El documento describe las propiedades geométricas y la historia de las curvas cónicas, incluyendo elipses, parábolas e hipérbolas. Explica que las cónicas son las curvas que resultan de cortar un cono con un plano, y fueron estudiadas en detalle por primera vez por el matemático griego Apolonio en el siglo III a.C. También describe elementos clave como los focos y ejes de las elipses y parábolas, y cómo estas curvas se relacionan con órbitas planetarias y

1. CONICAS
Nombre: Katy Conza
Curso: Sexto “J”
Licenciado:
Lic. Carlos Camacho

2. Se denomina cónica (o sección cónica) a la curva intersección de un cono con
un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses,
parábolas e hipérbolas
Las cónicas son curvas que tienen propiedades interesantes y las podemos
descubrir en multitud de objetos y situacio
Las cónicas están presentes en la vida cotidiana, en la naturaleza, en el
arte. Por ello, su estudio nos ofrece una buena oportunidad para resaltar
el carácter instrumental de las matemáticas: "La Matemática es el modo
de comprender el mundo" (Pitágoras).
Por otro lado, en el estudio de las cónicas (que conjuga de forma
armónica las diferentes ramas de la geometría: sintética, métrica,
analítica, proyectiva, diferencial,...) resalta el carácter global de las
matemáticas: "El carácter unitario de las Matemáticas reside en la
esencia intrínseca de esta Ciencia; pues la Matemática es el fundamento
de todo conocimiento científico riguroso" (Hilbert). nes.
HISTORIA DE LAS CONICAS
La primera definición conocida de cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año
350 (Menæchmus) donde las definieron comosecciones “de un cono circular recto”.
Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perga.
Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras;
estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática (como la
geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.)
El matemático griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C.) descubrió estas
curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga

3. (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente
las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.
Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los
que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.
Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica
con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices.
Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie
cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y
arista).
Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie
cónica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista).
Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades
interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan
actualmente para definirlas.
Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio
de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se
construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor
de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o
hiperbólicos, según la curva que gira.
Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un
espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el
otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico
de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo,
entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta
propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un
espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol.
Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las
naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades
de los espejos parabólicos. La propiedad análoga, que nos dice que un
rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los
faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera
o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente
de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta
propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una
superficie mayor iluminada.

4. En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650)
desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este
método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las
curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado
en las variables x e y. El resultado más sorprendente de la Geometría
Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables
representan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-
1672).
Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la
geometría ofrece a la física. Por ejemplo, las propiedades de reflexión
son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más
importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas
alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier
cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica.
El astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las
órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol
como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y
los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón..
Más tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-
1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de
tipo gravitatorio es siempre una curva cónica.
Tipos

5. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (á) y la inclinación
del plano respecto deleje del cono (â), pueden obtenerse diferentes secciones
cónicas, a saber:
• â < á : Hipérbola (celeste)
• â = á : Parábola (verde)• â > á : Elipse (amarillo)
• â = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
LA CIRCUNFERENCIA
Definición
Una circunferencia es el lugar geométrico de los P(x, y) que equidistan
de un punto fijo C llamado (centro)
d(P,C) = cte = radio
Sea P(x, y) un punto cualquiera verificando d(P,C) = r, siendo r el radio y
C(x0, y0) el centro. De la formula de la distancia de dos puntos se tiene
(x − x0)2 + (y − y0)2 = r
y elevando al cuadrado se obtiene la ecuación de la circunferencia
(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2
Cuando la circunferencia tiene el centro en el origen se tiene la ecuación
reducida
x2 + y2 = r2
Ecuación vectorial de la circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación
vectorial: .Donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar que

6. . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el
componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por
resultado el radio
ELIPSE
Una elipse es el lugar geométrico de los P(x, y) cuya suma de distancias a
dos puntos fijos (focos) es constante
Se denomina elipse a la curva cerrada y plana, que determina el lugar
geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros fijos F y F´
llamados focos, es constante e igual al eje mayor AB.
Si el plano secante es oblicuo al eje de la superficie cónica, corta a todas las
generatrices y no pasa por el vértice, la sección que produce es una curva
cerrada que recibe el nombre de elipse.
ELEMENTOS DE UNA ELIPSE.
La elipse tiene dos puntos fijos, F y F´, llamados focos, y que son los puntos
de tangencia entre el plano que genera la elipse y las esferas inscritas en la
superficie cónica. Dichos focos, están situados sobre el eje mayor, distantes
“a” de los extremos del eje menor. La distancia focal F-F´ es igual a 2c.
La recta que contiene a los focos se denomina eje focal.
Los vértices de la elipse son A, B, C y D.

7. La elipse tiene dos ejes, el Eje Mayor que se corresponde con el segmento
AB, y que es igual a 2a, y el Eje Menor, que se corresponde con el segmento
CD, y que es igual a 2b. Además, dichos ejes son siempre ejes de simetría.
El punto de intersección de los dos ejes, O, es el centro de la elipse.
PARÁMETROS DE LA ELIPSE.
Como hemos visto anteriormente, la elipse es una curva cerrada y plana,
cuyos puntos constituyen un lugar geométrico que tienen la propiedad de que
la suma de distancias de cada uno de sus puntos a otros dos, fijos, F1 y F2,
llamados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor
AB de la elipse.
La elipse tiene tres parámetros:
2a = Eje Mayor → AB
2b = Eje Menor → CD
2c = Distancia Focal → FF´
Estos tres parámetros configuran un triángulo rectángulo, y por lo tanto se
cumple que: a2
= b2
+ c2
PROPIEDADES DE LA ELIPSE.
Como hemos visto, la elipse tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el
punto medio O, centro de la curva. El eje mayor AB se llama eje focal y se
representa por 2a. El eje menor CD se representa por 2b. Los focos están en el
eje focal. La distancia focal F1-F2se representa por 2c. Entre a, b y c existe la
relación: a2
= b2
+c2
La elipse es simétrica respecto de los dos ejes y, por tanto, respecto del centro
O. Las rectas que unen un punto M de la curva con los focos, se llaman radio
vectores r1 y r2 y por la definición se verifica: r1 + r2 = 2a.
La circunferencia principal Cp de la elipse es la que tiene por centro el de la
elipse y radio a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las
perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes. Las
circunferencias focales Cf1 y Cf2 de la elipse tienen por centro uno de los focos
y radio 2a.

8. La elipse se puede definir también como el lugar geométrico de los centros de
las circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia
focal del otro foco.
Si tenemos un diámetro de la elipse, el diámetro conjugado con él es el lugar
geométrico de los puntos medios de todas las cuerdas paralelas al primero. Los
ejes son dos diámetros conjugados y los únicos que son perpendiculares. En la
circunferencia todas las parejas de diámetros conjugados son perpendiculares.
PARABOLA
En matemática, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono
recto con un plano paralelo a su generatriz.
Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de
una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.
En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las
rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o
semejanza.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las
gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria
ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.
Se llama parábola a la curva plana, abierta, y de una sola rama, que determina
el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F
llamado foco, y de una recta fija llamada d, llamada directriz.
PM=PF

9. Si el plano secante es paralelo a una sola generatriz de la superficie, a esta
generatriz no la cortará y la curva será abierta con un punto en el infinito; la
sección que se produce es una parábola.
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA.
F es el foco de la parábola y s es la directriz.
A la distancia entre la directriz y el foco la llamamos p.
La reta e que pasa por F y es perpendicular a s es el eje.
El vértice es el punto V, que es la intersección del eje con la parábola.
Si situamos la parábola en unos ejes cartesianos, con vértice en el origen de
coordenadas y cuyo eje es el eje Y, se cumple que:
PARÁMETROS DE LA PARÁBOLA.
La parábola solo tiene un parámetro, “P” que configura y da forma a la curva.
p = FD
PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA.
Como hemos visto, la parábola es una curva plana, abierta y de una rama.
Dicha parábola, tiene un vértice v y un eje de simetría que pasa por v y por el
foco y es perpendicular a la directriz. La tangente en el vértice de la curva es
paralela a la directriz.
La parábola tiene un eje perpendicular a la directriz, que contiene al foco F y
al vértice V. El eje de la curva es a su vez eje de simetría.
El vértice, como otro punto cualquiera, equidista de la directriz y del foco, por
lo tanto estará colocado en el punto medio del segmento AF.
La directriz es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto
de cada una de las tangentes de la parábola. La directriz d de la curva hace
de circunferencia focal de la parábola, en este caso de radio infinito.
La tangente en el vértice, que es una recta, hace de circunferencia principal y
se define como en las curvas anteriores.

10. El foco equidista del punto de tangencia de una tangente y del punto donde
ésta corta al eje de la curva.
EJEMPLOS REALES.
- Superficies parabólicas: Cuando la forma de la superficie es
parabólica todos los rayos que llegan paralelos al eje de la parábola
se reflejan pasando por un mismo punto que se denomina "foco“.
Espejos Parabólicos Antenas Parabólicas