1. CÁLCULO I –TALLER DE DERIVADAS II
Tenga en cuenta la siguiente información para la realización de los ejercicios propuestos.
DEFINICIÓN: Una función f es creciente en un intervalo (a; b) si para todo x; y 2 (a; b)
se tiene que
x < y ) f (x) < f (y):
TEOREMA: Si f 0 (x) > 0 para todo x 2 (a; b) entonces f es creciente en (a; b):
1) Con un grá…co explique el signi…cado de la de…nición dada.
2) A través de una grá…ca explique por qué es válido el teorema enunciado.
3) Enuncie una de…nición análoga a la dada para funciones decrecientes.
4) Enuncie el teorema correspondiente para f 0 (x) < 0:
5) Encuentre los intervalos en los que la función dada es creciente y en los que es decreciente.
2
3 2 ex
a) f (x) = x 3x 9x 1 c) f (x) = e) f (x) = xex
2 p
5 x 1
b) f (x) = d) f (x) = f) f (x) = x2 4
1 + x2 1 + x2
6) Utilice diferenciación implícita para hallar la ecuación de la recta tangente a la grá…ca de
la ecuación dada en el punto que se indica.
a) (x + y)3 xy 25 = 0; (1; 2) c) tan(x + y) = 1; 0; e) y cos y = x; ( ; )
3
4
xy y 3 2 3 3 2 2
b) e = 1; (1; 0) d) 2x (y + 1) + cos(y ) = 5; (2; 0) f) ln(x y ) = 5x ; (1; e
Tenga en cuenta la siguiente información para resolver los ejercicios que siguen.
DEFINICIÓN: Un número crítico de una función f es un número c en el dominio de f
tal que f 0 (c) = 0 o f 0 (c) no existe.
TEOREMA DEL VALOR EXTREMO. Si f es CONTINUA sobre un intervalo cer-
rado [a; b] ; entonces f alcanza un valor máximo absoluto f (c) y un valor mínimo absoluto
f (d) en algunos números c y d en [a; b] :
MÉTODO PARA CALCULAR EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA FUN-
CIÓN CONTINUA f EN UN INTERVALO CERRADO [a; b]:
Calcule los valores de f en los números críticos de f que se hallan en el intervalo (a; b) :
Calcule los valores de la función en los valores extremos del intervalo.
El más grande de los valores calculados anteriormente es el máximo absoluto y el más
pequeño es el mínimo absoluto.
PRUEBA DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS
DE UNA FUNCIÓN. Si c es un número crítico de una función CONTINUA tenemos:
1

2. Si f 0 cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo local en c:
Si f 0 cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo local en c:
Si f 0 no cambia de signo en c, entonces f no tiene máximo ni mínimo locales en c:
PRUEBA DE CONCAVIDAD
Si f 00 (x) > 0 para todo x en I; entonces la grá…ca de f es cóncava hacia arriba sobre
I:
Si f 00 (x) < 0 para todo x en I; entonces la grá…ca de f es cóncava hacia abajo sobre I:
DEFINICIÓN: Un punto P en una curva y = f (x) recibe el nombre de PUNTO DE
INFLEXIÓN si f es CONTINUA ahí y la curva cambia de cóncava hacia arriba a cóncava
hacia abajo o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba.
7) Para cada una de las funciones dadas, determine: Dominio, números críticos, extremos ab-
solutos, extremos locales, intervalos de crecimiento y decrecimiento, intervalos de concavidad
y asíntotas horizontales y verticales, si existen y bosque je la grá…ca de la función.
x2
a) f (x) = 2x3 + 3x2 36x d) f (x) = 2 g) f (x) = 8 3x; x 1
x x 4
e
b) g(x) = x4 2x2 + 3 e) g(x) = h) f (x) = 1 + (x + 1)2 ; 2 x<5
1 + ex
2
x x+3
c) k(x) = 2 f) h(x) = i) f (x) = cos x; 3 2 x 3 2
x +3 9 x2
8) Un fabricante quiere diseñar una caja abierta que tenga una base cuadrada y un área
super…cial de 108 pulgadas (haga un diagrama de la situación). ¿Qué dimensiones tendrá
una caja con un volumen máximo?.
9) Un fabricante puede producir cintas de video en blanco a un costo de $2 por casete. los
casetes se han estado vendiendo a $5 la pieza, y a ese precio, los consumidores han estado
comprando 4000 casetes al mes. El fabricante planea aumentar el precio de los casetes y
estima que por cada aumento de $1,5 en el precio, se venderán 400 casetes menos en el mes.
¿a qué precio debe vender los casetes el fabricante para maximizar la utilidad?.
10) Se va a tender un cable desde una planta de generación eléctrica , ubicada a un lado de
un río de 1200 metros de ancho, hasta una fábrica situada en la otra orilla, 1500 metros río
abajo. El costo de tender el cable por debajo del agua es $25 por metro, mientras que el
costo de tenderlo por tiera es $20 por metro. ¿Cuál es la ruta más económica para tender el
cable? (Haga un diagrama de la situación).
11) Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en una pared. La parte superior de la
escalera se resbala pared abajo a razón de 3 pies/s. ¿Con qué rapidez se aleja de la pared la
base de la escalera cuando la parte superior está a 6 pies sobre el suelo?.
12) Se ha estimado que después de t meses, la población de cierto pueblo será P (t) =
3t + 5t3=2 + 6000: ¿A qué razón cambiará la población con respecto al tiempo dentro de 4
meses?.
2