Geometría fundamental: puntos, rectas, planos y ángulos

Prof. Javier Sotelo Geometría I

Cualquier figura geométrica es un conjunto de puntos, rectas y planos, de modo que se
les pueden aplicar todas las ideas que sobre conjuntos conocemos.

Estos tres conceptos sobre los cuales construimos la geometría, como todo concepto
primario, no admiten una definición; por lo tanto, tenemos que recurrir a la intuición.

Decimos que un granito de arena, la huella que deja sobre el papel un lápiz de punta
afilada, nos sugieren la idea o concepto de punto.

Igualmente, un hilo tenso nos da idea de recta, o una superficie pulimentada nos da idea
de plano.

Si intentamos quitar el soporte material que nos da la idea y nos preguntamos qué son
en sí, se nos hace muy difícil responder a esta cuestión. Estos conceptos intuitivos e
indefinibles reciben el nombre de primeros principios, axiomas o postulados.

Axiomas fundamentales:

Primer axioma: Existen unas "cosas" que llamamos puntos.

Segundo axioma: Los puntos se agrupan dando lugar a rectas y planos. Las rectas son
conjuntos de puntos ilimitados de una sola dimensión y los planos tienen dos
dimensiones, ilimitadas ambas. En las representaciones que realizamos tenemos que
hacerlos limitados necesariamente.

Tercer axioma: Dos puntos determinan una recta y solamente una a la que pertenecen.
Del mismo modo, el conjunto de los demás puntos de ella se dicen alineados con los
dados.

Cuarto axioma: Un plano queda determinado por tres puntos no alineados. De este
axioma se puede deducir directamente que un plano está también determinado:

a) Por una recta y un punto exterior a la misma.
b) Por dos rectas que se cortan.
c) Por dos rectas paralelas.

Quinto axioma: Toda recta, dos de cuyos puntos pertenezcan al plano, está toda ella
incluida en él.

De este postulado deducimos que una recta con relación al plano puede ocupar tres po-
siciones:

 a) Que la recta no tenga ningún punto común con el plano. En este caso decimos
que la recta y el plano son paralelos.
 b) Que la recta tenga un solo punto común con el plano. En este caso, la recta
corta al plano.
 c) Que la recta tenga dos puntos en común con el plano y por lo tanto está conte-
nida en él.

Instituto de Formación Docente “Divino Salvador” Profesorado de Matemática


Si dos rectas están en el mismo plano se dice que son co-
planarias.

Si dos rectas no están en el mismo plano se dice entonces que se
cruzan.

Sexto axioma: Axioma de división del espacio.

Todo plano divide al espacio en dos regiones llamadas semiespacios de tal forma que:

 a) Todo punto que no pertenece al plano está en uno solo de los semiespacios.
 b) Dos puntos del mismo semiespacio pueden ser unidos por una línea sin cortar
el plano
 c) Dos puntos de distinto semiespacio no pueden ser unidos por una línea sin cor-
tar el plano.

Semirrecta, segmento y semiplano

Sabiendo que AOPQ es un cuadrado de 16 centímetros de perímetro, que ABCD es un rectángulo
de 25 centímetros cuadrados de área y que Q es el centro de la circunferencia que pasa por D y
por O, hallar las dimensiones del rectángulo ABCD.

área = b . a
b . a = 25 cm2
2 2
r = 4 + 4 = 16 + 16 = 32 = 4 2
4 (1 + 2 )
b=4+4 2 =



1- 2 25 1 - 2
a= 25 = = 25 1 - 2
4 (1 + 2 ) 1 + 2 4 1- 2 4 -1

a = 25 ( 2 - 1)
4

Rta:

SEMIRRECTA: Todo punto de una recta la divide en dos semirrectas. El punto men-
cionado es el origen de ambas. Toda semirrecta tiene principio pero no tiene fin.

: se lee “semirrecta de origen O que contiene al punto B”
: se lee “semirrecta de origen O que contiene al punto A”

Estas dos semirrectas tienen distinto sentido. Son semirrectas opuestas.

SEGMENTO: Un segmento es la parte de recta comprendida entre dos puntos. To-
do segmento tiene principio y fin.

: se lee “segmento AB”

SEMIPLANO: Si tenemos un plano y una recta en ese plano, la recta divide al plano
en dos partes llamadas semiplanos.

Plano: Recta: r



Spl(r, A): se lee "semiplano de borde r que contiene al punto A"

Spl(r, B): se lee "semiplano de borde r que contiene al punto B

La recta AB es tangente a la circunferencia de centro O en el punto A. Dicha circunferencia tiene
9 centímetros de diámetro. C pertenece a la circunferencia y el segmento CB mide las dos terce-
ras partes del radio de la circunferencia. Determinar si el área sombreada es mayor, igual o me-
nor que la de la cuarta parte del círculo.

Dado que OA=4,5cm
y

resulta:

OB=4,5cm+3cm=7,5cm

Luego (aplicando el teorema de Pitágoras por ser el trián-
gulo OBA rectángulo, dado que la tangente resulta perpen-
dicular al radio en el punto de tangencia) es

de donde el área sombreada será
Calcularemos ahora el área del círculo (4,5)2=20,25

luego el área de un cuarto del círculo es 5,0625

y como

5,0625>13,5 (pues >2,666...)

La respuesta es que el área sombreada es menor que el área de la cuarta parte del círculo.

Ángulo

Ángulo es el área comprendida entre dos rectas que tienen un punto en común. Se mi-
den con un instrumento llamado transportador o semicírculo.

El sistema de medición de ángulo más utilizado es el sexagesimal. La
unidad de medida es un grado, es el ángulo que resulta de dividir un
ángulo recto en 90 partes iguales. El grado se divide en 60 partes igua-
T = 40º
les llamada minuto y el minuto se divide en 60 partes iguales llamada
segundo.

Se llama ángulo a la unión de dos rayos que tienen el mismo punto extremo. A los dos
rayos se le llama lados del ángulo y a su punto extremo común se le llama vértice.



Elementos de un ángulo:
Vértice.- Es el origen "O" común de los rayos.
Lados.- Son los rayos que forman el ángulo.
Notación.- A un ángulo, se le denota con los siguientes símbolos
Bisectriz.- Bisectriz de un ángulo, es un rayo que partiendo del vértice divide al ángu-
lo en dos ángulos iguales.

Clasificación de los ángulos

Los ángulos se clasifican según su magnitud, según sus características y según su posi-
ción.

Según su magnitud:

 Ángulos Nulos: Son aquellos iguales a 0°.
 Ángulos Convexos: Son aquellos mayores que 0° pero menores que 180°. estos án-
gulos convexos a su vez son de tres clases:

 Ángulos Agudos: Son aquellos menores que 90°.
 Ángulos Rectos. Son aquellos iguales a 90°. Sus lados son dos rayos

llamados rayos perpendiculares.
 Ángulos Obtusos: Son aquellos mayores que 90°.

 Ángulos Llanos: Son aquellos iguales a 180°. Sus lados son dos rayos opuestos.
 Ángulos Cóncavos: Son aquellos mayores que 180° y menores que 360°.
 Ángulos de una vuelta: Son aquellos que valen 360°.

Según sus características:

 Ángulos Complementarios: Son dos ángulos que sumados dan 90°.
 Ángulos Suplementarios: Son dos ángulos que sumados dan 180°.

Según su posición:

 Ángulos Consecutivos: Son aquellos que teniendo el mismo vértice y un lado común,
se encuentran a uno y otro lado del lado común.
 Ángulos adyacentes: Son dos ángulos consecutivos cuyos lados no comunes son
rayos opuestos.
 Ángulos Opuestos por el Vértice: Son aquellos cuyos lados de uno son las prolonga-
ciones en sentido contrario de los lados del otro.



Cl a s i fi ca c i ón de á ngul os se gún s u me di da

Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90°

Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180°

Nulo = 0º Completo = 360°

Negativo < 0º Mayor de 360°

Cl a s i fi ca c i ón de á ngul os se gún s u pos i c i ón

Án gul os c ons e c uti vos

Án gul os c ons e c uti vos so n a qu e llo s
qu e t ie n en e l vé rt ice y u n la do c om ún .

Án gul os a d ya c e nte s

Án g u l o s a d y a c e n t e s s o n a q u e l l o s q u e
tienen el vértice y un lado común, y los otros
lados situados uno en prolongación del otro.

Fo rm a n u n á ngul o l l a no.



Án gul os opue s to s por e l vé rti c e

S o n lo s qu e te n ien d o e l vé rt ice c om ú n,
lo s la d o s d e un o so n p ro lo n ga ció n d e lo s
la d o s d e l o t ro .

L o s án g u lo s 1 y 3 so n igu a le s.

L o s án gu lo s 2 y 4 so n igu a le s.

Cl a s i fi ca c i ón de á ngul os se gún s u s um a

Án gul os c ompl e me nta ri os

Do s á n gu lo s so n co m p le me n t a rio s si su m an 90 °.

Án gul os s upl e me nta ri os

Do s á n gu lo s so n su p lem e nt a rio s si s u m an 18 0 °.

Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.

L

L´ 2 1
3 4 L`y L`` son paralelas

6 5 L es transversal
L´´
7 8



Tipos de ángulos formados
Ángulos correspondientes entre paralelas.

L
1=5
2=6
L´ 2 1
3=7
3 4
4=8
6 5
L´´
7 8

Ángulos alternos entre paralelas.
L

1=7
L´ 2 1 2=8
3 4 3=5
6 5 4=6
L´´
7 8

Son suplementarios (suman 180°)

Ángulos contrarios o conjugados.

L
1 6
2 1 2 5
L´
3 4 3 8
4 7
6 5
L´´
7 8

Ángulos colaterales.
L

1 8
L´ 2 1 2 7
3 4 3 6
6 5 4 5
L´´
7 8



1) Los ángulos opuestos por el vértice son iguales
Demostración:

D
Sea AOC y DOB ángulos opuestos por el vértice A

según la siguiente figura, Demostraremos que
AOC≈DOB .
O

AOC + AOD = 180º por ser suplementarios
DOB + AOD = 180º por ser suplementarios, B
igualando ambas ecuaciones y cancelando de
C
ambos lados de la ecuación AOD se sigue que
AOC ≈ DOB.

2) Si dos ángulos alternos internos son congruentes entonces los otros dos ángulos
alternos internos también lo son
Demostración:
Sean las rectas AB HE cortadas por la transversal S.
S

Demostraremos que si ACD ~ CDE entonces.
=
A B
HDC~ DCB Sabemos que ACD + DCB = 180º
=
C

por ser suplementarios del igual manera HDC +
CDE = 180º H D E

por lo que ACD + DCB = HDC + CDE.
Co- ACD ~ CDE mo podemos cancelarlos en
=
la ecuación anterior y por lo HDC ~ DCB tanto.
=

3) Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal de rectas paralelas, son
suplementarios. Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal de rectas para-
lelas, son suplementarios.

Demostración: Sean las rectas AB HE
cortadas por la transversal SP como lo S

muestra la siguiente figura los ángulos son
~
internos a un ACD = HDC mismo lado A C B

de la transversal y mostraremos que son su-
plementarios; la demostración es exactamen- E D H
te igual para la otra pareja de BCD ~ CDE
=
ángulos internos a un mismo lado de la
P
transversal.

Los ángulos ACD + ACS = 180º por ser suplementarios; lo mismo sucede con
HDC + HDP = 180º.
De manera que ACD + ACS + HDC + HDP = 360º pero sabemos que
ACD ~ HDP y ACS  HDC por ser correspondientes, por lo tanto
=
2 ACD  2 HDC  360º



360º
Esto significa que ACD  HDC  , es decir, ACD + HDC = 180º. Por lo tanto los
2
ángulos son suplementarios.

4) Toda transversal forma con dos paralelas ángulos alternos externos congruentes.

Demostración:

Sean las rectas AB HE cortadas por la transversal SP como lo muestra la siguiente
figura

Los ángulos SCB Y HDP Y ACS Y PDE son al-
S

ternos externos y probaremos que SCB ~ HDP
=

y ACS ~ EDP.
A C B
=

H D E El ACS ~ BCD por ser opuestos por el vértice,
=
~ EDP por ser ángulos correspondien-
BCD =
P ACS ~ BCD~ EDP
= =
tes, por lo ACS ~ EDP tanto
= se
sigue entonces que

Igualmente, BCS = ACD por ser opuestos por el vértice, ACD ~ HDP por ser ángulos
~ =
correspondientes, por lo tanto, BCS = ACS ~ HDP se sigue, entonces por transiti-
~ =
vidad que BCS = HDP
~

5) Toda transversal forma con dos paralelas ángulos alternos internos congruentes.

Demostración:
S

Sean las rectas AB HE cortadas por la trans- A C B

versal SP .
H D E

Los ángulos BCD, HDC, ACD y CDE son alter-
nos internos y probaremos que BCD  HDC P

y ACD  CDE . El ACS  BCD por ser
opuestos por el vértice, ACS  HDC por ser ángulos correspondientes, por lo tanto,
BCD  ACS  HDC se sigue entonces que BCD  HDC .

De la misma manera el análisis para el otro par de ángulos.

6) La suma de los ángulos interiores de un triángulo, es igual a dos rectos (180º).

Demostración:

Sean A, B y C los ángulos interiores del triángulo ABC como lo muestra la siguiente figu-
ra.



probaremos que A + B + C = 180º B
D E
Y X

Por el vértice B tracemos una recta DE AC for-
mando el ángulo X y el ángulo Y.

Tenemos que X + Y + Z = 180º ( I ) por formar un
A
ángulo llano. C

Por otra parte X, A y C por ser parejas de ángulos alternos internos.

De manera que sustituyendo lo anterior en la identidad ( I ) tenemos

A + B + C = 180º

Por tanto queda demostrada la proposición.

7) La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, es igual a 90º.

Demostración:
B

Sea ABC un triángulo rectángulo, donde A el ángulo recto,
como se muestra en la figura

A C
Demostraremos que B + C = 90º

Por el teorema anterior sabemos que A + B + C = 180º y como A = 90º tenemos que 90º
+ B + C = 180º por lo que B + C = 90º

8) En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es la suma de las medidas de
los ángulos internos no contiguos.

Demostración:

Sea el ABC cuyos ángulos interiores son A, B y C. Sea D un ángulo exterior como lo
B
muestra la figura.

Probaremos que D = D + C

Observemos que A + B + C = 180º por ser ángulos
interiores de un triángulo. Y D + A = 180º por ser án-
D
gulos suplementarios. De las dos identidades obteni-
A C
das obtenemos que A + B + C = D + A cancelando A



de ambos lados de la ecuación tenemos B + C = D. Queda demostrada la proposición.

9) En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es mayor que cualquier ángulo
interior no adyacente.

Demostración:

Sea el ABCcuyos ángulos interiores zona, B y C.
Sea D un ángulo exterior como lo muestra la fi- B

gura. Probaremos que D > B y D > C.

Por el problema anterior tenemos B + C = D de
este modo D > B y D > C. D
A C

La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo vale cuatro ángulos rectos
(360º).

Demostración:

Sea el ABC cuyos ángulos interiores zona, B y C; sea X, Y y Z ángulos exteriores del
triángulo como lo muestra la figura probaremos que X + Y + Z = 360º
A + X = 180º; B + Y = 180º y C + Z = 180º por ser ángulos suplementarios. Sumando
miembro a miembro las tres igualdades tenemos:
A + B + C + X + Y + Z = 540º (I) Y
B
Por ser ángulos interiores de un triángulo se tie-
nen:
A + B + C = 180º (II)
Sustituyendo ( II ) en ( I ) tenemos,
180  X  Y  Z  540 X A C

donde, se sigue que X + Y + Z = 540º - 180º. Z

Por lo tanto X + Y + Z = 360º

Triángulos:
Triángulo es un polígono determinado por tres rectas que se cortan de 2 en 2 en 3 pun-
tos (no alineados). Los puntos de intersección de las rec-
r

tas son los vértices y los segmentos de rectas determi-
nados son los lados del triángulo.
Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores
del triángulo.
Si está contenido en una superficie plana se denomina
t triángulo. Si está contenido en una superficie esférica se
llama triángulo esférico.
s



Convención de escritura
A Los puntos principales de una figura geométrica
α b como los vértices se designan por letras mayúscu-
c
las. En el caso del triángulo los vértices pueden
β δ
B C darse en cualquier orden.
a Los lados del triángulo se denotan como segmen-
tos, por sus extremos: AB; BC o por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto
con letra minúscula.
La notación para el ángulo entre 2 segmentos OP OQ que comparten el extremo O es
P
POQ. O
Q
También se pueden utilizar las letras minúsculas.

Clasificación de Triángulos:
Se pueden clasificar por la relación entre las longitudes o por la amplitud de sus lados,
tienen la misma amplitud de sus ángulos.

Por la longitud de sus lados:
Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:
como triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres
ángulos internos miden 60 grados ó radianes.)
como triángulo isósceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas; es decir,
"con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángu-
los que se oponen a estos lados tienen la misma medida, y
como triángulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longi-
tudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la
misma medida).

Equilátero Isósceles Escaleno

Por la amplitud de sus lados:
Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

 Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que
conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
 Triángulo oblicuángulo : cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos
(90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.
o Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor
de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).



o Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de
90°. El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Oblicuángulos

Clasificación según los lados y los ángulos

Los triángulos acutángulos pueden ser:

 Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos
iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

 Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferen-
tes, no tiene eje de simetría.

 Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales;
las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos igua-
les).

Los triángulos rectángulos pueden ser:

 Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de
45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los
catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipo-
tenusa, que pasa por el ángulo recto.

 Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángu-
los son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

 Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales
que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.

 Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son
diferentes.

Triángulo equilátero isósceles escaleno



acutángulo

rectángulo

obtusángulo



Congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal
manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos,
sean congruentes con los del otro triángulo.

Postulados de congruencia

Triángulo Postulados de congruencia

Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado)

Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longi-
tud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre
esos lados tienen también la misma medida.

Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo)
Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado com-
prendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente.
(El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos).

Postulado LLL (Lado, Lado, Lado)
Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma
longitud que los correspondientes del otro triángulo.

Teoremas de congruencia

Triángulo Teoremas de congruencia

Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado)

Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido
entre los ángulos, tienen la misma medida y longitud, respectivamente.

Congruencias de triángulos rectángulos

 Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si
la hipotenusa y el cateto de uno de los triángulos tienen la misma medida que los
correspondientes del otro.
 Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los
catetos de uno de los triángulos tienen la misma medida que los catetos corres-
pondientes del otro.
 Criterio HA (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si
la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida
que los correspondientes del otro.



 Criterio CA (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el
cateto un ángulo agudo (el adyacente o el opuesto) de uno de los triángulos tie-
nen la misma medida que los correspondientes del otro.

Semejanza de triángulos

 Criterio aa (ángulo, ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes
 Criterio lal (lado, ángulo, lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángu-
lo comprendido entre ellos es congruente.
 Criterio lll (lado, lado, lado). Si sus tres lados son proporcionales.

Semejanzas de triángulos rectángulos

Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumple con al menos uno de los criterios
siguientes:

 Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.
 Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.
 Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.

Propiedades de los triángulos

Un triángulo puede ser definido como un polígono
de tres lados, o como un polígono con tres vértices.
El triángulo es el polígono más simple y el único
que no tiene diagonal. Tres puntos no alineados
Un cuadrilátero con sus diagonales definen siempre un triángulo (tanto en el plano co-
mo en el espacio).
Si se agrega un cuarto punto coplanar y no alineado, se obtiene un cuadrilátero que
puede ser dividido en triángulos como el de la figura de la izquierda. En cambio si éste
cuarto punto agregado es no coplanar y no alineado, se obtiene un tetraedro que es el
Poliedro más simple y está comformado por 4 caras triángulares.
Por otra parte, cada polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos, esto
se logra por triangulación. El número mínimo de triángulos necesarios para ésta división
es n − 2, donde n es el número de lados del polígono. El estudio de los triángulos es
fundamental para el estudio de otros polígonos, por ejemplo para la demostración del
Teorema de Pick.
La suma de los tres ángulos internos de un triángulo es siempre 180° lo que equivale a
π radianes, en geometría euclidiana.

α + β + γ = 180º = π



Euclides había demostrado este resultado en sus Elementos de la siguiente manera:
trazamos la paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la
recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales,
codificados en color rojo en la figura de al lado
(ángulos alternos-internos). Del mismo modo, los
ángulos codificados en color azul son iguales
(ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma
de los tres ángulos del vértice C es el ángulo llano.
Así que la suma de las medidas del ángulo de color La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados
rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de
180° (o π radianes). La suma de los ángulos de un triángulo es 180°.

Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en general en
la geometría no euclidiana.

 La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud
del tercer lado.

 El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de
dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.

 Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los la-
dos de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

 Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que «El
cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados me-
nos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

 Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos cate-
tos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se
verifica el Teorema de Pitágoras:

El teorema de Pitágoras gráficamente.



De la ecuación anterior se deducen fácilmente 3 fórmulas de aplicación práctica:

Pitágoras ( c² = a² + b² ) – Fórmulas prácticas

Centros del triángulo

Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:

 Baricentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y
equivale al centro de gravedad
 Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por
los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices
de los lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los puntos de inter-
sección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice
opuesto.
 Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los
lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángu-
los.
 Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersecciónn de las alturas.
 Exincentros: son los centros de las circunferencias exinscritas, aquellas que son
tangentes a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de una bisec-
triz interior y dos bisectrices exteriores de los ángulos.

El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un único punto es en un
triángulo equilátero.

Cálculo de los lados y los ángulos de un triángulo

En general, hay varios métodos aceptados para calcular la longitud de un lado y la me-
dida de un ángulo. Mientras que ciertos métodos pueden ser adecuados para calcular
los valores de un triángulo rectángulo, otros pueden ser requeridos en situaciones más
complejas.

Para resolver triángulos (en general) se suele utilizar los teoremas del seno y del co-
seno, para el caso especial de triángulos rectángulos se utiliza generalmente el Teorema
de Pitágoras.

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos



Un triángulo rectángulo siempre incluye un ángulo de 90° (π/2 radianes), aquí etiquetado
C. Los ángulos A y B puede variar. Las funciones trigonométricas especifican las rela-
ciones entre las longitudes de los lados y los ángulos interiores de un triángulo rectángu-
lo.

En triángulos rectángulos, las razones trigonométricas del
seno, el coseno y la tangente pueden ser usadas para encon-
trar los ángulos y las longitudes de lados desconocidos. Los
lados del triángulo son encontrados como sigue:

 La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o de-
finida como el lado más largo de un triángulo rectángu-
lo, en este caso h.
 El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo en que
estamos interesados, en este caso a.
 El cateto adyacente es el lado que está en contacto
con el ángulo en que estamos interesados y el de án- Un triángulo rectángulo siempre
incluye un ángulo de 90° (π/2 radia-
gulo recto, por lo tanto su nombre. En este caso el ca- nes), aquí etiquetado C. Los ángulos
teto adyacente es b. A y B puede variar. Las funciones
trigonométricas especifican las rela-
ciones entre las longitudes de los
lados y los ángulos interiores de un
triángulo rectángulo.
Seno, coseno y tangente

El seno de un ángulo es el cociente entre la longitud del
cateto opuesto con la longitud de la hipotenusa. En nues-
tro caso.

El coseno de un ángulo es el cociente entre la longitud del
cateto del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa.
En nuestro caso

La tangente de un ángulo es el cociente entre la longitud
del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente. En
nuestro caso

Observe que este cociente de las tres relaciones anteriores no depende del tamaño del
triángulo rectángulo, mientras contenga el ángulo A, puesto que todos esos triángulos
son semejantes.

Las siglas "SOH-CAH-TOA" son un mnemónico útil para estos cocientes.

Funciones inversas

Las funciones trigonométricas inversas pueden ser usadas para calcular los ángulos in-
ternos de un triángulo rectángulo al tener la longitud de dos lados cualesquiera.

Arcsin (arcoseno) puede ser usado para calcular un án-
gulo con la longitud del cateto opuesto y la de la hipote-
nusa.



Arccos (arcocoseno) puede ser usado para calcular un
ángulo con la longitud del cateto adyacente y la de la
hipotenusa.

Arctan (arcotangente) puede ser usada para calcular un
ángulo con la longitud del cateto opuesto y la del cateto
adyacente.

En los cursos introductorios de geometría y trigonometría, la notación sin −1, cos−1, etc.,
es frecuentemente usada en lugar de arcsin, arccos, etc. Sin embargo, la notación de
arcsin, arccos, etc., es estándar en matemáticas superiores donde las funciones trigo-
nométricas son comúnmente elevadas a potencias, pues esto evita la confusión entre el
inverso multiplicativo y el inverso compositivo.

Elementos notables de un triángulo
Medianas y centro de gravedad

El segmento de recta que va de un vértice al punto
medio del lado opuesto se llama mediana.

 Las tres medianas de un triángulo concurren
en un punto, G en la figura, llamado centroi-
de o baricentro del triángulo. Si éste es de
densidad homogénea, entonces el centroide
G es el centro de masas del triángulo.

 Cada una de las tres medianas dividen el triángulo en dos triángulos de áreas
iguales. La distancia entre el baricentro y un vértice son 2/3 de la longitud de la
mediana.

 Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales. Demos-
tración: por simetría, para un triángulo equilátero. Un triángulo cualquiera con sus
tres medianas puede transformarse en un triángulo equilátero con su tres media-
nas mediante una transformación afín o una transformación lineal. El jacobiano (el
factor por el que aumentan o disminuyen las áreas) de una transformación afín es
el mismo en cualquier punto, de lo que se deduce la proposición que encabeza
este párrafo.

Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse
varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo), éstas permiten calcular a
partir del conocimiento de tres elementos, a un cuarto elemento desconocido, (los ele-
mentos en cuestión son lados y medianas). La siguiente tabla muestra un resumen de
las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla):



Triángulos — Medianas ( fórmulas prácticas II )

( Lados: a, b y c ) — ( Medianas: Ma, Mb y Mc ) — ( Semilados: ma=na = ½ a , mb=nb = ½ b y mc=nc = ½ c ).

Mediatrices y circunferencia circunscrita

Se llama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta
perpendicular a dicho lado traza da por su punto medio
(también llamada simetral). El triángulo tiene tres media-
trices, una por cada uno de sus lados [AB], [AC] y [BC].

Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en
un punto O equidistante de los tres vértices. La circunfe-
rencia de centro O y radio OA que pasa por cada uno de
los tres vértices del triángulo es la circunferencia cir-
cunscrita al triángulo, y su centro se denomina circun- Mediatrices y circunferencia cir-
centro. cunscrita de un triángulo



 En un triángulo acutángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está dentro
del triángulo.
 En un triángulo obtusángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está fuera
del triángulo.
 En un triángulo rectángulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el punto
medio de la hipotenusa.

Propiedad

Un triángulo es rectángulo si y sólo si el centro de su circunferencia circunscrita es el
punto medio de su hipotenusa.

Bisectriz y circunferencia inscrita

Las bisectrices de un triángulo son las tres bisec-
trices de sus ángulos internos.

Las tres bisectrices de un triángulo son concurren-
tes en un punto O. La circunferencia inscrita del
triángulo es la única circunferencia tangente a los
tres lados del triángulo y es interior al triángulo. Bisectrices y circunferencia inscrita de un
triángulo.
Tiene por punto central el incentro, que es el cen-
tro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Alturas y ortocentro

Se llama altura de un triángulo a cada una de las tres rec-
tas que pasan por un vértice del triángulo y que son per-
pendiculares al lado opuesto del vértice. La intersección
de la altura y el lado opuesto se denomina «pie» de la
altura.

Estas 3 alturas se cortan en un punto único H llamado ortocentro del triángulo.

Notas:
 Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es el vértices recto del triángulo.
 Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del triángu-
lo.
 Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo.



Recta de Euler

Los tres puntos H, G y O están alineados en una línea rec-
ta llamada recta de Euler del triángulo y verifica la rela-
ción de Euler:

Los puntos medios de los tres lados, los tres pies de las
alturas y los puntos medios de los segmentos [AH], [BH] y
[CH] están en una misma circunferencia llamada circunfe-
rencia de Euler o circunferencia de los nueve puntos del triángulo.

Teorema del Seno y Coseno:
http://www.slideshare.net/jbuces/demostracin-del-teorema-del-seno-y-coseno-
11440462m


Geometría fundamental: puntos, rectas, planos y ángulos

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