1. Elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que
la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una
constante positiva.
Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie
de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo
mayor que el de la generatriz respecto del eje de
revolución.1
Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera
un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira
alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.
Historia
Forma elíptica trazada en la antigüedad sobre un muro de Tebas
(Egipto).
La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por
Menaechmus, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye
a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de

2. una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía
que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió
que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho,
Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento
en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva
su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.2
Elementos de una elipse
Elementos de una elipse.
La elipse posee un «eje mayor», trazo AB (que equivale a ), y
un «eje menor», trazo CD (que equivale a ); la mitad de cada
uno de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera
que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor»,
respectivamente.
Sobre el «eje mayor» existen dos puntos y que se llaman
«focos».
El punto es uno que pertenezca a la «elipse».
Puntos de una elipse
Si F1 y F2 son dos puntos del plano y d es una constante mayor
que la distancia F1 F2, un punto Q pertenecerá a la elipse, si:
donde es el semieje mayor de la elipse.

3. Ejes de una elipse
Eje mayor (2 a) es la distancia mayor entre dos puntos
adversos. En la figura, longitud del segmento AB.
La medida a es la mitad del eje mayor, o sea es el semieje
mayor. La distancia del centro de la elipse al punto A o al
punto B.
El resultado constante de la suma de las distancias de
cualquier punto a los focos equivale al eje mayor.
Obsérvese que d(AF2) + d (AF1) = d(AF2) + d (BF2)= AB
La medida b es la mitad del eje menor, o sea es el semieje
menor, la distancia del centro al punto C o al punto D.
Excentricidad de una elipse
La excentricidad de una elipse es la razón entre su
semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a
uno de sus focos), denominada por la letra 'c', y su semieje
mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
, con (0 < e < 1)
Dado que , también vale la relación:

4. o el sistema:
La excentricidad indica la forma de una elipse; una
elipse será más redondeada cuanto más se aproxime
su excentricidad al valor cero.3
Constante de la elipse
En una elipse, por definición, la suma de la longitud de
ambos segmentos (azul + rojo) es una cantidad
constante, la cual siempre será igual a la longitud del
«eje mayor».
En la elipse de la imagen, la constante es 10. Equivale
a la longitud medida desde el foco al punto
(ubicado en cualquier lugar de la elipse) sumada a la
longitud desde el foco a ese mismo punto .
(El segmento de color azul sumado al de color rojo).
El segmento correspondiente, tanto trazo (color
azul), como al (color rojo), se llaman
«radio vector». Los dos
«focos» equidistan del centro . En la animación, el
punto recorre la elipse, y en él convergen ambos
segmentos (azul y rojo).

5. Ecuaciones de la elipse
La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas,
con centro en el origen, es:
donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse
(a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de
las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento
[FF']. La distancia entre los focos FF' se llama
distancia focal y vale 2c = 2ea,
siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1,
y1), la ecuación es:
En coordenadas polares con origen en un de sus focos
la ecuación de la elipse es:
En coordenadas polares con origen en su centro la
ecuación de la elipse es:
La ecuación paramétrica de una elipse con centro
en (h,k) es:
con no es el ángulo θ del sistema de
coordenadas polares con origen en el centro de la
elipse (tampoco es el ángulo del sistema de

6. coordenadas polares con origen en algún foco de la
elipse). La relación entre α y θ es
.
Área interior de una elipse
El área de la superficie interior de una elipse es:
Siendo a y b los semiejes.4
Longitud de una elipse
El cálculo del perímetro de una elipse requiere del
cálculo de integrales elípticas de segunda especie.
Sin embargo, el matemático Ramanujan ideó una
ecuación más simple que se aproxima
razonablemente a la longitud de la elipse, pero en
grado menor que la obtenida mediante integrales
elípticas. Ramanujan, en su formula, entre otros
valores utiliza el “semieje mayor” y el “semieje
menor”. Ecuación de la longitud de una elipse:
Propiedades notables
La elipse goza de ciertas propiedades
asociadas a sus componentes, como se puede
ver en Analogía de Michelson y Morley.
La elipse como cónica
La elipse surge de la intersección de una
superficie cónica con un plano, de tal manera
que la inclinación del plano no supere la
inclinación de la rectageneratriz del cono,
consiguiendo así que la intersección sea una
curva cerrada. En otro caso el corte podría ser
una hipérbola o una parábola. Es por ello que a

7. todas estas figuras bidimensionales se las
llama secciones cónicas o simplemente cónicas.
la elipse como conica.
La elipse como hipotrocoide
La elipse es un caso particular de hipotrocoide,
donde R = 2r, siendo R el radio de la
circunferencia directriz, y r el radio de la
circunferencia generatriz.
En una curva hipotrocoide,
la circunferencia que contiene al punto
generatriz, gira tangencialmente por el
interior de la circunferencia directriz.
La elipse como caso particular de hipotrocoide.
Datos: R = 10, r = 5, d = 1.

8. Construcción paramétrica de una elipse
Se dibujan dos circunferencias concéntricas
cuyos diámetros equivalen a la medida de los
ejes ortogonales de la futura elipse. Si
trazamos segmentos palalelos a los ejes
principales X e Y, partiendo del extremo de los
radios alineados, la intersección de dichos
segmentos son puntos de la elipse.
Anamorfosis de un círculo en una elipse
Artículo principal: Anamorfosis
Cierta trasformación de la circunferencia (al
deformar ortogonalmente el plano cartesiano
asociado a ella), se denomina anamorfosis. Se
corresponde a una perspectiva especial. El
término anamorfosis proviene del idioma
griego y significa trasformar.

9. Una circunferencia en
un plano cartesiano no
deformado.
Esta circunferencia
se transforma en una
elipse mediante
una anamorfosis,
donde el eje Y se ha
contraído y el X se ha
dilatado.
En el caso de la circunferencia, si el plano
cartesiano se divide en cuadrados, cuando
dicho plano se «deforma» en sentido del eje X,
el Y, o ambos, la circunferencia se transforma
en una elipse, y los cuadrados en rectángulos.
Elipses semejantes
Se dice que dos figuras son semejantes cuando
se diferencian sólo en el tamaño (pero no en la
forma), de tal manera que multiplicando todas
las longitudes por un factor dado, se pasa de
una figura a la otra. Hay un teorema de
utilidad en Física 5
acerca de la intersección
de una recta con dos elipses semejantes y
concéntricas.
Teorema: Si la intersección de una recta con la
corona comprendida entre dos elipses
semejantes con iguales centro y ejes consta
de dos segmentos, entonces éstos tienen igual
longitud.
Demostración: El teorema es cierto, por
simetría, en el caso particular en que las
elipses dadas sean dos circunferencias
concéntricas. Contrayendo o dilatando
uniformemente una de las direcciones
coordenadas, podemos transformar cualquier

10. caso en este caso particular. Al contraer o
dilatar uniformemente una de las direcciones
coordenadas todos los segmentos con la misma
pendiente cambian su longitud en la misma
proporción. Por tanto, puesto que al final del
proceso los dos segmentos de la recta tienen
la misma longitud, la tenían ya al
principio. QED.
No deben confundirse las elipses semejantes
con las elipses cofocales.