x ϩ 1 Ϫ 1͙lim
x 0A x ϩ 9 Ϫ 3͙
ϭ ϭ
( x ϩ 1 Ϫ 1) · ( x ϩ 1 ϩ 1) · ( x ϩ 9 ϩ 3)͙ ͙ ͙lim
x 0A ( x ϩ 9 Ϫ 3) · ( x ϩ 9 ϩ 3) · ( x ϩ 1 ϩ 1)͙ ͙ ͙
ϭ ϭ ϭ 3
x · ( x ϩ 9 ϩ 3) ( x ϩ 9 ϩ 3)͙ ͙lim lim
x 0 x 0A Ax · ( x ϩ 1 ϩ 1) ( x ϩ 1 ϩ 1)͙ ͙
3. f(x) ϭ ϭ (1 Ϫ x2
) ϭ 1
3
Ϫ(x Ϫ x)
lim lim limϩ ϩ ϩx 0 x 0 x 0A A Ax
f(x) ϭ ϭ (x2
Ϫ 1) ϭ Ϫ1
3
x Ϫx
lim lim limϪ Ϫ Ϫx 0 x 0 x 0A A Ax
La funcio´n tiene una discontinuidad inevitable de
salto finito igual a 2.
4. La funcio´n es continua en el dominio R Ϫ {0}; es-
tudiamos el tipo de discontinuidad en x ϭ 0.
f(x) ϭ ; f(x) ϭ 1 y
(x ϩ 1) si x Ͻ 0
lim2
ϪΆ Ϫx 0x A(x ϩ 1) · 2 si x Ͼ 0
f(x) ϭ ϭ 0, por lo que la funcio´n
x ϩ 1
lim lim 2
ϩ ϩx 0 x 0A A x2
tiene una discontinuidad inevitable de salto finito
igual a 1 en x ϭ 0.
5. Para que la funcio´n sea continua en toda la recta
real debe ser continua en x ϭ 0 y en x ϭ 2:
f(0) ϭ f(x) ϭ f(x)lim limϪ ϩx 0 x 0A A
b ϭ 4
f(0) ϭ lim f(x) ϭ 2Ϫx 0A
Ά lim f(x) ϭ bϩ ͙x 0A
f(2) ϭ f(x) ϭ f(x)lim limϪ ϩx 2 x 2A A
f(2) ϭ lim f(x) ϭ 2a ϩ 4Ϫ ͙x 2A
Ά 2 3
lim f(x) ϭ Ϫ ϩϩx 2A 2 2 2͙ ͙
ϭ a ϭ Ϫ1
2
2a ϩ 4͙ 2͙
6. La funcio´n f(x) ϭ 2x3
Ϫ 5x2
ϩ x ϩ 2 es continua
y toma valores de distinto signo en los extremos del
intervalo [Ϫ1, 3], f(Ϫ1) ϭ Ϫ6 Ͻ 0 y f(3) ϭ 14 Ͼ 0;
por el teorema de Bolzano, ᭚c ʦ [Ϫ1, 3] que cum-
ple f(c) ϭ 0.
Este razonamiento no es va´lido para la funcio´n
g(x), ya que no es continua en el intervalo [Ϫ1, 3]
puesto que no esta´ definida en x ϭ 2; sin embargo,
se puede observar directamente que la funcio´n corta
al eje de abcisas en x ϭ Ϫ ʦ [Ϫ1, 3].
1
2
7. Se considera la funcio´n f(x) ϭ 2x
Ϫ 4x; esta fun-
cio´n es continua y toma valores de distinto signo
en los extremos del intervalo [0, 1]:
f(0) ϭ 1 f(1) ϭ Ϫ2
por el teorema de Bolzano, ᭚c ʦ [0, 1] tal que
2c
Ϫ 4c ϭ 0, es decir, c ʦ [0, 1] es una solucio´n
de la ecuacio´n.
Adema´s, f(4) ϭ 24
Ϫ 4 · 4 ϭ 0, por lo que
x ϭ 4 es otra solucio´n de la ecuacio´n.
8. Sealafuncio´nh(x)ϭf(x)Ϫg(x)ϭx3
ϩx2
Ϫ3Ϫcos ␲x
esta funcio´n es continua y toma valores de distinto
signo en los extremos del intervalo [0, 2]:
h(0) Ͻ 0 h(2) Ͼ 0
Por el teorema de Bolzano, ᭚c ʦ [0, 2] que cumple
h(c) ϭ 0; es decir, f(c) Ϫ g(c) ϭ 0 f(c) ϭ g(c).
9. Para que exista una discontinuidad evitable:
ʦ R, y para ello debe anularse el
2
x ϩ kx ϩ 5
lim 2
x 2A x Ϫ 3x ϩ 2
numerador en x ϭ 2 22
ϩ 2k ϩ 5 ϭ 0
k ϭ Ϫ . Para este valor:
9
2
ϭ ϭ
592 (x Ϫ 2) · x Ϫx Ϫ x ϩ 5 ΂ ΃22
lim lim2
x 2 x 2A Ax Ϫ 3x ϩ 2 (x Ϫ 2) · (x Ϫ 1)
ϭ ϭ Ϫ
5
x Ϫ
2 1
lim
x 2A x Ϫ 1 2
que es el verdadero valor de f(x) en x ϭ 2.
10. La funcio´n g(x) ϭ Ϫ c, 0 Ͻ c Ͻ 3 es3
x ϩ 1͙
continua en el intervalo [Ϫ1, 2] y toma valores de
distinto signo en los extremos:
g(Ϫ1) ϭ Ϫc Ͻ 0 g(2) ϭ 3 Ϫ c Ͼ 0
PorelteoremadeBolzano,᭚x0 ʦ[Ϫ1,2]quecumple
g(x0) ϭ 0; es decir, f(x0) Ϫ c ϭ 0 f(x0) ϭ c.
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Bachillerato