1. L´
ımites de Funciones 2
Proyecto Did´ctico Euler: http://olmo.cnice.mecd.es/~jrol0022/euler.
a
E1. Dibuja la siguiente funci´n y di si es continua.
o
¡
¢£
¤
©
¤
¥¦§
¨
¦
¦§
x+2 si x 0
Funciones Definidas a Trozos
f(x) = 2−x si x ∈ [0, 2]
0 si x 2
Se puede definir una funci´n de esta manera:
o
E2. Dibuja la siguiente funci´n. Nota que el punto x = 1 no pertenece a
o
2 si x −2 ninguna de las regiones.
f(x) = x2 − 4 si x ∈ [−2, 3)
8 − x si x ≥ 3 2 si x 1
h(x) =
¿Qu´ significa? Esta definici´n nos marca tres «regiones»: antes del −2, entre
e o 3 si x 1
−2 y 3, y m´s all´ del 3. Hay dos puntos de «costura»: x = −2 y x = 3.
a a E3. Dibuja la siguiente funci´n definida a trozos.
o
¿C´mo se dibuja? Pues dibujando cada una de las funciones en su regi´n
o o
correspondiente: y = 2 en x −2, y = x2 − 4 en x ∈ [−2, 3) e y = 8 − x en 0 si x −2

x ≥ 3. Aqu´ tienes el dibujo:
ı (x − 1)2 si x ∈ [−2, 0)

g(x) =
5  −(x + 1)2
 si x ∈ (0, 2]
4 0 si x2
3
2
1 Valor Absoluto
0
-1
Tomar el «valor absoluto» de un n´mero no es m´s que «quitarle el signo»,
u a
-2
convertirle en positivo. Se denota metiendo el n´mero entre barras. As´ |−5| =
u ı,
-3
5, pero |3| = 3.
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 As´ ¿qu´ significa la funci´n f(x) = |x|? Pues con unos ejemplos lo enten-
ı, e o
der´s: f(−5) = 5, y f(3) = 3. ¿La intentamos dibujar? Si x 0, entonces le
a
Si no te aclaras bien, un truco para dibujarlas es el siguiente: dibuja a l´piz
a cambia el signo: f(x) = −x. En cambio, si x ≥ 0, le deja igual: f(x) = x. Lo
las tres funciones como si fueran para todo x. Despu´s borra lo que «sobra»
e podemos escribir como una funci´n a trozos:
o
de manera que cada funci´n quede tan s´lo en su regi´n apropiada.
o o o
En nuestro caso la funci´n presenta un «salto» en x = −2 pero es «con-
o −x si x 0
tinua» en x = 3. En el primer caso, no empalma bien. En el segundo, s´ ı. f(x) = |x| =
x si x ≥ 0
Decimos que la funci´n es continua cuando se puede dibujar sin «levantar el
o
l´piz del papel».
a Dejamos que la dibujes como ejercicio. Vamos a meternos con una un poco
m´s complicada:
a
Cuando hay un salto se sigue una costumbre especial. ¿Cu´nto vale f(−2)?
a
Pues puedes comprobar que x = −2 pertenece, en realidad, a la segunda regi´n o
x ∈ [−2, 3). Por tanto, f(−2) = (−2)2 − 4 = 0. En el dibujo puedes ver, sobre f(x) = |2x − 6|
el punto x = −2, un c´ırculo hueco y otro relleno. El relleno se pone en la «rama la analizamos as´ Si el «bichillo» dentro de las dos barras es positivo, se deja
ı:
apropiada», es decir, aqu´lla que contiene el valor correcto de x = −2.
e tal cual. Si es negativo, le cambiamos el signo. ¿Cu´ndo ocurre esto ultimo? Es
a ´
decir, ¿cu´ndo es negativo el bichillo? Para saberlo, resolvemos la inecuaci´n
a o
—— 2x − 6 0, que nos lleva a x 3. As´ la funci´n es equivalente a:
ı, o

2. 3 L´
ımites de Funciones 4
−(2x − 6) si x 3 lim f(x) = 2
f(x) =
2x − 6 si x ≥ 3 x→1−
¡Pero hay otro m´todo que resulta mucho m´s f´cil para dibujarla! Haz un
e a a y se lee: «el l´
ımite cuando x tiende a 1 por la izquierda de f(x) vale 2». F´ıjate
trazado normal de la funci´n, a l´piz. Despu´s, refleja hacia arriba la parte
o a e que f(1), en realidad, vale 3, porque x = 1 pertenece a la segunda regi´n. Por
o
que quede bajo el eje X: lo negativo se vuelve positivo. Como en la figura eso hay un salto, porque no coinciden esos dos n´meros.
u
siguiente. ¿C´mo podr´ haberlo calculado m´s f´cilmente? Pues «metiendo x = 1
o ıa a a
6 en la regla de la izquierda»: 2 · 1 = 2. Espera, oigo que alguien dice: ¡eso est´a
5 mal! Por supuesto, si quieres calcular f(1), est´ mal. Pero yo quiero calcular
a
4 el «l´
ımite», el valor al que se acerca.
3 ¿Por qu´ se pone x → 1− ? Porque tomamos el l´
e ımite «por la izquierda».
2 Si fuera por la derecha, pondr´ ıamos x → 1+ . Tendr´ ıamos:
1
0
lim f(x) = 3
-1 x→1+
-2
-3
En este caso coincide con el valor real de la funci´n en x = 1.
o
-4
-5 E5. Sobre la funci´n del ejercicio 1, calcula limx→0− f(x) y limx→0+ f(x).
o
-6 ¿Coinciden?
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Diremos que una funci´n es continua en un punto x = a cuando estas
o
E4. Dibuja f(x) = |x2 − 4|. tres cosas coincidan: el l´
ımite por la izquierda, el l´
ımite por la derecha y el
valor de la funci´n all´
o ı:
Q1. Dibuja cualquier funci´n f(x) de tu invenci´n, que tome valores
o o
tanto positivos como negativos. Despu´s dibuja |f(x)|. ¿Podr´ tambi´n
e ıas e
dibujar |f(x)| − 1?
f(x) es continua en x = a ⇐⇒ lim f(x) = lim f(x) = f(a)
x→a− x→a+
L´
ımites Laterales y Continuidad
No s´lo es complicado calcular l´
o ımites en funciones definidas a trozos,
Considera la siguiente funci´n definida a trozos:
o aunque hay veces que nos veremos obligados a tirar de la calculadora. Por
ejemplo, si nos piden calcular[1]
2x si x 1
f(x) = sen(x)
x+2 si x ≥ 1 lim
x→0 x
Si la dibujas podr´s ver que no es continua en x = 1: presenta un «salto».
a
Al dibujarla usar´ıamos un «c´ırculo hueco» al lado izquierdo y otro «relleno» al sin especificarnos si nos piden el l´
ımite por la izquierda o por la derecha, in-
derecho. Imagina que vas avanzando por la funci´n desde la izquierda, y te vas
o tentamos sustituir el valor x = 0, y nos encontramos con la sorpresa de que el
acercando al punto peligroso. f(0) = 0, f(0 5) = 1, f(0 8) = 1 6, f(0 9) = 1 8... cociente pedido es 0/0... ¿cu´nto vale eso? Lo meto en la calculadora y peta.
a
¿A qu´ valor nos «vamos acercando»? Si tomo x = 0 9999, obtengo 1 9998.
e No se puede hacer.
Por tanto, si x se acerca a 1 desde la izquierda, f(x) se va acercando a 2. Lo
[1]
expresaremos de esta forma: En este tema siempre usaremos las funciones trigonom´tricas en radianes.
e

3. 5 L´
ımites de Funciones 6
Ante todo, no desesperemos. Metamos un valor de x muy peque˜o, pero no
n Nos falta comprobar que el valor de la funci´n en el punto es correcta. Eso
o
nulo. Pongamos x = 0 001. Ahora calculamos sen(0 001)/0 001 y obtenemos no es dif´
ıcil: f(2) = 2 + p. Si p = 2, en efecto, vale tambi´n 4. Todo empalma
e
0 9999998. Esto nos fuerza a dar como «hip´tesis», que
o bien.
sen(x) E9. Calcula k para que la funci´n g(x) sea continua en todo R.
o
lim =1
x→0 x
E6. En realidad hemos calculado el l´ ımite por la derecha, al usar un x2 + k si x 1
f(x) =
n´mero ligeramente mayor que cero. Prueba a calcular el l´
u ımite por la x/2 si x ≥ 1
izquierda.
Los l´
ımites por la derecha y por la izquierda, se llaman l´ ımites laterales.
L´
ımites Infinitos
Si ambos existen y coinciden, se dice que existe el l´ımite en el punto. Si existe
el l´
ımite en un punto pero ´ste no pertenece al dominio, o bien el valor de la
e
funci´n no coincide con el l´
o ımite, se dice que tenemos una singularidad evitable. Un tipo especial de l´
ımite se produce cuando x → ±∞, es decir, cuando
Un ejemplo en el ejercicio siguiente: la x se hace muy grande o muy peque˜a. As´ por ejemplo,
n ı,
E7. ¿Es continua la funci´n siguiente en el punto x = 4?
o
4
lim =0
2 si x 4 x→∞ x
f(x) = 6 si x = 4 debido a que, cuando x se hace muy grande, el numerador se mantiene mientras
x − 2 si x 4 que el denominador crece. Si os fij´is, la operaci´n 4/x puede significar que hay
a o
E8. Calcula los l´
ımites pedidos, recurriendo a la calculadora en caso de que repartir 4 tartas entre x ni˜os. Si el n´mero de ni˜os tiende a infinito...
n u n
necesidad. Di cu´l corresponde a una singularidad evitable.
a ¡qu´ agobio! Veamos otro ejemplo m´s sutil:
e a
x2 − 5x 1 cos(x) sen(x)
lim lim lim lim
x→5 x − 5 x→4 x − 4 x→0 1 − x2 x→∞ x
Veamos un problema t´ ıpico. ¿Qu´ valor tiene que tomar p para que la
e En este caso, por muy grande que sea x, el numerador siempre ser´ un n´mero
a u
siguiente funci´n sea continua en todo R?
o entre −1 y 1, pero el denominador cada vez es m´s grande. Como es l´gico, el
a o
cociente se hace cada vez m´s peque˜o. Puedes comprobarlo con la calculadora.
a n
2x si x 2 Si tenemos una funci´n racional (cociente de polinomios), la diferencia la
o
f(x) =
x + p si x ≥ 2 marca el saber d´nde est´ la potencia mayor:
o e
Para que eso ocurra, la funci´n tiene que «empalmar» bien en el unico
o ´
punto «costura» que hay: x = 2. Es decir, los l´ ımites laterales tienen que x2 + 1
lim =∞
coincidir entre s´ y con el valor de la funci´n en el punto. Los calculamos:
ı, o x→∞ x−2
¿Por qu´? Para valores grandes de x, x2 + 1 es mucho m´s grande que x − 2,
e a
lim f(x) = 2 · 2 = 4 lim f(x) = 2 + p porque lleva una x al cuadrado. As´ que «el n´mero de tartas crece m´s deprisa
ı u a
x→2− x→2+
que el n´mero de ni˜os».
u n
A la derecha nos queda una expresi´n en «funci´n de p». No problem.
o o
¿Y si la potencia del numerador y del denominador es la misma? Com-
Igualamos los dos l´
ımites:
prueba t´ mism@ con la calculadora cu´l es el siguiente l´
u a ımite:
3x
lim f(x) = lim f(x) =⇒ 4=2+p → p=2 lim
x→2− x→2+ x→∞ 2x + 1

4. 7 L´
ımites de Funciones 8
Si metes x = 1000, tendr´s que el cociente es 3000/2001 ≈ 1 49925. Por tanto,
a Por tanto, ya que el resultado no es cero ni infinito, existe la as´
ıntota oblicua.
nos vamos a acercando a 1 5, que es el cociente entre los coeficientes de la x De la f´rmula f(x) → mx+n deducimos que f(x)−mx → n, as´ que calculamos
o ı
en los dos polinomios: 3/2. En general, al calcular el l´
ımite cuando x → ∞ de (recuerda que m = 2):
una funci´n racional obtenemos:
o
• Si la potencia mayor est´ arriba, ∞.
a
• Si est´ abajo, 0.
a 2x2 − 4x + 1 −4x + 1
n = lim f(x) − 2x = lim − 2x = lim = −4
• Si son iguales, el cociente de los coeficientes de las potencias de mayor x→∞ x→∞ x x→∞ x
grado.
Por tanto, la as´
ıntota oblicua es y = 2x − 4. Comprobamos dibujando ambas
E10. Calcula los siguientes l´
ımites infinitos: funciones: 7
6
x3 5x3 − x2 + 8x − 3 t4 − t 5
lim 4 lim lim 2
x→∞ x − x3 + 2 x→∞ 2x3 + 4 t→∞ t + 8000 4
3
Q2. Al tomar el l´
ımite cuando x → −∞ hay alg´n cambio. ¿Cu´l es?
u a 2
Comprueba en los casos del ejercicio anterior. 1
0
-1
As´
ıntotas Horizontales y Oblicuas -2
-3
Una as´ıntota es una l´
ınea recta a la que la funci´n se va acercando cada vez
o -4
m´s, sin llegar a alcanzarla nunca. Parece que la funci´n «resbale a lo largo de
a o 0 1 2 3 4 5 6
ella». Mira la figura siguiente y ver´s una as´
a ıntota «oblicua» y una «vertical». E12. Calcula, si las tienen, las as´
ıntotas oblicuas de las siguientes fun-
Una funci´n s´lo puede tener una as´
o o ıntota horizontal cuando, al hacer ciones:
x → ∞ (´ x → −∞), la funci´n tiende a un valor «finito»[2] . Por tanto, en el
o o 3x4 − 6 x5 + 3x2 x2 − 6x + 2
caso de funciones racionales, s´lo pueden darse cuando coinciden el grado del
o f(x) = g(x) = h(x) =
x3 x3 − 8 2x − 4
polinomio numerador y del denominador.
E11. Determina cu´l de las funciones del ejercicio anterior tiene as´
a ıntotas
horizontales. As´
ıntotas Verticales
El caso de las as´
ıntotas oblicuas es diferente. En ese caso, la funci´n
o
se acerca cada vez m´s a una recta no horizontal cuando x → ±∞. Se va
a ıntotas verticales implican que limx→a f(x) = ∞, es decir, que el
Las as´
pareciendo cada vez m´s a algo de la forma f(x) → mx + n. Por tanto, ¡el
a punto x = a no est´ en el dominio de la funci´n. Por tanto, para buscarlas se
a o
cociente f(x)/x tiene que ir acerc´ndose cada vez m´s a m! Tomemos un
a a fija uno en los puntos «peligrosos». Un ejemplo:
ejemplo concreto, 4
f(x) =
x
2x2 − 4x f(x) 2x2 − 4x + 1 Los puntos «peligrosos» en este caso son los que anulan el denominador.
f(x) = lim = lim =2=m En nuestro caso, x = 0. En en ese caso se dividen 4 tartas entre 0 ni˜os.
n
x x→∞ x x→∞ x2
¿Cu´nto podemos dar a cada uno? Lo que nos salga de las narices. Infinito, si
a
[2]
No infinito. queremos.

5. 9 L´
ımites de Funciones 10
¿Lo dudas? Hay una manera de verlo. Sup´n que tienes que meter 4
o Indeterminaciones
litros de vodka en vasitos de capacidad x. Si x = 0 1 litros, entonces necesitas
4/0 1 = 40 vasitos. Si la capacidad de los vasitos, x, tiende a cero, el n´mero
u Decimos que un l´ımite es indeterminado cuando a simple vista no se puede
de vasitos, 4/x, tiende a infinito. As´
ı, decidir. Suelen implicar a ∞ y al 0. Un ejemplo:
4 1
lim =∞ lim x2 ·
x→0+ x x→∞ x3
Q3. ¿Qu´ ocurre, en este caso, cuando x → −∞? ¿Vale el l´
e ımite ∞ o
´ Eso es un producto de dos cosas. Si x → ∞, la primera «vale» ∞ y la
−∞? segunda, 0. ¿Cu´nto es ∞ · 0? ¡Depende! Veamos este caso. Desarrollando
a
m´s, tenemos:
a
Veamos otro caso: ¿tiene as´
ıntotas verticales esta funci´n?
o
1 x2 1
4 lim x2 · = lim 3 = lim = 0
f(x) = x→∞ x3 x→∞ x x→∞ x
(x − 2)(x − 4) As´ que, «en este caso», ∞ · 0 = 0. ¿Es siempre as´ ¡NO! Un ejemplo:
ı ı?
S´ en x = 2 y x = 4. Justamente, son los puntos peligrosos. En cada caso,
ı:
el numerador permanece constante y el denominador se anula, as´ que el l´
ı ımite 1
lim x4 ·
es siempre infinito. x→∞ x3
tambi´n tiene la forma ∞·0 pero, en este caso, el resultado es ∞. Compru´balo.
e e
Ahora consideremos la funci´n
o
E14. Escribe, de tu propia cosecha, un ejemplo en el que ∞ − ∞ = 0,
x2 − 25 otro en el que ∞ · 0 = 4.
f(x) =
x−5
Las indeterminaciones m´s «famosas» (el top 40 de las indeterminaciones) es:
a
¿Tiene una as´ıntota vertical en x = 5? Si calculamos el l´
ımite del numerador y
el denominador nos encontramos con la sorpresa siguiente: 0/0. ¿Cu´nto vale
a ∞ 0
∞·0 ∞−∞ 1∞
eso? La calculadora da error... Usando la calculadora con x = 4 999 vemos que ∞ 0
nos acercamos a un valor de 10. ¿Por qu´? e
El numerador se puede factorizar: (x2 − 25) = (x − 5)(x + 5). Si x = 5,
podemos hacer lo siguiente:
x2 − 25 (x − 5)(x + 5)
= =x+5
x−5 x−5
Si x = 5, eso vale 10. As´ que, en resumen, el punto x = 5 no pertenece al
ı
dominio de f(x), y es una singularidad evitable: existen tanto el l´ ımite por la
izquierda como el l´ımite por la derecha, y ´stos coinciden. Desafortunadamente,
e
el valor de la funci´n en el punto no existe.
o
E13. ¿Tienen alguna singularidad evitable?
x2 − 9 x2 − 6x + 8
g(x) = h(x) =
x−3 x−2