1. ACTIVIDADES DE REFUERZO
17 Estudio y representacio´n de funciones
1. Dada la funcio´n f(x) ϭ
0 si x Ͻ 0
2Άx Ϫ x si x Ͼ 0
a) Calcula su dominio y dibuja su gra´fica.
b) Define la funcio´n f en x ϭ 0 para que sea continua en ese punto.
c) Estudia si, al dar a f(0) el valor obtenido en el apartado anterior, la funcio´n es derivable en x ϭ 0.
Y
O 1
f'(x)1
X
Y
O 1
1
f'(x)
X
Y
O 1
f'(x)
1
X
2. Una funcio´n f(x) tiene por derivada fЈ(x) cuya gra´fica es la dada en la figura.
Escribe los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funcio´n f(x) e
indica do´nde tiene ma´ximos, mı´nimos o puntos de inflexio´n.
3. Una funcio´n f(x) tiene por derivada fЈ(x) cuya gra´fica es la dada en la figura.
Escribe los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funcio´n f(x) e
indica do´nde tiene ma´ximos, mı´nimos o puntos de inflexio´n.
4. Una funcio´n f(x) tiene por derivada fЈ(x) cuya gra´fica es la dada en la figura.
Escribe los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funcio´n f(x) e
indica do´nde tiene ma´ximos, mı´nimos o puntos de inflexio´n.
5. Halla las ası´ntotas de la funcio´n f(x) ϭ y comprueba si en algu´n caso la ası´ntota corta a la gra´fica de
1 Ϫ x
x ϩ 2
la funcio´n, calculando el punto de corte.
6. Halla las ası´ntotas de la funcio´n f(x) ϭ y comprueba si en algu´n caso la ası´ntota corta a la gra´fica de
x ϩ 1
2
x ϩ 1
la funcio´n, calculando el punto de corte.
7. Representa las siguientes funciones:
a) f(x) ϭ x2
ϩ 2x Ϫ 3
b) f(x) ϭ 6x Ϫ x2
8. Representa las siguientes funciones:
a) f(x) ϭ x3
Ϫ 3x ϩ 2
b) f(x) ϭ (x ϩ 1)3
9. Representa las siguientes funciones:
a) f(x) ϭ Ϫ
x
x ϩ 1
b) f(x) ϭ Ϫ
2
x
x ϩ 1
Algoritmo Matema´ticas I – 1.o
Bachillerato Actividades de refuerzo

2. SOLUCIONES
1. a) Dominio ‫ޒ‬ Ϫ {0}
b) f(0) ϭ f(x) ϭ 0lim
xA0
c) fЈ(x) ϭ
0 si x Ͻ 0
Ά2x Ϫ 1 si x Ͼ 0
fЈ(0Ϫ
) ϭ 0 y fЈ(0ϩ
) ϭ Ϫ1
Como las derivadas laterales son distintas, la
funcio´n no es derivable en x ϭ 0.
2. Si x Ͻ 2 fЈ(x) Ͼ 0: f(x) es creciente.
Si x Ͼ 2 fЈ(x) Ͻ 0: f(x) es decreciente.
fЈ(2) ϭ 0 y fЈ pasa de ser positiva a ser negativa
f(x) tiene un ma´ximo en x ϭ 2.
Como fЈ(x) es decreciente, f(x) es siempre co´ncava
y no tiene puntos de inflexio´n.
3. Si x Ͻ Ϫ2 o x Ͼ 2 fЈ(x) Ͼ 0: f(x) es creciente.
Si Ϫ2 Ͻ x Ͻ 2 fЈ(x) Ͻ 0: f(x) es decreciente.
En x ϭ Ϫ2, fЈ(Ϫ2) ϭ 0 y fЈ pasa de ser positiva a
ser negativa f(x) tiene un ma´ximo en x ϭ Ϫ2.
En x ϭ 2, fЈ(2) ϭ 0 y fЈ pasa de ser negativa a ser
positiva f(x) tiene un mı´nimo en x ϭ 2.
En x ϭ 0, fЈ(x) pasa de ser decreciente a ser cre-
ciente f(x) pasa de ser co´ncava a ser convexa y,
por tanto, hay un punto de inflexio´n.
4. Si x Ͻ Ϫ1 fЈ(x) Ͻ 0: f(x) es decreciente.
Si x Ͼ Ϫ1 fЈ(x) Ͼ 0: f(x) es creciente.
En x ϭ Ϫ1, fЈ(Ϫ1) ϭ 0 y fЈ pasa de ser negativa
a ser positiva f(x) tiene un mı´nimo en x ϭ Ϫ11.
En x ϭ 0 y en x ϭ 2 cambia el crecimiento de fЈ(x)
cambia la curvatura de f(x) y, por tanto, hay
puntos de inflexio´n.
5. El denominador se anula en x ϭ Ϫ2.
Como ϭ Ϫϱ y ϭ ϩϱ,
1 Ϫ x 1 Ϫ x
lim lim
Ϫ ϩx ϩ 2 x ϩ 2xA2 xAϪ2
x ϭ Ϫ2 es ası´ntota vertical.
Como ϭ Ϫ1 y ϭ Ϫ1,
1 Ϫ x 1 Ϫ x
lim lim
x ϩ 2 x ϩ 2xAϪϱ xAϩϱ
y ϭ Ϫ1 es ası´ntota horizontal.
El sistema no tiene solucio´n.
1 Ϫ x
y ϭ
x ϩ 2
Άy ϭ Ϫ1
No hay puntos de corte con la ası´ntota.
6. No tiene ası´ntotas verticales ya que el denominador
no se anula.
Como ϭ 0 y ϭ 0,
x ϩ 1 x ϩ 1
lim lim2 2
x ϩ 1 x ϩ 1xAϪϱ xAϩϱ
y ϭ 0 es ası´ntota horizontal.
tiene como solucio´n x ϭ Ϫ1
x ϩ 1
y ϭ 2
x ϩ 1
Άy ϭ 0
(Ϫ1, 0) es el punto de corte con la ası´ntota.
7. a) fЈ(x) ϭ 2x ϩ 2 b) fЈ(x) ϭ 6 Ϫ 2x
fЉ(x) ϭ 2 fЉ(x) ϭ Ϫ2
Y
O
(–1, –4)
1x=–1
1
X
Y
O 2
2
X
f(x) = x2
+ 2x – 3 f(x) = 6x – x2
(3, 9)
x=3
8. a) fЈ(x) ϭ 3x2
Ϫ 3 b) fЈ(x) ϭ 3(x ϩ 1)2
fЉ(x) ϭ 6x fЉ(x) ϭ 6(x ϩ 1)
Y
O 1
(1, 0)
(0, 2)
(–1, 4)
1
X
Y
O 1
1
(–1, 0)
X
f(x) = x3
– 3x + 2 f(x) = (x + 1)3
9. a) fЈ(x) ϭ Ϫ b) fЈ(x) ϭ Ϫ
1 x(x Ϫ 2)
2 2
(x ϩ 1) (x ϩ 1)
fЉ(x) ϭ fЉ(x) ϭ
2 Ϫ2
3 3
(x ϩ 1) (x ϩ 1)
Y
O 2
2(–2, 4)
(0, 0)
X
x=–1
y = –x + 1
Y
O 2
2
x=–1
y = –1
X
f(x) = –
x + 1
f(x) = – x
x + 1
x2
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