Derivadas: Conceptos, Límite, Interpretación Geométrica, Reglas de Derivación - Prof. Dipl. Lencioni, Gustavo Omar.

Derivadas
Apuntes de Matemática.
5to. Año Ed. Secundaria.
Departamento de Matemática – Colegio Teodelina.
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Recordando el concepto de pendiente de una recta
(inclinación de la recta) m=
𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)
𝑥2−𝑥1
, podemos
indicar que la no es otra cosa que:
"la pendiente de la recta tangente que corta a una
función en un punto determinado".
Cada punto de una función tiene su recta
tangente, siempre y cuando en ese punto se
verifique los postulados de continuidad.

Tomemos dos puntos cualesquiera de una función; ambos
poseen coordenadas, que en este caso llamaremos:
(x1, f(x1)) y (x2, f(x2))
Interpretación geométrica de la
derivada

Derivada a través del concepto de
Límite.
Por lo anterior, podemos escribir la definición de derivada, a
través del límite, como un límite donde delta x es cada vez
más pequeña, es decir, tiende a cero:
La notación más simple para la derivada, en uso actual, es
debida a Lagrange: para la función derivada de f(x), se
escribe f´(x) y se lee “efe prima de equis”

Tabla de
derivadas
elementales.

Derivadas para funciones constante,
identidad y potenciales.

Derivadas para funciones exponenciales
y logarítmicas.

Derivadas para funciones
trigonométricas.

Reglas básicas de
derivación.
Teoremas

TEOREMA 1.
Derivada de una constante por una función.
La derivada de una función constante es la
constante por la derivada de la función.
[ k . f ( x ) ] ' = k . f ' ( x )
Ejemplo:
f(x)=4senx f´(x)= 4cosx

TEOREMA 2.
Derivada de la suma (resta) de funciones.
La derivada de una suma de funciones es la suma
de las derivadas de cada función.
[ f ( x ) + g ( x ) ] ' = f ' ( x ) + g ´ ( x )
Ejemplo:
w(x) = 4senx + lnx – 3x
w´(x) = 4cosx + 1/x – 3

TEOREMA 3:
Derivada de la multiplicación de funciones.
La derivada de una multiplicación de dos funciones es la
primera función derivada por la segunda sin derivar más la
primera función sin derivar por la segunda derivada.
[ f ( x ) . g ( x ) ] '
=
f ' ( x ) . g ( x ) + f ( x ) . g ´ ( x )
Ejemplo:
w(x) = 4senx.lnx
w´(x) = 4cosx.lnx + 4senx.1/x

TEOREMA 4:
Derivada del cociente entre funciones.
La derivada del cociente de dos funciones es la primera
función derivada por la segunda sin derivar menos la primera
función sin derivar por la segunda derivada, todo sobre la
segunda función al cuadrado.
[ f ( x ) : g ( x ) ] '
=
[ f ' ( x ) . g ( x ) - f ( x ) . g ´ ( x ) ] / g 2 ( x )
Ejemplo: w(x) = 2cosx/x5
w´(x) = [2(-senx). x5 – 2cosx.5x4]/(x5)2

TEOREMA 5:
Regla de la Cadena.
Surge cuando las reglas de derivación estudiadas hasta el
momento son para expresiones sencillas, se trabaja para
funciones compuestas. Y se deriva de afuera hacia adentro
de la función.
[ f ( g ( x ) ) ] ' = f ' ( g ( x ) ) , g ´ ( x )
Ejemplo: w(x) = cos9x
w´(x) = -sen9x.9

Bibliografía | Irene De Simone. Funciones y Matrices. Editorial AZ. Buenos Aires 2006. | Liliana Lagreca. Matemática
II. Editorial Santillana. Buenos Aires 2000. | Carlos Abdala. Matemática II. Editorial Aique. Buenos Aires 2002. |
Graciela D. de Cortes. Matemática 5. Editorial Stella. Buenos Aires, 1994.
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