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Sección, rectángulo y espiral áureos
"Una recta está dividida en extrema y media razón cuando la recta es al segmento mayor lo que
éste es al menor."

Los Elementos, libro II, proposición 11. Euclides.

                                                     ***

Así define Euclides lo que hoy conocemos por sección áurea, objeto de gran sencillez matemática y que,
sin embargo, ha interpretado un importante papel en el arte y en el concepto que de la belleza se ha tenido
en distintas épocas.

En esta práctica vamos a construir algunos objetos geométricos relacionados con la sección áurea
utilizando únicamente regla y compás, al viejo estilo, aunque primero vamos a obtener algebraicamente el
valor de φ, que es la letra que se usa para designar a la sección áurea.

                                                     ***

Sección áurea

Supongamos un segmento, que por comodidad consideramos de longitud 1, dividido en dos partes.
Vamos a calcular qué valor debe tener x para que sea la sección áurea del segmento:




Según la definición de Euclides, se tiene:




Resolviendo la ecuación se obtiene:             .

Como la razón áurea es el cociente entre la longitud del segmento y el valor de x, tenemos:


               .

(Este valor se puede obtener directamente resolviendo la ecuación                )

Rectángulo áureo
Pasemos a la regla y el compás y supongamos que partimos del segmento DA.

   1. Prolongamos el segmento DA hacia la derecha.
   2. Trazamos el cuadrado ABCD.
   3. Hallamos M, el punto medio del segmento DA.
   4. Pinchando el compás en M llevamos la distancia MB hasta cortar al segmento horizontal.
      Obtenemos E.
   5. Completamos el rectángulo CDEF.




¿Qué hemos obtenido?

   1. Para empezar, los segmento DA y AE están en proporción áurea.
   2. Como DC = DA, la base y la altura del rectángulo CDEF también lo están. A esto se le llama
      rectángulo áureo.
   3. El rectángulo AEFB también es áureo. Precisamente esta es una de las características
      fundamentales de un triángulo áureo: se puede descomponer en un cuadrado (ABCD) y otro
      rectángulo áureo (AEFB). Dicho de otro modo: los rectángulos aureos son auto-reproductivos.

¿Serías capaz de probar todo lo anterior?

Espiral áurea

¿Por qué es tan importante la sección áurea en el arte? Es una pregunta difícil y no exenta de polémica
(ver La sección áurea y la Gran Pirámide de Gizeh), pero no cabe duda de que la auto-reproductividad
vista en la construcción anterior permite joyas como El Partenón, en las que la sección áurea proporciona
un factor unificador para las medidas de los distintos elementos arquitectónicos y la consiguiente
sensación de armonía.

Un ejemplo matemático de lo anterior puede ser la espiral áurea, curva compuesta por una sucesión de
cuartos de circunferencia tangentes a cuadrados cuyos lados están en razón áurea.

La construcción es muy sencilla:

   1. Dibujamos un rectángulo áureo según el método explicado antes. Lo tendremos pues
      descompuesto en un cuadrado y otro rectángulo más pequeño (que sabemos que es a su vez
      áureo).
   2. En el cuadrado dibujamos circunscrito un cuarto de circunferencia.
3. Dividimos el segundo rectángulo áureo en un cuadrado y un rectángulo (basta llevar con el
      compás el lado más extrecho del triángulo sobre el mayor para tener la longitud del lado del
      cuadrado).
   4. En el nuevo cuadrado dibujamos circunscrito un cuarto de circunferencia de modo que empiece
      donde terminó el trozo de circunferencia del punto 2.
   5. Se repite el proceso indefinidamente.




En muchos lugares aparece esta espiral al lado de alguna fotografía de concha de nautilus para que las
comparemos. Lo cierto es que si las comparamos con cuidado veremos que son distintas pues, aunque se
parecen, la espiral utilizada por muchas especies de moluscos no es esta espiral sino otra, aquella a la que
Jacques Bernoulli llamó spira mirabilis,.
FORMATOS
En fotografía, donde el modelo no se construye, sinó que se capta a partir de cierto punto
de vista, bajo cierto ángulo y encuadre, y donde el resultado suele ser una imagen
contenida en un espacio rectangular, nos interesa entender la proporción del formato.

El cuadrado representa la unidad, el unísono. Tiene mucha fuerza visual, pero es la forma
rectangular más estática. En el resto de los rectángulos domina el ancho ó el alto, así que
participan de las propiedades expresivas de la dirección horizontal y de la vertical. Como
quiera que la horizontal es la dimensión del tiempo, de la constancia, de la estabilidad, de
la pasividad, los formatos apaisados refuerzan en los paisajes la sensación de placidez, de
intemporalidad, mientras que los verticales pueden subrayar temas más activos y
comunicativos, como el retrato, la figura ó el movimiento vertical de por ejemplo una
cascada.
Los formatos modulares ó estáticos nos resultan cómodos perceptivamente. Están basados
en razones aritméticas simples:




Algunos rectángulos dinámicos interesantes son: el rectángulo raiz de 2, que se obtiene
abatiendo la diagonal de un cuadrado, el raíz de 3, que se inscribe en un hexágono regular,
ó el rectángulo áureo, que se obtiene abatiendo la "diagonal" de la mitad del cuadrado:
El rectángulo áureo merece un artículo aparte. El raiz de 2 también es importante a nivel
práctico porque resuelve el problema de la duplicación manteniendo las proporciones. Si
dividimos un cuadrado en dos rectángulos iguales, está claro que éstas ya no mantienen la
forma cuadrada. Esto sucede en cualquier rectángulo estático. Sin embargo las dos mitades
de un raiz de 2 tienen esta misma proporción. La serie DIN-A ha normalizado los formatos
de papel a partir de un rectángulo de un metro cuadrado de superficie con sus lados en
proporción 1 a raíz de 2, que es el formato A-0. Su mitad es el formato A-1, la mitad de
éste es el A-2, la mitad de éste A-3, y así con el A-4 que sustituye los tradicionales
formatos arbitrarios de folio, el A-5 que sustituye la cuartilla, el A-6 la octavilla, etc. etc.
Los fotogramas de un negativo de 35mm son rectángulos estáticos, de formato 2/3. Son
idóneos para imprimir copias de 15x10 cm. pero cuando queremos una copia del doble de
superficie nos topamos con un rectángulo de 3x4, con lo que se produce un desfase que
sólo se soluciona dejando un margen en blanco (A) ó recortando parte de la foto (B). El
mismo problema tenemos con una digital que hace fotos en formato 3x4 si queremos
revelar en 15x10 cm (C), y con cualquier cámara si nos vamos a un tamaño poster de
70x50.




Los suministros de papel se hacen con mentalidad rigurosamente estática, los cortes son
siempre en múltiplos de 5 cm., con excepciones tan raras como el formato 13x18 cm, tan
irregular porque viene de la costumbre de recortar copias de 20x15 para ponerlas en
marcos de 13 x 18, que miden así porque se fabricaban para ponerle a una copia estándar
de 15 x 10 un passe-partout de 15mm.

El formato raíz de 2 es el que permite ampliar al doble de superficie en una fotocopiadora
un documento sin tener que hacer ajustes ni recortes, por eso en las máquinas siempre
están los valores de raíz de 2 y su inverso: 141% y 71%. Llegará un día en que se resuelva
el problema con los formatos de copia estándar? parece difícil, ya no servirían los álbumes
antiguos, los marcos antíguos, los sensores y películas antiguas...




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Sección áurea, rectángulo y espiral

  • 1. Sección, rectángulo y espiral áureos "Una recta está dividida en extrema y media razón cuando la recta es al segmento mayor lo que éste es al menor." Los Elementos, libro II, proposición 11. Euclides. *** Así define Euclides lo que hoy conocemos por sección áurea, objeto de gran sencillez matemática y que, sin embargo, ha interpretado un importante papel en el arte y en el concepto que de la belleza se ha tenido en distintas épocas. En esta práctica vamos a construir algunos objetos geométricos relacionados con la sección áurea utilizando únicamente regla y compás, al viejo estilo, aunque primero vamos a obtener algebraicamente el valor de φ, que es la letra que se usa para designar a la sección áurea. *** Sección áurea Supongamos un segmento, que por comodidad consideramos de longitud 1, dividido en dos partes. Vamos a calcular qué valor debe tener x para que sea la sección áurea del segmento: Según la definición de Euclides, se tiene: Resolviendo la ecuación se obtiene: . Como la razón áurea es el cociente entre la longitud del segmento y el valor de x, tenemos: . (Este valor se puede obtener directamente resolviendo la ecuación ) Rectángulo áureo
  • 2. Pasemos a la regla y el compás y supongamos que partimos del segmento DA. 1. Prolongamos el segmento DA hacia la derecha. 2. Trazamos el cuadrado ABCD. 3. Hallamos M, el punto medio del segmento DA. 4. Pinchando el compás en M llevamos la distancia MB hasta cortar al segmento horizontal. Obtenemos E. 5. Completamos el rectángulo CDEF. ¿Qué hemos obtenido? 1. Para empezar, los segmento DA y AE están en proporción áurea. 2. Como DC = DA, la base y la altura del rectángulo CDEF también lo están. A esto se le llama rectángulo áureo. 3. El rectángulo AEFB también es áureo. Precisamente esta es una de las características fundamentales de un triángulo áureo: se puede descomponer en un cuadrado (ABCD) y otro rectángulo áureo (AEFB). Dicho de otro modo: los rectángulos aureos son auto-reproductivos. ¿Serías capaz de probar todo lo anterior? Espiral áurea ¿Por qué es tan importante la sección áurea en el arte? Es una pregunta difícil y no exenta de polémica (ver La sección áurea y la Gran Pirámide de Gizeh), pero no cabe duda de que la auto-reproductividad vista en la construcción anterior permite joyas como El Partenón, en las que la sección áurea proporciona un factor unificador para las medidas de los distintos elementos arquitectónicos y la consiguiente sensación de armonía. Un ejemplo matemático de lo anterior puede ser la espiral áurea, curva compuesta por una sucesión de cuartos de circunferencia tangentes a cuadrados cuyos lados están en razón áurea. La construcción es muy sencilla: 1. Dibujamos un rectángulo áureo según el método explicado antes. Lo tendremos pues descompuesto en un cuadrado y otro rectángulo más pequeño (que sabemos que es a su vez áureo). 2. En el cuadrado dibujamos circunscrito un cuarto de circunferencia.
  • 3. 3. Dividimos el segundo rectángulo áureo en un cuadrado y un rectángulo (basta llevar con el compás el lado más extrecho del triángulo sobre el mayor para tener la longitud del lado del cuadrado). 4. En el nuevo cuadrado dibujamos circunscrito un cuarto de circunferencia de modo que empiece donde terminó el trozo de circunferencia del punto 2. 5. Se repite el proceso indefinidamente. En muchos lugares aparece esta espiral al lado de alguna fotografía de concha de nautilus para que las comparemos. Lo cierto es que si las comparamos con cuidado veremos que son distintas pues, aunque se parecen, la espiral utilizada por muchas especies de moluscos no es esta espiral sino otra, aquella a la que Jacques Bernoulli llamó spira mirabilis,.
  • 4. FORMATOS En fotografía, donde el modelo no se construye, sinó que se capta a partir de cierto punto de vista, bajo cierto ángulo y encuadre, y donde el resultado suele ser una imagen contenida en un espacio rectangular, nos interesa entender la proporción del formato. El cuadrado representa la unidad, el unísono. Tiene mucha fuerza visual, pero es la forma rectangular más estática. En el resto de los rectángulos domina el ancho ó el alto, así que participan de las propiedades expresivas de la dirección horizontal y de la vertical. Como quiera que la horizontal es la dimensión del tiempo, de la constancia, de la estabilidad, de la pasividad, los formatos apaisados refuerzan en los paisajes la sensación de placidez, de intemporalidad, mientras que los verticales pueden subrayar temas más activos y comunicativos, como el retrato, la figura ó el movimiento vertical de por ejemplo una cascada.
  • 5. Los formatos modulares ó estáticos nos resultan cómodos perceptivamente. Están basados en razones aritméticas simples: Algunos rectángulos dinámicos interesantes son: el rectángulo raiz de 2, que se obtiene abatiendo la diagonal de un cuadrado, el raíz de 3, que se inscribe en un hexágono regular, ó el rectángulo áureo, que se obtiene abatiendo la "diagonal" de la mitad del cuadrado:
  • 6. El rectángulo áureo merece un artículo aparte. El raiz de 2 también es importante a nivel práctico porque resuelve el problema de la duplicación manteniendo las proporciones. Si dividimos un cuadrado en dos rectángulos iguales, está claro que éstas ya no mantienen la forma cuadrada. Esto sucede en cualquier rectángulo estático. Sin embargo las dos mitades de un raiz de 2 tienen esta misma proporción. La serie DIN-A ha normalizado los formatos de papel a partir de un rectángulo de un metro cuadrado de superficie con sus lados en proporción 1 a raíz de 2, que es el formato A-0. Su mitad es el formato A-1, la mitad de éste es el A-2, la mitad de éste A-3, y así con el A-4 que sustituye los tradicionales formatos arbitrarios de folio, el A-5 que sustituye la cuartilla, el A-6 la octavilla, etc. etc.
  • 7. Los fotogramas de un negativo de 35mm son rectángulos estáticos, de formato 2/3. Son idóneos para imprimir copias de 15x10 cm. pero cuando queremos una copia del doble de superficie nos topamos con un rectángulo de 3x4, con lo que se produce un desfase que sólo se soluciona dejando un margen en blanco (A) ó recortando parte de la foto (B). El mismo problema tenemos con una digital que hace fotos en formato 3x4 si queremos revelar en 15x10 cm (C), y con cualquier cámara si nos vamos a un tamaño poster de 70x50. Los suministros de papel se hacen con mentalidad rigurosamente estática, los cortes son siempre en múltiplos de 5 cm., con excepciones tan raras como el formato 13x18 cm, tan irregular porque viene de la costumbre de recortar copias de 20x15 para ponerlas en marcos de 13 x 18, que miden así porque se fabricaban para ponerle a una copia estándar de 15 x 10 un passe-partout de 15mm. El formato raíz de 2 es el que permite ampliar al doble de superficie en una fotocopiadora un documento sin tener que hacer ajustes ni recortes, por eso en las máquinas siempre están los valores de raíz de 2 y su inverso: 141% y 71%. Llegará un día en que se resuelva el problema con los formatos de copia estándar? parece difícil, ya no servirían los álbumes antiguos, los marcos antíguos, los sensores y películas antiguas... http--www_pauloporta_com-od-pro-doriforo_gif.mht