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FUNCIONES A TROZOS
EJERCICIOS FOTOCOPIA

Aurora Domenech
2x
f ( x)

x

2

x2 5
1
3
x

2

x 3

x 3

Analizamos:
•Primer “trozo”: linea recta, que pasa por el origen cuya pendiente es 2.
Comienza desde -∞ y llega hasta la vertical que pasa por x= -2 ; acabando en un
punto “abierto” .
•Segundo “trozo”: parábola, de eje de simetría: el eje de coordenadas x=0; de
5 ,0
vértice, el punto (0,-5) , y de puntos de corte con los ejes : 5 ,0 y
.
• Comienza desde la vertical que pasa por x= -2 con un punto “cerrado” ;
acabando en la vertical que pasa por x= 3 con un punto “abierto” .
•Tercer “trozo”: hipérbola en el primer cuadrante, la “patrón” desplazada
verticalmente tres unidades hacia arriba con asíntota horizontal la recta
y=3.Comienza desde la vertical que pasa por x= 3 con un punto “cerrado”;
acabando de forma decreciente aproximándose a la asíntota horizontal .
Pasos para su representación
Delimitamos las zonas de
definición de cada “trozo”

Dibujamos la recta y=2x , pero nos
quedamos solo con la parte de la zona 1

Dibujamos la parábola, pero nos
quedamos solo con la parte de la zona 2

Dibujamos la hipérbola, pero nos
quedamos solo con la parte de la zona 3
DIBUJAMOS:

Asíntota horizontal de la
función racional

2x
f ( x)

x

x

2

2

2

x 3

5
1
3
x

Esta función presenta dos puntos claros de discontinuidad en x=-2 y x= 3
Tiene un mínimo en (0,-5)
Recordamos
Crece en los intervalos (-∞,-2)U(0,3)
características de las
Decrece en los intervalos (-2,0)U(3,+∞)
funciones

x 3
f ( x)

x
x 1

x

1

1 x 3

Analizamos:
•Primer “trozo”: linea recta, que pasa por el origen cuya pendiente
es 1. Comienza desde -∞ y llega hasta la vertical que pasa por x= -1
; acabando en un punto “cerrado” .
•Segundo “trozo”: es una función de la familia de las raíces
cuadradas, definida solo para valores mayores que -1.
Comienza desde la vertical que pasa por x= -1 con un punto
“abierto” ; acabando en la vertical que pasa por x= 3 con un
punto “abierto” .
Recordamos
características de las
funciones

Dibujamos:

•Esta función presenta
un punto de
discontinuidad en x=-1
•Su dominio es (-∞,3)
•Crece en todo su
dominio

f ( x)

x

x 1

x 1 1 x 3
6
f ( x)

x

x 1
2x 1 x

2
2

Analizamos:
•Primer “trozo”: hipérbola, con asíntota vertical en x=1 y
horizontal en y=0.Comienza desde -∞ y se “escapa “ por la
izquierda de la vertical que pasa por x= 1 ; baja por la derecha de
esa asíntota quedándose en la vertical de x=2, con un punto
“abierto” .
•Segundo “trozo”: es una recta, que pasa a una unidad del origen
de coordenadas y cuya pendiente es 2.
Comienza desde la vertical que pasa por x= 2 con un punto
“cerrado” ; y sigue creciendo de forma indefinida.
Dibujamos:
Recordamos
características de las
funciones

•Esta función presenta un
punto de discontinuidad en
x=1
•Su dominio es todos los
reales excepto el 1
•Decrece en(-∞,1)U(1,2)
•Crece en (2,∞)
6
f ( x)

x

x 1
2x 1 x

2
2
x 3
x 3

x 3

f ( x)

x2 3
6

x 3

Analizamos:
•Primer “trozo”: parábola. Eje x=0, vértice (0,-3) Comienza desde ∞ y llega hasta la vertical que pasa por x= 3 ; acabando en un
punto “abierto” .
•Segundo “trozo”: es un punto.El (3,6). (veréis al dibujarlo que coincide en
esta ocasión con el punto “abierto” de la parábola)

• Tercer “trozo”: Es una recta que comienza desde la vertical que
pasa por x= 3 con un punto “abierto” ; y sigue decreciendo de
forma indefinida.(Observa que la pendiente es -1)
Dibujamos

x2 3
f ( x)

x 3

6

x 3

x 3

x 3

•Esta función presenta un
punto de discontinuidad en
x=3
•Su dominio es todos los
reales
•Decrece en(-∞,0)U(3,∞)
•Crece en (0,3)
•Tiene un mínimo relativo
en (0,-3)
f ( x)

1
3
x
3

x

x 0
x 0

Analizamos:
•Primer “trozo”: función exponencial decreciente por ser la base
menor que la unidad.Comienza desde -∞ y llega hasta la vertical
que pasa por x= 0 ,acabando con un punto “cerrado” .
•Segundo “trozo”: función exponencial creciente por ser la base
mayor que la unidad
Comienza desde la vertical que pasa por x= 0 con un punto
“abierto” ; y sigue creciendo de forma indefinida.
Observarás que las asíntotas particulares de cada uno de los trozos, no afectan a
la función resultante.
Dibujamos:
f ( x)

1
3
3x

x

x 0
x 0

•Esta función es continua
•Su dominio son todos los reales
•Decrece en(-∞,0)
•Crece en (0,∞)
•Tiene un mínimo absoluto en
(0,1)
x 2
f ( x)

x

0

2

x 2

x

2
x

2

2

Analizamos:
•Primer “trozo”: recta creciente de pendiente uno, y que llega
hasta la vertical que pasa por x= -2 ,acabando con un punto
“cerrado” .
•Segundo “trozo”: recta horizontal de altura cero, que va desde la
vertical x=-2 , con un punto “abierto”, hasta la vertical x=2
, acabando en un punto “cerrado”.
• Tercer “trozo”:Recta decreciente que comienza desde la vertical
x= -2 con un punto “abierto” ; y sigue decreciendo de forma
indefinida.
Dibujamos:

x 2
f ( x)

x

0

2

x 2

x

2
x

2

2

•Esta función es
discontinua en x=2
•Su dominio son todos
los reales
•crece en(-∞,-2)
•decrece en (2,∞)
•Es constante en (-2,2)
x
f ( x)

2x
1
x 2

x 0
0

x 2
x

2

Analizamos:
•Primer “trozo”: función raíz cuadrada que llega hasta la vertical
que pasa por x= 0 ,acabando con un punto “abierto” .
•Segundo “trozo”: exponencial creciente, que va desde la vertical
x=0 , con un punto “cerrado”, hasta la vertical x=2 , acabando en
un punto “cerrado”.
• Tercer “trozo”:hipérbola que comienza desde la vertical x= 2
donde tiene una asíntota vertical ; y sigue decreciendo de forma
indefinida hacia su asíntota horizontal y=0.
Dibujamos:
x
f ( x)

•Función discontinua en x=0 y x=2
•Dominio todos los reales
•Decrece desde (-∞,0)U(2,∞)
•Crece en (0,2)

2x
1
x 2

x 0
0

x 2
x

2
f ( x)

2
2 x 0
x
2
1 x 0
x

Analizamos:
•Primer “trozo”: hipérbola que se acerca hasta la vertical x= 0
donde tiene una asíntota vertical ; su asíntota horizontal y=2 .
•Segundo “trozo”: hipérbola que comienza desde la vertical x= 0
donde tiene una asíntota vertical ; su asíntota horizontal y=-1.

Observa que en el punto x=0 no está definida esta función; por lo tanto
habrá que quitarlo de su dominio
Dibujamos:

Función decreciente en (-∞,0)
Función creciente en (0,∞)

f ( x)

2
2 x 0
x
2
1 x 0
x
9
x

x

5

x 5

f ( x)

2

x

5

Analizamos:
•Primer “trozo”: hipérbola que se acerca hasta la vertical x= -5
acabando en punto “abierto”; su asíntota horizontal y=2 .
•Segundo “trozo”: función raíz cuadrada que comienza desde la
vertical x= -5 con un punto “cerrado”.
Dibujamos:
9
x

Función discontinua en x=-5
Siempre decreciente
Dominio: todos los reales
Asíntota horizontal y= 2 por la izquierda

2

x

5

x 5

f ( x)

x

5

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Funciones a trozos

  • 1. FUNCIONES A TROZOS EJERCICIOS FOTOCOPIA Aurora Domenech
  • 2. 2x f ( x) x 2 x2 5 1 3 x 2 x 3 x 3 Analizamos: •Primer “trozo”: linea recta, que pasa por el origen cuya pendiente es 2. Comienza desde -∞ y llega hasta la vertical que pasa por x= -2 ; acabando en un punto “abierto” . •Segundo “trozo”: parábola, de eje de simetría: el eje de coordenadas x=0; de 5 ,0 vértice, el punto (0,-5) , y de puntos de corte con los ejes : 5 ,0 y . • Comienza desde la vertical que pasa por x= -2 con un punto “cerrado” ; acabando en la vertical que pasa por x= 3 con un punto “abierto” . •Tercer “trozo”: hipérbola en el primer cuadrante, la “patrón” desplazada verticalmente tres unidades hacia arriba con asíntota horizontal la recta y=3.Comienza desde la vertical que pasa por x= 3 con un punto “cerrado”; acabando de forma decreciente aproximándose a la asíntota horizontal .
  • 3. Pasos para su representación Delimitamos las zonas de definición de cada “trozo” Dibujamos la recta y=2x , pero nos quedamos solo con la parte de la zona 1 Dibujamos la parábola, pero nos quedamos solo con la parte de la zona 2 Dibujamos la hipérbola, pero nos quedamos solo con la parte de la zona 3
  • 4. DIBUJAMOS: Asíntota horizontal de la función racional 2x f ( x) x x 2 2 2 x 3 5 1 3 x Esta función presenta dos puntos claros de discontinuidad en x=-2 y x= 3 Tiene un mínimo en (0,-5) Recordamos Crece en los intervalos (-∞,-2)U(0,3) características de las Decrece en los intervalos (-2,0)U(3,+∞) funciones x 3
  • 5. f ( x) x x 1 x 1 1 x 3 Analizamos: •Primer “trozo”: linea recta, que pasa por el origen cuya pendiente es 1. Comienza desde -∞ y llega hasta la vertical que pasa por x= -1 ; acabando en un punto “cerrado” . •Segundo “trozo”: es una función de la familia de las raíces cuadradas, definida solo para valores mayores que -1. Comienza desde la vertical que pasa por x= -1 con un punto “abierto” ; acabando en la vertical que pasa por x= 3 con un punto “abierto” .
  • 6. Recordamos características de las funciones Dibujamos: •Esta función presenta un punto de discontinuidad en x=-1 •Su dominio es (-∞,3) •Crece en todo su dominio f ( x) x x 1 x 1 1 x 3
  • 7. 6 f ( x) x x 1 2x 1 x 2 2 Analizamos: •Primer “trozo”: hipérbola, con asíntota vertical en x=1 y horizontal en y=0.Comienza desde -∞ y se “escapa “ por la izquierda de la vertical que pasa por x= 1 ; baja por la derecha de esa asíntota quedándose en la vertical de x=2, con un punto “abierto” . •Segundo “trozo”: es una recta, que pasa a una unidad del origen de coordenadas y cuya pendiente es 2. Comienza desde la vertical que pasa por x= 2 con un punto “cerrado” ; y sigue creciendo de forma indefinida.
  • 8. Dibujamos: Recordamos características de las funciones •Esta función presenta un punto de discontinuidad en x=1 •Su dominio es todos los reales excepto el 1 •Decrece en(-∞,1)U(1,2) •Crece en (2,∞) 6 f ( x) x x 1 2x 1 x 2 2
  • 9. x 3 x 3 x 3 f ( x) x2 3 6 x 3 Analizamos: •Primer “trozo”: parábola. Eje x=0, vértice (0,-3) Comienza desde ∞ y llega hasta la vertical que pasa por x= 3 ; acabando en un punto “abierto” . •Segundo “trozo”: es un punto.El (3,6). (veréis al dibujarlo que coincide en esta ocasión con el punto “abierto” de la parábola) • Tercer “trozo”: Es una recta que comienza desde la vertical que pasa por x= 3 con un punto “abierto” ; y sigue decreciendo de forma indefinida.(Observa que la pendiente es -1)
  • 10. Dibujamos x2 3 f ( x) x 3 6 x 3 x 3 x 3 •Esta función presenta un punto de discontinuidad en x=3 •Su dominio es todos los reales •Decrece en(-∞,0)U(3,∞) •Crece en (0,3) •Tiene un mínimo relativo en (0,-3)
  • 11. f ( x) 1 3 x 3 x x 0 x 0 Analizamos: •Primer “trozo”: función exponencial decreciente por ser la base menor que la unidad.Comienza desde -∞ y llega hasta la vertical que pasa por x= 0 ,acabando con un punto “cerrado” . •Segundo “trozo”: función exponencial creciente por ser la base mayor que la unidad Comienza desde la vertical que pasa por x= 0 con un punto “abierto” ; y sigue creciendo de forma indefinida. Observarás que las asíntotas particulares de cada uno de los trozos, no afectan a la función resultante.
  • 12. Dibujamos: f ( x) 1 3 3x x x 0 x 0 •Esta función es continua •Su dominio son todos los reales •Decrece en(-∞,0) •Crece en (0,∞) •Tiene un mínimo absoluto en (0,1)
  • 13. x 2 f ( x) x 0 2 x 2 x 2 x 2 2 Analizamos: •Primer “trozo”: recta creciente de pendiente uno, y que llega hasta la vertical que pasa por x= -2 ,acabando con un punto “cerrado” . •Segundo “trozo”: recta horizontal de altura cero, que va desde la vertical x=-2 , con un punto “abierto”, hasta la vertical x=2 , acabando en un punto “cerrado”. • Tercer “trozo”:Recta decreciente que comienza desde la vertical x= -2 con un punto “abierto” ; y sigue decreciendo de forma indefinida.
  • 14. Dibujamos: x 2 f ( x) x 0 2 x 2 x 2 x 2 2 •Esta función es discontinua en x=2 •Su dominio son todos los reales •crece en(-∞,-2) •decrece en (2,∞) •Es constante en (-2,2)
  • 15. x f ( x) 2x 1 x 2 x 0 0 x 2 x 2 Analizamos: •Primer “trozo”: función raíz cuadrada que llega hasta la vertical que pasa por x= 0 ,acabando con un punto “abierto” . •Segundo “trozo”: exponencial creciente, que va desde la vertical x=0 , con un punto “cerrado”, hasta la vertical x=2 , acabando en un punto “cerrado”. • Tercer “trozo”:hipérbola que comienza desde la vertical x= 2 donde tiene una asíntota vertical ; y sigue decreciendo de forma indefinida hacia su asíntota horizontal y=0.
  • 16. Dibujamos: x f ( x) •Función discontinua en x=0 y x=2 •Dominio todos los reales •Decrece desde (-∞,0)U(2,∞) •Crece en (0,2) 2x 1 x 2 x 0 0 x 2 x 2
  • 17. f ( x) 2 2 x 0 x 2 1 x 0 x Analizamos: •Primer “trozo”: hipérbola que se acerca hasta la vertical x= 0 donde tiene una asíntota vertical ; su asíntota horizontal y=2 . •Segundo “trozo”: hipérbola que comienza desde la vertical x= 0 donde tiene una asíntota vertical ; su asíntota horizontal y=-1. Observa que en el punto x=0 no está definida esta función; por lo tanto habrá que quitarlo de su dominio
  • 18. Dibujamos: Función decreciente en (-∞,0) Función creciente en (0,∞) f ( x) 2 2 x 0 x 2 1 x 0 x
  • 19. 9 x x 5 x 5 f ( x) 2 x 5 Analizamos: •Primer “trozo”: hipérbola que se acerca hasta la vertical x= -5 acabando en punto “abierto”; su asíntota horizontal y=2 . •Segundo “trozo”: función raíz cuadrada que comienza desde la vertical x= -5 con un punto “cerrado”.
  • 20. Dibujamos: 9 x Función discontinua en x=-5 Siempre decreciente Dominio: todos los reales Asíntota horizontal y= 2 por la izquierda 2 x 5 x 5 f ( x) x 5