Este documento describe la representación gráfica de funciones definidas a trozos. Analiza varias funciones compuestas de diferentes segmentos o "trozos", como líneas rectas, parábolas, hipérbolas y funciones exponenciales y racionales. Explica cómo delimitar las zonas de definición de cada trozo y dibujar la función resultante, mostrando puntos de discontinuidad y características como dominio, crecimiento y decrecimiento.

1. FUNCIONES A TROZOS
EJERCICIOS FOTOCOPIA
Aurora Domenech

2. 2x
f ( x)
x
2
x2 5
1
3
x
2
x 3
x 3
Analizamos:
•Primer “trozo”: linea recta, que pasa por el origen cuya pendiente es 2.
Comienza desde -∞ y llega hasta la vertical que pasa por x= -2 ; acabando en un
punto “abierto” .
•Segundo “trozo”: parábola, de eje de simetría: el eje de coordenadas x=0; de
5 ,0
vértice, el punto (0,-5) , y de puntos de corte con los ejes : 5 ,0 y
.
• Comienza desde la vertical que pasa por x= -2 con un punto “cerrado” ;
acabando en la vertical que pasa por x= 3 con un punto “abierto” .
•Tercer “trozo”: hipérbola en el primer cuadrante, la “patrón” desplazada
verticalmente tres unidades hacia arriba con asíntota horizontal la recta
y=3.Comienza desde la vertical que pasa por x= 3 con un punto “cerrado”;
acabando de forma decreciente aproximándose a la asíntota horizontal .

3. Pasos para su representación
Delimitamos las zonas de
definición de cada “trozo”
Dibujamos la recta y=2x , pero nos
quedamos solo con la parte de la zona 1
Dibujamos la parábola, pero nos
quedamos solo con la parte de la zona 2
Dibujamos la hipérbola, pero nos
quedamos solo con la parte de la zona 3

4. DIBUJAMOS:
Asíntota horizontal de la
función racional
2x
f ( x)
x
x
2
2
2
x 3
5
1
3
x
Esta función presenta dos puntos claros de discontinuidad en x=-2 y x= 3
Tiene un mínimo en (0,-5)
Recordamos
Crece en los intervalos (-∞,-2)U(0,3)
características de las
Decrece en los intervalos (-2,0)U(3,+∞)
funciones
x 3

5. f ( x)
x
x 1
x
1
1 x 3
Analizamos:
•Primer “trozo”: linea recta, que pasa por el origen cuya pendiente
es 1. Comienza desde -∞ y llega hasta la vertical que pasa por x= -1
; acabando en un punto “cerrado” .
•Segundo “trozo”: es una función de la familia de las raíces
cuadradas, definida solo para valores mayores que -1.
Comienza desde la vertical que pasa por x= -1 con un punto
“abierto” ; acabando en la vertical que pasa por x= 3 con un
punto “abierto” .

6. Recordamos
características de las
funciones
Dibujamos:
•Esta función presenta
un punto de
discontinuidad en x=-1
•Su dominio es (-∞,3)
•Crece en todo su
dominio
f ( x)
x
x 1
x 1 1 x 3

7. 6
f ( x)
x
x 1
2x 1 x
2
2
Analizamos:
•Primer “trozo”: hipérbola, con asíntota vertical en x=1 y
horizontal en y=0.Comienza desde -∞ y se “escapa “ por la
izquierda de la vertical que pasa por x= 1 ; baja por la derecha de
esa asíntota quedándose en la vertical de x=2, con un punto
“abierto” .
•Segundo “trozo”: es una recta, que pasa a una unidad del origen
de coordenadas y cuya pendiente es 2.
Comienza desde la vertical que pasa por x= 2 con un punto
“cerrado” ; y sigue creciendo de forma indefinida.

8. Dibujamos:
Recordamos
características de las
funciones
•Esta función presenta un
punto de discontinuidad en
x=1
•Su dominio es todos los
reales excepto el 1
•Decrece en(-∞,1)U(1,2)
•Crece en (2,∞)
6
f ( x)
x
x 1
2x 1 x
2
2

9. x 3
x 3
x 3
f ( x)
x2 3
6
x 3
Analizamos:
•Primer “trozo”: parábola. Eje x=0, vértice (0,-3) Comienza desde ∞ y llega hasta la vertical que pasa por x= 3 ; acabando en un
punto “abierto” .
•Segundo “trozo”: es un punto.El (3,6). (veréis al dibujarlo que coincide en
esta ocasión con el punto “abierto” de la parábola)
• Tercer “trozo”: Es una recta que comienza desde la vertical que
pasa por x= 3 con un punto “abierto” ; y sigue decreciendo de
forma indefinida.(Observa que la pendiente es -1)

10. Dibujamos
x2 3
f ( x)
x 3
6
x 3
x 3
x 3
•Esta función presenta un
punto de discontinuidad en
x=3
•Su dominio es todos los
reales
•Decrece en(-∞,0)U(3,∞)
•Crece en (0,3)
•Tiene un mínimo relativo
en (0,-3)

11. f ( x)
1
3
x
3
x
x 0
x 0
Analizamos:
•Primer “trozo”: función exponencial decreciente por ser la base
menor que la unidad.Comienza desde -∞ y llega hasta la vertical
que pasa por x= 0 ,acabando con un punto “cerrado” .
•Segundo “trozo”: función exponencial creciente por ser la base
mayor que la unidad
Comienza desde la vertical que pasa por x= 0 con un punto
“abierto” ; y sigue creciendo de forma indefinida.
Observarás que las asíntotas particulares de cada uno de los trozos, no afectan a
la función resultante.

12. Dibujamos:
f ( x)
1
3
3x
x
x 0
x 0
•Esta función es continua
•Su dominio son todos los reales
•Decrece en(-∞,0)
•Crece en (0,∞)
•Tiene un mínimo absoluto en
(0,1)

13. x 2
f ( x)
x
0
2
x 2
x
2
x
2
2
Analizamos:
•Primer “trozo”: recta creciente de pendiente uno, y que llega
hasta la vertical que pasa por x= -2 ,acabando con un punto
“cerrado” .
•Segundo “trozo”: recta horizontal de altura cero, que va desde la
vertical x=-2 , con un punto “abierto”, hasta la vertical x=2
, acabando en un punto “cerrado”.
• Tercer “trozo”:Recta decreciente que comienza desde la vertical
x= -2 con un punto “abierto” ; y sigue decreciendo de forma
indefinida.

14. Dibujamos:
x 2
f ( x)
x
0
2
x 2
x
2
x
2
2
•Esta función es
discontinua en x=2
•Su dominio son todos
los reales
•crece en(-∞,-2)
•decrece en (2,∞)
•Es constante en (-2,2)

15. x
f ( x)
2x
1
x 2
x 0
0
x 2
x
2
Analizamos:
•Primer “trozo”: función raíz cuadrada que llega hasta la vertical
que pasa por x= 0 ,acabando con un punto “abierto” .
•Segundo “trozo”: exponencial creciente, que va desde la vertical
x=0 , con un punto “cerrado”, hasta la vertical x=2 , acabando en
un punto “cerrado”.
• Tercer “trozo”:hipérbola que comienza desde la vertical x= 2
donde tiene una asíntota vertical ; y sigue decreciendo de forma
indefinida hacia su asíntota horizontal y=0.

16. Dibujamos:
x
f ( x)
•Función discontinua en x=0 y x=2
•Dominio todos los reales
•Decrece desde (-∞,0)U(2,∞)
•Crece en (0,2)
2x
1
x 2
x 0
0
x 2
x
2

17. f ( x)
2
2 x 0
x
2
1 x 0
x
Analizamos:
•Primer “trozo”: hipérbola que se acerca hasta la vertical x= 0
donde tiene una asíntota vertical ; su asíntota horizontal y=2 .
•Segundo “trozo”: hipérbola que comienza desde la vertical x= 0
donde tiene una asíntota vertical ; su asíntota horizontal y=-1.
Observa que en el punto x=0 no está definida esta función; por lo tanto
habrá que quitarlo de su dominio

18. Dibujamos:
Función decreciente en (-∞,0)
Función creciente en (0,∞)
f ( x)
2
2 x 0
x
2
1 x 0
x

19. 9
x
x
5
x 5
f ( x)
2
x
5
Analizamos:
•Primer “trozo”: hipérbola que se acerca hasta la vertical x= -5
acabando en punto “abierto”; su asíntota horizontal y=2 .
•Segundo “trozo”: función raíz cuadrada que comienza desde la
vertical x= -5 con un punto “cerrado”.

20. Dibujamos:
9
x
Función discontinua en x=-5
Siempre decreciente
Dominio: todos los reales
Asíntota horizontal y= 2 por la izquierda
2
x
5
x 5
f ( x)
x
5