1. DEPARTAMENTODECIENCIAS BÁSICAS
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
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1.CONCEPTOS BÁSICOS: PUNTO, RECTA,
PLANO Y ESPACIO
1.1. PUNTO: Un punto es una idea o abstracción. El punto es adimensional
(cerodimensiones).Unpuntonopuede definirse contérminosmássencillos,porejemplo,unpuntoeslahuella
dejada por la marca de un lápiz.
1.2. RECTA: Una recta esuna ideao abstracción.La recta es unidimensional
(una dimensión). Se puede describir como una longitud ilimitada, sin
grosor ni extremos. Se puede pensar en una recta como la línea más
delgada que se puede trazar. Su magnitud se da en unidades lineales.
1.3. PLANO: Una plano es una idea o abstracción. Un plano tiene longitud y
anchura pero no espesor, es decir, el plano es bidimensional (dos
dimensiones). Puede representarse por medio de una pizarra o el lado
de una caja. Su magnitud se da en unidades cuadradas.
1.4. ESPACIO: El espacio es una idea o abstracción. El espacio es
tridimensional (tres dimensiones) y su magnitud se da en unidades
cúbicas. Se describe como el conjunto de todos los puntos.
Ilustración:
EJERCICIO No 1:
Punto,línea,planoyespaciosontérminosindefinidos.Indique cuál de estostérminosse ilustracon:
a. La cubiertade unescritorio
b. Una pantallacinematográfica
c. El filode unaregla
d. Un hiloentensión
e. La puntade un alfiler
f. Una alcancía
Punto
Circunferencia,
L=2πr
Círculo,
Área: πr2
Esfera,
V=4/3πr3

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2.RELACIÓN ENTRE PUNTO, RECTA, PLANO Y ESPACIO.
2.1. Los puntos siempre se nombran con letras mayúsculas, así:
2.2. Dados dospuntoscualesquieraesposibletrazarunarecta que pase por ellos. En ocasiones se nombre con una
letra minúscula y una flecha encima o con los puntos que se encuentran en ella.
A
B
C
A, B y c son colineales. A, D y C son no
colineales. A, B, C y D están en el mismo
plano; son puntos coplanares. Los puntos
que como conjunto no están en el mismo
plano son no coplanares
A
B
C
D
Los puntos colineales son puntos que están
en la misma recta.
Los puntos coplanares son puntos que se
encuentran en un mismo plano.
Modelo físico Descripción Definición
Las rectas 𝑙⃡y 𝑚⃡ se intersecan en el punto A
Las rectas intersecantes son dos rectas con
un punto en común.
𝑚⃡
𝑙⃡
A
Las rectas 𝑙⃡ y 𝑚⃡ no tienen un punto en
común. 𝑙⃡es paralela a 𝑚⃡ , y se denota 𝑙⃡ ∥
𝑚⃡
Las rectas paralelas son rectas que están
en el mismo plano y no se intersecan.
Las rectas 𝑝⃡, 𝑞⃡ y 𝑟⃡ tiene un punto en
común. Son rectas concurrentes.
Las rectas concurrentes son 3 o más rectas
coplanares que tiene un punto en común.
𝑝⃡
𝑞⃡
𝑟⃡
𝑙⃡
𝑙⃡

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2.3. Dados 3 o más puntos en un mismo plano (coplanares) pueden o no ser colineales.
2.4. Dos rectas coplanares si se intersecan lo hacen en un punto.
2.5. Tres puntos cualesquiera determinan un plano, tiene que ser no colineales.
2.6. Cuatro puntos cualesquiera uno de ellos no coplanar forman un espacio.
EJERCICIO No 2:
i. Menciónense grupos de tres puntos colineales de la figura siguiente:
A
B
CD
E
F G
𝑙⃡D
𝑙⃡
D

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ii. Aunque no se hayan dibujado, hay una recta que pasa por cada par de puntos. Cítense dos de estas rectas en la
figura, diferentes de 𝐴𝐹⃡ 𝑦 𝐺𝐶⃡ .
iii. ¿Es posible dibujar cuatro rectas que se intersequen en un punto? ¿Es posible dibujar cuatro rectas que se
intersequen en 2, 3, 4, 5, 6 o más puntos, hágase un dibujo que ilustre cada caso?
iv. ¿Cuántas rectas pueden determinar seis puntos si hay una recta que pasa por cada par de puntos?
Resuelva los siguientes puntos de acuerdo con la figura de la
derecha:
v. Enumérense tres pares de rectas intersecantes.
vi. Enumérense tres rectas concurrentes.
vii. Dibújense cuatro rectas concurrentes.
3.LÍNEA RECTA, SEGMENTO, RAYO Y ÁNGULO.
3.1. RECTA: Una línearecta se puede entendercomounconjuntode puntos
alineados en una única dirección. Se denotará de la siguiente manera 𝑎⃡.
3.2. SEGMENTO: Un segmento 𝐴𝐵̅̅̅̅,esel conjuntode lospuntos que están entre A y B
incluidos estos.
3.3. RAYO: Un rayo 𝐴𝐵 es un subconjunto de una línea recta que comienza en
el puntoA y que se extiende enformailimitadaenladireccióndel punto B.
3.4. ÁNGULO: Es la figura formada por dos rayos no colineales que tienen el mismo
extremo.Losrayos son los lados del ángulo mientras que el punto de intersección
de los rayos es el vértice. El símbolo para el ángulo es ∠.
𝑎⃡
A
B

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EJERCICIO No3
B. Determínese para la siguiente figura todos los segmentos, rayos, y rectas que hay.
4.RELACIÓN ENTRE LAS RECTAS
4.1. Dadas dos rectas coplanares, éstas pueden ser intersecantes si se cortan o PARALELAS si no se cortan.
La recta 𝑠⃡es paralela a la recta 𝑡⃡y se escribe 𝑠⃡∥ 𝑡⃡.
La recta 𝑚⃡ no es paralela a la recta 𝑠⃡y se escribe 𝑚⃡ ∦ 𝑠⃡.
𝑚⃡
𝑠⃡ 𝑡⃡
A
B C
D E
F
GH O

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4.2. Si dos rectas coplanares se intersecan formando un ángulo de 90 grados, éstas rectas se llaman
PERPENDICULARES.
5.RECTAS Y PLANOS PERPENDICULARES:
6.POSTULADOS GEOMÉTRICOS
𝑝⃡
𝑞⃡
𝑟⃡
𝑞⃡ es perpendicular a 𝑝⃡y se
escribe 𝑞⃡ ⊥ 𝑝⃡.
𝑟⃡no es perpendicular a 𝑞⃡ y se
escribe 𝑟⃡∤ 𝑞⃡
Modelo físico Descripción Definición
𝑙⃡es perpendicular a 𝑚⃡ y se escribe 𝑙⃡⊥ 𝑚⃡
Dos rectas son perpendiculares si al
intersecarse forman ángulos rectos.
La recta 𝑙⃡es perpendicular a las rectas
𝑚⃡ , 𝑛⃡ y 𝑝⃡, etc. Por tanto, la recta 𝑙⃡ es
perpendicular al plano A.
Una recta es perpendicular a un plano si es
perpendicular a cada una de las rectas del
plano que intersecan a la recta.
La recta 𝑚⃡ del plano Bes perpendicular al
plano A; por tanto, el plano B es
perpendicular al plano A.
Dos planos son perpendiculares si en uno
de ellos hay una recta que es perpendicular
al otro.

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𝛼
Un postuladoesuna generalizaciónbásica aceptada sin demostración. Pueden compararse con las reglas de un juego.
En el “juego de la geometría” se aceptan como verdad y se usan como ayuda en la demostración de los teoremas.
1. Postulado de la existencia de los puntos:
 El espacio existe y contiene por lo menos cuatro puntos no coplanares.
 Un plano contiene por lo menos tres puntos no colineales.
 Una recta contiene por lo menos dos puntos.
2. Postulado del punto y la recta:
Para afirmarque una líneaes recta, se requiere una y sólo una, línea que contenga dos puntos
cualesquiera.
3. Postulado del punto y el plano:
Tres puntos no colineales están contenidos en uno y sólo un plano.
Nota: Los planos se nombrarán con las letras del alfabeto griego.
4. Postulado de la intersección de planos:
Si dos planos se intersecan, se intersecan exactamente en una recta.
5. Postulado de los dos puntos, la recta y el plano:
Si dos puntos están en un plano entonces la recta que los contiene está en el plano.
6. Postulado de la separación de planos: Sea 𝛼 un plano y 𝑙⃡una recta en 𝛼. Los puntos
del plano que no estén en 𝑙⃡forman 2 semi-planos de manera que:
a. Cada semiplano es un conjunto convexo.
b. Si P está en un semi-plano y Q está en el otro, entonces PQ interseca a 𝑙⃡.

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7. Postulado de la separación del espacio:
Sea 𝛼 un plano en el espacio. Los puntos del espacio que no estén sobre 𝛼 forman 2 semi-
espacios de manera que:
a. Cada semi-espacio es un conjunto convexo.
b. Si un punto A está en un semi-espacio y B está en el otro, entonces 𝐴𝐵̅̅̅̅ interseca a 𝛼.
NOTA: Un polígono es convexo si todas sus diagonales están en el interior del polígono.
8. POSTULADO DE LAS PERPENDICULARES:
 Dados unpuntoy una recta enun plano, hay exactamente una recta que pasa por el punto
y es perpendicular a la recta dada.
 Dado un plano en el espacio y un punto que no está en ese plano, hay exactamente una
recta que pasa por el punto y es perpendicular al plano dado.
EJERCICIOS No 4:
En losejerciciosi al viii complétenselosenunciadosconlaspalabras: punto,recta,planoy espacio.Dígase que postulado
sugiere la proposición completa.
i. Si los dos puntos están en un plano, entonces ________________ que los contiene está en el plano.
ii. Un ________________ contiene por lo menos tres puntos no colineales.
iii. Dos puntos están contenidos en a lo sumo ________________
iv. Si dos planos se intersecan, se intersecan exactamente en ________________
v. Hay exactamente ________________ que pasa por un punto dado y es perpendicular a un plano dado.
vi. Un plano separa ________________ en dos semi-espacios.
vii. En un plano, hay exactamente ________________ que pasa por un punto dado y es perpendicular a una recta
dada.
viii. Una recta separa ________________ en dos semiplanos.
En losejerciciosix al xii formúleseunpostulado que permite llegar a la conclusión de que la proposición es verdadera.
ix. Dos planos distintos α y β, no pueden contener dos rectas distintas de 𝑙⃡y 𝑚⃡ .
x. Tres puntos no colineales A, B y C, no pueden estar en dos planos distintos de α y β.
xi. El espacio puede contener más, pero no menos de cuatro puntos no colineales y no coplanares.
xii. Si dos puntosJ y K estánendiferentessemi-planos determinados por una recta 𝑙⃡, el segmento 𝐽𝐾̅̅̅ interseca a 𝑙⃡.
¿Cuántos planos pueden determinarse con cuatro puntos entre los cuales no hay tres que sean colineales?
6.ALGUNOS AXIOMAS, DEFINICIONES Y TEOREMAS
AXIOMA 1 (A1):
a. Toda recta es un conjunto de puntos
𝛼

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b. Todo plano es un conjunto de puntos
AXIOMA 2 (A2):
a. Existen por los menos dos puntos
b. En todo plano hay por lo menos un punto
AXIOMA 3 (A3):
Si A y B son puntos, entonces existe una y solo una recta que contiene a A y B.
AXIOMA 4 (A4):
Si 𝑚⃡ es una recta, entonces existe un punto Q tal que Q no está en 𝑚⃡ .
AXIOMA 5 (A5)(Axioma de las paralelas):
Si 𝑚⃡ 1 esuna recta y Q un puntoexterior a 𝑚⃡ 1, entoncesexiste unaysolauna recta que contiene a Q y es paralela a 𝑚⃡ 1.
DEFINICIÓN 1: Si un punto Q o está en una recta 𝑚⃡ , se dice que un punto Q es un punto exterior a la recta 𝑚⃡
DEFINICIÓN 2: Se dice que dos rectas 𝑚⃡ 1 y 𝑚⃡ 2 son paralelas si se denota que:
I. Están en un mismo plano
II. No se intersecan.
TEOREMA 1: Existen al menos dos rectas diferentes.
TEOREMA 2: Todo punto se encuentra al menos sobre dos rectas
I. Corolario: ninguna recta es vacía.
TEOREMA 3: Toda recta contiene por lo menos dos puntos.
I. Toda recta queda determinada por dos cualquiera de sus puntos que sean distintos.
TEOREMA 4: Existen por lo menos cuatro puntos distintos.
TEOREMA 5: Existen por lo menos seis rectas distintas
Hasta ahora se han buscado objetos de nuestro mundo que sugieren conceptos geométricos. Se han elegido los
conceptos básicos –punto, recta, y plano- y se les ha llamado términos indefinidos. A partir de estos términos se
obtuvieron definiciones para describir otras figuras geométricas como segmentos, rayos y ángulos, y se han definido
relaciones como paralelismo y perpendicularidad.

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Ahoraes el momentode darel siguiente paso.Se requiere unmétodoparacomprobarque algunasgeneralizacionesson
verdaderasparatodoslos casos.El métodoque se emplearáse llama razonamientodeductivo.Este procesorequiere la
aceptaciónde unascuantas generalizacionesbásicassincomprobarlasllamados axiomas y postulados. Todas las demás
generalizaciones que pueden probarse como verdaderas con la ayuda de definiciones, postulados y la lógica del
razonamiento deductivo, se llaman teoremas y corolarios.
Razonamiento deductivo:
 Paso 1: Empiécese con las condiciones dadas.
 Paso 2: Úsese lalógica,definiciones,postulados o teoremas previamente probados para justificar una serie de
proposiciones o pasos que den el resultado deseado.
 Paso 3: Afírmese el resultado (la conclusión)
ACTIVIDAD PRACTICA
1. Escribe la definición de cada término yrepreséntelo grafica ysimbólicamente.
 Punto
 Recta
 Plano
 Espacio
 Puntos colineales
 Puntos coplanares
 Rectas intersecantes
 Rectas paralelas
 Rectas concurrentes
 Segmento
 Rayo
 Angulo
 Triángulo
 Cuadrilátero
 Círculo
 Segmentos congruentes
 Ángulos congruentes
 Angulo agudo
 Angulo recto
 Angulo obtuso
 Bisectrizde un ángulo
 Punto medio de un segmento
 Bisectrizde un segmento
 Rectas perpendiculares

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 Recta perpendicular a un plano
 Planos perpendiculares
 Bisectrizperpendicular
 Distancia de un punto a una recta
 Polígono
 Diagonal de u n polígono
 Polígono convexo
 Triángulo equilátero
 Triángulo isósceles
 Polígono regular
Para la próximaclase traercompas,transportador,reglay escuadras.
Hojasblancas.